高一数学对数

例2:求下列各式中x的值 ：
2 (1) log 64 x 3 (3) lg100 x
(2) log x 8 6
2
(4) ln e x 2 （1）解： ∵ log 64 x 3 2 2 2 3 3 64 3 =x x 64 3Βιβλιοθήκη ( ) 4求真数
2
2. 设 loga2 = m, loga3 = n, 求a2m+3n 的值(a>0, a≠1).
课堂小结
= N b = logaN 其中, a>0, a≠1, N>0, b∈R
b a
负数和零没有对数
求下列各式中 x的范围. (1) log2 ( x 10); (2) log2 x 1 ( x 2); (3) log( x 1) ( x 1) .
2
对数的性质
计算下列各式的值，尝试归纳一些结论： (1) log0.1 0.1 ( 2) log (3) l g1 (5) log3 9 (7 )3
对 数 x loga N , (a 0; a 1);
（不能，这是因为a>0,ax=N>0）
结论：对数式中真数要大于零。
（也就是说零和负数没有对数！）
真数大于零
两个重要对数：
1、常用对数： 以10为底的对数
log10 N
简记为
lg N
(e≈2.71828…) 你记住了吗？
2、自然对数： 以e为底的对数
问题剖析

上述有关国民生产总值的实际问题，其本质就 是从方程1.08x=2中求出未知数“x”的值.
即已知“底数”和“幂”的值，求“指数”.


而这个过程，就是“对数”定义产生的依据.

高一数学指数对数的知识点log一、指数的基本概念指数是数学中的一个重要概念，它用来表示某个数相乘的次数。

比如2的3次方表示将2相乘3次，即2 * 2 * 2 = 8。

指数可以是正整数、零或负整数。

其中，正整数指数表示乘方，零指数表示1，负整数指数表示倒数。

二、指数的运算规律1. 乘法规律：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。

例如：2的3次方乘以2的4次方等于2的(3+4)次方，即2^3 × 2^4 = 2^7。

2. 除法规律：a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。

例如：2的5次方除以2的3次方等于2的(5-3)次方，即2^5 ÷ 2^3 = 2^2。

3. 幂的幂规律：(a的m次方)^n = a的(m×n)次方。

例如：(2的3次方)^4 = 2的(3×4)次方，即(2^3)^4 = 2^(3×4)。

4. 乘方表达式求值的顺序：先乘方，后乘除加减。

例如：2的3次方乘以3再减去4，应先计算2^3 = 8，再进行8×3 - 4的运算。

三、对数的基本概念对数是指把一个数与某个基数的幂相等的关系。

对数可以用来简化指数运算，它的表达形式为logₐ(b)，其中a为基数，b为真数，log为对数运算符。

四、常见的对数及其性质1. 自然对数：以常数e为底数的对数，表示为ln(x)。

常数e是一个无理数，约等于2.71828。

2. 以10为底的常用对数：表示为log₁₀(x)或简写为log(x)。

例如log₁₀(100) = 2，即10的2次方等于100。

3. 对数的性质：- log(a × b) = log(a) + log(b) 两数相乘的对数等于两数的对数之和。

- log(a ÷ b) = log(a) - log(b) 两数相除的对数等于两数的对数之差。

- log(a^n) = n × log(a) 数的幂数的对数等于幂数与底数的对数的乘积。

对数与对数运算第1课时 对 数学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一 对数的概念思考 解指数方程：3x ＝ 3.可化为3x ＝123，所以x ＝12.那么你会解3x ＝2吗？ 答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.梳理 对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .知识点二 对数与指数的关系思考 log a 1(a >0，且a ≠1)等于？答案 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0.梳理 一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：log a N a＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1).对数的性质：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数.类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( )A.b <2或b >5B.2<b <5C.4<b <5D.2<b <5且b ≠4 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x 1＋x的定义域. 类型二 应用对数的基本性质求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.解 (1)∵log 2(log 5x )＝0.∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记.跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A.9B.8C.7D.6类型三 对数式与指数式的互化命题角度1 指数式化为对数式例3 将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4；(2)log 2164＝－6； (3)log 327＝a ；(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)如果a ＝b 2 (b >0，b ≠1)，则有( )A.log 2a ＝bB.log 2b ＝aC.log b a ＝2D.log b 2＝a (2)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式. (3)解方程：⎝⎛⎭⎫13m ＝5.命题角度2 对数式化为指数式例4 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x ； (4)－ln e 2＝x ；(5))1log13＋22＝x . 解 (1)x ＝2364-＝()2334-＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝()()1111636266822x ===＝ 2. (3)10x ＝100＝102，于是x ＝2.(4)由－ln e 2＝x ，得－x ＝ln e 2，即e －x ＝e 2.所以x ＝－2.(5)因为)1log 13＋22＝x ， 所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1. 反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解. 跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3)625.命题角度3 对数恒等式log a N a＝N 的应用 例5 (1)求33log 3x +＝2中的x . (2)求log log log a b c b c N a⋅⋅的值(a ，b ，c 均为正实数且不等于1，N ＞0).跟踪训练5 设()5log 2125x -＝9，则x ＝ .1.log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是( )A.a b ＝NB.b a ＝NC.a N ＝bD.b N ＝a 2.若log a x ＝1，则( )A.x ＝1B.a ＝1C.x ＝aD.x ＝103.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A.e 0＝1与ln 1＝0B.138-＝12与log 812＝－13C.log 39＝2与129＝3D.log 77＝1与71＝74.已知log x 16＝2，则x 等于( )A.±4B.4C.256D.25.设10lg x ＝100，则x 的值等于( )A.10B.0.01C.100D.1 0001.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a N a ＝N .2.在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.课时作业一、选择题1.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知b ＝log (a －2)(5－a )，则实数a 的取值范围是( )A.a >5或a <2B.2<a <5C.2<a <3或3<a <5D.3<a <4 3.方程3log 2x ＝14的解是( ) A.x ＝19B.x ＝33C.x ＝ 3D.x ＝94.下列四个等式： ①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④ 5.(12)－1＋log 0.54的值为( ) A.6 B.72C.0D.37 6.若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m＋n 的值是( ) A.15B.75C.45D.225二、填空题 7.已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝ . 8.＝ .9.已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么12x-＝ . .10.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝ .三、解答题11.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值.①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式.①log 68；②log 62；③log 26.12.求22＋log 23＋32log 93-的值.13.设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}?四、探究与拓展14.log(n ＋1＋n )等于( ) A.1B.－1C.2D.－215.若集合{x ，xy ，lg(xy )}＝{0，|x |，y }，求log 2(x 2＋y 2)的值.对数的运算知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案 有.例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算.梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ).知识点二 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？答案 设法换为同底.思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？ 答案 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论. 梳理 一般地，对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2log 33＝2. (2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13.(3)原式＝)32lg 8lg1012lg 10-＝33322lg 321012lg 10⎛⎫⨯÷ ⎪⎝⎭ ＝3234lg 1012lg 10⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则.(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.(2)不同底化为同底.跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷12100-； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －130.064.类型二 代数式的化简命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y 3z. 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0，∴y >0，z >0. log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2 lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N .跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz .命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.解 方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9 ＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元.跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1.log 513＋log 53等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.log 51032.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A.log a b ·log c b ＝log c aB.log a b ·log c a ＝log c bC.log a (bc )＝log a b ·log a cD.log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3.log 29×log 34等于( )A.14B.12C.2D.4 4.lg 0.01＋log 216的值是 .1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ，③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).课时作业一、选择题1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N )＝log a M log a N ；③nm a ＝1m a n ；④(a m )n ＝am n ；⑤log an b ＝－n log a b . A.2 B.3 C.4 D.52.4等于( )A.12B.14C.2D.4 3.化简log 58log 52等于( ) A.log 54 B.3log 52 C.2 D.34.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则用a ，b 表示lg 15为( )A.b －a ＋1B.b (a －1)C.b －a －1D.b (1－a )5.若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( ) A.9B.19C.25D.1256.计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( ) A.log 26B.log 36C.2D.1 二、填空题7.(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝ .8.(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝ .9.已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，则x y＝ . 10.若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y＝ . 三、解答题11.若x ·log 32 016＝1，求2 016x ＋2 016－x 的值.12.计算： (1)2123log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭＋log 0.2514＋9log 55－log 31； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.13.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p 的值；(2)求证：1z －1x ＝12y.四、探究与拓展14.计算⎝⎛⎭⎫－278－23＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－5log 52＝ .。

对数及对数式运算5大常考题型总结【知识点梳理 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；①常用对数：以10为底，记为lg N ； ①自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①特殊对数：1log 0a =；log 1aa =；其中0a >且1a ≠①对数恒等式：log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >) ①对数换底公式：log log log c a cb b a= 如：252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==． (4)对数的运算法则：①外和内乘原理：log ()log log a a a MN M N =+； ①外差内除原理：log log log aa a MM N N=-； ①提公次方法：log log (m n a a nb b m m=，)n R ∈； ①指中有对，没心没肺：log a b a b =和log b a a b = 如：433log 81log 34==，2log 525=． (5)换底公式和对数运算的一些方法：①常用换底：log log log c a c b b a= 如：252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==． ①倒数原理：1log log a b b a =如：321log 2log 3=． ①约分法则：log log log a b a b c c ⋅= 如： 232log 3log 4log 4=2⋅=；35157log 15log 7log 5log 31⋅⋅⋅=．①归一法则：()2lg 2+lg51lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 2lg5+lg 2+lg5=lg5+lg 21=⇒⋅=．【题型目录】 题型一：对数的定义 题型二: 指数对数的互化 题型三: 对数的运算求值题型四：换底公式的应用 题型五：对数式的应用题 【典型例题】 题型一：对数的定义【例1】（2021·全国高一课前预习）在()()31log 32a b a -=-中，实数a 的取值范围为______. 【答案】1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题意，要使式子()()31log 32a b a -=-有意义，则满足310311320a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或2332a <<，即实数a 的取值范围为1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【题型专练】1．（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x <C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围.【详解】由题意得：31031130x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D2.（2022全国·高一课时练习）若()()1log 1k k +-有意义，则实数k 的取值范围是______. 【答案】()()1,00,1-【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.【详解】若()()1log 1k k +-有意义，则满足101110k k k +>⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，解得()()1,00,1k ∈-⋃.故答案为：()()1,00,1-题型二: 指数对数的互化【例1】（2022全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125； （2）4-2=116； （3）log 3127=-3. 【答案】（1）log 5125=3；（2）41log 216=-；（3）31327-= 【解析】（1）①53=125，①log 5125=3.（2）①21416-=，①41log 216=-. （3）①31log 327=-，①31327-=【题型专练】1.（2022全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3128-=； （2）17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）1lg31000=-． 【答案】（1）21log 38=-；（2）17log b a =；（3）31101000-=．【解析】（1）由3128-=可得21log 38=-； （2）由17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭得17log b a =；（3）由1lg 31000=-可得31101000-= 2.（2022全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：（1）4e a =⇒____________．（2）31327-=⇒____________． （3）21log 416=-⇒____________．（4）2log 83=⇒____________． 【答案】ln 4a = 31log 327=- 41216-= 328= 【解析】log (0,1,0)ba a Nb N a a N =⇔=>≠>.故答案为：ln 4a =，31log 327=-，41216-=，328=. 题型三: 对数的运算求值【例1】（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259 D ．53【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为25a =，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a a a bb b -====． 故选：C.【例2】（2022陕西·长安一中高一期中）设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解【详解】函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)1log 43f -=+=，2log 62(log 6)223f =÷=，所以2(2)(log 6)9f f -⋅=. 故选：C【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）659log 25log 3log 6⋅⋅=_________． （2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++=_________． （3）235111log log log 2589⋅⋅=_________． （4）()24892log 3log 9log 27log 3log 32n n n ++++⋅__________．（5）6log 2323)+-=__________． 【答案】114 12- 5212【解析】（1）原式226565365331log 5log 3log 62log 5log 3log 6log 5log 3log 62=⋅⋅=⋅⨯=⋅⋅lg5lg3lg 61lg 6lg5lg3=⋅⋅= （2）原式22552511log 5log log 2log log 5log 252⎛=++= ⎝25111log 5log 2224=⨯= （3）原式232235235log 5log 2log 32log 5(3)log 2(2)log 3---=⋅⋅=-⨯-⨯-23512log 5log 2log 312=-⋅⋅=-（4）原式()23223522223log 3log 3log 3log 3log 2n n n =++++⋅()22522222335log 3log 3log 3log 3log 2log 35lo 2g 22nn n =++++⋅=⨯= （5）26662log (2323)log (2323)log 61+-=+-==所以原式12故答案为：1，14，12-，52，12【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，则222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】10【分析】由同底数对数加法公式以及log log ba a Nb N =，可得答案.【详解】因为()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，所以222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+()()222122021122021log 2log 10a a x x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．故答案为：10.【例5】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））计算：0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++=__________ 【答案】1【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出． 【详解】原式＝()1242lg5lg2121+-++=-+=． 故答案为：1．【例6】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知0x >，0y >，且lg 2lg8lg 2x y+=，则x y +的最小值为___________. 【答案】526+【分析】由lg 2lg8lg 2x y +=可得31x y +=，则()21213x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得答案【详解】因为lg 2lg8lg 2x y +=，所以3lg(28)lg 2lg 2x y x y +⋅==， 所以31x y +=， 因为0x >，0y >，所以()21213x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭623y x x y=+++ 652526y xx y≥+⋅=+， 当且仅当6y xx y =，即3662,3x y -=-=时取等号，， 所以21x y +的最小值为526+，故答案为：526+ 【题型专练】1.(2020全国卷①)设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【详解】因24log 4log 33==a a ，所以9342==a ，故11449a a -== 2.（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.【详解】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.故答案为：53.（2022长沙市明德中学高一开学考试）计算：2log 321lg252log ln1162+++=______ 【答案】12-【解析】原式()1lg 211lg5340lg5lg 212222=+-++=+-=-.故答案为：12- 4.（2022·江苏·高一）计算()32log 2lg 2lg 2lg5lg53-++-=___________ 【答案】12【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】()332log 2log 2111lg 2lg 2lg5lg53lg 2(lg 2lg5)lg5(3)lg 2lg522--++-=++-=+-=.故答案为：126.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D7.（2022江苏高二课时练习）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【详解】因()lg lg lg 2a b a b +=+，所以()b a ab 2lg lg +=，所以b a ab 2+=，所以12=+abba ，即 121=+ab ，所以()9522212241222=+⋅≥+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a 8.（2022全国高一课时练习）计算:22log 4log 1323lg 3log 2lg 5+-⋅-=________．【答案】4【解析】原式0lg 243lg 3lg 541lg 2lg 54lg 3=+-⋅-=+--=． 故答案为：4.9.（2022全国高一课时练习）计算：(()22222lg5lg 2lg 21+-+____.【答案】1【解析】原式)()222lg5lg 22lg 21=-+)()22lg 2lg5lg 21=+-2lg 21= 212=-1= ，故答案为：1 .题型四：换底公式的应用【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．4【答案】A【分析】先求得,a b ，然后结合对数运算求得正确答案. 【详解】①53a =，32b =，①5log 3a =，3log 2b =， 5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==． 故选：A【例2】（2022全国高一课时练习）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）A 10B ．10C ．20D ．100【答案】A【解析】由25a b m ==，可得2log a m =，5log b m =， 由换底公式得1log 2m a =，1log 5m b=， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，又因为0m >，可得10m = 故选：A.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg3b =，则36log 5=（ ） A ．221a b a +- B ．12aa b-+ C ．22a a b -+ D ．122a a b -+ 【答案】D【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案． 【详解】因为lg 2a =，lg3b =，所以()36lg 51lg 21log 5lg 362lg 2lg 322aa b--===++． 故选：D.【例4】（2022·天津·高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=， 故选：B【例5】（2021·江苏·高一专题练习）若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===，则下列式子正确的是A ．122a b c +=B ．221a b c +=C ．112a b c +=D ．212a b c+=【答案】A【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出20191log 52a =，20151log 403b =，20191log 2015c=，利用对数的运算性质和20155403=⨯可得出122a b c+=成立.【详解】由已知，得 2540320152019a b c ===，得 52log 2019a =， 403log 2019b =，22log 015019c =，所以21log 52a =，20191log 403b =，20191log 2015c=，而54032015⨯=，则201920192019log 5log 403log 2015+=， 所以1112a b c +=，即 122a b c+=. 故选A. 【题型专练】1．（2022湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A ．d ac = B ．a cd = C ．c ab = D ．d a c =+【答案】B【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项. 【详解】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a a b c c ==，又5510,log 10dd =∴=，所以a d cd a c=⇒=. 故选：B.2.（2022湖北黄石·高一期中）已知1a b >>，若5log log ,2b a a b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解． 【详解】解：由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅= 所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根， 解得log 2b a =或1log 2b a =， 又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b = 从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =． 所以28a b +=. 故答案为：8.3.（2021·上海高一专题练习）已知3log 2m =，用含m 的式子表示32log 18=_________. 【答案】25m m+ 【解析】3333325333log 18log 2log 9log 222log 18log 32log 25log 25m m +++====.故答案为：25m m+ 4．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））若23a b m ==，且112a b+=，则m =_____________． 【答案】6【分析】由23a b m ==，可得2log a m =，3log b m =，0m >，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：因为23a b m ==，所以2log a m =，3log b m =，0m >，又112a b+=， 所以()2311log 2log 3log 232log lo 1g 1m m m a b m m+=+=+=⨯=， 所以26m =，所以6m =， 故答案为：6.5.（2022·全国·高一单元测试）把满足()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+，*n ∈N 为整数的n 叫作“贺数”，则在区间()1,50内所有“贺数”的个数是______． 【答案】4【分析】利用换底公式计算可得()()2312log 3log 4log 2log 2n n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+=+，即可判断.【详解】解：因为()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+()()()()2lg 2lg 2lg3lg 4log 2lg 2lg3lg 1lg 2n n n n =++⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++， 又2log 42=，2log 83=，2log 164=，2log 325=，2log 646=，……， 所以当24n +=，8，16，32时，()2log 2n +为整数， 所以在区间()1,50内“贺数”的个数是4． 故答案为：46.若b a ,均为不等于1的正数，且满足b a b a nm821,22==⎪⎭⎫⎝⎛=，且,则=+221n m .【答案】3【详解】因2ma 2log am =，因212nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22221log log b b n -==，所以=+221n m b ab a b b a a 222222log log log 2log 22log 12log 2log 21=-=-=-+，因为b a 8=，所以38log log 22==ba题型五：对数式的应用题【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2Em m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(12)k E k =，．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A【详解】设太阳的星等为126.7m =-，对应的亮度为1E ，天狼星的星等为2 1.45m =-，对应的亮度为2E ， 则由12125lg 2E m m E -=得1251.4526.7lg 2E E -+=，即125lg25.252E E =，所以12lg 10.1E E =，所以10.11210E E =【例2】(2020•全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193≈)（ ） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【详解】由题意知0.23(*53)0.951t K K e --=+，所以0.23(*53)10.951t e --=+，即()0.23*5311002010.959519t e--+===，所以()0.23*53119t e--=，所以()0.23*531ln ln 19t e--=，即()0.23*533t --=-，所以3*53130.23t --=≈-，所以*66t ≈ 【例3】(2021•全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)( ) A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【详解】由题意知5lg 4.9V +=，所以lg 0.1V =-，即0.11101011100.81.2591010V -===≈≈ 【例4】（2022·全国·模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级()M 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：0.410 2.512≈，0.510 3.162≈， 2.810631≈） A ．794 B ．631C ．316D ．251【答案】A【分析】将阿拉斯加半岛的震幅1A 和日本本州近岸5.3级地震的震幅2A 表示成指数形式，作商即可. 【详解】由题意00lg lg lgAM A A A =-=，即10M A A =，则010M A A =⋅； 当8.2M =时，地震的最大振幅8.21010A A =⋅，当 5.3M =时，地震的最大振幅 5.32010A A =⋅，所以8.22.90.40.5201 5.3201010101010 2.5123.16210079410A A A A ⋅===⨯⨯≈⨯⨯≈⋅， 即12794A A ≈； 故选：A ．【例5】（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过t 分钟后的温度T 将合公式：()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，0T 为热水的初始温度，h 称为半衰期．一杯85①的热水，放置在25①的房间中，如果热水降温到55①，需要10分钟，则一杯100①的热水放置在25①的房间中，欲降温到55①，大约需要多少分钟?（ ）（lg 20.3010,lg30.4771≈≈） A ．11.3 B ．13.2 C ．15.6 D ．17.1【答案】B【分析】依题意求出半衰期h ，再把h 的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．【详解】解：根据题意，1015525()(8525)2h-=-，即10121()2h =，解得10h =，1015525(10025)2t⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，即101225t⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以122lg22lg 2120.301015log 1.3221105lg 20.3010lg2t -⨯-====≈--，所以13.2t ≈； 故选：B 【题型专练】1.（2022·吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg 20.3010≈）（ ） A ．128 B ．130 C ．132 D ．134【答案】B【分析】由已知可得45D =，再由184)0.55(0.1G⨯<，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.【详解】由题设，18180.50.4D =，则45D =，所以184)0.55(0.1G ⨯<，即45118lg 518(1lg 2)18log 129.75lg 52lg 213lg 2G ->==≈--， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次. 故选：B2.（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为k E ()1,2k =．已知星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，则星A 与星B 的亮度的比值为（ ） A ．4510 B ．4510-C ．5410D ．5410-【答案】A【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可. 【详解】因为12125lg 2E m m E -=，星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，所以41115222541.5( 3.5)lg lg 1025E E E E E E ---=⇒=⇒=， 故选：A3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．44小时B ．45小时C ．46小时D ．47小时【答案】C【详解】设x 小时后，细胞总数为y ，则x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=23100，令101023100>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅x ，可得81023>⎪⎭⎫ ⎝⎛x，两边取对数可得3lg82x >，又因176.02lg 3lg 23lg =-=，所以45.45176.08≈>x 4.（2022河北高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位，参考数据：lg398 2.6≈，lg1995 3.3≈，lg 7.80.89≈，lg30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．48【答案】A【详解】设7.8级地震的最大振幅是1A ，4.5级地震的最大振幅2A ，依题意得：01lg lg 8.7A A -=，02lg lg 5.4A A -=，两式相减得则由11223.3lg lg lgA A A A =-=，又因lg1995 3.3≈，所以121995A A = 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。