121任意角的三角函数之三角函数线

一、三角函数线比较大小（1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。

三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。

（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。

特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。

（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。

当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。

（4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。

一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。

三、三角函数线的定义：1.设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线，2.设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cos α=OM，tanα=AT，如下图：3. 注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。

4.设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线，5.设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cos α=OM，tanα=AT，如下图：注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。

1.2.1任意角的三角函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 三角函数的定义】1.任意角的三角函数定义2.三角函数的定义域：【知识点2 三角函数值的符号】第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.【知识点3 诱导公式一】由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：【知识点4 单位圆的三角函数线定义】如图（1）PM表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM表示α角的余弦值，叫做余弦线.如图（2）AT表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.【考点1 三角函数的定义】【分析】根据三角函数的定义，列方程求出m的值．【答案】解：角α的终边上一点(1,)P m，所以0m>，故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．A ．4B ．4±C ．3D ．3±【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m 的值．故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．)【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan α的值．【答案】解：角故选：C ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．【变式1-3】（2019春•牡丹江期末）角α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠，则2sin cos (αα-= )【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得结果． 【答案】解：α的终边上一点(P a ，2)(0)a a ≠， 555a a =，22555a a =，555a a=-，2555a a=-故选：D ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 【考点2 利用象限角判断三角函数的符号】【例2】（2019春•湖北期中）下列命题成立的是( ) A ．若θ是第二象限角，则cos tan 0θθ< B ．若θ是第三象限角，则cos tan 0θθ> C ．若θ是第四象限角，则sin tan 0θθ< D ．若θ是第三象限角，则sin cos 0θθ>【分析】根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．【答案】解：若θ是第二象限角，则cos 0θ<，tan 0θ<，则cos tan 0θθ>，故A 错误， 若θ是第三象限角，则cos 0θ<，tan 0θ>，则cos tan 0θθ<，故B 错误， 若θ是第四象限角，则sin 0θ<，tan 0θ<，则sin tan 0θθ>，故C 错误， 若θ是第三象限角，则sin 0θ<，cos 0θ<，则sin cos 0θθ>，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键． 【变式2-1】（2019春•珠海期末）已知点(sin ,tan )M θθ在第三象限，则角θ在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由题意可得sin 0θ<且tan 0θ<，分别求得θ的范围，取交集得答案． 【答案】解：由题意，00sin tan θθ<⎧⎨<⎩①②，由①知，θ为第三、第四或y 轴负半轴上的角； 由②知，θ为第二或第四象限角． 则角θ在第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题．【变式2-2】（2019春•玉山县校级月考）若sin cos 0θθ<，则θ在( ) A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限【分析】判断三角函数的符号，然后判断角所在象限即可．【答案】解：sin cos 0θθ<，可知sin θ与cos θ异号，说明θ在第或第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的符号的判断，角所在象限，是基本知识的考查． 【变式2-3】（2018秋•安庆期末）式子sin1cos2tan4的符号为( )A．正B．负C．零D．不能确定【分析】由1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，由此可得答案．【答案】解：1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，<，tan40>．∴>，cos20sin10故选：B．【点睛】本题考查三角函数值的符号，是基础题．【考点3 利用诱导公式一判断三角函数的符号】【例3】（2019秋•武邑县校级期中）下列三角函数值的符号判断正确的是()【分析】根据角所在的象限、诱导公式、三角函数值的符号逐项判断即可．【答案】解：A、因为156︒在第二象限，所以sin1560︒>，故A错误；︒=︒+︒=︒，且196︒在第三象限，D、因为tan556tan(360196)tan196所以tan5560︒>，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，及三角函数在各象限的符号的应用，属于基础题．【变式3-1】（2019秋•西陵区校级期末）下列三角函数值的符号判断错误的是() A．sin1650︒<︒>D．tan3100︒>B．cos2800︒>C．tan1700【分析】直接利用诱导公式化简，判断符号即可．【答案】解：sin1650︒=︒>，正确；︒>，正确；cos280cos800tan1700︒=-︒<，正确；︒>，错误；tan310tan500故选：C．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数值的符号的判断，是基础题．【变式3-2】（2019春•武功县期中）下列值①sin(1000)-︒；④sin2是负值-︒；②cos(2200)-︒；③tan(10)的为()A．①B．②C．③D．④【分析】根据终边相同的角的三角函数值相同，利用三角函数符号判断方法，即可得出结论．【答案】解：①sin(1000)sin1000sin 2800-︒=-︒=-︒>； ②cos(2200)cos2200cos400-︒=︒=︒>； ③tan(10)tan100-︒=-︒<；综上，是负值的序号为③． 故选：C ．【点睛】本题考查了终边相同的角与三角函数符号判断问题，是基础题．【变式3-3】（2019秋•夷陵区校级月考）给出下列各函数值：①sin(1- 000)︒；②cos(2- 200)︒；③tan(10)-；A ．①④B ．②③C ．③⑤D ．④⑤【分析】利用诱导公式分别对五个选项进行化简整理，进而根据三角函数的性质判断正负． 【答案】解：①，sin(1000)sin(2360280)sin 280cos100-︒=-⨯︒-︒=-︒=︒>； ②，cos(2200)cos(636040)cos400-︒=-⨯︒-︒=︒>； ③，tan(10)tan(30.58)tan(0.58)0π-=-+=-<；，πsin2cos3tan40∴<．∴其中符号为负的是：③⑤．故选：C ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，解题时应正确把握好函数值正负号的判定，是基础题． 【考点4 三角函数定义域】【分析】列出使函数有意义的不等式组，即由被开方数不小于零，得三角不等式组，分别利用正弦函数和余弦函数图象解三角不等式组即可【答案】解：要使函数有意义，需解得： （k ∈Z ）即2k π+≤x ≤2k π+π （k ∈Z ）故答案为Z ）【点睛】本题考查了函数定义域的求法，三角函数的图象和性质，解简单的三角不等式的方法 可．【答案】解：函数【点睛】本题考查了函数的概念，三角函数的定义域，解三角函数的不等式，属于中档题． 【分析】由绝对值的特点得到sin α-和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k 的取值． 【答案】解：|sin |sin αα=-，sin 0α∴-， sin 0α∴，由正弦曲线可以得到[2k αππ∈-，2]k π，k Z ∈， 故答案为：[2k ππ-，2]k π，k Z ∈【点睛】本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．【变式4-3】求下列函数的定义域：（2）(2sin1)=-；y lg x【分析】利用函数的定义域以及三角函数线化简求解即可．【答案】解：（1）要使y＝有意义，可得cos x≥0，解得{x|﹣，k∈Z}；（2）要使y＝lg（2sin x﹣1）有意义，可得2sin x﹣1＞0，即：sin x，解得{x|，k∈Z}；（3）要使y＝有意义，可得sin x≠﹣1．所以函数的定义域为：{x|x＝﹣+2kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查三角函数的定义域的求法，三角函数线的应用，考查计算能力．【考点5 利用诱导公式一化简求值】【例5】（2019春•娄星区期中）求下列各式的值：（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒【分析】（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；（1）利用诱导公式进行恒等变形，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；【答案】（本题满分10分）（2）sin1170cos1440tan1845︒+︒-︒sin(336090)cos(43600)tan(536045)=⨯︒+︒+⨯︒+︒-⨯︒+︒ sin90cos0tan45=︒+︒-︒1=．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【变式5-1】求下列各式的值（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒．【分析】由特殊角的三角函数值即可计算得解．1(1)(1)=+-+-1=-．（2）9cos2708cos03tan011sin180︒+︒+︒+︒ 08100=+⨯++ 8=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 【变式5-2】（2019春•船营区校级月考）计算下列各式的值： （1）sin(1395)cos1140cos(1020)sin750-︒︒+-︒︒； tan 4ππ； 【分析】（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． （2）利用诱导公式即可计算得解．【答案】解：（1）原式sin(144045)cos(108060)cos(108060)sin(72030)=-︒+︒︒+︒+-︒+︒︒+︒ sin45cos60cos60sin30=︒︒+︒︒tan 4ππ )0【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题． 【变式5-3】（2019春•平罗县校级期中）求下列各式的值 )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)︒-︒-︒-︒-︒【分析】（1）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可． )cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒-︒=-︒-︒25)sin cos tan 463πππ=+-【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 【考点6 利用三角函数线解不等式】【例6】（2019春•泗县校级月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：【分析】在单位圆中画出三角函数线． （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．【答案】解：在单位圆内作三角函数线如图：（1）∵在[0，2π）内，，OA，OB分别为的终边，由正弦线可知，满足的角的终边在劣弧AB内，∴的解集为{α|}；（2））∵在[0，2π）内，，OC，OD分别为的终边，由余弦线可知，满足的终边在劣弧CD内，∴的解集为{α|}．【点睛】本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，训练了数形结合的解题思想方法，是中低档题．【变式6-1】求下列不等式的解集：【分析】作出单元圆，利用三角函数线进行求解即可．【答案】解：（1）正弦线大于0的角为x轴的上方，对应的角为2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ，2kπ+π），k∈Z．（2）余弦线小于0的角为y轴的左侧，对应的角为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（3）sin x＞对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为（2kπ+，2kπ+），k∈Z．（4）cos x≤﹣对应的区域在阴影部分，对应角的范围为2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，则不等式的解集为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【点睛】本题主要考查三角不等式的求解，利用三角函数的三角函数线是解决本题的关键．【变式6-2】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：（2）tan x≥﹣1．【分析】根据三角函数线分别进行求解即可．【答案】解：（1）作出y＝﹣，交单位圆于B，C，则sin x＞﹣对应的区域为阴影部分，作出x＝，交单位圆于E，D，则cos x＞对应的区域为阴影部分OD，OE之间，则sin x＞﹣且cos x＞对应的区域为OC到OE之间，其中OC对应的角为﹣，OE对应的角为，则阴影部分对应的范围是2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z，即sin x＞﹣且cos x＞对应的范围是{x|2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z}（2）作出正切函数线AT＝﹣1，则tan x≥﹣1对应的区域为阴影部分，OT对应的角为﹣，则阴影部分对应的角的范围是kπ﹣≤x＜kπ+，即不等式的解集为{x|kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z}【点睛】本题主要考查三角函数对应不等式的求解，利用三角函数线是解决本题的关键．【变式6-3】利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．（3）tan x≥﹣1；【分析】作出单位圆，由三角函数值先求出角在[0，2π]内的取值范围，再由终边相同的角的概念加上周期，由此能求出满足条件的角x的集合．【答案】解：（1）由sin x，作出单位圆，如下图，∵sin x，∴，∴满足sin x≥的角x的集合为{x|2kπ+，k∈Z}．（2）由cos x≤，作出单位圆，如下图，∵cos x≤，∴，∴满足cos x≤的角x的集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．（3）由tan x≥﹣1，作出单位圆，如下图，∵tan x ≥﹣1，∴﹣≤x ＜， ∴满足tan x ≥﹣1的角x 的集合为{x |k π﹣，k ∈Z }． （4）由sin x ＞且cos x ＞，作出单位圆，如下图，∵sin x ＞且cos x ＞，∴，∴满足sin x ＞且cos x ＞x 的集合为{x |2k π+，k ∈Z }． 【点睛】本题考查角的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意单位圆和三角函数线的合理运用．【考点7 利用三角函数线比较大小】【例7】比较下列各组数的大小：【分析】（1）根据余弦函数单调性的大小进行比较（2）利用三角函数的诱导公式以及作差法进行比较即可．704π<-cos(π∴-02πα<<则0sin(cos <cos(sin )α222ππ-<【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．【变式7-1】利用三角函数线比较下列各组三角函数值的大小：【分析】根据题意，依次作出各个角的三角函数值对应的三角函数线，进而比较大小即可得答案．【点睛】本题考查的知识点是三角函数线，三角函数值的大小比较，关键是掌握三角函数线的定义．【变式7-2】比较大小：可知：21AT AT >，可知：BD BC >，【点睛】本题考察了诱导公式的化简运用，正切线的画法，属于三角函数线的基础题目．【变式7-3】比较下列各组数的大小：【分析】根据三角函数线进行比较即可．）5 cos7π=在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则余弦线为OM，正弦线为MP，（2）在单位圆中作出对应的三角函数线如图，则正切线为AT，正弦线为MP，则AT MP>，【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数线是解决本题的关键．。

任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。

正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

第二讲任意角的三角函数第一课时三角函数的定义[学习目标]1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号．[知识链接]在初中，我们已经学过锐角的三角函数．如图，在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切分别是什么？答锐角A的正弦、余弦、正切依次为：sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab.[预习导引]1．三角函数的定义如图，在α的终边上任取一点P(x，y)，设OP＝r(r≠0)．(1)定义x r 叫做角α的余弦，记作cos_α，即cos α＝xr；y r 叫做角α的正弦；记作sin_α，即sin α＝yr；y x 叫做角α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx.依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ±π2(k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．(2)有时我们还用到下面三个函数角α的正割：sec α＝1cos α＝rx；角α的余割：csc α＝1sin α＝ry；角α的余切：cot α＝1tan α＝xy.这就是说，sec α，csc α，cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．由上述定义可知，当α的终边在y轴上，即α＝2kπ±π2(k∈Z)时，tan α，secα没有意义；当α的终边在x轴上，即α＝kπ(k∈Z)时，cot α，csc α没有意义．2．三角函数在各个象限的符号3．三角函数的定义域经典例题要点一三角函数定义的应用例1 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋3cos α的值．解由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x ＝k，y＝－3k，r＝k23k2＝10|k|.(1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角，sin α＝yr＝－3k10k＝－31010，1 cos α＝rx＝10kk＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k<0时，r＝－10k，α为第二象限角，sin α＝yr＝－3k－10k＝31010，1 cos α＝rx＝－10kk＝－10，∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.规律方法在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值为sin α＝ba2＋b2，cos α＝aa2＋b2，tan α＝ba.跟踪演练1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.答案－8解析因为sin θ＝y42＋y2＝－255，所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.要点二 三角函数值符号的判断 例2 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5； (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． 解 (1)∵π2<3<π<4<3π2<5<2π， ∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.规律方法 由三角函数的定义知sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x(r >0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P (x ，y )的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键． 跟踪演练2 已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 答案 C解析 ∵cos θ·tan θ<0， ∴⎩⎨⎧ cos θ<0，tan θ>0或⎩⎨⎧cos θ>0，tan θ<0.由⎩⎨⎧ cos θ<0，tan θ>0，得角θ为第三象限角．由⎩⎨⎧cos θ>0，tan θ<0，得角θ为第四象限角．∴角θ为第三或第四象限角． 要点三 三角函数的定义域 例3 求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋cos xtan x；(2)y ＝－cos x ＋sin x .解 (1)要使函数有意义，须tan x ≠0， 所以x ≠k π＋π2，k ∈Z 且x ≠k π，k ∈Z ，所以x ≠k π2，k ∈Z . 于是函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z .(2)要使函数有意义，须⎩⎨⎧－cos x ≥0，sin x ≥0，得⎩⎨⎧2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .解之得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 规律方法 求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：(1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在底数位置时大于零且不等于1.跟踪演练3 求函数y ＝tan x ＋1sin x的定义域．解由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2k ∈Zsin x ≠0得⎩⎨⎧x ≠k π＋π2k ∈Zx ≠k πk ∈Z因而x的终边不在坐标轴上，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2，k ∈Z .1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( ) A.45 B.35C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45. 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D.32答案 A解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3，∴r ＝2，∴cos α＝12.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( ) A ．－34 B.34C.43 D ．－43 答案 D 解析 ∵cos α＝332＋y 2＝35，∴32＋y 2＝5， ∴y 2＝16，∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．如果sin x ＝|sin x |，那么角x 的取值集合是________． 答案 {x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }第二课时单位圆与三角函数线[学习目标]1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．[知识链接]1．什么叫做单位圆？答以坐标原点为圆心，以一个单位长度为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆(注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米)．2．带有方向的线段叫有向线段．有向线段的大小称为它的数量．在坐标系中，规定：有向线段的方向与坐标系的方向相同．即同向时，数量为正；反向时，数量为负．[预习导引]1．三角函数的定义域正弦函数y＝sin x的定义域是R；余弦函数y＝cos x的定义域是R；正切函数y＝tan x的定义域是{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x 轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.典型例题要点一 利用三角函数线比较大小 例1 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．解 如图，sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′. 显然|MP |>|M ′P ′|，符号均为正， ∴sin2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号均为负，∴cos 2π3>cos 4π5； |AT |>|AT ′|，符号均为负，∴tan2π3<tan 4π5. 规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负． 跟踪演练1 利用三角函数线比较a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7的大小． 解如图，在单位圆O 中分别作出角5π7的正弦线M 1P 1和2π7的余弦线OM 2、正切线AT .由5π7＝π－2π7知M 1P 1＝M 2P 2， 又π4<2π7<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2， ∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c .要点二 利用三角函数线解不等式例2 利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32.解 (1)如图①，作直线y ＝32交单位圆于点P 、Q ，连接OP 、OQ ，则OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)，故满足条件的角θ的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)如图②，作直线x ＝12和x ＝32分别交单位圆于点M ，N ，P ，Q ，连接OM 、ON 、OP 、OQ ，则OM 、ON 、OP 、OQ 与单位圆围成的区域即为角θ的终边的范围(阴影部分)．故满足条件的角θ的集合为θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z .规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪演练2 已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，若α∈[0,2π)，求α的取值范围．解 ∵点P 在第一象限内， ∴⎩⎨⎧sin α－cos α>0，tan α>0，∴⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.结合单位圆(如图所示)中三角函数线及0≤α<2π. 可知π4<α<π2或π<α<5π4.要点三 利用三角函数线求函数的定义域例3 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域．解 由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎨⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z . 规律方法 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪演练3 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域．解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )， 即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫n π－π3，n π＋π3 (n ∈Z ).1．角α(0<α<2π)的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦值的符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4答案 D2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT答案 C3．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B4．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：(1)sin 2π3________sin 3π4； (2)cos 2π3________cos 3π4； (3)tan 2π3________tan 3π4. 答案 (1)> (2)> (3)<解析作出2π3和4π5的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得： sin 2π3＝MP >sin 3π4＝M ′P ′； cos 2π3＝OM >cos 3π4＝OM ′； tan 2π3＝AT <tan 3π4＝AT ′.。

1.2任意角的三角函数知识梳理1.任意角的三角函数(1)定义：如图1-2-1所示，α是一个任意大小的角，以α的顶点O 为坐标原点，以α的始边为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边上任意一点，它到原点的距离|OP|=r ，则有r=22y x +，规定：图1-2-1sinα=r y ,cosα=r x ;tanα=xy ;cotα=y x ;secα=xr;cscα=y r . 对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、余割值与之对应，所以这六个对应法则都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，这六个函数统称为三角函数. (2)定义域正弦函数sinα的定义域是R ；余弦函数cosα的定义域是R ； 正切函数tanα的定义域是{α|α≠kπ+2π,k ∈Z }. 2.三角函数值的符号(1)用图形表示：如图1-2-2所示,图1-2-2(2)用表格表示 x 的终边 x 轴正半轴 第一象限 y 轴正半轴 第二象限 x 轴负半轴 第三象限 y 轴负半轴 第四象限 sinα 0 + + + - - - - cosα + + 0 - - - 0 + tanα+不存在-+不存在-(3)三角函数值在各象限的符号的记忆方法：三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”. 其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数). 3.单位圆与三角函数线(1)单位圆：圆心在原点O ，半径等于1的圆称为单位圆. (2)三角函数线如图1-2-3，设单位圆与x 轴正方向交于A 点，与角α的终边交于P 点(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x 轴的正半轴重合).图1-2-3过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点，这样就有sinα=MP ，cosα=OM ，tanα=AT.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.当角α的终边落在x 轴上时，M 与P 重合，A 与T 重合，此时正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，O 与M 重合，余弦线变成一个点，过A 的切线平行于y 轴，不能与角α的终边相交，所以此时正切线不存在.(3)三角函数线的方向表示三角函数值的符号：(如图123)正弦线、正切线的方向同y 轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x 轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值. 4.同角三角函数的基本关系(1)基本关系式：sin 2α+cos 2α=1；tanα=ααcos sin . 还可以了解下面关系式(不要求掌握)： 1+tan 2α=sec 2α；1+cot 2α=csc 2α;cotα=ααsin cos ； tanα·cotα=1;sinα·cscα=1;cosα·secα=1. (2)基本关系式成立的条件：当α∈R 时，sin 2α+cos 2α=1成立； 当α≠kπ+2π(k ∈Z )时，ααcos sin =tanα成立.(3)基本关系式的变形sin 2α+cos 2α=1的变形：1=sin 2α+cos 2α；sin 2α=1-cos 2α；cos 2α=1-sin 2α；sinα=±α2sin 1-；cosα=±α2sin 1-. tanα=ααcos sin 的变形：sinα=cosαtanα；cosα=ααtan sin . 5.诱导公式(1)α与2kπ+α(k ∈Z )的三角函数间的关系： cos(2kπ+α)=cosα,sin (2kπ+α)=sinα,tan (2kπ+α)=tanα. (2)α与-α的三角函数间的关系：cos(-α)=cosα,sin (-α)=-sinα,tan (-α)=-tanα.(3)α与(2k+1)π+α(k ∈Z )的三角函数间的关系：cos ［(2k+1)π+α］=-cosα,sin ［(2k+1)π+α］=-sinα,tan ［(2k+1)π+α］=tanα. 特别地：cos(π+α)=-cosα,sin (π+α)=-sinα,tan (π+α)=tanα.(4)α与2π+α的三角函数间的关系： cos(2π+α)=-sinα,sin (2π+α)=cosα,tan (2π+α)=-cotα.(5)α与2π-α的三角函数间的关系：cos(2π-α)=sinα,sin (2π-α)=cosα,tan (2π-α)=cotα.知识导学1.学好本节要复习初中学过的锐角三角函数，本节是锐角三角函数的补充和延伸.2.善于利用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解决三角问题.3.在运用诱导公式时，要仔细体会其中的转化与化归的数学思想，并在解题过程中自觉应用.4.诱导公式的记忆方法(1)(2)(3)组可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名改变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号.(4)(5)组可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切.“符号看象限”同上. 因为任意一个角都可以表示为k·2π+α(其中|α|＜4π)的形式，所以以上五组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0—4π之间角的三角函数求值问题.2kπ+α、-α、(2k+1)π+α、2π+α、2π-α(k ∈Z )都可以化为k·2π+α的形式，则这五组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k·2π+α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，口诀中的奇偶指k 的奇偶. 5.诱导公式的选择方法：先用-α化为正角，再用2kπ+α(k ∈Z )化为［0,2π)内的角，然后用π+α，2π+α化为锐角的三角函数，还可继续用2π-α化为［0，4π)内的角的三角函数.由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角(或更小角)的三角函数，也就是说：诱导公式真是好，负化正后大化小. 疑难突破1.在三角函数定义中，为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小？剖析:很多同学对此产生质疑，突破这个疑点的途径是联系相似三角形的知识来分析.设P 0(x 0、y 0)是角α终边上的另一点，|OP 0|=r 0，由相似三角形的知识可知，只要点P 0在α终边上，总有r y =00r y ,r x =00r x ,y x =00y x ,x y =00x y ,y r =0y r ，x r =00x r .因此所得的比值都对应相等，所以三角函数值只依赖于角α的终边的位置即α的大小，而与点P 在角α终边上的位置无关.2.三角函数线有何作用？剖析:难点是学习了三角函数线后，感到三角函数线没有什么用处，其实不然.其突破的路径是从形的角度看待三角函数线，三角函数线是当点P 为终边与单位圆交点时，三角函数值的直观表达形式.三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到特殊的应用过程；用三角函数线表示三角函数反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法.三角函数在各象限的符号，除从各象限点的坐标的符号及结合三角函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的三角函数线的方向记忆.三角函数线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础. 例如：求函数y=log 2(sinx)的定义域. 思路解析:转化为解不等式sinx ＞0.答案:要使函数有意义，x 的取值需满足sinx ＞0. 如图1-2-4所示，MP 是角x 的正弦线，图1-2-4则有sinx=MP ＞0.∴的方向向上.∴角x 的终边在x 轴的上方. ∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k ∈Z ).即函数y=log 2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π),k ∈Z .由以上可看出，利用三角函数线数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具，要注意通过平时经验的积累，掌握其应用.。