苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《直接证明--综合法与分析法》教案

2．2.1 直接证明(一) 课时目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解这两种方法的思考过程、特点．1．直接证明(1)直接从________________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式 ⎭⎪⎬⎪⎫本题条件⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论． 2．综合法(1)定义从____________出发，以已知的________、________、________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．(2)综合法的推理过程已知条件⇒…⇒…⇒结论.3．分析法(1)定义从问题的________出发，追溯导致________成立的条件，逐步上溯，直到________________________________________为止，这种证明方法称为分析法．(2)分析法的推理过程结论⇐…⇐…⇐已知条件.一、填空题1．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为____________．2．设a ，b 是两个正实数，且a <b ，则下列式子一定成立的是________．①a >a ＋b 2>ab >b ；②b >ab >a ＋b 2>a ； ③b >a ＋b 2>ab >a ；④b >a >a ＋b 2>ab .3．已知xy ＝19，0<x <y <1，则log 13x ·log 13y 的取值范围是__________． 4．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是________．5．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是________．6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u 均为正实数，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．二、解答题8．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2.能力提升 10．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为________． 11．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．3．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充．§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明(一)答案知识梳理1．(1)原命题的条件 (2)已知定义 已知公理已知定理2．(1)已知条件 定义 公理 定理3．(1)结论 结论 使结论成立的条件和已知条件吻合作业设计1．a >c >b解析 ∵(7＋2)2＝9＋214， (6＋3)2＝9＋218. ∴7＋2<6＋3，∴7－3<6－2，即b <c . 又22>6，∴2>6－2，即a >c .∴a >c >b .2．③3．(0,1)解析 log 13x >0，log 13y >0， log 13x ·log 13y ≤log 13x ＋log 13y 2＝12log 13(xy ) ＝12×2＝1.∴0<log 13x ·log 13y <1. 4．23－2解析 由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3.∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2.5．分析法解析 要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4， 只要证a ＋a ＋7＋2aa ＋7 <a ＋3＋a ＋4＋2a ＋3a ＋4， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法．6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b . 7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋2b a ×9a b＝16， 当且仅当b a ＝9a b即3a ＝b 时取等号， 若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16.8．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b 3ab＝a ＋b a 2－ab ＋b 2ab， 又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0， ∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab ≥1， ∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab≥a ＋b . ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 9．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2.即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立，综合①、②知，命题得证．10．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. 若1a －b ＋1b －c ≥n a －c 恒成立，即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c ＝4. ∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4.11．证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2 <log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )． 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。

直接证明学习目标要点难点1．能知道直接证明的两种基本方法——综合法和剖析法．要点：综合法和剖析法的思想方法2．会剖析综合法和剖析法的思虑和步骤．过程、特色，会用综合法和剖析法难点：综合应用两种方法解题.证明数学识题.1．直接证明(1) 直接从原命题的条件逐渐推得命题建立，这类证明往常称为________．此题条件已知定义(2) 直接证明的一般形式为：?? ________.已知公义已知定理2．综合法(1)从已知条件出发，以已知的定义、公义、定理为依照，逐渐下推，直到推出要证明的结论为止．这类证明方法常称为________．(2)综合法的推证过程是： ________? ? ? ______.预习交流 1n做一做：已知数列{ a n} 的通项公式为a n＝2，求证：数列{ a n}为等比数列．(1)从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件，逐渐上溯，直到使结论建立的条件和已知条件或已知事实符合为止．这类证明方法常称为________．(2) 剖析法的推证过程是：______________.预习交流 2做一做：求证：6＋7≥2 2＋ 5.在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1． (1) 直接证明(2) 此题结论2． (1) 综合法(2) 已知条件结论nan ＋ 1 2n ＋ 1 2·2n预习交流 1：提示：∵ a ＝ 2 ，∴an＝2n＝ 2n＝ 2( 常数 ) ．∴由等比数列的n定义可知，数列 { a n } 为公比是 2 的等比数列．3． (1) 剖析法 (2) 结论 已知条件预习交流 2：提示：要证原不等式建立， 只要证 (6＋ 7) 2≥ (2 2＋ 5) 2，即证 2 42＞ 2 40，因为上式明显建立，所以原不等式建立．一、综合法的应用设 a， ， 为不全相等的正数，且abc＝1，求证： 1＋ 1＋1＞a ＋b ＋ c.b ca b c思路剖析： (1) 综合法证明不等式所依靠的主假如不等式的基天性质和已知的重要不等式．(2) 综合法证明不等式时，要注意不等式的性质和已证过的不等式各自建立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．如图，在四棱锥 P － ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， AB =AD ，∠ BAD =60°， E ， F 分别是 AP ， AD 的中点．求证： (1) 直线 EF ∥平面 PCD ； (2) 平面 BEF ⊥平面 PAD .1．综合法的证明步骤： (1) 剖析条件，选择方向，确立已知条件和结论间的联系，合理选择有关定义、定理等． (2) 转变条件，组织过程，将条件合理转变，书写出严实的证明过程．2．综合法的合用范围是： (1) 定义明确的问题，如证明函数的单一性，奇偶性；立体几何中的证明，不等式的证明等问题； (2) 已知条件明确，而且简单经过剖析和应用条件能逐渐迫近结论的题型．二、剖析法的应用如图， SA ⊥平面 ABC ，AB ⊥ BC ，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E ，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F .求证： AF ⊥SC .思路剖析：利用线线垂直、线面垂直的互相转变追求AF⊥ SC建立的条件．当 a＋ b＞0时，求证：a2＋ b2≥22 ( a＋b) ．在剖析法证明中，从结论出发的每一个步骤所获得的判断都是结论建立的充分条件，最后一步归纳到已被证了然的事实．所以，从最后一步能够倒推回去，获得结论，但这个倒推过程能够省略．三、综合法和剖析法的综合应用求证：当x≥0时，sin x≤ x.思路剖析：不等式的建立问题，能够转变为函数最值问题来解决．π已知α，β ≠ kπ＋ 2 ( k∈ Z) ，且sin θ＋ cos θ＝ 2sin α ，①sinθ cosθ ＝sin2β，②1－ tan2 α1－ tan2 β求证： 1＋ tan2 α＝2(1 ＋ tan2 β ) .实质解题时，用剖析法思虑问题，找寻解题门路，用综合法书写解题过程，或许结合使用剖析法与综合法，即从“欲知”想“已知” ( 剖析 ) ，从“已知”推“可知” ( 综合 ) ，左右开弓，两面夹攻，找到交流已知条件和结论的门路．1．设a＝ lg 2 ＋ lg 5 ，b＝ e x( x＜ 0) ，则a与b的大小关系为 __________ ．2．已知函数 f ( x)知足：当 x≥4时， f ( x)＝2x，当 x＜4时， f ( x)＝ f ( x＋1)，则 f (2 2＋ log 3) ＝ __________.3．命题“函数f ( x) ＝x－x ln x 在区间(0,1) 上是增函数”的证明过程“对函数f ( x)＝ x－ x ln x 取导得 f ′( x)＝－ln x，当 x∈(0,1) 时， f ′( x)＝－ln x＞0，故函数 f ( x) 在区间 (0,1) 上是增函数”应用了________的证明方法．2 14．已知实数a≠ 0，且函数f ( x) ＝a( x＋ 1) －2x＋a有最小值－ 1，则a＝ __________.a2＋ b25．增补下边用剖析法证明基本不等式 2 ≥ ab 的步骤：要证明a2＋b2≥ ab，22 2只要证明 a ＋ b ≥2ab，只要证 ________．因为 ________明显建立，所以原不等式建立．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精髓部分和基本技术的要领部分写下来并进行识记 .知识精髓技术要领答案：活动与研究 1：证明：∵ a ＞0，＞0，＞ 0，且＝ 1，b c abc1 1 1∴＋＋＝bc＋ ca＋ ab.a b c又 bc＋ ca≥2 bc·ca＝2 abc2＝ 2 c ，同理 bc＋ ab≥2 b， ca＋ ab≥2 a.∵a， b， c 不全相等，∴上述三个不等式中的“＝”不可以同时建立．∴ 2(bc ＋＋ )＞2( c ＋ a＋ b) ，ca ab即 bc＋ ca＋ ab＞a＋b＋ c.1 1 1a＋b＋ c.故＋＋＞a b c迁徙与应用：证明： (1) 在△PAD中，因为E， F 分别为 AP， AD的中点，所以EF∥ PD.又因为 EF?平面 PCD， PD?平面 PCD，所以直线 EF∥平面 PCD.(2)连接 BD.因为 AB＝ AD，∠ BAD＝60°，所以△ ABD为正三角形．因为 F 是 AD的中点，所以 BF⊥ AD.因为平面 PAD⊥平面 ABCD，BF?平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD，所以 BF⊥平面 PAD.又因为 BF?平面 BEF，所以平面 BEF⊥平面 PAD.活动与研究 2：证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC，故只要证SC⊥平面AEF，只要证 AE⊥ SC，而 AE⊥ SB，故只要证 AE⊥平面 SBC，只要证AE⊥ BC，而 AB⊥ BC，故只要证 BC⊥平面 SAB.只要证 BC ⊥ SA ，而由 SA ⊥平面 ABC 可知 SA ⊥ BC ，即上式建立，∴AF ⊥ SC .迁徙与应用：2证明：要证a2＋b2≥ 2 ( a ＋ b ) ，只要证 ( a2＋ b2) 2≥2(a ＋ b) 2，22212222即证 a＋b ≥ 2( a ＋ b ＋ 2ab ) ，即证 a ＋ b ≥ 2ab . 因为 a 2＋b 2≥ 2ab 对一确实数恒建立，所以 a2＋ b2≥ 2 ( a ＋ )建立．2 b综上所述，不等式得证．活动与研究 3：证明：要证 x ≥ 0 时， sin x ≤ x ，只要证 x ≥ 0 时， sin x － x ≤ 0 即可．设 f ( x ) ＝ sin x － x ，则即证 x ≥ 0 时， f ( x ) ≤0，即证 x ≥ 0 时，f ( x ) 的最大值小于或等于 0 即可． ∵ f ( x ) ＝ sin x － x ，∴ f ′ ( x ) ＝ cos x － 1，∴当 x ≥0 时 f ′( x ) ≤ 0，∴ f ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上递减．∴当 x ≥ 0 时， f ( x )＝ f (0) ＝ 0，max∴ f ( x ) max ≤0 建立，∴原不等式建立．迁徙与应用：1－ tan2 α 1－tan2 β证明：要证 1＋ tan2 α＝ 2(1 ＋ tan2 β )，sin2 α sin2 β1－cos2 α1－cos2β即证1＋ sin2 α ＝sin2 β，cos2α 2 1＋βcos22 2 1 2 2即证 cos α － sin α＝ 2(cos β － sin β ) ，21 2 22即证 1－ 2sin α ＝ 2(1 － 2sin β) ，即证 4sin α － 2sin β ＝ 1. ③ 因为 (sin θ ＋ cos θ ) 2－2sin θ cos θ ＝ 1，所以将①②代入上式，可得4sin 2α － 2sin 2β ＝ 1.因为上式与③同样，于是问题得证．当堂检测1． a ＞ b 分析： ∵ a ＝ lg 2 ＋lg 5 ＝ lg 10 ＝ 1，而 b ＝e x ＜ e 0＝ 1，故 a ＞ b . 2．24 分析：∵ 1＝log 22＜ log 23＜ log 24＝2，∴3＜ log 23＋ 2＜ 4. 由已知得 f (2 ＋ log 23)＝ f (3 ＋ log 23) ＝＝8× 3＝24.3．综合法 4．1 分析： () ＝2－2 ＋11 () min ＝ 1 f x ax － 有最小值， 则 ＞ 0，对称轴x ＝ ，则f x f ax aaaa ＝－1，即1＝ ·1 2 1 122－ 2＝0. ∵ ＞0，f a a －2· ＋ － ＝－1，即 － ＝－1，则a ＋aa a aa aaa∴ a＝1.1 12 1 1 2 2即 f a＝a·a －2·a＋a－a＝－ 1，即a－a＝－ 1，则a＋a－ 2＝0. ∵ a＞0，∴ a＝1.2 2即 a－a＝－1，则 a ＋a－2＝0.∵ a＞0，∴ a＝1.222 25．a＋b－2ab≥ 0 ( a－b) ≥0 ( a－b) ≥ 0。

1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。

6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。

推理必须严谨。

导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

(2)、例子例1、求证：2不是有理数例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a 证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。

年级课程标题高二选修2-2学第2章第数学2节直接证明与间接证明版本苏教版（理）一、学习目标：认识直接证明的两种基本方法：剖析法和综合法；认识剖析法和综合法的思虑过程、特色。

认识间接证明的一种基本方法──反证法；认识反证法的思虑过程、特色。

二、要点、难点要点：认识剖析法和综合法的思虑过程、特色。

难点：运用剖析法、综合法提升剖析问题和解决问题的能力。

三、考点剖析：对两种直接证明方法的考察在选择题、填空题和解答题中都有出现，纯真的考察其实不常有，作为解决问题的工具，与其余知识综合运用的特色比较突出。

它能够和好多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不单要用到不等式的有关知识，还要用到其余数学知识、技术和技巧，并且还考察了运算能力，剖析问题和解决问题的能力。

关于反证法极少独自命题，可是运用反证法剖析问题、进行证题思路的判断则常常用到，有独到之处。

三种证明方法的定义与步骤：综合法是由原由推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公义、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立的证明方法。

剖析法是从要证明的结论出发，逐渐追求推证过程中，使每一步结论建立的充足条件，直到最后，把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件（已知条件、定义、公义、定理等）为止的证明方法。

假定原命题的结论不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假定错误，从而证了然原命题建立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。

用这类方法证明一个命题的一般步骤：（1）假定数题的结论不建立；（2）依据假定进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假定不建立；（4）一定原命题的结论建立。

知识点一：综合法例1关于定义域为0,1的函数f(x)，假如同时知足以下三个条件：①对随意的x0,1，总有f(x)0；②f(1)1；③若x10,x20,x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)建立，则称函数f(x)为理想函数。

2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法的证明思路与步骤.(重点)2.会用综合法、分析法证明一些数学问题.(重点、难点)3.综合法、分析法的格式区别.(易混点)[基础·初探]教材整理直接证明阅读教材P82～P84“练习”以上部分，完成下列问题.直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明.1.综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.(2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论.2.分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.(2)推证过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件.1.判断正误：(1)综合法是直接证明，分析法的过程是演绎推理.( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.( ) (3)证明不等式“2＋7<3＋6”最合适的方法是分析法.( ) (4)在解决问题时，可用分析法寻找解题思路，再用综合法展现解题过程.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2.命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝1＋cos 2θ2－1－cos 2θ2＝cos 2θ”应用了________(填“综合法”或“分析法”).【解析】 从证明的过程可知，本题是从已知条件出发证得结果，故为综合法.【答案】 综合法3.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件为________.【导学号：01580044】【解析】 要证∠A 为钝角，只需证cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0即可，也就是b2＋c 2<a 2.【答案】 b 2＋c 2<a 2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问2：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________解惑：____________________________________________[小组合作型]综合法的应用(1)在△ABC中，已知cos A cos B>sin A sin B，则△ABC的形状一定是__________.(2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m－n|＝__________.(3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)；②a(1－a)≤14；③ba＋ab≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有__________.【自主解答】(1)∵cos A cos B>sin A sin B，∴cos A cos B－sin A sin B>0，∴cos(A＋B)>0，即cos(π－C)>0，∴cos C<0，又0<C<π，∴π2<C<π，所以△ABC是钝角三角形.(2)设方程的四个根分别为x1，x2，x3，x4，则由题意可知，x1＝12，x1x4＝x2x3＝2，∴x4＝4.设公比为q，则x4＝x1q3，∴4＝12·q3，∴q＝2，∴x2＝1，x3＝2，由根与系数的关系可得，m＝x1＋x4＝92，n＝x2＋x3＝3，∴|m－n|＝32.(3)①a2＋b2＋3＝a22＋32＋b22＋32＋a22＋b22≥2a22×b22＋2a22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立). ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立.④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立.【答案】 (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1.综合法处理问题的三个步骤2.用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0).[再练一题] 1.综合法是( ) A.执果索因的逆推证法B.由因导果的顺推证法C.因果分别互推的两头凑法D.原命题的证明方法 【答案】 B分析法的应用设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ).【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键. 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )， 即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式成立.1.当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误.2.逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.[再练一题]2.已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 【导学号：01580045】【证明】 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证.[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【精彩点拨】 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决.【自主解答】法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b ＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，化简，得ca＋b ＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝12，即a2＋c2－b2＝ac成立.∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立. 法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ac cos 60°.所以c2＋a2＝ac＋b2，两边加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3.设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ， 只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1). 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy 成立.1.已知x >0，y >0，且x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为______________. 【解析】 ∵1＝x 3＋y4≥2xy 12＝xy 3.∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立. 【答案】 32.如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________. 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >03.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________.由于__________显然成立，因此原不等式成立.【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.【答案】a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥04.设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________.【导学号：01580046】【解析】因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以1a ＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ac＋ca≥3＋2ba·ab＋2cb·bc＋2ca·ac＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立. 【答案】95.已知a>0，b>0，试用分析法证明不等式ab＋ba≥a＋b.【证明】要证原不等式成立只需证：a a＋b b≥ab(a＋b)，即只需证(a)3＋(b)3≥ab(a＋b)，只需证(a＋b)(a－ab＋b)≥ab(a＋b)，只需证a－ab＋b≥ab，即(a－b)2≥0，而上式显然成立，故原不等式得证.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：打印版本(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________高中数学。

2.2.1 直接证明[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.知识点一 直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.知识点二 综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法.知识点三 分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.思考 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.题型一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ；(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明 (1)由已知，DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，又由三棱柱的性质可得AC ∥A 1C 1，∴DE ∥A 1C 1，且DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，∴DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1，又∵A 1B 1⊥A 1C 1，且A 1B 1∩AA 1＝A ，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1，∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D ，又∵A 1F ⊥B 1D ，且A 1F ∩A 1C 1＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F ，又∵B 1D ⊂平面B 1DE ，∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .题型二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 综上所述，不等式得证.反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪训练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ).由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .题型三 综合法和分析法的综合应用例3 已知A.B.c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ). 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立.∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪训练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有________个.答案 4解析 ①②③⑤正确.2.设a ，b 是两个正实数，且a <b ，则下列式子一定成立的是________.①a >a ＋b 2>ab >b ；②b >ab >a ＋b 2>a ；③b >a ＋b 2>ab >a ；④b >a >a ＋b 2>ab . 答案 ③3.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。

第5课时直接证明(1)教学过程一、问题情境问题1在《数学5(必修)》中,我们是如何证明基本不等式≤(a>0,b>0)的?[3]证法一对于正数a,b,有(-)2≥0⇒a+b-2≥0⇒a+b≥2⇒≥.证法二要证≤,只要证2≤a+b,只要证0≤a-2+b,只要证0≤(-)2.因为最后一个不等式恒成立,所以≤成立.方法3:左边-右边=……(比较法)二、数学建构问题2即时体验题1的证明方法是什么方法?解综合法.问题3问题1的证明方法是什么方法?解证法1是综合法,证法2是分析法.问题4如何用综合法进行证明?解从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.问题5如何用分析法进行证明?解从问题的结论出发,倒推寻找结论成立的条件,逐步倒推,直到找到使结论成立的条件和已知条件或已知事实相符合.通过讨论,回顾综合法和分析法的定义和特点.从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.综合法与分析法的推证过程如下:综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论;分析法结论⇐…⇐…⇐已知条件.上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明,直接证明的一般形式为:⇒…⇒本题结论综合法和分析法都是直接证法.三、数学运用【例1】(教材第83页例1)已知AB,CD相交于点O,△ACO≌△BDO,AE=BF,求证:CE=DF.[4](见学生用书P41)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用分析法倒推分析,体会分析法思路.[规范板书]证法一(分析法)要证明CE=DF,只需证明△ECO≌FDO,为此只需证明为了证明CO=DO,只需证明△ACO≌△BDO.为了证明EO=FO,只需证明AO=BO,也只需证△ACO≌△BDO.由于△ACO≌△BDO是已知的,又因为∠EOC与∠FOD是对顶角,所以它们相等,从而△ECO≌△FDO成立,因此命题成立.[题后反思]用分析法证明命题,(1)要注意书写的格式,通常“要证明……就要证明……”是必不可少的;(2)要注意条件的关系,后面的条件应该是前面结论成立的充分条件.证法二(综合法)因为△ACO≌△BDO,所以CO=DO,AO=BO.因为AE=BF,所以EO=FO.在△ECO和△FDO中,所以△ECO≌△FDO,所以CE=DF.[题后反思]综合法的书写比较简洁,但不是简单的把分析法的思路倒过来抄一遍,还要求学会合理组织文字进行表达.【例2】已知a,b,c,d∈R,分别用分析法和综合法证明:ac+bd≤.[5](见学生用书P42)[处理建议]先让学生思考,再用分析法倒推寻找证明的思路,然后用综合法书写.[规范板书]证法一(分析法)①当ac+bd≤0时,显然成立.②当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcd≤b2c2+a2d2,即证0≤(bc-ad)2,因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,综合①②知,命题得证.[题后反思]在上述证明过程中,缺少①式环节,直接两边平方的证明思路是不对的.证法二(分析法)欲证ac+bd≤,由于ac+bd≤|ac+bd|对a,b,c,d∈R恒成立,只需证|ac+bd|≤,又只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcd≤b2c2+a2d2,即证0≤(bc-ad)2,因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,命题得证.[题后反思]运用性质x≤|x|(即ac+bd≤|ac+bd|)来过渡的方法是很巧妙的.证法三(综合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,所以≥|ac+bd|≥ac+bd.[题后反思]从上面例题可以看出,分析法解题方向较为明确,利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表达.因此,在实际解题时,通常先以分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.四、课堂练习1.在▱ABCD中,AE⊥BD,垂足为E;CF⊥BD,垂足为F.求证:AE=CF.证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD且AB=CD,因为AB∥CD,所以∠ABD=∠CDB,因为AE⊥BD,CF⊥BD,所以∠AEB=∠CFD=90°,所以△ABE≌△CDF,所以AE=CF.2.设a,b是两个相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.证明因为a,b是两个相异的正数,所以a2+b2>0且Δ=(4ab)2-4(a2+b2)·2ab=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a-b)2,因为a≠b,所以(a-b)2>0,所以Δ=-8ab(a-b)2<0,所以关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.3.求证:->-.证明要证明->-,只需证明+>+,只需证明(+)2>(+)2,展开得8+2>8+2,即要证>.而>显然成立,所以->-成立,即原命题得证.4.设a,b为两个不相等的正数,且a+b=1,分别用分析法、综合法证明:+>4.证法一(分析法)因为a>0,b>0,a+b=1,要证+>4成立,只需证>4成立,即需证>4成立.即需证ab<成立.而由已知条件可知a≠b,有1=a+b>2,即2<1,所以ab<成立.由此命题得证.证法二(综合法)因为a≠b,a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b>2,所以2<1,所以ab<.所以>4,所以>4.即+>4,由此命题得证.五、课堂小结1.分析法:解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法:条理清晰,易于表述.通常以分析法寻求思路,再用综合法有条理地表述解题过程.2.证题过程中注意综合法与分析法结合.在分析法和综合法的思考过程中,“变形”是解题的关键,是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.。

第二章推理与证明 2.2.1直接证明学习目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；了解综合法的思考过程、特点。

2、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

学习过程：一、预习：1、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形求证：AB=CD，BC=DA思考：以上证明方法有什么特点？观察下面问题的证法：设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。

(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

思考：以上证明方法有什么特点？小结：一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．(逆推证法)分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

二、课堂训练：例1．设x > 0，y > 0，证明不等式：31332122)()(y x y x +>+例2、求证：5273<+例3、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0（用两种方法）例4、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a3+b3＞a2b+ab2．（用两种方法）三、巩固练习：1、已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc2、设a 、b 是两个正实数，且a≠b ，求证：a 3+b 3＞a 2b+ab 2．3、证明：3422+-=x x y 在),2[+∞是增函数。

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明一、基础过关1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是________．①若a >b ，则ac 2>bc 2②若a c >b c，则a >b ③若a 3>b 3且ab <0，则1a >1b④若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件．3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是________．4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有__________成立．①1≤ab ≤a 2＋b 22 ②ab <1<a 2＋b 22③ab <a 2＋b 22<1 ④a 2＋b 22<ab <1 5．已知a ，b 为非零实数，则下列四个条件中使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分不必要条件是________．①ab >0 ②ab <0③a >0，b <0 ④a >0，b >0二、能力提升6．设0<x <1，a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x，则a 、b 、c 的大小关系为________． 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________．8．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________． 9．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围．10．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 211．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 三、探究与拓展12．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c .答案1．③2．充要3．24．②5．③6．a <b <c7．a >c >b8．p >q9．解 a a ＋b b >a b ＋b a⇔a a －a b >b a －b b⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 即a ≥0，b ≥0，且a ≠b .10．证明 方法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0， 所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.方法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0，只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立．11．证明 由1b －1a>1及a >0可知0<b <1， 要证1＋a >11－b， 只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0即a －b ab >1，即1b －1a>1， 这是已知条件，所以原不等式得证．12．证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需证log x (a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2)<log x (abc )． 由已知0<x <1，得只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0， a ＋c 2≥ac >0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。

第6课时直接证明(2)教学过程一、问题情境复习回顾:1.直接证明的一般形式为:⇒…⇒本题结论2.(1)综合法与分析法要点对照表综合法分析法定义从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止思维过程原因⇒结果,又名“顺推证法”,“由因导果法”由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”思维特点从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件步骤已知条件⇒…⇒…⇒结论结论⇐…⇐…⇐已知条件(2)对分析法证题的说明“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:要证明(或为了证明)B成立,只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)……要证明A k成立,只需证明A成立(A是A k成立的充分条件),因为A成立,所以B成立.注:①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;②在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的;③“只需证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.二、数学运用【例1】已知a>b>c,求证:++≥0.[1](见学生用书P43)[处理建议]本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.[规范板书]要证原不等式成立,由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,因此移项,只需证+≥.通分,得≥,即证≥.只需证(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立.因为4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2,所以≥,即-≥0,所以++≥0.[题后反思](1)分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.(2)用分析法寻找思路,用综合法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.变式1若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.[规范板书]证法一(分析法)要证lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c,只需证lg>lg(abc),只需证··>abc.又≥>0,≥>0,≥>0.且上述三式中的等号不全成立,所以··>abc.因此lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.证法二(综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,所以≥>0,≥>0,≥>0.所以··>abc,所以lg>lg(abc),所以lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.变式2设a,b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.[规范板书]证法一(分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2>ab成立,(因为a+b>0)只需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然成立.所以原不等式成立.证法二(综合法)因为a≠b,所以a-b≠0,所以(a-b)2>0,所以a2-2ab+b2>0,所以a2-ab+b2>ab.因为a+b>0,所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),所以a3+b3>a2b+ab2.[题后反思]还有其他证明方法吗?此题可以用作差比较法进行证明.【例2】若实数x≠1,求证:3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[2](见学生用书P43)[处理建议]在不等式问题的证明方法中,比较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.[规范板书]证明(差值比较法)3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2.因为x≠1,从而(x-1)2>0,且+>0,所以2(x-1)2>0,所以3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[题后反思](1)比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.(2)用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.(3)若题设中去掉x≠1这一限制条件,要求证的结论如何变化?变式已知a,b均为正实数,求证:a a b b≥a b b a.[规范板书]证法一(差值比较法)不妨设a≥b>0.因为a-b≥0,所以a b b b≥0,a a-b-b a-b≥0.所以a a b b-a b b a=a b b b(a a-b-b a-b)≥0,从而原不等式得证.证法二(商值比较法)设a≥b>0,因为≥1,a-b≥0,所以=≥1.故原不等式得证.[题后反思]在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.三、课堂练习1.已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc,因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc.因此,a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.2.已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.证明左边-右边=2(ab+bc-ac),因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.又因为a,b,c都是正数,所以0<b=≤<a+c,所以a+c>b,所以2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,所以a2+b2+c2>(a-b+c)2.四、课堂小结1.对于那些较为复杂的数学命题,不论是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,只靠分析法或综合法有时较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用,即常采取同时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论,构建出证明的有效路径.这种思考模式可以概括如下图所示.(图1)综合法与分析法是逻辑推理的重要方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法结合并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析-综合法.2.在不等式的证明中,比较法是一种常用而且有效的方法,也是直接证明不等式的重要方法.。

2.2.1 直接证明一、填空题1．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x 求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2；③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2.则正确的序号是________．【解析】“2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】③3．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α，β同号，∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5.【答案】①③⇒②图2－2－24．如图2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD⊥平面AA1C1C即可．【答案】ABCD为正方形(ABCD为菱形或AC⊥BD等)5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的大小关系是x________y.【解析】 要比较x ，y 的大小．∵x ＞0，y ＞0，只需比较x 2，y 2的大小，即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b. ∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 则x 2＜y 2.∴x ＜y.【答案】 ＜6．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立． 【答案】 37．已知f(x)＝a （2x ＋1）－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 【解析】 法一 函数的定义域为R ，函数为奇函数，当x ＝0时f(0)＝0，即2a －22＝0.∴a ＝1.法二 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)恒成立．即a （2－x ＋1）－22－x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1， 即a （1＋2x ）－21＋x 2x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1.【答案】 18．已知△ABC 的两顶点A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，顶点C 在双曲线的右支上，则sin C sin A －sin B＝________． 【解析】 ∵A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，C 在双曲线的右支上， ∴|AB|＝29＋16＝10，|CA|－|CB|＝6，由正弦定理，得sin C sin A －sin B ＝|AB||BC|－|AC|＝－53. 【答案】 －53二、解答题 9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求证：△ABC 为正三角形．【证明】 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)， ∴B ＝60°.∵a ，b ，c 等差，∴2b ＝a ＋c ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（a ＋c 2）22ac ＝12， ∴a ＝c.又∵B ＝60°，∴△ABC 为正三角形．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 【证明】 由1b －1a＞1，及a ＞0知b ＞0. 要证明1＋a ＞11－b， 只需证明1＋a·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，只要证明a －b ＞ab ，即证a －b ab ＞1，也就是1b －1a＞1， ∵1b －1a＞1成立(已知)， 故原不等式1＋a ＞11－b成立．图2－2－311．如图2－2－3所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC.所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，∵AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE.。

2019-2020学年苏教版选修2-2 直接证明与间接证明教案【教学重点】：了解综合法、分析法的思考过程、特点；运用综合法、分析法证明数学问题。

【教学难点】：根据问题特点，选择适当的证明方法证明数学问题。

【教学过程设计】：【练习与测试】：1．命题“对任意角θθθθ2cos sin cos ,44=-都成立”的证明过程如下：“θθθθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos 22222244=-=+-=-”，该过程应用了（ ）A. 分析法B. 综合法C. 综合法与分析法结合使用D. 间接证法 答案：B解：因为是利用三角公式和乘法公式直接推出结论，故选B 。

2. 已知20πα<<，求证：1cos sin 44<+αα。

证明：ααααααα2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+而20πα<<，故02sin ,20><<απα∴12sin 211cos sin 244<-=+ααα 求证式成立。

3. 求证：5321232log 19log 19log 19++<证明：因为1log log a b b a=，所以左边= 23191919191919log 52log 33log 2log 5log 3log 2++=++=23191919log (532)log 360log 3612⨯⨯=<=所以5321232log 19log 19log 19++<成立4．求证：如果lg lg ,0,lg22a b a ba b ++>≥则证明：当,0,2a ba b +>≥有上式两端取对数得：lg 2a b+≥从而lg()lg lg lg 222a b ab a b ++≥=所以，命题得证。

5．设a>b>0且ab=1，求证：22a b a b+≥- 证明：222()22()()a b a b ab a b a b a b a b +-+==-+--- ∵a>b>0， ∴a-b>0因此有2()()a b a b -+≥=-所以，命题得证。

课型：新授课教学目标：1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。

2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。

3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。

教学过程：2复习 合情推理和演绎推理的过程 3 案例：例一 正整数平方和公式的推导。

提出问题我们知道，前n 个正整数的和为1S (n)=1+2+3+…….+n= 21n(n+i) ①那么，前n 个正整数的平方和 2S （n ）＝2222........321n ++++＝？ ②三，数学活动思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想 2S （n ）＝6)12)(1(++n n n思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？思路2 （演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。

2 把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页左右两边分别相加，等号两边的2S （n ）被消去了，所以无法从中求出 2S （n ）的值，尝试失败了。

（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。

左右两边相加，终于导出了公式。

思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。

四，数学理论：上面的案例说明：五，巩固练习：阅读课本第39页棱台体积公式的探求通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：1 。

案例中的数学活动是由哪些环节构成的？2 。

在上这个过程中提出了哪些猜想？3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？六，教学小结：七，作业：八，教后感：。

两种证明诠释一、知识解析 1．直接证明（1）定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．（2）一般形式：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫已知定理已知公理已知定义本题条件⇒…⇒本题结论．（3）常用方法：常用的直接证明的方法包括综合法、分析法，后面要学习的数学归纳法也是直接证明的一种常用方法．①综合法：从已经条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．综合法的一般形式：已知条件⇒…⇒…⇒结论．②分析法：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上推，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为分析法．分析法的一般形式：结论⇐…⇐…⇐已知条件． 2．间接证明（1）定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．（2）常用方法：常用的间接证明的方法包括反证法、同一法、枚举法等。

我们这里重点加以分析反证法．（3）反证法①定义：从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程，这种证明方法称为反证法．②一般形式：“否定——推理——否定”． ③证明命题“若p 则q ”的反证法过程：肯定条件p 否定结论q →导致逻辑矛盾→“p 且q ⌝”为假→“若p 则q ”为真． 二、学法剖析1．证明与推理的关系密切但不等同．证明过程一定是推理过程，而且通常为演绎推理过程．合情推理主要用于证明；推理未必用于证明，还可以用于计算．2．数学证明是引用公理、定理等已知的真命题来确定某一命题正确性的一种思维形式．要证明一个命题为真，可以直接从原命题入手，也可以间接地从它的等价命题入手，因此证明的方法可以分为直接证明和间接证明．3．分析法和综合法各有优劣．分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述．分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢已知，可谓执果索因，常常跟底渐近，因而更容易成功；而综合法是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”，可谓由因导果，但过程往往节枝横生，不易奏效．但就论述形式而言，综合法较分析法要简洁得多．因此在数学证明时，常先用分析法理清已知与求证之间的联系，再用综合法写出来．在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．。

高二数学直接证明与间接证明苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 直接证明与间接证明二. 重点、难点：教学重点：了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点． 教学难点：分析法的证题格式与反证法的思想．三. 基础知识与基本方法 1、知识结构2、综合法一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．特点：“由因导果” 综合法用框图表示为：12P Q Q Q ⇒⇒⇒⇒．3、分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显成立的结论 4、反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理，引出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的的证明方法叫反证法．（1）反证法的思维方法：正难则反．（2）反证法的基本步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． （3）归缪矛盾的途径： ①与已知条件矛盾；②与已有公理、定理、定义矛盾； ③自相矛盾．（4）应用反证法的情形： ①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论.③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题； ④结论为“唯一”类命题；【典型例题】例1. 已知a 、b 、c 不相等正，且abc ＝1，求证：c1b 1a 1c b a ++<++. 法1：∵a 、b 、c 不相等正，且abc ＝1， ∴ab ca bc c1b 1a 1++++＝c b a cab bc a abc 2bcab 2ab ca 2ca bc 222++++>+++++＝＝∴c 1b 1a 1c b a ++<++成立 法2：∵a 、b 、c 不相等正，且abc ＝1∴ab1ca 1bc 1c b a ++++＝c1b 1a 12b 1a 12a 1c 12c 1b 1+++++++<＝ ∴c1b 1a 1c b a ++<++成立例2. 如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．（1）求证 ∠A n C n B n ＝ 90º（2）求证点n C 的纵坐标是一个定值，并求这个定值．（3）若123n FC FC FC FC 、、、、构成首项为3，公比为2的等比数列，求112233n n A B A B A B A B ++++证明：（1）对任意固定的1,n ≥因为焦点F （0，1），所以可设直线n n A B 的方程为 1,n y k x -=将它与抛物线方程24x y =联立得2440n x k x --=，由一元二次方程根与系数的关系得4(1)n n x s n =-≥……★对任意固定的1,n ≥利用导数知识易得抛物线24x y =在n A 处的切线的斜率,2n nA x k =故24x y =在n A 处的切线的方程为： ()2nn n x y y x x -=-，……① 类似地，可求得24x y =在n B 处的切线的方程为：()2n n n s y t x s -=-，……②又1,22n n n n A B s xk k ⋅=⋅=- 故∠A n C n B n ＝ 90º（2）又由②－①得：22222244n n n n n nn n x s x s x s y t x ---=-+=-，22,242n n n n n n x s x s x sx x --+=∴=……③ 将③代入①并注意4n n x s =-得交点n C 的纵坐标为-1．（3）由抛物线定义知，n A F =1n y +，n FB =1n t +，又n n n n A B A F FB =+故222244n nn n n n x s A B y t =++=++ 而由两点间的距离公式得：2222()42244n n n n nx s x s FC +=+=++故 n n A B =2n FC 故22211124n n nn n n A B FC A B FC ---===所以11{}9n n A B A B =是首项为，公比为4的等比数列， 112233n n A B A B A B A B ++++＝3(41)n -例3. 设抛物线y 2＝2px （p>0）的焦点为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴（如图），证明直线AC 经过原点Ｏ．证明一：因为抛物线y 2 ＝2px （p ＞0）的焦点为F （2p，0）， 所以经过点F 的直线的方程可设为2pmy x +=； 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 ＝ 0， 若记A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1，y 2是该方程的两个根， 所以y 1y 2 ＝ －p 2.因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x ＝ －2p 上，所以点c 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=. 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O .证明二：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，D 是垂足. 则AD ∥FE ∥BC .连结AC ，与EF 相交于点N ，则ABBF AC CN AD EN ==，，ABAF BCNF = 根据抛物线的几何性质，AD AF =，BC BF =，∴ NF ABBC AF ABBF AD EN =⋅=⋅=，即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O .例4. 已知a>5，求证：a 2a 3a 5a --<---.证明：a -5a -3a -2a a -5a a -2a -3a(a -5)<(a -2)(a -3) 只需证a(a -5)<(a -2)(a -3) 只需证0<6因为 0<6 成立. 所以 a -5a -3a -2a .例5. 如图，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证AF ⊥SC ．证明：要证AF⊥SC只需证：SC⊥平面AEF只需证：AE⊥SC只需证：AE⊥平面SBC只需证：AE⊥BC只需证：BC⊥平面SAB只需证：BC⊥SA只需证：SA⊥平面ABC因为：SA⊥平面ABC成立所以AF⊥SC成立例6. 如图：已知l1、l2是异面直线且A、B∈l1，C、D∈l2，求证：AC，BD也是异面直线．证明：假设AC，BD是共面直线，则A，B，C，D四点在同一个平面β内，则A、B ∈β，得l1⊂β，C、D∈β，得l2⊂β，即l1 l2共面，与已知条件矛盾．例7. A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？分析：假设C没有撒谎，则C真，那么A假且B假；由A假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C必定是在撒谎．例8. 已知a≠0，证明x的方程ax＝b有且只有一个根．证明：假设方程ax＝b有两个不等的实根x1，x2则ax1＝b，ax2＝b.则a（x1-x2）＝0，则a＝0矛盾．【模拟试题】（时间60分钟，满分100分）一. 选择题（每小题5分，共35分）1、已知实数a ， b 满足等式23,a b =下列五个关系式①0<b <a ②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a ＝b其中不可能．．．成立的关系式有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A. 0,1<>b aB. 0,1>>b aC. 0,10><<b aD. 0,10<<<b a3、已知22,,21x y R x y x y ∈+≥+≥则是的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4、实数a 、b 、c 不全为0的条件是（ ）． A. a 、b 、c 均不为0； B. a 、b 、c 中至少有一个为0； C. a 、b 、c 至多有一个为0； D. a 、b 、c 至少有一个不为0． 5、设m ≠n ，x ＝m 4-m 3n ，y ＝n 3m-n 4，则x 与y 的大小关系为（ ）． A. x>y ； B. x ＝y ； C. x<y ； D. x ≠y ．6、下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有（ ）个．A. 2；B. 3；C. 4；D. 5． 7、在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1D. 0二. 填空题（每小题5分共25分）8、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则(1)(2)______________.f f +=9、△ABC 中，tan A + tan B + tan C > 0，则△ABC 中锐角的个数为 10、如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2-3n ，那么这个数列是 数列． 11、命题“△ABC 中，若∠A>∠B ，则a>b ”的结论的否定是 ．12、同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐．①A 不在修指甲，也不在看书 ②B 不在听音乐，也不在修指甲③如果A 不在听音乐，那么C 不在修指甲 ④D 既不在看书，也不在修指甲 ⑤C 不在看书，也不在听音乐若上面的命题都是真命题，问她们各在做什么？A 在B 在C 在D 在 ．三. 解答题（共40分）：13、（满分13分）用适当方法证明：已知：0,0>>b a ，求证：b a abb a +≥+．14、（满分13分）设函数2()45f x x mx =++， （1）若()0f x ≤的解集为空集，求m 的范围．（2）求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于113．15、（满分14分）已知函数()f x ax b =+，当11[,]x a b ∈时，值域为22[,]a b ，当22[,]x a b ∈时，值域为33[,]a b ，…，当11[,]n n x a b --∈时，值域为[,]n n a b ，…．其中a 、b 为常数，a 1＝0，b 1＝1．（1）若a ＝1，求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；（2）若0,1a a >≠，要使数列{b n }是公比不为1的等比数列，求b 的值．[参考答案]http//1、C2、C3、A4、D5、A6、B7、D8、09、3 10、等差 11、a ≤b12、A 在听音乐 B 在看书 C 在修指甲 D 在梳头发 13、证明：∵0b ,0a >>，aa b bb a a ab b ba b a ab ba -+-=-+-=+-+0ab)b a ()b a ()a1b1)(b a (2≥+-=--=.b a ab ba +≥+∴14、解：（1）由2()45f x x mx =++0≤的解集为空集，得24450m ∆=-⨯⨯<故m 的范围为m -<<（2）因为(1)9,(2)212,(3)413f m f m f m =+=+=+故(1)(2)(3)(1)(2)(3)11f f f f f f ++≥+-= ……★(1),(2),(3)f f f 11假设都小于3， 则111111(1)(2)(3)11333f f f ++<++=与★矛盾(1),(2),(3)f f f ∴中至少有一个不小于113 ．15、解：⑴∵a ＝1>0，∴f （x ）＝ax ＋b 在R 上为增函数， ∴a n ＝a ·a n －1＋b ＝a n －1＋b ，b n ＝b n －1＋b （n ≥2）， ∴数列{a n }，{b n }都是公差为b 的等差数列．又a 1＝0，b 1＝1，∴a n ＝（n －1）b ，b n ＝1＋（n －1）b （n ≥2）⑵∵a >0，b n ＝ab n －1＋b ，∴b n b n －1＝a ＋b b n －1，由{b n }是等比数列知bb n －1为常数．又∵{b n }是公比不为1的等比数列，则b n －1不为常数，∴必有b ＝0．。

“直接证明与间接证明”知能阐释一、要点透析1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。

用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后（它基于题设或已知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证。

并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到。

当然，在较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路。

2．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。

用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些判断（或命题）都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适。

这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子。

当证题不知从何入手时，有时可运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效。

3．综合法和分析法的区别与联系分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件；综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件。

分析法与综合法各有其特点，有些具体的特征命题，用分析法和综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种。

2.2.1 直接证明(二)课时目标 1.进一步理解综合法和分析法.2.利用综合法、分析法解决一些数学问题和简单的应用问题．1．综合法证题由因导果，分析法是____________．2．分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路，综合法条理清晰，重于表述．一、填空题1．已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝1－ab ，则a ＋b 的取值范围是________．2．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y，则A 与B 的大小关系为____________． 3．已知函数y ＝x ＋a x在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__________． 4．关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实根，则a 的取值范围为________．5．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是____________三角形．6．已知x >0，y >0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为______． 7．已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x的值为________． 8．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1) (n ∈N *)，则n ＝________.二、解答题9．如果3sin β＝sin(2α＋β)．求证：tan(α＋β)＝2tan α.10．已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c .用分析法证明：ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.能力提升11．用综合法证明：1log519＋2log319＋3log219<2.12．已知a>0，b>0，用两种方法证明：ab＋ba≥a＋b.1．在审题时，要尽可能的挖掘题目条件提供的信息，熟练地对文字语言、符号语言、图形语言进行转换．2．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．2．2.1直接证明(二)答案知识梳理1．执果索因作业设计1．[22－2,1)解析 a ＋b ＝1－ab ≥1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，设a ＋b ＝t ， 则有t 2＋4t －4≥0，∴t ≥22－2或t ≤－22－2(舍)，又a ＋b ＝1－ab <1，∴a ＋b ∈[22－2,1)．2．A <B解析 x1＋x ＋y1＋y >x1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y＝x ＋y1＋x ＋y .3．(－∞，4]解析 y ＝x ＋a x ，当a ≤0时，显然在[2，＋∞)上是增函数；当a >0时，y ＝x ＋a x 在[a ，＋∞)上是增函数， ∴a ≤2，得0<a ≤4.综上，a ≤4.4．[－3,0)5．等边解析 ∵OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴O 是△P 1P 2P 3的重心．又∵|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|， ∴O 是△P 1P 2P 3的外心，∴△P 1P 2P 3是等边三角形．6．3解析 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝xy3.∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立．7．49解析 由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝2，可得tan x ＝13，∴tan 2x ＝34.∴tan x tan 2x ＝13×43＝49. 8．2解析 根据f (2)＝log a 2＋2－b <log a a ＋2－3＝0，f (3)＝log a 3＋3－b >log a a ＋3－4＝0，而函数f (x )在(0，＋∞)上连续，且单调递增，故函数f (x )的零点在区间(2,3)内，故n ＝2.9．证明 ∵3sin β＝sin(2α＋β)，∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α.∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.10．证明 依题意a >0，b >0，所以1＋ab >0,1＋a ＋b >0， 所以要证ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b， 只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )，只需证ab <a ＋b ，只需证ab <(a ＋b )2，只需证a 2＋b 2＋ab >0，因为a 2＋b 2＋ab ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0成立， 所以ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b成立． 11．证明 因为log a b ＝1log b a， 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.12．证明 方法一 (综合法)： 因为a >0，b >0， 所以ab ＋ba －a －b＝⎝⎛⎭⎫ab －b ＋⎝⎛⎭⎫ba －a＝a －b b ＋b －aa ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以ab ＋b a ≥a ＋b .方法二 (分析法)：要证a b ＋ba ≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ， 即证(a －b )(a －b )≥0，因为a >0，b >0，a －b 与a －b 同号， 所以(a －b )(a －b )≥0成立， 所以ab ＋ba ≥a ＋b 成立．。