《121任意角的三角函数(二)》课件

解: ∵x＝ -3, y＝- 4,
r ( 3) ( 4) 5.
2 2
y
O
y 4 sin 4; r 5 5
cos x 3 3 ; r 5 5
y 4 4 tan . x 3 3
主页
x
P0
1. 2. 1任意角的三角函数 (一)
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 新课引入
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 问题探索
10m
300
O
20m
. P
问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现 在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针 转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？ 60秒? 主页
P1

o
M1 M x
结论:三个比值都不会随点P在α终边上的位置 变化而改变.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一)
【探究1】比值 b , a , b 是否因为P (a, b)点在终
r r a
边上的位置发生变化而变化？
当 r 1 时,
sin MP OP cos OM OP
y
b;
【6】角α的终边过点 P (-b, 4), 且cosα= 则 b 的值是( A ) A. 3
【解析】 r
3, 5
B. -3
b 2 16,
C.±3
D. 5
b 3 , cos x r 5 b2 16
解得 b = 3.
主页
1. 2. 1任意角的三角函数 (一)
1. 2. 1任意角的三角函数 (一) 问题探索
P1

于第一或第三象限。 因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x

48∘ 是第一象限角.
∴ tan(−672∘ ) > 0;
(4) ∵ tan3 = tan( + 2) = tan，而的终边在轴上，
∴ tan = 0．
课堂活动五（分组协作讨论）
确定下列各式的符号：
(1)2−2； (2)345．
解：(1) ∵ 2是第二象限角，∴ 2 < 0，
与间是否分别相等？
终边相同的角的同一三角函数值相等
sin(2 + )=
(2 + )=
tan(2 + )=
其中 ∈
应用
新知
课堂活动四（分组协作讨论）
1.确定下列三角函数的符号：

0
（1）250
（2）cos −
4
（3）(−672)0 （4）tan 3
(1)原式= (−4 + ) +

sin(360° − 30∘ ) ⋅ tan(−4 − )
13

7
6

+ )
3
⋅ 4 − (4

1 1
= sin − cos = − = 0
6
3 2 2
=
3
5
cos(−4 + 6 ) ⋅ cos 2 × 360° − 30∘
1.本题考查了三角函数值的符号，准确判断角的终边的
位置是解决问题的关键．
2.对于(3)、(4)需要利用共终边角转化再判断角度所在
象限或者轴线角.
解：(1) ∵ 250∘ 是第三象限角.
∴ cos250∘ < 0

(2) ∵ − 是第四象限角.
4

−
4
∴ sin

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首页 例2、若0 , 试比较 sin , tan ,的 2 教学过程 大小.
引入 进行 小结 作业
G S P
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首页 例1、作出下列各角的正弦线, 余弦线, 正 切线 : 教学过程 5 (1) ; ( 2) ; 引入 3 6 进行 2 13 小结 (3) ; ( 4) ; 3 6 作业
EXIT
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2、求下列三角函数值 :
(1) sin( 1050 );
0
19 ( 2 ) tan . EXIT 3
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首页 三角函数的几何意义 :
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三角函数线
G S P G S P
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引入 进行 小结 作业
教学过程
§ 1.2.1 任意角的三角函数 (二)

反思与感悟
利用诱导公式一可把负角的三角函数
化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三
角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化
正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.
明目标、知重点
跟踪训练3
求下列各式的值：
23π
(1)cos－ 3 ＋tan


解
17π
4 ；
π

π

原式＝cos3＋－4×2π＋tan4＋2×2π
角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广
后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角
函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
明目标、知重点
探究点一 锐角三角函数的定义
思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知
a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B，sin B，
反思与感悟
准确确定三角函数值中角所在象限是基
础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问
题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、
四余弦”来记忆.
明目标、知重点
跟踪训练2
已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( C )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
明目标、知重点

； 叫做α的正切，记作

②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则



2
2


x
＋y

有sin α＝
，cos α＝
，tan α＝

2.确定下列三角函 符数 号值 ：的
(1)sin256;
(2)cos(406);
23
(3)tan .
3
3.角 的终边 P (上 m ,5)且 ,有 co 一 sm (点 m 0),
13
求 sin co 值 s.
小结： 1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域； 3．正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号．
1．2．1任意角的三角函数（1）
问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦, 余弦,正切)的定义吗?
在RtPO中 M
如何 将POM 放到平面直角 坐标系中？
sin PM
P
OP
co sOM OP
tanPM OM

O
M
锐角三角函数
问题2：将POM 放到平面直角坐， 标系中
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
(1)cos 7 ; (2)sin4(6)5; (3)tan11 .
12
3
解： (1) 7 是第二象限角 co， s7所 0.以
12
12
(2) 因为 4652360225,即465是第三象限角，所 sin(465)0.
(3) 因为 1125,即11 是第四象 ,所限 以角

3
；（2）
T P A
2 3
．
y T M
y
o
M (1)
x P
o
(2)
A
x
例题2
求证：当 为锐角时，sin tan ．
练习：P17：1～4 作业：P21: 6～9
这 两 条 与 单 位 圆 有 关 的 有 向 线 段 MP,OM分 别 叫 做 角 的 正 弦 线 和 余 弦 线 .
ta n y x MP OM AT OA AT ,
这 条 与 单 位 圆 有 关 的 有 向 线 段 AT叫 做 角 的 正 切 线 .
例题1
作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线． （1）

ta n
y r
y x
cos
x r
“定义”从代数 的角度揭示了 三角函数是一 个“比值”.
【探索三角函数线】
三种三角函数能否找到一种几何表示呢？
sin y r MP OP M P 正 弦 线
cos
x r

OM OP
OM
余 弦 线
1.2.1 任意角的三角函数
（第二课时）
【目标导学】
要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函 数值，从而使学生对三角函数的定义域、值 域有更深的理解. 重点：用与单位圆有关的有向线段，将任意 角的正弦、余弦、正切值用几何形式表示.
【复习三角函数的定义】
的 终 边
P ( x, y )
y
r
O
r
x
ta n
y x

AT OA
AT 正 切 线

的终边
y P A M o (Ⅱ) y T M o P A (Ⅲ) x T x

(1)sinβ________sinα. (2)cosα________cosβ. (3)tanβ________tanα. 答：(1)> (2)> (3)>
(1)三角函数线的特征：①三角函数线的位置：正弦线 为角α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段，余弦线在x 轴上，正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三 条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外．②三 角函数线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的 交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与 角α的终边或其反向延长线的交点．③三角函数线的正负： 三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴 反向的，为负值．
在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由 此写出角α的集合．
(1)sinα≥ 23；(2)cosα≤－12.
解：直线y＝
3 2
交单位圆于A，B两点，连接OA与OB，则
OA与OB围成的区域(图(1)的阴影部分)即为角α的终边范围．
故满足条件的角的集合为{α|
π 3
＋2kπ≤α≤
2π 3
＋2kπ，k∈
解析：因为π4<1<2π，如图所示：
由三角函数线可得sin1> 22>cos1，故sin1－cos1>0. 答案：>
(2)下列关系式中正确的是( ) A．sin10°<cos10°<sin160° B．sin160°<sin10°<cos10° C．sin10°<sin160°<cos10° D．sin160°<cos10°<sin10°
【解】 如图(1)． ∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12. ∴函数定义域为2kπ－π3，2kπ＋3π(k∈Z)．

课件演示
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x

即 ： M P = s in , O M = co s ,
O P=1
在 O M P中 ， O M +M P>O P
y

P M x
o
即 ： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习： 不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作 出 下 列 各 角 的 三 角 正 弦 线 , 余 弦 线 , 正 切 线 , 并 根 据 三 角 函 数 线 求 它 的 正 弦 值 ,余 弦 值 ,正 切 值 . (1)

4

(2)
4 3
y
T P A M x

4 3

2

s in 1 cos

1 cos s in

证 明 ： 如 图 连 接 AP 在 直 角 CPA中 ，
PCA APM
y

P x MA

2
C
2
o
在 直 角 AM P中 ， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in