高考数学一轮复习分层练习第八章空间几何体的结构特征及三视图和直观图

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[基础题组练]
1．下列说法正确的有( )
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于
一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点
的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正
确的．
2.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC
边的中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，
AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB3．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆
心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( )

A．①② B．②③
C．③④ D．①⑤
解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；
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故截面图形可能是①⑤.
4．(2020·杭州学军中学高三期中)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥
的侧视图可能为( )

解析：选D.分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，
故选D.

5．(2020·宁波十校联考)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的
多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )

A.152 B．6＋3
C.32＋33 D．43
解析：选A.侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为
2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，
所以侧视图的面积为6＋32＝152.
6．(2020·丽水模拟)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )

A.33 B.17
C.41 D.42
解析：选C.依题意，题中的几何体是四棱锥E-ABB1A1，如图所示(其
中ABCD-A1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E＝1)，EA＝32＋42＋42＝
3

41，EA1＝12＋42＋42＝33，EB＝32＋42＝5，EB1＝12＋42＝17，AB＝BB1＝B1A
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＝A1A＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41，选C.
7．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．

解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．
答案：52 cm2
8．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．

解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为点D，所以Rt△
ABC绕着它的斜边AB旋转一周后得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆
锥的组合体．
答案：两个圆锥的组合体
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何
体各面中直角三角形的个数是________．

解析：由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，易知四棱锥P-ABCD的四
个侧面都是直角三角形，即此几何体各面中直角三角形的个数是4.

答案：4
10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)
视图的面积为________．
4

解析：由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧
(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，
所以正(主)视图的面积为23.
答案：23
11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂
直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直
角三角形．

(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA.
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，
其面积为36 cm2.
(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝ 62＋62＝62(cm)．
由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，
所以在Rt△APD中，
PA＝PD2＋AD2＝ （62）2＋62＝63 (cm)．
12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，
过点A作截面AEF，求△AEF的周长的最小值．

解：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平
面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．
取AA1的中点D，
连接VD，
则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.
在Rt△VAD中，
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AD＝VA·sin 60°＝3，
所以AA1＝2AD＝6，
即△AEF的周长的最小值为6.
[综合题组练]
1．(2020·杭州市五校联考)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是
(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平
面为投影面，则得到正视图可以为( )

解析：选A.因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O­xyz中的
坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，几何体的直
观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平
面为投影面，则得到正视图为A.
2．某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( )

A．2 B．22
C.3 D．23
解析：选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一
个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1­BCB1，
如图所示，其四个面的面积分别为2，22，22，23，故选D.
3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，
C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )
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解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且点F是
棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，
则其正视图应为选项C.
4．如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直，

且VA＝VC，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．

解析：设三棱锥V-ABC的底面边长为a，侧面VAC的边AC上的高为h，则ah＝43，其
侧(左)视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三
角形，其面积为12×32a×h＝12×32×43＝33.
答案：33
5．如图是一个几何体的正视图和俯视图．

(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．
解：(1)正六棱锥．
(2)其侧视图如图：
其中AB＝AC，AD⊥BC，
且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC＝3a，
AD的长是正六棱锥的高，即AD＝3a，

所以该平面图形的面积S＝12·3a·3a＝32a2.
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6．某几何体的三视图如图所示．
(1)判断该几何体是什么几何体？
(2)画出该几何体的直观图．

解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．
(2)直观图如图所示：