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直接证明和间接证明(4个课时)教案资料讲解

2．2直接证明与间接证明

教学目标：

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；

（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；

（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：

1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题证明方法的选择．

（1）不等式证明的意义

不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．

（2）比较法证明不等式的分析

①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．

②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．

由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．

③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．

其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．

变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.

④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析

①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．

③综合法证明不等式的逻辑关系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析

①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．

②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．

③用分析法证明不等式的逻辑关系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）

④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.

（5）关于分析法与综合法关系

①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．

②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．

③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．

综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．

④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．

第一课时不等式的证明（比较法）

教学目标

1．掌握证明不等式的方法——比较法；

2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点:比较法的意义和基本步骤.

教学难点:常见的变形技巧.

教学方法；启发引导法.

教学过程：

（－）导入新课

教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？

找学生回答问题．

（学生回答：，，，）

［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．

目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

作差比较法

[问题] 求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

学生研究证明不等式，尝试完成问题．

［本问点评］

①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

③理论依据是：

④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

【例题示范，学会应用】

教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

例1．求证

［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得

，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．

证明：∵

＝

＝，

∴．

［本例点评］

①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;

②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;

③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;

④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．

例2 .已知都是正数，并且，求证：

［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：

＝

＝．

因为都是正数，且，

所以．

∴．

即：

[本例点评]

①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;

3322

例、已知都是实数且求证

≠+>+

a b a b a b a b ab

3,,,

33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明

2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-

,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又

23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即

3322a b a b ab ∴+>+

[本例点评]

①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;

求商比较法：

1 ,,,,.

a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---??== ???证明

(,,)

0,1,0,1

a b a b a a a b a b b b a b -??≥>≥-≥∴≥ ???

=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（最后是与1比较）

(三)课堂练习

教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．

练习：1．求证

2．已知，，，d 都是正数，且

，求证目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

（四）布置作业

2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3

2211

x x ≤+3、求证：．

7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a b

a b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：

2.2.1直接证明教案

课题 2.2.1 直接证明 1．结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2．感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法； (一)自学质疑：A 类问题：仔细阅读课本79-81页的内容，完成下列问题问题1、直接证明的一般形式问题2、分析法的概念及推理过程问题3、综合法的概念及推理过程 B 级问题）例1、已知0,0a b >>，求证：22 b a a b a b +≥+ 例2、已知1,1a b <<，证明： 11a b ab +<+

※ 当堂检测（40分） 1、（A ）下列条件：(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<，其中能使2b a a b +≥成立的条件有个 2、（B ）设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1 a a b b +<+以上4个不等式中，恒成立的序号是 3、（B ）设,a b 都是正实数，且满足191a b +=，若a b m +≥恒成立，则m 的取值范围为 4、（B ）设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则A 与B 的大小关系为 5、（B ）在ABC ?中，三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列求证：ABC ?是正三角形 6、（B 级）已知：(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22 x x x x f x f x f f +-+=，且()0f x ≠ 求证：()f x 是偶函数 ※学生完成本节导学案的情况统计.

直接证明和间接证明(4个课时)教案

2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．

由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析

直接证明和间接证明4个课时教案

苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《直接证明--综合法与分析法》教案

1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 6．教学过程: 学生探究过程：证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写) 要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证： .)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++ =3 242422221333x x x x x x x ------++ =)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x = ].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知 ,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0 ≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

人教版数学高三-9.2直接证明与间接证明一轮教案蒋玉清

9.2 直接证明与间接证明【知识网络】 1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点； 3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。【典型例题】例1：（1）已知0,,≠∈b a R b a 且，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； ③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个答案：C 。解析：①③④恒成立。（2）利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 32++k k 答案：C 。（3）命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是（） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解答案：D 。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。（4）定义运算 () ()a a b a b b a b ≤?*=? >? ，例如，121*=，则函数 2()(1)f x x x =*-的最大值为 _________________．答案： 2 。（5）若c b a >>，* N n ∈，且 c a n c b b a -≥ -+-11恒成立，则n 的最大值是。答案：4。解析：因c b a >>，* N n ∈，所以 c a n c b b a -≥-+-11同解于n c b c a b a c a ≥--+-- 又 42≥--+--+=--+-+--+-=--+--c b b a b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。

高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案文新人教A版选修1-2

湖南省蓝山二中2014年高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案文新人教A 版选修1-2 教学任务分析：（1）在以前的学习中，学生已经能应用分析法证明数学命题，但学生对分析法的内涵和特点不一定非常清楚.本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析，再总结这类证法的特点：要证明结论成立，逐步寻求退证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. （2）“逆推证法”或“执果索引法”，是分析法的两种形象说法.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.教学中，应强调分析过程和思考过程，让学生明白为什么要采用分析法，以及运用分析法进行证明的书写格式. 教学重点：（1）了解分析法的思考过程和特点；（2）运用分析法证明数学问题. 教学难点：对分析法的思考过程和特点的概括. 教学过程 ).0,0(≥2 >>+b a ab b a 证明：分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的成分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做分析法. 例1. . 5273 <+求证：

例2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证AF ⊥SC . 课堂练习 . )()( 00 .131332122y x y x y x +>+>>，求证：，已知： 2. 是否存在常数C ，使得不等式 y x y y x x C y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数x 、y 恒成立？试证明你的结论. .0 ,0 .3b a b a b a a b b a b b a a ≠≥≥+>+且应满足的条件是、，则实数如果 .82121 210 .4≥-+<

直接证明与间接证明精品教案

2.2直接证明与间接证明（文）【课题】：2.2.1 综合法和分析法(1) 【设计与执教者】：广州石化中学张洪娟gz100088@https://www.doczj.com/doc/d85406926.html, 【学情分析】：前一阶段刚刚学习了人们在日常活动和科学研究中经常使用的两种推理——合情推理和演绎推理。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。这是数学区别于其他学科的显著特点。本节学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。在以前的学习中，学生已经接触过用综合法、分析法和反证法证明数学命题，但他们对这些证明方法的内涵和特点不一定非常清楚，逻辑规则也会应用不当。本部分结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析这些基本证明方法的电教过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习和生活中，能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯。【教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解直接证明的基本方法——综合法；了解综合法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用综合法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：了解综合法的思考过程、特点；运用综合法证明数学问题。【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。【课前准备】：几何画板【教学过程设计】：

ABC中，，且A，B 证：ABC为等，B，C成等，B，C为ABC的内 A+B+C=

ABC为等

【练习与测试】： 1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,4 4 =-都成立”的证明过程如下： “θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 2 2 2 2 2 2 4 4 =-=+-=-”，该过程应用了（） A. 分析法 B. 综合法 C. 综合法与分析法结合使用 D. 间接证法答案：B 解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。 2. 已知2 0π α< <，求证：1cos sin 4 4<+αα。

2014年人教A版选修2-2教案 2.2.1直接证明--综合法与分析法

2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法 1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点 3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。 5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。 6．教学过程: 学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222 ()()4a b c b c a abc +++≥ 教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0b c bc a +≥>, 所以22()2a b c abc +≥, 因为222,0c a ac b +≥>, 所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥. P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论 1. 综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ?→?→?→→? 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法

人教版高中数学选修2-2教学案2.2直接证明与间接证明(学生版)

高中数学选修1,2《直接证明与间接证明》教案

高中数学选修1,2《直接证明与间接证明》教案高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程及特点. 自主梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法. ②框图表示：P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 Qn Q(其中P表示已知条件，Q表示要证的结论). (2)分析法 ①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法. ②框图表示：Q P1 P1 P2 P2 P3 得到一个明显成立的条件. 2.间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 自我检测 1.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(2011 揭阳模拟)用反证法证明如果a b，那么3a 3b 的假设内容应是( ) A.3a=3b B.3a 3b C.3a=3b且3a 3b D.3a=3b或3a 3b

3.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A.|a-c| |a-b|+|c-b| B.a2+1a2 a+1a C.a+3-a+1 D.|a-b|+1a-b 2 4.(2010 广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：那么d (a c)等于( ) A.a B.b C.c D.d 5.(2011 东北三省四市联考)设x、y、z R+，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，则a、b、c三数( ) A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 探究点一综合法例1 已知a，b，c都是实数，求证：a2+b2+c2 13(a+b+c)2 ab+bc+ca. 变式迁移1 设a，b，c 0，证明： a2b+b2c+c2a a+b+c. 探究点二分析法例2 (2011 马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证： lg a+b2+lg b+c2+lg c+a2 lg a+lg b+lg c. 变式迁移2 已知a 0，求证：a2+1a2-2 a+1a-2. 探究点三反证法例3 若x，y都是正实数，且x+y 2，求证：1+xy 2与1+yx 2中至少有一个成立.

苏教版高中数学选修2-2《2.2.1 直接证明》教案

教学目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点． 2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点： 1．合法的证明过程和应用． 2．分析法的证明过程和应用．教学过程：一、预习 1．问题如图，四边形ABCD 是平行四边形．求证：AB ＝CD ，BC ＝DA ．证明连接AC ，因为四边形ABCD 是平行形四边形，所以DA BC CD AB ////，，故 ∠1＝∠2，∠3＝∠4．因为 AC ＝CA ，所以 △ABC ≌△CDA ，故 AB ＝CD ，BC ＝DA ．思考以上证明方法有什么特点？上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．二、新课 1．定义．

直接证明：直接从原命题的条件逐步推得命题成立． 2．直接证明的一般形式．思考：在《数学5（必修）》中，我们如何证明基本不等式2 a b ＋ (00)a b ＞，＞？证法1 对于正数a ，b ，有 2002 a b a b a b ???＋≥＋－＋≥ 2 a b ＋，只要证：a b ＋，只要证：0a b ≤－，只要证：20≤，因为最后一个不等式成立，故结论成立．上述两种证法有什么异同？相同：都是直接证明．不同：证法1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止．综合法和分析法的推证过程如下：例1 如图，已知AB ，CD 交于点 O ， △ACO ≌△BDO ，AE ＝BF ，求证：CE ＝DF ．本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件???? ????? ??? ???

新人教A版版高考数学一轮复习第十二章算法初步直接证明与间接证明教案理解析版

基础知识整合１．直接证明２．间接证明（１）反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明错误!假设错误，从而证明错误!原命题成立的证明方法．

（２）利用反证法证题的步骤１假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；２由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；３由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言． ,分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．１．要证明错误!＋错误!<２错误!，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）Ａ．综合法Ｂ．分析法Ｃ．反证法Ｄ．归纳法答案B 解析从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选Ｂ．Ａ．假设a，b，c都是偶数Ｂ．假设a，b，c都不是偶数Ｃ．假设a，b，c中至多有一个偶数Ｄ．假设a，b，c中至多有两个偶数答案B 解析“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选Ｂ．３．若a>b>0，且x＝a＋错误!，y＝b＋错误!，则（）Ａ．x>y Ｂ．x0．所以a＋错误!>b＋错误!.故选Ａ．

４．若a，b，c为实数，且aab>b２Ｃ．错误!<错误!Ｄ．错误!>错误! 答案B 解析∵a２—ab＝a（a—b），a0， ∴a２>aＢ．１又ab—b２＝b（a—b）>0，∴ab>b２，２由１２得a２>ab>b２．５．（２0１9·扬州调研）设a>b>0，m＝错误!—错误!，n＝错误!，则m，n的大小关系是________．答案m错误!?a0，显然成立． 6．已知实数m，n满足mn>0，m＋n＝—１，则错误!＋错误!的最大值为________．答案—４解析∵mn>0，m＋n＝—１，∴m<0，n<0， ∴错误!＋错误!＝—（m＋n）错误! ＝—错误!≤—２—２错误!＝—４，当且仅当m＝n＝—错误!时，错误!＋错误!取得最大值—４．核心考向突破考向一综合法证明例１已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：２cos２x＝cos２y.

直接证明与间接证明教案

直接证明与间接证明教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第七章推理与证明第2课时直接证明与间接证明(对应学生用书(文)、(理)95～96页) 考情分析考点新知了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题． ①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ②了解间接证明的一种基本方法 ——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 1. 已知向量m＝(1，1)与向量n＝(x，2－2x)垂直，则x＝________．答案：2 解析：m·n＝x＋(2－2x)＝2－x. ∵m⊥n，∴m·n＝0，即x＝2. 2. 用反证法证明命题“如果a>b，那么 3 a> 3 b”时，假设的内容应为______________．答案： 3 a＝ 3 b或 3 a< 3 b 解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即 3 a ＝3b或3a<3b. 3. (选修12P44练习题3改编)6－22与5－7的大小关系是______________．答案：6－22>5－7 解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为

42>40，所以6－22>5－7成立． 4. 定义集合运算：A·B ＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A·B 的所有元素之和为________．答案：0 解析：依题意知α≠kπ＋π 4，k ∈Z . ①α＝kπ＋3π4(k ∈Z )时，B ＝?????? 22 ，－22， A · B ＝? ????? 0，22，－22； ②α＝2kπ或α＝2kπ＋π 2(k ∈Z )时，B ＝{0，1}，A ·B ＝{0，1，－1}； ③α＝2kπ＋π或α＝2kπ－π 2(k ∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ·B ＝{0，1，－1}； ④α≠kπ2且α≠kπ＋3π 4(k ∈Z )时，B ＝{sinα，cos α}，A ·B ＝{0，sin α，cos α，－sinα，－cosα}．综上可知A·B 中的所有元素之和为0. 5. (选修12P 44练习题4改编)设a 、b 为两个正数，且a ＋b ＝1，则使得1a ＋1 b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案：(－∞，4] 解析：∵ a ＋b ＝1，且a 、b 为两个正数，∴ 1a ＋1 b ＝(a ＋b)? ?? ? ?1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4.要使得1a ＋1b ≥μ恒成立，只要μ≤4. 1. 直接证明 (1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2) 一般形式

2014届高三数学总复习 7.2直接证明与间接证明教案新人教A版

2014届高三数学总复习 7.2直接证明与间接证明教案新人教A 1. 已知向量m ＝(1，1)与向量n ＝(x ，2－2x)垂直，则x ＝________．答案：2 解析：m ·n ＝x ＋(2－2x)＝2－x. ∵ m ⊥n ，∴ m ·n ＝0，即x ＝2. 2. 用反证法证明命题“如果a>b ，那么3a>3 b ”时，假设的内容应为______________．答案：3a ＝3b 或3a<3b 解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即3a ＝3b 或3a<3 b. 3. (选修12P 44练习题3改编)6－22与5－7的大小关系是______________．答案：6－22>5－7 解析：由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立． 4. 定义集合运算：A·B＝{Z|Z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A·B 的所有元素之和为________．答案：0 解析：依题意知α≠k π＋π 4，k ∈Z . ①α＝k π＋3π4(k∈Z )时，B ＝? ????????? 22，－22， A · B ＝???? ??? ???0， 22，－22； ②α＝2k π或α＝2k π＋π 2 (k∈Z )时，B ＝{0，1}，A ·B ＝{0，1，－1}； ③α＝2k π＋π或α＝2k π－π 2 (k∈Z )时，B ＝{0，－1}，A ·B ＝{0，1，－1}； ④α≠k π2且α≠k π＋3π 4 (k∈Z )时，B ＝{sin α，cos α}，A ·B ＝{0，sin α，cos α，－sin α，－cos α}．综上可知A·B 中的所有元素之和为0. 5. (选修12P 44练习题4改编)设a 、b 为两个正数，且a ＋b ＝1，则使得1a ＋1 b ≥μ恒成立的μ的取值范围是________．答案：(－∞，4] 解析：∵ a＋b ＝1，且a 、b 为两个正数，∴ 1a ＋1b ＝(a ＋b)? ?? ??1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4.要使得1a ＋1 b ≥μ恒成立，只要μ≤4.

高中数学教案直接证明与间接证明3(理)

§2.2.2反证法【学情分析】：前面我们学习了两种直接证明问题的方法——综合法和分析法。在以前的学习中，学生已经接触过用反证法证明数学命题，本节课进一步熟悉运用反证法证明某些直接证明较难解决的数学问题。【教学目标】：（1）知识与技能：结合已学过的数学实例，了解间接证明的方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点（2）过程与方法：能够运用反证法证明数学问题（3）情感态度与价值观：通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯【教学重点】：了解反证法的思考过程、特点；运用反证法证明数学问题。【教学难点】：运用反证法证明数学问题。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、提出问题问题1、任找370个人，他们中生日有没有相同的呢？问题2、将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？思考：通过以上几个练习，大家已经初步体会到反证法的作用，你能不能总结一下应用反证法的概念及其步骤？从实际生活的例子出发，使学生对反证法的基本方法和步骤有一个更深刻的认识。二、反证法定义 1：反证法的概念：假设原命题不成立，经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法． 2：反证法的基本步骤： 1）:假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）:从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；3）:从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 3：应用反证法的情形：1）：直接证明困难；2）：需分成很多类进行讨论； 3）：结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题； 4）：结论为“唯一”类命题；三、应用例1、已知直线,a b和平面α，如果, a b αα ??，且|| a b，求证|| aα。解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为|| a b, 所以经过直线a , b 确定一个平面β。因为aα ?，而aβ ?，直观了解反证法的证明过程。否定结论，推出矛盾。提醒学生：使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等。进上步熟悉反证法的证题思路及步骤。

2021年高中数学《直接证明与间接证明》教案新人教A版选修

2021年高中数学《直接证明与间接证明》教案2 新人教A版选修2-2 1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点 3. 教学难点：反证法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。 5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。 6．教学过程: 实用文档

学生探究过程：综合法与分析法 (1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (2)、例子实用文档

苏教版数学高二- 选修2-2教案《直接证明》

2.2.1 直接证明教案教学目标 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点．2．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．教学重点、难点 ⑴综合法的证明过程和应用． ⑵分析法的证明过程和应用．教学过程一、自学导航 1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA 证明：:连结AC, ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD,BC∥CD 故∠1=∠2, ∠3=∠4 又∵AC=CA ∴⊿ABC≌⊿CDA ∴AB=CD,BC=DA 思考：以上证明方法有什么特点？ 2、观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立．(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立．而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证．思考：以上证明方法有什么特点？__________________________．二、探究新知

1．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法与分析法．（1）综合法与分析法要点解析表（2）对分析法证题的说明 “若Ａ成立，则Ｂ成立”，此命题用分析法证明的步骤如下：要证明（或为了证明）Ｂ成立，只需证明1A 成立（1A 是Ｂ成立的充分条件），要证1A 成立，只需证明2A 成立（2A 是1A 成立的充分条件），…，要证明k A 成立，只需证明A 成立（A 是k A 成立的充分条件），∵A 成立，∴B 成立．注：①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件，但绝不能是必要不充分条件； ②在寻求充分条件时，起调控方向作用的是本题条件．即在一系列可以证明结论的条件中，与本题条件较为接近的条件，才是我们所需要的； ③“只需证明”、“为了证明”、“∵A 成立，∴B 成立”类似这些语言必须有，而且要用它们把每一步连结起来．（3）综合法和分析法的优缺点分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述繁琐，且容易出错．综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．因此，在实际解题时，常把二者交互使用，互补优缺，形成了分析综合法．先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述过程．对于较复杂的问题，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某

教案(直接证明与间接证明)

1．直接证明 (1)综合法 ①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法． ②框图表示：已知条件?…?…?结论 ③思维过程：由因导果． (2)分析法 ①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． ②框图表示：结论?…?…?已知条件 ③思维过程：执果索因． 2．间接证明 (1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)反证法的步骤： ①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； ②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“a >b ”时，应假设“a a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是__________________．

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