直接证明和间接证明教案

7.5 直接证明与间接证明课前 考点引领考情分析 考点新知 了解分析法、综合法、反证法，会用这些方法处理一些简单命题． ① 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. ② 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 知识清单1. 直接证明(1) 定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2) 一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理A B C …本题结论．(3) 综合法① 定义：从 出发，以已知的 、 、 为依据，逐步 ，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．② 推证过程已知条件……结论(4) 分析法① 定义：从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步 ，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法称为分析法．② 推证过程结论……已知条件 2. 间接证明(1) 常用的间接证明方法有 、 等．(2) 反证法的基本步骤① ——假设命题的 不成立，即假定原结论的反面为真．② ——从 和 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出 结果． ——由 结果，断定 不真，从而肯定原结论成立．课中 技巧点拨题型精选题型1 直接证明(综合法和分析法)例1 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1，2，3，…)，证明： (1) 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2) S n ＋1＝4a n .例2 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c .变式训练设首项为a 1的正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数，已知对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q m S n 总成立．求证：数列{a n }是等比数列．题型2 间接证明(反证法)例3 证明：2，3，5不能为同一等差数列中的三项．备选变式（教师专享）已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．疑难指津1. 分析法的特点是从未知看已知，逐步靠拢已知，综合法的特点是从已知看未知，逐步推出未知．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较烦；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2. 反证法是从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，说明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法．适宜用反证法证明的数学命题：①结论本身是以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题．答案知识清单1.(3)①已知条件 定义、公理、定理 下推(4)①问题的结论 上溯2. (1)反证法 正难则反(2)① 反设 结论 ② 归谬 反设 已知 矛盾存真 矛盾 反设例1证明：(1) ∵ a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1，2，3，…)， ∴ (n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，∴ S n ＋1n ＋1＝2·S n n ， 即S n ＋1n ＋1S n n＝2，∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列． (2) 由(1)知：S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，于是S n ＋1＝4·(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，∴ S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4a 1，∴ 对一切n ∈N *，都有S n ＋1＝4a n .例2证明：(分析法)由于a >1，b >1，c >1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lg c ，只要证明lgc lga ＋lgc lgb≥4lg c ，即lga ＋lgb lga·lgb ≥4，因为ab ＝10，故lg a ＋lg b ＝1.只要证明1lgalgb≥4，由于a >1，b >1，故lg a >0，lg b >0，所以0<lg a lg b ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立． 变式训练证明：因为对任意正整数n 、m ，S n ＋m ＝S m ＋q m S n 总成立，令n ＝m ＝1，得S 2＝S 1＋qS 1，则a 2＝qa 1.令m ＝1，得S n ＋1＝S 1＋qS n ①， 从而S n ＋2＝S 1＋qS n ＋1 ②，②－①得a n ＋2＝qa n ＋1(n ≥1)，综上得a n ＋1＝qa n (n ≥1)，所以数列{a n }是等比数列．例3证明：假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m 、n 满足⎩⎨⎧3＝2＋md ①，5＝2＋nd ②， ①×n －②×m 得3n －5m ＝2(n －m )，两边平方得3n 2＋5m 2－215mn ＝2(n －m )2，左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，故假设不正确，即2，3，5不能为同一等差数列的三项．备选变式（教师专享）解：若方程没有一个实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4（3－4a ）<0，（a －1）2－4a 2<0，4a 2＋8a<0，解之得－32<a <－1. 故三个方程至少有一个方程有实数根的a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a≥－1或a≤32.。

直接证明和间接证明课程教案第一章：引言1.1 课程目标本课程旨在帮助学生理解直接证明和间接证明的基本概念，掌握它们的应用方法，并能够灵活运用这两种证明方式解决实际问题。

1.2 课程内容本章将介绍直接证明和间接证明的定义、分类和基本方法。

1.3 教学方法采用讲授、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。

第二章：直接证明2.1 定义和分类2.1.1 直接证明的定义直接证明是通过逻辑推理，直接从已知事实或前提出发，推导出要证明的结论。

2.1.2 直接证明的分类（1）直接逻辑推理：根据已知事实或前提，直接推导出结论。

（2）数学归纳法：先证明基本情况，再证明归纳步骤。

2.2 基本方法2.2.1 演绎法从一般到特殊的证明方法，即从一般原理推导出特殊情况下的结论。

2.2.2 归纳法从特殊到一般的证明方法，即先证明特殊情况，再推导出一般结论。

第三章：间接证明3.1 定义和分类3.1.1 间接证明的定义间接证明是通过证明相反命题的假性，从而证明原命题的真性。

3.1.2 间接证明的分类（1）反证法：假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。

（2）归谬法：假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。

3.2 基本方法3.2.1 反证法假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。

3.2.2 归谬法假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。

第四章：证明的辅助方法4.1 数学归纳法数学归纳法是一种包含直接证明和间接证明的方法，先证明基本情况，再证明归纳步骤。

4.2 逆否命题法将原命题的逆否命题作为证明对象，先证明逆否命题，再根据逆否命题与原命题的等价性得出原命题的证明。

第五章：练习与案例分析5.1 练习题设计一些有关直接证明和间接证明的练习题，帮助学生巩固所学内容。

5.2 案例分析分析一些实际案例，让学生运用直接证明和间接证明的方法解决问题。

教学准备1. 教学目标一. 知识及技能目标（1）了解直接证明的两种基本方法: 综合法和分析法.（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点.二. 过程及方法目标（1）通过对实例的分析、归纳及总结, 增强学生的理性思维能力.（2）通过实际演练, 使学生体会证明的必要性, 并增强他们分析问题、解决问题的能力．三. 情感、态度及价值观通过本节课的学习, 了解直接证明的两种基本方法, 感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用, 养成言之有理、论之有据的好习惯, 提高学生的思维能力．2. 教学重点/难点教学重点: 综合法和分析法的思维过程及特点。

教学难点: 综合法和分析法的应用。

3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、复习引入【师】证明对我们来说并不陌生, 我们在上一节学习的合情推理, 所得的结论的正确性就是要证明的, 并且我们在以前的学习中, 积累了较多的证明数学问题的经验, 但这些经验是零散的、不系统的, 这一节我们将通过熟悉的数学实例, 对证明数学问题的方法形成较完整的认识。

合情推理分为归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基本证明方法——直接证明及间接证明。

今天我们先学习直接证明。

二、新知探究（一）知识点一:综合法1.引例探究证明下列问题: 已知a,b>0,求证: /问题1: 其左右两边的结构有什么特点？【生】右边是3个数a, b, c的乘积的4倍, 左边为两项之和, 其中每一项都是一个数及另两个数的平方和之积.问题2: 利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和及这两个数的积的不等关系？【生】基本不等式问题3: 步骤上应该怎么处理？【解答过程】问题4: 讨论上述证明形式有什么特点？【生】充分讨论, 思考, 找出以上问题的证明方法的特点2.形成概念。

直接证明和间接证明(4个课时)教案2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点:比较法的意义和基本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立 小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． （最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．（四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点 综合法证明不等式. (二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式. (三)德育渗透目标 掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有: (1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |;(3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R);ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号；（7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点: 比较法的意义和基本步骤.教学难点: 常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 . 已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a ba b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a ba b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题． 练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学． （四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 32211xx ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证：2,()a ba bR a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号.(6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号； （7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明的概念1.2 间接证明的概念1.3 直接证明与间接证明的区别与联系第二章：直接证明的方法与技巧2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 反证法第三章：间接证明的方法与技巧3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用实例4.1 几何证明实例4.2 代数证明实例4.3 数列证明实例4.4 函数证明实例第五章：总结与练习5.1 直接证明与间接证明的总结5.2 相关练习题及解答第六章：综合性练习与拓展6.1 综合性练习题及解答6.2 证明方法的拓展与应用6.3 证明题目的设计与分析第七章：数学竞赛中的直接证明与间接证明7.1 数学竞赛中直接证明的问题类型7.2 数学竞赛中间接证明的问题类型7.3 数学竞赛证明题目的解题策略第八章：直接证明与间接证明在实际问题中的应用8.1 直接证明在实际问题中的应用案例8.2 间接证明在实际问题中的应用案例8.3 直接证明与间接证明在科学研究中的应用第九章：数学史中的直接证明与间接证明9.1 古代数学家与直接证明9.2 古代数学家与间接证明9.3 直接证明与间接证明在数学发展史中的重要性第十章：总结与复习10.1 直接证明与间接证明的回顾与总结10.2 重点知识点梳理10.3 复习题及解答重点和难点解析重点环节一：直接证明与间接证明的概念介绍直接证明与间接证明的概念是理解整个教学内容的基础，对于学生来说是一个关键的认知节点。

需要通过丰富的实例和生活中的比喻，帮助他们建立起清晰的概念框架。

重点环节二：直接证明的方法与技巧综合法、分析法、穷举法和反证法是直接证明的主要方法，这些方法的掌握对于学生解决实际证明问题至关重要。

应通过详细的案例分析和练习，使学生能够熟练运用这些方法。

重点环节三：间接证明的方法与技巧反证法、归谬法、举例法和类比法是间接证明的重要手段，它们各有特点和适用场景。

2.2直接证明与间接证明（教学设计）（1）2. 2 .1 综合法和分析法（1）--综合法教学目标：知识与技能目标：（1）理解综合法证明的概念；（2）能熟练地运用综合法证明数学问题。

过程与方法目标:（1）通过实例引导学生分析综合法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出综合法证明的操作流程图。

情感、态度与价值观：（1） 通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。

（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯。

教学重点：了解综合法的思考过程、特点教学难点：对综合法的思考过程、特点的概括教学过程:一、复习回顾，新课引入：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。

本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。

二、师生互动，新课讲解：1. 综合法在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。

例1（课本P36例）：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥。

因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥。

因此 2222()()4a b c b c a abc +++≥。

一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。

用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明与间接证明的定义1.2 直接证明与间接证明的区别与联系1.3 直接证明与间接证明在数学证明中的应用场景第二章：直接证明的基本方法2.1 综合法2.2 演绎法2.3 归纳法2.4 实例分析：运用直接证明方法证明数学定理第三章：间接证明的基本方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 实例分析：运用间接证明方法证明数学定理第四章：直接证明与间接证明的综合运用4.1 直接证明与间接证明的结合运用4.2 实例分析：运用直接证明与间接证明的综合方法证明数学定理4.3 运用策略：选择合适的证明方法第五章：证明题的类型与解题技巧5.1 证明题的常见类型5.2 解题技巧与策略5.3 实例分析：解决数学证明题的方法与步骤第六章：证明题的练习与解析6.1 练习题设计与布置6.2 学生练习题解答的注意事项6.3 实例分析：证明题的练习与解析第七章：直接证明与间接证明在几何证明中的应用7.1 几何证明中直接证明与间接证明的策略7.2 几何证明题型的特点与解题方法7.3 实例分析：几何证明题的直接证明与间接证明第八章：直接证明与间接证明在代数证明中的应用8.1 代数证明中直接证明与间接证明的策略8.2 代数证明题型的特点与解题方法8.3 实例分析：代数证明题的直接证明与间接证明第九章：直接证明与间接证明在数论证明中的应用9.1 数论证明中直接证明与间接证明的策略9.2 数论证明题型的特点与解题方法9.3 实例分析：数论证明题的直接证明与间接证明第十章：证明方法的创新与拓展10.1 创新证明方法的探索与实践10.2 拓展证明思路与技巧10.3 实例分析：创新证明方法在解决数学问题中的应用第十一章：证明过程的逻辑性与严密性11.1 证明过程中的逻辑推理11.2 证明的严密性与完整性11.3 实例分析：评估证明过程的逻辑性与严密性第十二章：证明题的评讲与反馈12.1 证明题评讲的目的与方法12.2 学生证明题解答的常见问题分析12.3 实例分析：证明题的评讲与反馈第十三章：数学竞赛中的直接证明与间接证明13.1 数学竞赛证明题的特点13.2 数学竞赛中直接证明与间接证明的策略13.3 实例分析：数学竞赛证明题的解答方法第十四章：数学研究中的直接证明与间接证明14.1 数学研究中证明方法的应用14.2 数学研究中的创新证明方法14.3 实例分析：数学研究中的直接证明与间接证明第十五章：总结与反思15.1 直接证明与间接证明教学的收获与反思15.2 学生证明能力的培养与提高15.3 实例分析：教学实践中的成功案例与改进方向重点和难点解析本文主要介绍了直接证明与间接证明的教学设计教案，涵盖了直接证明与间接证明的概念、基本方法、综合运用、证明题的类型与解题技巧、几何证明、代数证明、数论证明、证明过程的逻辑性与严密性、证明题的评讲与反馈、数学竞赛中的直接证明与间接证明、数学研究中的直接证明与间接证明以及总结与反思等十五个章节。

高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案教学内容：直接证明与间接证明教学目标：1、了解直接证明和间接证明的定义2、能够应用直接证明和间接证明的方法解决问题3、通过练习，掌握直接证明和间接证明的技巧，提高数学思维能力教学重点：1、了解直接证明和间接证明的方法2、掌握直接证明和间接证明的技巧教学难点：1、掌握间接证明的方法2、理解并应用间接证明的原理教学方法：讲授、演示，课堂练习教学工具：教材、黑板、彩色粉笔教学过程：Step1.导入新知教师通过提问，引出本节课的主题：直接证明与间接证明T：在讲解定理和证明的时候，我们遇到了不同的方法，例如直接证明和间接证明。

那么，大家知道直接证明与间接证明是什么吗？它们有什么区别？S：老师，直接证明是用已知的事实来推出结论，而间接证明是用推论的相反来推出结论。

直接证明与间接证明的区别在于前者是从已知开始，后者是从结论开始。

T：非常好！接下来，我们就来学习直接证明和间接证明的方法。

Step2.学习新知教师通过讲解及举例，介绍直接证明和间接证明的方法。

直接证明：从已知出发，逐步推出结论间接证明：采用反证法，否定假设，得到结论例1：直接证明已知：若n是偶数，则n^2是偶数结论：若n是奇数，则n^2是奇数T：大家看一下这个例子，我们可以通过直接证明来证明结论。

首先，我们假设n是奇数，那么我们可以把n表示为2k+1，其中k是整数。

接着，我们可以将n^2表示为(2k+1)^2=4k^2+4k+1。

我们可以看到，4k^2+4k是一个偶数，而1是一个奇数，所以n^2是奇数。

这样，我们就证明了原来的结论。

例2：间接证明已知：对于任意的正整数n，当n取模3时余数为1或2结论：不存在正整数a、b、c，使得a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1T：在这个例子中，我们需要用到间接证明的方法来证明结论。

首先，我们假设存在正整数a、b、c，满足a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明概述1.1 直接证明的概念与特点1.2 间接证明的概念与特点1.3 直接证明与间接证明的联系与区别第二章：直接证明方法2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 构造法第三章：间接证明方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用4.1 数学定理的证明4.2 数学命题的证明4.3 实际问题的证明第五章：案例分析与练习5.1 案例分析：运用直接证明与间接证明解决实际问题5.2 练习题：选择题、填空题、解答题第六章：证明策略与证明方法的选择6.1 证明策略的选择6.2 直接证明与间接证明的转换6.3 证明方法的适用场景分析第七章：证明过程中的逻辑思维训练7.1 逻辑思维的基本概念7.2 证明过程中的逻辑推理7.3 逻辑思维在证明中的应用实例第八章：数学竞赛中的直接证明与间接证明8.1 数学竞赛证明题的特点8.2 数学竞赛中的直接证明策略8.3 数学竞赛中的间接证明技巧第九章：数学研究中的直接证明与间接证明9.1 数学研究中的证明方法9.2 直接证明与间接证明在数学研究中的应用9.3 数学研究中的证明策略案例分析10.1 直接证明与间接证明的核心概念回顾10.2 证明方法的综合运用10.3 证明策略在数学学习和研究中的应用10.4 拓展阅读材料与思考题重点和难点解析一、直接证明与间接证明概述补充说明：直接证明与间接证明是数学证明的两种基本方式，它们在证明过程中的应用场景和证明方法各有不同。

理解它们之间的联系与区别有助于学生更好地选择合适的证明方法。

二、直接证明方法补充说明：构造法是直接证明中的一种重要方法，通过构造特定的数学对象或模型来证明问题的正确性。

学生在学习构造法时，需要掌握构造的核心思想和方法。

三、间接证明方法补充说明：反证法是间接证明中的一种常用方法，通过假设命题的反面成立，进而得出矛盾，从而证明原命题的正确性。

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计一、前言本课程设计旨在帮助高中数学教师更好地教授人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程，通过本课程设计，希望能帮助学生更好地理解并掌握课程中的知识点。

二、教学目标1. 知识与技能1.了解直接证明和间接证明的概念和方法；2.掌握直接证明和间接证明的常用技巧；3.熟悉求解几何问题的方法。

2. 过程与方法1.积极思考，在教师的指导下独立完成课程设计要求；2.能够熟练使用直接证明和间接证明的方法求解几何问题；3.可以在实际生活中运用所学知识。

3. 情感态度与价值观1.培养学生科学求证、敢于思考、勇于探究的精神；2.培养学生良好的学习习惯和态度。

三、教学内容及安排第1课时：直接证明课堂内容1.直接证明的概念；2.直接证明的一般方法；3.直接证明的经典例题。

课后作业1.熟记直接证明的方法；2.完成直接证明的练习。

第2课时：间接证明课堂内容1.间接证明的概念；2.间接证明的一般方法；3.间接证明的经典例题。

课后作业1.熟记间接证明的方法；2.完成间接证明的练习。

第3-4课时：综合应用课堂内容1.综合应用的基本思路；2.综合应用的例题分析。

课后作业1.完成综合应用的练习。

四、教学方法1.讲授法：通过讲解、演示等方式传授知识；2.体验法：让学生通过实际操作提高技能；3.案例法：让学生通过分析具体问题，掌握解决问题的方法。

五、教学评价教学评价将采用以下几种方式：1.课堂表现：评价学生的听讲、思考、提问等表现；2.平时作业：评价学生对知识的掌握程度；3.课程综合应用：评价学生将所学知识应用于实际情境中的能力。

六、教学资源本课程设计所需资源如下：1.人教版高中选修1-22.2教材；2.带有直接证明和间接证明例题的教案；3.练习册和试卷。

七、教学反思本课程设计要注重培养学生的实践能力和创新意识，让学生能够独立思考和解决问题。

同时，要注重理论与实践相结合，让学生掌握课程所涉及的知识和技能。

7.5 直接证明与间接证明【考纲分析】1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考查的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考查形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考查综合法、分析法、反证法等方法．【复习指导】在备考中，对本部分的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧，有效运用它们的目的．【基础梳理】1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．【助学微博】一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．【考向探究】考向一 综合法的应用【例1】►设a ，b ，c ＞0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .【训练1】 设a ，b 为互不相等的正数，且a ＋b ＝1，证明：1a ＋1b＞4.考向二 分析法的应用【例2】►已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m.【训练2】 已知a ，b ，m 都是正数，且a ＜b .考向三 反证法的应用【例3】►已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．【训练3】 已知a ，b 为非零向量，且a ，b 不平行，求证：向量a ＋b 与a －b 不平行．答案【例1】[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用基本不等式．证明 ∵a ，b ，c ＞0，根据均值不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )． 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【训练1】证明 1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4. 又a 与b 不相等．故1a ＋1b＞4. 【例2】[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式．证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．【训练2】证明 要证明a ＋m b ＋m ＞a b，由于a ，b ，m 都是正数， 只需证a (b ＋m )＜b (a ＋m )，只需证am ＜bm ，由于m ＞0，所以，只需证a ＜b .已知a ＜b ，所以原不等式成立．(说明：本题还可用作差比较法、综合法、反证法)【例3】[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x 0＜0后，应推导出x 0的范围与x 0＜0矛盾即可．证明 (1)法一 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，ax 2－x 1＞1，且ax 1＞0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)＞0.又因为x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 2＋1x 1＋1＝3x 2－x 1x 2＋1x 1＋1＞0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二 f ′(x )＝a x ln a ＋3x ＋12＞0，∴f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0＜ax 0＜1，所以0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与x 0＜0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负根． 当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．【训练3】证明 假设向量a ＋b 与a －b 平行，即存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )成立，则(1－λ)a ＋(1＋λ)b ＝0，∵a ，b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λ＝0，1＋λ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－1， 所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．。

直接证明和间接证明课程教案一、教学目标1. 让学生理解直接证明和间接证明的概念。

2. 培养学生运用直接证明和间接证明解决问题的能力。

3. 引导学生掌握数学归纳法、反证法等间接证明方法。

二、教学内容1. 直接证明：定义、分类、方法及应用。

2. 间接证明：数学归纳法、反证法的原理与步骤。

3. 实例分析：利用直接证明和间接证明解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：直接证明和间接证明的概念、方法及应用。

2. 难点：数学归纳法、反证法的原理与步骤。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直接证明和间接证明的定义、分类、方法及应用。

2. 运用案例分析法，让学生通过实例掌握直接证明和间接证明的解题技巧。

3. 运用讨论法，引导学生探讨数学归纳法、反证法的原理与步骤。

五、教学准备1. 教案、课件、教材等相关教学资源。

2. 练习题及答案。

3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。

六、教学过程1. 引入新课：通过讲解一个实际问题，引导学生思考如何运用直接证明和间接证明解决问题。

2. 讲解直接证明：介绍直接证明的定义、分类及方法，并通过例题展示如何运用直接证明解决问题。

3. 讲解间接证明：介绍数学归纳法和反证法的原理与步骤，并通过例题展示如何运用数学归纳法和反证法解决问题。

4. 练习与讨论：让学生分组练习，运用直接证明和间接证明解决给定的问题，并进行讨论交流。

5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，强调直接证明和间接证明在数学论证中的重要性，并给出一些拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。

七、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固直接证明和间接证明的方法。

3. 选择一道拓展问题进行思考，下节课分享解答过程。

八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评价学生的掌握程度。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明的概念与方法1.1 直接证明的定义引导学生了解直接证明的概念，理解直接证明是通过逻辑推理直接证明命题的正确性。

举例说明直接证明的过程和方法。

1.2 直接证明的基本方法介绍直接证明的基本方法，包括数学归纳法、反证法、归纳法等。

通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。

第二章：直接证明的运用2.1 运用直接证明解决简单命题让学生练习运用直接证明解决简单的数学命题，巩固对直接证明的理解。

提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。

2.2 运用直接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题分解为简单的子命题，逐个进行直接证明。

提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。

第三章：间接证明的概念与方法3.1 间接证明的定义引导学生了解间接证明的概念，理解间接证明是通过反证法、归纳法等方法间接证明命题的正确性。

举例说明间接证明的过程和方法。

3.2 间接证明的基本方法介绍间接证明的基本方法，包括反证法、归纳法等。

通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。

第四章：间接证明的运用4.1 运用间接证明解决简单命题让学生练习运用间接证明解决简单的数学命题，巩固对间接证明的理解。

提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。

4.2 运用间接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题转化为反证法或归纳法问题，进行间接证明。

提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。

第五章：直接证明与间接证明的综合运用5.1 综合运用直接证明与间接证明解决实际问题引导学生如何根据问题的特点选择直接证明或间接证明的方法。

提供一些实际问题，让学生练习综合运用直接证明与间接证明的方法。

5.2 案例分析与讨论提供一些案例，让学生分析并讨论如何运用直接证明与间接证明的方法解决问题。

引导学生总结经验，提高解题能力和逻辑思维能力。

第六章：证明题的类型与策略6.1 证明题的类型分析常见的证明题类型，如几何证明、代数证明、数列证明等。

《直接证明与间接证明》教案教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) >6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++.3. 作业：教材P 54 A 组 1题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？→ 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。

高中数学选修1,2《直接证明与间接证明》教案高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点.自主梳理1.直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法.②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P 表示已知条件，Q表示要证的结论).(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法.②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2.间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.自我检测1.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.(2011•揭阳模拟)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”的假设内容应是( )A.3a=3bB.3a<3bC.3a=3b且3a<3bD.3a=3b或3a<3b3.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A.|a-c|≤|a-b|+|c-b|B.a2+1a2≥a+1aC.a+3-a+1D.|a-b|+1a-b≥24.(2010•广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d⊗(a⊕c)等于( )A.aB.bC.cD.d5.(2011•东北三省四市联考)设x、y、z∈R+，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，则a、b、c三数( )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2探究点一综合法例 1 已知a，b，c都是实数，求证：a2+b2+c2≥13(a+b+c)2≥ab+bc+ca.变式迁移1 设a，b，c>0，证明：a2b+b2c+c2a≥a+b+c.探究点二分析法例2 (2011•马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg a+b2+lg b+c2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c.变式迁移2 已知a>0，求证： a2+1a2-2≥a+1a-2.探究点三反证法例3 若x，y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.变式迁移3 若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例(12分)(2010•上海改编)若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0，求x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2abab.多角度审题(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解.(2)第(2)小题，实质是证明不等式|a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|成立.证明时注意提取公因式及配方法的运用.【答题模板】(1)解由题意得x2-1>1，即x2-1>1或x2-1<-1.[2分]由x2-1>1，得x2>2，即x<-2或x>2;由x2-1<-1，得x∈∅.综上可知x的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞).[4分](2)证明由题意知即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2abab成立.[6分]∵a≠b，且a、b都为正数，∴a3+b3-2abab=(a3)2+(b3)2-2a3b3=(a3-b3)2=(aa-bb)2，a2b+ab2-2abab=ab(a+b-2ab)=ab(a-b)2=(ab-ba)2，[8分] 即证(aa-bb)2-(ab-ba)2>0，即证(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)>0，需证(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)>0，[10分]即证(a+b)(a-b)2>0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立.故原命题成立.[12分]【突破思维障碍】1.准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键.2.代数式|a3+b3-2abab|与|a2b+ab2-2abab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便.【易错点剖析】1.推理论证能力较差，绝对值符号不会去.2.运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错.1.综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论.即由因导果.2.分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法.3.用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立) (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个偶数2.(2011•济南模拟)a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是( )A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b3.设a、b、c∈(0，+∞)，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2010•上海普陀2月统考)已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是( )A.ba<1B.a2>b2C.|a+b|>|a-b|D.1ab2>1a2b5.(2011•厦门月考)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011•江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)=f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|<12.那么他的反设应该是______________________________.7.对于任意实数a，b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数a，有a*0=a.则以上结论正确的是________.(写出你认为正确的结论的所有序号)8.(2011•揭阳模拟)已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.其中命题正确的是________(填序号).三、解答题(共38分)9.(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求证：|a|+|b||a-b|≤2.10.(12分)(2011•宁波月考)已知a、b、c>0，求证：a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).11.(14分)(2011•宁波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于14.学案38 直接证明与间接证明自主梳理1.(1)①推理论证成立(2)①要证明的结论充分条件2.不成立矛盾自我检测1.A [由分析法的定义可知.]2.D [因为3a>3b的否定是3a≤3b，即3a=3b或3a<3b.]3.D [D选项成立时需得证a-b>0.A中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|，B作差可证;C移项平方可证.]4.A [由所给的定义运算知a⊕c=c，d⊗c=a.]5.C [a+b+c=x+1y+y+1z+z+1x≥6，因此a、b、c至少有一个不小于2.]课堂活动区例1 解题导引综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里可从基本不等式相加的角度先证得a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立，再进一步得出结论.证明∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.∴a2+b2+c2≥13(a+b+c)2;∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)，∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).∴原命题得证.变式迁移1 证明∵a，b，c>0，根据基本不等式，有a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c.三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(a+b+c).即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.例2 解题导引当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法.含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法.证明要证lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c，只需证lga+b2•b+c2•c+a2>lg(a•b•c)，只需证a+b2•b+c2•c+a2>a bc.(中间结果)因为a，b，c是不全相等的正数，则a+b2≥ab>0，b+c2≥bc>0，c+a2≥ca>0.且上述三式中的等号不全成立，所以a+b2•b+c2•c+a2>abc.(中间结果)所以lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.变式迁移2 证明要证 a2+1a2-2≥a+1a-2，只要证a2+1a2+2≥a+1a+2.∵a>0，故只要证a2+1a2+22≥a+1a+22，即a2+1a2+4 a2+1a2+4≥a2+2+1a2+22a+1a+2，从而只要证2a2+1a2≥2a+1a，只要证4a2+1a2≥2a2+2+1a2，即a2+1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.例3 解题导引(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.证明假设1+xy<2和1+yx<2都不成立，则有1+xy≥2和1+yx≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾，因此1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.变式迁移3 证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6，∴x2-2y+π2+y2-2z+π3+z2-2x+π6=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0，①又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0，π-3>0，∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.课后练习区1.B2.C [由a2+c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a=2，c=1，可得b=52，可知C可能成立.]3.C [必要性是显然成立的，当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0，Q<0，R<0，则Q+R=2c<0，这与c>0矛盾，即充分性也成立.]4.D [ba<1⇔b-aa<0⇔a(a-b)>0.∵a>b，∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立;a2>b2⇔(a-b)(a+b)>0，∵a-b>0，只有当a+b>0时，a2>b2成立，故B不一定成立;|a+b|>|a-b|⇔(a+b)2>(a-b)2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立;由于1ab2>1a2b⇔a-ba2b2>0⇔(a-b)a2b2>0.∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确.]5.D [由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形，由sin A2=cos A1=sinπ2-A1，sin B2=cos B1=sinπ2-B1，sin C2=cos C1=sinπ2-C1，得A2=π2-A1，B2=π2-B1，C2=π2-C1，那么，A2+B2+C2=π2，这与三角形内角和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形.]6.“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，则|f(x1)-f(x2)|≥12”7.②③解析按新定义，可以验证a*(b+c)≠(a*b)+(a*c);所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立，a*0=(a+1)(0+1)-1=a.所以正确的结论是②③.8.①解析由三视图知，在三棱锥S—ABC中，底面ABC为直角三角形且∠ACB=90°，即BC⊥AC，又SA⊥底面ABC，∴BC⊥SA，由于SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC.所以命题①正确.由已知推证不出②③命题正确.故填①.9.证明∵a⊥b，∴a•b=0.(2分)要证|a|+|b||a-b|≤2，只需证：|a|+|b|≤2|a-b|，(4分)平方得：|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a•b)，(8分)只需证：|a|2+|b|2-2|a||b|≥0，(10分)即(|a|-|b|)2≥0，显然成立.故原不等式得证. (12分)10.证明∵a2+b2≥2ab，a、b、c>0，∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b)，(3分)∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2，∴a3+b3≥a2b+ab2.(6分)同理，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，将三式相加得，2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(9分)∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2 b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).(12分)11.证明方法一假设三式同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，(3分)∵a、b、c∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164.(8分)又(1-a)a≤1-a+a22=14，(10分)同理(1-b)b≤14，(1-c)c≤14，∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤164，(12分)这与假设矛盾，故原命题正确.(14分)方法二假设三式同时大于14，∵00，(2分)(1-a)+b2≥(1-a)b> 14=12，(8分)同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12，(10分)三式相加得32>32，这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确.(14分)。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明的概念引导学生回顾数学证明的基本概念，引入直接证明的概念。

通过具体例子解释直接证明的思路和方法。

让学生尝试用直接证明的方法证明一些简单的数学命题。

1.2 间接证明的概念引导学生理解直接证明的局限性，引入间接证明的概念。

通过具体例子解释间接证明的思路和方法，如反证法、归纳法等。

让学生尝试用间接证明的方法证明一些简单的数学命题。

第二章：直接证明的方法与技巧2.1 综合法引导学生学习综合法的概念和思路。

通过具体例子讲解综合法的运用方法和技巧。

让学生练习运用综合法证明一些简单的数学命题。

2.2 分析法引导学生学习分析法的概念和思路。

通过具体例子讲解分析法的运用方法和技巧。

让学生练习运用分析法证明一些简单的数学命题。

第三章：间接证明的方法与技巧3.1 反证法引导学生学习反证法的概念和思路。

通过具体例子讲解反证法的运用方法和技巧。

让学生练习运用反证法证明一些简单的数学命题。

3.2 归纳法引导学生学习归纳法的概念和思路。

通过具体例子讲解归纳法的运用方法和技巧。

让学生练习运用归纳法证明一些简单的数学命题。

第四章：直接证明与间接证明的应用实例4.1 几何证明引导学生运用直接证明和间接证明解决几何问题。

通过具体例子讲解几何证明的思路和方法。

让学生练习解决一些几何证明问题。

4.2 代数证明引导学生运用直接证明和间接证明解决代数问题。

通过具体例子讲解代数证明的思路和方法。

让学生练习解决一些代数证明问题。

第五章：总结与提高5.1 总结直接证明与间接证明的概念和方法。

引导学生总结本节课所学的直接证明和间接证明的概念和方法。

强调直接证明和间接证明的运用技巧和注意事项。

5.2 提高证明能力引导学生思考如何提高自己的数学证明能力。

提供一些证明题目，让学生进行练习和思考。

第六章：综合法与分析法的比较与应用6.1 综合法与分析法的异同引导学生比较综合法与分析法的相同点和不同点。