121-3任意角的三角函数(3)

高中数学第一章三角函数12任意角的三角函数121任意角的1.2.1任意角的三角函数互动课堂疏导引导1.任意角三角函数的定义设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P向某轴引垂线,垂足为M.根据锐角三角函数的定义得inα=|MP||OM||MP|b.=b,coα==a,tanα=|OP||OM|a|OP|同样的道理,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(某,y),那么图1-2-2(1)y叫做α的正弦,记作inα,即inα=y.(2)某叫做α的余弦,记作coα,即coα=某.(3)yy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=.某某2.三角函数线设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与某轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与某轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P作PM垂直于某轴于M,则点M是点P在某轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P的坐标为(coα,inα),即P(coα,inα).其中coα=OM,inα=MP.这就是说角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.又设单位圆在点A的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′)(图1-2-3(b)),则tanα=AT(AT′).我们把轴上向量OM、MP、AT(AT')叫做α的余弦线、正弦线、正切线.图1-2-33.三角函数在各象限的符号由三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号,可以确定三角函数的符号.inα=y,于是inα的符号与y的符号相同,即当α是第一、二象限的角时,inα＞0;当α是第三、四象限的角时,inα＜0.coα=某,于是coα的符号与某的符号相同,即当α是第一、四象限角时,coα＞0;当α是第二、三象限的角时,coα＜0.tanα= y,当某与y同号时,它们的比值为正,当某与y异号时,它们的比值为负,即当α是某第一、三象限角时,tanα＞0;当α是第二、四象限角时,tanα＜0.规律总结:记忆三角函数值在各象限的符号的方法很多,下面介绍一种利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.上述口诀表示,第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.4.公式一由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等,由此得一组公式.(公式一)Sin(α+k·2π)=inαco(α+k·2π)=coαtan(α+k·2π)=tanαk∈Z.利用公式一,可以把求任意角的三角函数值转化为求0到2π角的三角函数值.活学巧用1.已知角α的终边经过点P(3a,-4a)(a≠0),求inα,coα,tanα.解析：某=3a,y=-4a,∴r=(3a)2(4a)2=5|a|(a≠0).(1)当a＞0时,r=5a,α是第四象限角.4某3a3y4a4y4a=,coα==,tanα=.5r5a5某3a3r5a434(2)当a＜0时,r=-5a,α是第二象限角,inα=,coα=,tanα=.553434答案：inα=±,coα=±,tanα=.553inα=2.在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围,并由此写出角α的集合.(1)inα≥31;(2)coα≤-.2231,coα=-的角的终边,然后根据已知条件确定出角α终边的22解析：作出满足inα=范围.(1)作直线y=3交单位圆于A、B两点,连结OA、OB,则OA与OB围成的区域(如图1-2-4阴2的终边的范围,故满足条件的角α的集合为影部分)即为角α{α|2kπ+2≤α≤2kπ+,k∈Z}.331(2)作直线某=-交单位圆于C、D两点,连结OC与OD,则OC与OD围成的区域(如图1-2-522阴影部分)即为角α终边的范围.24故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+3≤α≤2kπ+3,k∈Z}.图1-2-4图1-2-53.确定下列三角函数值的符号.(1)co250°;(2)in(-114);(3)tan(-672°);(4)tan3.解析：(1)∵250°是第三象限角,∴co250°＜0.(2)∵-4是第四象限角,∴in(-4)＜0.(3)∵-672°=-2某360°+48°,而48°是第一象限角,∴-672°是第一象限角.∴tan(-672°)＞0.(4)∵113=2π+53,而53是第四象限角,∴113是第四象限角.∴tan113＜0.答案：(1)-;(2)-;(3)+;(4)-.4.若inθcoθ＞0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解析：由inθcoθ＞0可知inθ与coθ同号,若inθ＞0,coθ＞0,则θ在第一象限;若inθ＜0,coθ＜0,则θ在第三象限.∴θ在第一、三象限.答案：B5.确定下列三角函数值的符号.(1)co2175;(2)in(-760°);(3)tan3.解析：(1)∵co215=co(5+4π)=co5,而5是第一象限角,∴co215＞0.(2)∵in(-760°)=in(-40°-2某360°)=in(-40°),而-40°是第四象限角,∴in(-760°)＜0.(3)∵tan73=tan(3+2π)=tan3,而3是第一象限角,∴tan73＞0.3。

（1）特殊角三角函数值sin0=0sin30=0.5sin45=0.7071 二分之根号2sin60=0.8660 二分之根号3sin90=1cos0=1cos30=0. 二分之根号3cos45=0. 二分之根号2cos60=0.5cos90=0tan0=0tan30=0. 三分之根号3tan45=1tan60=1. 根号3tan90=无cot0=无cot30=1. 根号3cot45=1cot60=0. 三分之根号3cot90=0（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。

（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。

从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。

在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。

在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。

无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2sin135=√2/2sin150=1/2sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0. sin2=0. sin3=0.sin4=0.41253 sin5=0. sin6=0.sin7=0. sin8=0. sin9=0.sin10=0. sin11=0.65448 sin12=0.sin13=0. sin14=0. sin15=0.sin16=0. sin17=0.27367 sin18=0.49474sin19=0.71567 sin20=0.56687 sin21=0.sin22=0.5912 sin23=0.92737 sin24=0.sin25=0. sin26=0.90774 sin27=0.sin28=0.58908 sin29=0. sin30=0.sin31=0.00542 sin32=0.32049 sin33=0.5027 sin34=0.07468 sin35=0.1046 sin36=0.24731 sin37=0.20483 sin38=0.56583 sin39=0.98375 sin40=0.65392 sin41=0.05073 sin42=0.88582 sin43=0.24985 sin44=0.89972 sin45=0.65475 sin46=0.86511 sin47=0.91705 sin48=0.73941 sin49=0.27719 sin50=0.8978 sin51=0.69708 sin52=0.67219 sin53=0.72928 sin54=0.49474 sin55=0.89918 sin56=0.50417 sin57=0.54239 sin58=0.6426 sin59=0.21122 sin60=0.44386 sin61=0.93957 sin62=0.89269 sin63=0.83678 sin64=0.9167 sin65=0.66499 sin66=0.26009 sin67=0.24404 sin68=0.67873 sin69=0.72017 sin70=0.59083 sin71=0.93167 sin72=0.51535 sin73=0.30354 sin74=0.83189 sin75=0.90683 sin76=0.59965 sin77=0.52352 sin78=0.38057 sin79=0.7664 sin80=0.2208 sin81=0.51378 sin82=0.15704 sin83=0.1322 sin84=0.82733 sin85=0.17455 sin86=0.98242 sin87=0.45738 sin88=0.90958 sin89=0.63913sin90=1cos1=0.63913 cos2=0.90958 cos3=0.45738 cos4=0.98242 cos5=0.17455 cos6=0.82733 cos7=0.1322 cos8=0.15704 cos9=0.51378cos10=0.2208 cos11=0.7664 cos12=0.38057 cos13=0.52352 cos14=0.59965 cos15=0.90683 cos16=0.83189 cos17=0.30355 cos18=0.51535 cos19=0.93168 cos20=0.59084 cos21=0.72017 cos22=0.67874 cos23=0.24404 cos24=0.26009 cos25=0.66499 cos26=0.9167 cos27=0.83679 cos28=0.8927 cos29=0.93957 cos30=0.44387 cos31=0.21123 cos32=0.6426 cos33=0.5424 cos34=0.50417 cos35=0.89918 cos36=0.49474 cos37=0.72928 cos38=0.67219 cos39=0.69709 cos40=0.8978 cos41=0.2772 cos42=0.73942 cos43=0.91705 cos44=0.86512 cos45=0.65476 cos46=0.89974 cos47=0.24985 cos48=0.88582 cos49=0.05074 cos50=0.65394 cos51=0.98375 cos52=0.56583 cos53=0.20484 cos54=0.24731 cos55=0.10462 cos56=0.07468 cos57=0.50272 cos58=0.32049 cos59=0.00544 cos60=0.00001 cos61=0.63371 cos62=0. cos63=0.95468cos64=0. cos65=0. cos66=0.58004cos67=0.92737 cos68=0.59122 cos69=0.cos70=0.56688 cos71=0. cos72=0.cos73=0. cos74=0. cos75=0.cos76=0. cos77=0. cos78=0.cos79=0. cos80=0. cos81=0.cos82=0. cos83=0. cos84=0.cos85=0. cos86=0. cos87=0.cos88=0. cos89=0.72836cos90=0tan1=0. tan2=0. tan3=0.tan4=0. tan5=0. tan6=0.tan7=0.29046 tan8=0. tan9=0.tan10=0. tan11=0. tan12=0.00221tan13=0.55631 tan14=0. tan15=0.11227tan16=0.88079 tan17=0. tan18=0.29063tan19=0. tan20=0. tan21=0.54158tan22=0.51568 tan23=0.96047 tan24=0.85361 tan25=0.49986 tan26=0.58614 tan27=0.44288 tan28=0.14788 tan29=0.2769 tan30=0.96257 tan31=0.75604 tan32=0.93275 tan33=0.75104 tan34=0.24265 tan35=0.97097 tan36=0.53609 tan37=0.27942 tan38=0.67174 tan39=0.50072 tan40=0.72799 tan41=0.62267 tan42=0.78399 tan43=0.76618 tan44=0.70739 tan45=0.99999 tan46=1.05693 tan47=1.46826 tan48=1.91927 tan49=1.10092 tan50=1.421 tan51=1.5051 tan52=1.30785 tan53=1.04098 tan54=1.11733 tan55=1.21144 tan56=1.27403 tan57=1.45827 tan58=1.10506 tan59=1.05173 tan60=1.88767 tan61=1.14235 tan62=1.63318 tan63=1.51503 tan64=2.9296 tan65=2.95586 tan66=2.4215 tan67=2.3753 tan68=2.62946 tan69=2.38023 tan70=2.46216 tan71=2.5822 tan72=3.52526 tan73=3.41404 tan74=3.09087 tan75=3.88776 tan76=4.58455 tan77=4.4153 tan78=4.8456 tan79=5.0307 tan80=5.7707 tan81=6.5041 tan82=7.4207 tan83=8.4593 tan84=9.2587 tan85=11.132 tan86=14.1942 tan87=19.816 tan88=28.5515 tan89=57.9144tan90=无取值。

第三课时： 任意角的三角函数（第3课时） 编写人：潘有金 审核人：张广泉 审批：苏自先 学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式；2.能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明。

预 习 案一、教材助读认真阅读课本P 18 -P 20 ,完成下列问题同角三角函数的基本关系式：———————————————；———————————————二、预习自测（牛刀小试）1.已知sin α=15,且α为锐角，则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 52. 已知sin α=15,则cos α=( )A.45 B .± 45 C. ±5 D. 53.已知cos α=45-,求sin α、tan α的值4.化简下列各式：（1）cos θ·tan θ;(2)222cos 112sin αα--;5.求证：（1）sin 4α-cos 4α=sin 2α-cos 2α;(2) sin 4α+ sin 2α·cos 2α+cos 2α=1.三、我的疑惑在下面记下预习中的困惑在课上和同学讨论或向老师请教第三课时： 任意角的三角函数（第3课时）导 学 案一、学始于疑同学们首先认真独立思考如下问题 问题：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，我们能不能利用单位圆的性质，讨论同一个角的不同三角函数之间的关系？二、质疑探究小组内讨论上述问题，准备展示，将组内不能解决的问题用小纸 条交给老师探究 同角三角函数的基本关系式三、拓展提升例1. 已知sin α=35-,求cos α,tan α的值。

例2.已知tan α=125-,2παπ<<，求sin α，cos α的值。

例3.已知tan α=125-,求sin α，cos α的值。

例4.已知tan α=-2，求下列各式的值： ⑴sin 2cos 2sin 3cos αααα+-； ⑵2sin sin cos ααα+例5.证明：cos 1sin 1sin cos x x x x +=-例6.化简下列各式：⑴（1+tan 2α）·cos 2α;α在第三象限）四、课堂小结将本节课我们学习了如下知识和方法填入下表中五、课堂检测（见多媒体）第三课时： 任意角的三角函数（第3课时）固 学 案让我们独立完成如下问题，以巩固我们的所学1.已知sin α=45,α∈(2π,π),则tan α=( )A.43-B.43C.±43 D. ±342.已知sin α=45,α∈(0,π),则tan α=( )A.43- B.43 C.±43 D. ±343.已知tan α=34,α∈(π,32π),则cos α=( )A. ±45 B. 45 C. 45- D. 354.下列等式中，不成立．．．的是（ ）A.222tan sin 1tan ααα=+ B. 221cos 1tan αα=+C.4422sin cos sin cos αααα-=-D. sin α= 5. 已知tan α=34-,求sin α、cos α的值。

任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。

第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（3）学习目的：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.课堂探究：一、复习引入：1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.2.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan53. .x 取什么值时,x xx tan cos sin +有意义?4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 以上三种情况都可能5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）A ：sin α+cos α<0B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<06． 已知θ是第三象限角且02cos<ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 二、讲解新课：1、求下列函数的定义域：（1）y =（2）2lg(34sin )y x =- 2、已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)cos(sin θ)的符号；（2）若tan(cos θ)cot(sin θ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出2θ的取值范围. 4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ 证明：必要性：∵θ是第三象限角，∴⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ充分性：∵sin θ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上∵tan θ＞0，∴θ是第一或第三象限角.∵sin θ＜0，tan θ＞0都成立.∴θ为第三象限角.5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．三、巩固与练习1 求函数cos sin tan |cot ||sin |cos tan cot xxxx y x x x x =+++的值域2 设α是第二象限的角，且|cos|cos ,222ααα=-求的范围.四、小 结： 五、课后作业：1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：(1) sin α<cos α; (2) |sin α|<|cos α| .2、0,sin tan .2x x x x π<<<<若求证：3、角α的终边上的点P 与A （a,b ）关于x 轴对称(0)ab ≠，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y=x 对称.求sin αesc β+tan αcot β+sec αcsc β的值.。

《任意角的三角函数》教学设计一、 新课导入师：同学们在初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角a 的对边为a ，邻边为b,斜边c ,则有Sina=a c ,cosA=bc ,tanA = ？当a 是一个锐角时，上述正弦、余弦、正切，能否通过a 终边上的点的坐标来定义呢？这种定义能否推广到任意角上呢？三角王国的奥秘无穷无尽，让我们一起来一探究竟吧！二、 讲授新知师：同学们当a 是锐角时，它的终边在第一象限内，如课件第十四页7-2-1所示，在a 终边上任取一个不同于坐标原点的点P （x ，y ），作PM 垂直Ox 于点M ，记r= y?+x?，则△OMP 是一个直角三角形，且OM=x ，PM=y,OP=r,由此可知sin a=OP PM =r y ，cos a=OP OM =r x ， tan a=OM PM =xy ，可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义，如图7-2-2所示，对于任意角a 来说，设P （x ，y)是a 终边上异于原点的任意一点，r=y?+x?，则三角形相似的知识可知r y 与rx ，跟P 在a 终边上的位置师：如图7-2-3所示，在65π的终边上取点P ，使得OP=2.，作PM ⊥Ox,则在RI △OMP 中，∠POM=π-65π=6π，因此MP=1,OM=3，从而可知P 的坐标为（-3，1），因此sin 65π=21，cos 65π=23- tan 65π=33-。

师：既然同学们学会了，那我们来看使锐角a 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ,PM ⊥ x 轴于M,设P(x,y),|OP|=r.如图，那我们可知角a 的正弦、余弦、正切分别等于什么？是不是等于sin a=yr, cos a=xr , tan a=yx 。

接下来对于确定的角a, sin a ，cos a ，tan a 是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？是不是不改变啊，由此我们得知了一个结论:设a 是一个任意大小的角，P （x ，y)是a 终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r=x2+y2>0)，如图，那么(1)称yr 为角a 的正弦，记作sin a ，即sin a=yr ；(2)称xr 为角a 的余弦，记作cos a ，即cos a=xr ；(3)称yx 为角a 的正切，记作tan a ，即tan a=yx.由上可知，对于每一个角a，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当a≠kπ+π2（k ）时，有唯一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正切，都称为a的三角函数。