江苏省启东中学人教A版高中数学必修4教案(无答案)：121任意角的三角函数

§1.2.1第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x 轴交x 轴于点M ，则请你观察: 根据三角函数的定义：|||||sin |MP y ；|||||cos|OM x 随着在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x 同理,当角的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sinMP y 4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）. 5.如何用有向线段来表示角的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有O x ya 角的终P TMAtany AT x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42，试比较,tan ,sin ,cos 的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念. (2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来. (3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】二、作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器) (1)sin15、tan15（2）'cos15018、cos121（3）5、tan 52．练习三角函数线的作图.。

第3课时 §1.1 任意角的三角函数（1）【教学目标】一、知识与技能1、掌握任意角的三角函数的定义，理解α角与β=2k π+α(k ∈Z)的同名三角函数值相等。

2、掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

3、通过启发根据三角函数的定义，确定三角函数在各象限的符号，并熟练地处理一些问题。

二、过程与方法三、情感态度价值观教学重点难点：三角函数值的符号判断【教学过程】一、任意角的三角函数1．设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 2．比值r y 叫做α的正弦 记作：ry =αsin ; 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αc o s 比值x y 叫做α的正切 记作：xy =αt an ; 比值y x 叫做α的余切 记作： y x =αc o t 比值x r 叫做α的正割 记作：x r =αsec ; 比值y r 叫做α的余割 记作： y r =αcsc 注意几个问题：① 角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

② 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。

③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定⑤定义域：αααt a n c o s s i n ===y y y )(2Z k k R R ∈+≠ππα αααc s c s e c c o t ===y y y )()(2)(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παππαπα 例1、 已知α的终边经过点P(2,-3)，（1）求α的六个三角函数值（2）求2sin α+cos α的值若点P 为(2a,-3a)(a ≠0)呢？例2、 求下列各角的六个三角函数值（1） 0 （2） π （3）23π （4） 2π二、三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值y r对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．y y y + + - + - +x x x - - - + + -sin α csc α cos α sec α tan α cot α说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

“任意角的三角函数”教学设计一、教学内容解析在角由“锐角”到“任意角”的推广过程中,研究的视角由“静态”到“动态”,同时研究的平台也由“平面图形”过渡到了“平面直角坐标系”.借助直角坐标系研究角,一方面引入象限角,使“角”的研究统一转化为“转动的边”的研究；另一方面也提供了用代数方法研究几何的思路.“任意角三角函数” 是“锐角三角函数”概念的因袭和扩张，但为什么要作这样的推广呢？更合适的理由是任意角三角函数是描述周期变化为重要数模型。

任意角三角函数是函数的下位概念,是刻划圆周运动规律的重要数学模型.“任意角三角函数”在圆周运动中,最基本、简单的情形是质点P 绕着单位圆的圆心作匀速圆周运动,在此运动中,关键是抓住质点P 的坐标（x ,y ）随旋转角θ的变化而变化的函数关系.这种关系是确定的,至于如何更好地表达,合理的命名是非本质的内容.由于当角θ为锐角时,y 是θ的正弦,x 是θ的余弦,xy是θ的正切,因此可以以此为据,推广到任意角相应的三角函数定义. 引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,因此定义侧重几何的角度,利用相似直角三角形的性质,得到锐角和三角形边与边的“比值”之间的确定关系；而引入任意角三角函数的概念,目的是为了研究周期变化现象,因此定义侧重代数的角度,在直角坐标系下,以单位圆为工具,得到角和它的终边与单位圆的交点坐标之间的确定关系.两者同时都是函数的下位概念,在弧度制下,归结为数集到数集的映射.教材中对任意角三角函数的定义有两种——单位圆的定义和欧拉的传统定义[1].从任意角三角函数的使命看,单位圆的定义显得形式简单,便于研究性质,同时借助圆周运动可以更直观地体现函数的周期性,某种意义上说,任意角三角函数就是圆的性质的几何表示.但两个定义本质相同,相互之间一点就通.二、教学目标解析1．理解任意角三角函数的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值； 3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值； 4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．三、教学问题诊断分析1．三角函数是一类特殊的函数,因此本节课侧重于在一般函数概念的指导下组织教学,让学生知道三角函数的是角与坐标（或比值）之间的对应关系.学生虽有锐角三角函数的概念,但其认识只停留在三角函数是反映直角三角形的角与边之间关系的层面上,有必要让学生从角与比值的对应角度重新认识.2．锐角三角函数到任意角三角函数的推广,并非简单的特殊到一般意义上的推广,而是观念角度的变化,需要将直角三角形为载体的几何定义方式转化为以直角坐标系为载体的坐标定义方式.3．将终边上的任意一点化归到单位圆上的点,不仅是求简,更是三角函数本质的体现,但学生的理解很难到位,需要在今后的学习中循序渐进.4．在弧度制下（用单位圆的半径度量角）实现角的集合与实数集的一一对应,再实现数到坐标的对应,会造成一定的理解困难,为了突出重点,分散难点,本节课暂时不作过度的解释.四、教学过程设计 (一)情景引入游乐场内有一半径r=1米的摩天轮，中心位置O 距地面2米，点P 从初始位置A 出发（与O 处于同一水平位置），随着摩天轮逆时针转动5πα=后，相对于地面的高度H 为多少？当3,4παπα==呢？当旋转任意角α时，H 又如何用α表示呢？设计意图：让学生清楚要用函数表示圆周运动的关键是把握圆周上点的坐标与相应角的数量关系，而研究往往从最熟悉、最简单的情形出发，在任意角是锐角的情形下，学生容易由数想形，构造直角三角形，并进一步由“特殊到一般”来猜想当锐角推广到任意角时结论也成立。

1.2.1 《任意角的三角函数》教学设计 课 题 1.2.1 任意角的三角函数 课 型 新授课 核心素养 培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力重点难点 三角函数的定义；任意角的三角函数在各象限的符号；教法学法 启发式教学，自主探究，合作交流教学过程一、导入课题问题提出：如果旋转轮的半径为r ,圆心O 到地面的高度为h ，主持人的右脚与圆心的交点记为A ，当OA 与水平线所成的角为α时，你能求出点A 到地面的高度吗？二、自主学习1、如图：在ABC Rt ∆中，A sin = A cos = A tan =2、前面我们学习了任意角，如果将A 与原点重合，AC 边与x 轴的非负半轴重合，B 的坐标为 ？设B 到原点的距离为r ，即______==r OB （用B 的坐标表示），你能用B 的坐标表示角A 的三角函数吗？_____tan _____,cos _____,sin ===A A A问题：在OB 上移动B 点，角A 的三角函数值会不会改变？3、如果将A 终边上的点B 特殊为让它到原点的距离为单位长度“1”，你能说出点B 的轨迹吗？三、新知点拨单位圆：以 圆心， 为半径的圆叫单位圆设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点中),(y x P ，那么：（1）y 叫做α的正弦，即αsin =y（2）x 叫做α的正弦，即αsin =x（3）x y 叫做α的正切，即αtan =xy 我们把 、 、 统称为三角函数。

四、互动探究 根据上面三角函数的定义，填出下表中三角函数的定义域及各三角函数在每个象限的符号：三角函数 定义域αsinαcosαtanαsin αcos αtan五、新知应用例1：求π35的正弦、余弦和正切值学以致用1：求π47的三角函数值。

例2：已知角α的终边经过点P (－3,-4)，求角α的正弦、余弦、正切值.一般地，α是一个任意角，）（y x P ,为α终边上的任意一个点，r 为点P 到原点的距离，则： αsin = αcos = αtan = 其中：r =学以致用2：已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＋cos α等于例3 求证：当下列不等式组成立时，角α为第三象限角。

第 3 课时： 1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】： 一、知识与技能1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。

3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神；2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；3.通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。

三、情感、态度与价值观1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。

【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。

难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用),(αr 与用坐标),(y x 均可表示圆周上点P ，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说，● 用怎样的数学模型刻画),(y x 与),(αr 之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是)0(22>+=y x r r 。

当α为锐角时，过P 作x PM ⊥轴，垂足为M ，在OPM Rt ∆中，sin y r α=,cos x r α=,tan yx α=●怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？一般地，对任意角α，我们规定：（1）比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；【说明】：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Zπαπ=+∈时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyxα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值yr、xr、yx、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。

4-1.2.1 任意角的三角函数（二）方案二：【学情分析】：（适用于平行班）三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，……可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.【教学目标】：（1）复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；（2）掌握利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，对三角函数的定义域、值域有更深的理解；（3）能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题，如利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围；（4）培养学生善于观察、勇于探索的数学能力，学习转化思想，提高解题能力.【教学重点】：三角函数线的作法及其简单应用.【教学难点】：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.【教学突破点】：通过对有向线段的复习，分解教学难点，同时引导学生动手画图操作，通过观察、分析，获得新知.【教法、学法设计】：（1）教法选择：“引出问题、温故知新、分解难点、引导讨论、巩固应用”——启发式教学（2）学法选择：类比，达到知识迁移；动手实验，以理解知识；分析讨论，学会应用知识.【课前准备】：课件教学环节教学活动设计意图一、复习回顾1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.巩固上节课内容，并为本节课的学习作铺垫二、设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl=α，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径.特别地, 当r =1时，l=α,此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速的探索出三角函数值的几何形式.起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.六、巩固训练，提高能力例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）3π；（2）136π-．学生先做,然后投影展示一个学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.解：图略．例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)32sinπ与54sinπ;(2) cos32π与cos54π; (3) tan32π与tan54π解：如图可知：32sinπ>54sinπcos32π>cos54πtan32π< tan54π学生先做，教师引导学生利用三角函数线解题，并投影展示一个学生作品，强调数形结合思想．例3利用三角函数线画出适合下列条件的角α的终边：（1）21sin=α；（2）21cos-=α；（3）1tan=α.共同分析（1），设角α的终边与单位圆交于P(yx,),则αsin=y,所以要作出满足21sin=α的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为21的巩固练习,准确掌握三角函数线的作法.巩固新知，提高运用知识的能力体会三角函数线的用处和实质.逆向思维,灵活运用三角函数线,并为利用三角函数线求解三角函数不等式(组)作铺垫.oBAT2T1P2 P1M2M1。

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1.2。

1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2)理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一;（5）树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】重点： 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解。

【教学过程】 一、【创设情境】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾.数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？如图，设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合，那 么它的终边在第一象限。

在α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点的距离0r =>.过P作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α==；cos OM a OP r α==； tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α,这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r=的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:sinMPbOPα==; cosOMaOPα==; tanMP bOM aα==。

过P 作x 轴的垂线，垂足为 长线交与点 过点昇(1,0)作单位圆的切线，它与角Q 的终边或其反向延4-1.2. 1任意角的三角函数(二)教学目的：知识目标：1•复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2. 利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3. 利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

能力目标：常握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有 更深的理解。

德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。

教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。

教学过程：一、复习引入：1. 三角函数的定义2. 诱导公式sin(2比r + a) = sin a{k e Z) cos(2k 兀 + a) = cos a(k G Z) tan(2^ + a) = tan a(k e Z) 练习1. tan600°fi<l 值是.D A. ------- 3B.—C.-V3D.V3 3 练习2. 若 sin cos > 0,则. BA.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限练习3. 若cosO > 0,且sin2& < 0则0的终边在C二、讲解新课:当角的终边上一点尸任丿)的坐标满足閉孑 =1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的儿 何表示一一三角函数线。

1・有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

有向线段：带有方向的线段。

2. 三角函数线的定义： 设任意角O 的顶点在原点0,始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(xj),A.第一象B.第三象限C.第四象限D.第二象限 I rv由四个图看出：当角a 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM = x.MP = y,于是有• y y xx 小， y MP AT “ sin<7 = —= — =y = MP , cos a = — = — = x = OM , tana = — = ----------------- = ------ -AT r 1 r 1 x OM OA我们就分别称有向线段MP.OM.AT 为正弦线、余弦线、正切线。

任意角的三角函数（第一课时）教学设计情感、态度和价值观（1）培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；（2）通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂，培养学生团队合作的意识；（3）通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力.4.教学重点、难点分析教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程.5.教学过程设计【环节1：创设情境，引入新课】我们知道，函数是刻画客观世界变化规律的数学模型.在数学必修一中，我们学习了指数函数、对数函数、幂函数等，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律.那么，在数学中又如何刻画客观世界中的周期性变化规律呢？本章的章题是《三角函数》，三角函数到底是一种怎样的函数？下面我们就来研究这个问题.设计意图：通过章题，自然的引入本节课的新课，用指数函数，对数函数，幂函数的概念引导三角函数研究的思想.那么，三角函数到底是一种怎样的函数？让学生感受必修一与必修四课本之间的相通性，并体会到数学来源于生活；从而激发学生的学习兴趣.【环节2：温故知新】1.在直角三角形中定义锐角三角函数师：初中，我们在直角三角形中学习的锐角α的正弦、余弦、正切是如何定义的？生：初中定义对边与斜边的比值为正弦，记做sinα，邻边与斜边的比值为余弦，记做cosα，对边与邻边的比值为正切，记做tanα.师：这是借助直角三角形这一工具，对锐角三角函数进行了定义.到了高中，我们前面通过直角坐标系研究了角.今天，我们通过直角坐标系，对任意角的三角函数进行深入的研究.设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.师生活动：教师提出问题，学生口头回答，然后教师借助PPT ，展示直角三角形.【环节3：提出问题，探究新知】2.在直角坐标系中利用终边上的点的坐标表示锐角三角函数师：随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？ 生：直角坐标系.设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研究的基础.师生活动：师生共同回忆任意角的内容.师：对于锐角α都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究？师：设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.既然建立了坐标系，自然离不开坐标，若知道角终边上一个点的坐标，你能表示出锐角α的三角函数值吗？生：在α的终边上取一个点（或者通过直角三角形）.师：在锐角α的终边上任取一点(,)P x y ，它与原点O 的距离为220r x y =+>，你能用点P的坐标及r来表示锐角α的三角函数吗？生：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y，则sinMP yOP rα==，cosOM xOP rα==，tanMP yOM xα==.设计意图：把锐角α放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般化做铺垫.师生活动：教师在直角三角形所在平面上建立适当的坐标系，画出锐角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数.师：通过点P的坐标，表示出了锐角α的三角函数值，那么，当点P在锐角α的终边上移动时，坐标发生改变吗？生：当点P在锐角α的终边上移动时，坐标发生改变.师：当锐角α确定，如果改变锐角α的终边上的P点的位置，锐角α的三角函数值会发生改变吗？生：不发生改变.师：我们先考虑一个特殊角，45终边上的点有什么特点？生：横纵坐标相等.师：问（2,2），（4,4），（6,6）的正弦，余弦，正切值.生：正弦值都为22，余弦值都为22，正切值都为1.师：由此可以看出，当锐角α确定，如果改变锐角α的终边上的P点的位置，锐角α的三角函数值不会发生改变.为什么？生：由OMP ∆∽OM P ''∆sin cos tan MP M P OP OP OM OM OP OP MP M P OM OM ααα''==''=='''=='师:当α给定时，选取α终边上除原点以外的任意一点.三角函数值是确定不变的. 设计意图：由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.师生活动：先由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明.3.在直角坐标系中利用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数师：我们在直角坐标系中通过角终边上点的横纵坐标与该点到原点的距离比值表示了锐角三角函数.数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点P 的位置无关，那么我们能否进一步，选取一个特殊的距离，使得用P 点的某个坐标直接表示三角函数值，进而将sin α和cos α的表达式简化？生：当P 点到原点的距离为1.师：即当1r =时，我们得到α的三角函数值直接用坐标表示.设计意图：通过问题的形式过渡，得出sin cos αα和的简化形式，体现简约思想，并为引出单位圆奠定基础.师生活动：教师提出问题后，学生进行讨论，如果学生能回答出使P点到原点的距离为1，教师在此给出单位圆的定义，若学生想不到，教师引导学生分析表达式的比值形式，看怎样能更简洁，学生通过分析，可发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.师：到原点距离为1的所有点，可以构成什么图形？生：圆.师：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 设计意图：自然得出单位圆的概念，同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上P点有对应关系.师生活动：通过问题的设置引发学生思考，如何取适当点而将表达式简化，学生回答后教师点评补充，同时利用几何画板帮助学生更直观地看到单位圆的图象. 学生加深对单位圆的理解.师：由此我们得到了在直角坐标系中用单位圆上的点的坐标表示锐角三角函数.sin cos tan MP yy OP r OM xx OP r MP y OM xααα=== === ==师：在锐角α的终边上改变P点的位置，三角函数值不发生变化，那么，什么变化才会引起三角函数值变化呢？生：角的变化.师：当锐角α发生变化时，终边与单位圆的交点(,)P x y的坐标会发生相应的改变吗？生：会发生改变.师：当锐角α确定了，终边与单位圆的交点(,)P x y的坐标是否唯一确定？生：唯一确定.师：锐角α与坐标分量锐角,x y 分别有什么样的对应关系呢？能否构造出函数？ 生：锐角α和变量,x y 有两个对应关系.对于任意一个锐角α都有唯一确定的横坐标x 与之对应；对于任意一个锐角α都有唯一确定的纵坐标y 与之对应.设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是准确理解三角函数概念的关键.师生活动：教师引领学生分析对任意的锐角α，其终边都会与单位圆交于唯一的一点P ，而点P 的坐标(,)x y 也是唯一的.师：对于任意一个锐角α都有唯一确定的横坐标x 与之对应；对于任意一个锐角α都有唯一确定的纵坐标y 与之对应.能给这两个函数命名吗？生：分别为锐角α的正弦函数和余弦函数.师：设α为任意锐角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么：（1）y 叫做锐角α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；（2）x 叫做锐角α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；（3）y x叫做锐角α的正切，记作αtan ，即tan y x α=. 师：既然是函数，锐角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的自变量是什么？以什么为函数值呢？生：锐角α是自变量，坐标分量或坐标的比值为函数值的函数.师：锐角的正弦、余弦、正切都是以锐角为自变量，以角的终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.师：锐角α是实数么？生：是，锐角α的弧度数是个实数.师：所以锐角α的三角函数是以实数为自变量，以锐角α的终边与单位圆上的交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好基础.师生活动：让学生体会锐角三角函数中的自变量和函数值之间的依存关系，体会函数的概念.4.在直角坐标系中利用单位圆定义任意角的三角函数师：到此，我们用角终边上点的坐标重新定义了锐角三角函数.然而到了高中，我们将角推广到了任意角.对于任意角，有斜边吗?生：任意角，没有斜边.师：对于任意角，都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置任意角α？ 生：将任意角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.师：对于任意角，其终边定与单位圆有唯一交点，从而能形成函数关系.由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？【环节4：探究概念】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P ，那么：（1） y 叫做α的正弦，记作αsin ，即sin y α=；（2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；（3）y x叫做α的正切，记作αtan ，即tan (0)y x x α=≠ 师：此时，三角函数值依然都为正值吗？生：不是.师：它们的自变量是什么？生：是任意角α.师：由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，角α的三角函数就可以看成以实数为自变量的函数.例如，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有唯一确定的弧度数，这是一个实数，所以三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，即53sin 3251cos 325tan 33y x y xπππ==-====- 【环节6：课堂练习】教材15页练习第一题.练习1：利用三角函数的定义求76π的三个三角函数值. 设计意图：例1和练习1是根据定义求一个角的三角函数值.需要先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，在由定义得解.这两道题的目的是为了巩固任意角三角函数的定义. 师生活动：先通过讨论确定利用定义解题的思路，然后由学生自主完成例1及练习第1题.【环节7：例题演练】例2： 已知角α的终边经过点)4,3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值. 分析：如图所示，由OMP ∆∽00P OM ∆可求出相应的三角函数值.解：由已知可得：5)4()3(220=-+-=OP如图所示，设角α的终边与单位圆交于点),(y x P .分别过点P 、0P 作x 轴的垂线MP 、00P M ，则OMP ∆∽00P OM ∆于是x OM OM yMP P M -==-==,34000，.34cos sin tan ;531cos ;541sin 00000===-=-=-===-=-=-===αααααx y OP OM OP OM x x OP P M OP MP y y。