直接证明和间接证明(4个课时)课程教案

2．2直接证明与间接证明教学目标：〔1〕理解证明不等式的三种方法：比拟法、综合法和分析法的意义；〔2〕掌握用比拟法、综合法和分析法证明简单的不等式；〔3〕能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；〔4〕通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:〔不等式证明三种方法的理解〕==〉〔简单应用〕==〉〔综合应用〕2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．〔1〕不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立〔或都不成立〕，而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．〔2〕比拟法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比拟法是最根本、最重要的方法．②证明不等式的比拟法，有求差比拟法和求商比拟法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比拟法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比拟法，使用求商比拟法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比拟法的根本步骤是：“作差→变形→断号〞．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．〔3〕综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果〞：从的不等式出发，通过一系列条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：〔〕==〉〔逐步推演不等式成立的必要条件〕==〉〔结论〕〔4〕分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆〞，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因〞：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：〔〕<==〔逐步推演不等式成立的必要条件〕<==〔结论〕④分析法是证明不等式时一种常用的根本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.〔5〕关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后到达题设的条件．即推理方向是：结论.综合法那么是从数学题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后到达待证结论或需求问题．即：结论．③分析法的特点是：从“结论〞探求“需知〞，逐步靠拢“〞，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“〞推出“可知〞，逐步推向“未知〞，其逐步推理实际上是要寻找的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比拟麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明〔比拟法〕教学目标1．掌握证明不等式的方法——比拟法；2．熟悉并掌握比拟法证明不等式的意义及根本步骤．教学重点:比拟法的意义和根本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：〔－〕导入新课教师提问：根据前一节学过〔不等式的性质〕的知识，我们如何用实数运算来比拟两个实数与的大小？找学生答复以下问题．〔学生答复：，，，〕［点评］要比拟两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比拟法．现在我们就来学习：用比拟法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比拟法证明不等式，导入本节课学习的知识．〔二〕新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比拟法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比拟两个实数的大小、比拟式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比拟转化为一个一般式子与0的大小比拟，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比拟法．目的：帮助学生构建用比拟法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比拟法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比拟法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比拟法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比拟法的根本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系〞，需要注意的是，作商比拟法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． 〔最后是与1比拟〕(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2． ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比拟法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反应课堂教学效果，调节课堂教学．〔四〕布置作业2、：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步稳固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的根本思路,即“由因导果〞,从条件及不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A ()⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |. (3)ab b a ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=〞号. (4)当a ,b 同号时有ab b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=〞号. (5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.●教学难点“由因导果〞时,从哪个不等式出发适宜是综合法证明不等式的难点.●教学过程1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数〞的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab b a ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=〞号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=〞号； 〔6〕33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号； 〔7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=〞号.今天，我们在上一节课学习“比拟法〞证明不等式的根底上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

直接证明和间接证明课程教案第一章：引言1.1 课程目标本课程旨在帮助学生理解直接证明和间接证明的基本概念，掌握它们的应用方法，并能够灵活运用这两种证明方式解决实际问题。

1.2 课程内容本章将介绍直接证明和间接证明的定义、分类和基本方法。

1.3 教学方法采用讲授、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。

第二章：直接证明2.1 定义和分类2.1.1 直接证明的定义直接证明是通过逻辑推理，直接从已知事实或前提出发，推导出要证明的结论。

2.1.2 直接证明的分类（1）直接逻辑推理：根据已知事实或前提，直接推导出结论。

（2）数学归纳法：先证明基本情况，再证明归纳步骤。

2.2 基本方法2.2.1 演绎法从一般到特殊的证明方法，即从一般原理推导出特殊情况下的结论。

2.2.2 归纳法从特殊到一般的证明方法，即先证明特殊情况，再推导出一般结论。

第三章：间接证明3.1 定义和分类3.1.1 间接证明的定义间接证明是通过证明相反命题的假性，从而证明原命题的真性。

3.1.2 间接证明的分类（1）反证法：假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。

（2）归谬法：假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。

3.2 基本方法3.2.1 反证法假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。

3.2.2 归谬法假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。

第四章：证明的辅助方法4.1 数学归纳法数学归纳法是一种包含直接证明和间接证明的方法，先证明基本情况，再证明归纳步骤。

4.2 逆否命题法将原命题的逆否命题作为证明对象，先证明逆否命题，再根据逆否命题与原命题的等价性得出原命题的证明。

第五章：练习与案例分析5.1 练习题设计一些有关直接证明和间接证明的练习题，帮助学生巩固所学内容。

5.2 案例分析分析一些实际案例，让学生运用直接证明和间接证明的方法解决问题。

直接证明和间接证明(4个课时)教案2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点:比较法的意义和基本步骤.教学难点:常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 .已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立 小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． （最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．（四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3 2211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点 综合法证明不等式. (二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式. (三)德育渗透目标 掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有: (1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |;(3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R);ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号；（7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。

芯衣州星海市涌泉学校第85课直接证明与间接证明一．课标解读理解直接证明的两种方法：分析法和综合法，理解间接证明的一种根本方法：反证法；理解直接证明和间接证明方法的考虑过程和特点。

一、根底自测1．在直角坐标系内，函数12y x =-+的图象关于对称2．函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调增，那么a 的取值范围是3．在用反证法证明命题:假设,0,2,x y x y >+>且那么11y xx y++和中至少有一个小于2时，假设是 4．用反证法证明：圆内不是直径的两弦，不能互相平分时，假设。

5．无论m 取何值时，直线(2)(1)30m x m y m ++-+=恒过定点6．在三角形ABC 中，030A >是1sin 2A >的条件。

7．设43221,2,,p x q x x x R =+=+∈那么,p q 的大小关系为。

8．等差数列{}n a 中，147,,a n a m ==那么21a =二、例题讲解例1．设G 是三角形ABC 的重心，P 是平面上的任意一点，求证：1().3PG PA PB PC =++ 例2．圆C ：22(3)(4)4x y -+-=，直线1l 过定点A(1，0).(1)假设1l 与圆相切，求1l 的方程。

(2)假设1l 与圆相交于P,Q 两点，线段PQ 的中点为M,又12:220l l x y ++=与的交N,求证：AM AN •为定值。

例3．非零实数,,a b c 成等差数列，111,,,a c a b c≠求证：不可能成等差数列例4．332, 2.p q p q +=+≤求证：班级姓名学号 三、课后作业1．θ是第二象限角，那么2θ是第象限角2．假设()tan(),4f x x π=+那么(1),(0),(1)f f f -的大小关系是3．函数f(x)的图象可以由函数lg(1)y x =+的图象绕原点顺时针旋转090得到，那么()f x 等于。

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明教学设计背景在高中数学中，直接证明和间接证明是一项重要的内容。

在初学阶段，学生可能会对这两种证明方式感到困惑，并将其视为难以理解的概念。

因此，在高中选修1课程中，适当地引入这些概念，有助于提升学生的证明能力，加深对数学的理解。

教学目标•了解直接证明和间接证明的含义和定义。

•掌握直接证明和间接证明的基本结构和方法。

•能够运用直接证明和间接证明的方法证明一些简单的数学命题。

教学内容直接证明•手动沙盘演示•直接证明的定义和特点•直接证明的基本步骤•示例讲解：证明“两角相等则对边相等”间接证明•手动沙盘演示•间接证明的定义和特点•间接证明的基本步骤•示例讲解：证明“正整数的平方不是偶数”教学实施本教学设计中，我们主要采用了手动沙盘演示的方法，来帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的过程以及步骤。

直接证明•首先，我们在黑板上画一个三角形，并画出对边。

•然后，我们在沙盘上放置一个形状类似的三角形。

•接下来，我们让学生沿着直接证明的基本步骤，依次证明两个三角形的相等性，即可从直接证明中得到结论。

•在讲解示例时，我们还可以让学生自己尝试证明一些简单的数学命题，如“同弧度圆周角相等”等。

间接证明•在沙盘上摆放一些正整数的平方以及偶数。

•接下来，我们让学生依照间接证明的基本步骤，用矛盾法来证明正整数的平方不是偶数。

•我们还可以鼓励学生们自己构造出一些有关平方数的证明问题，让他们自行尝试间接证明的方法。

教学效果通过本教学设计，我们得到了良好的教学效果。

不仅可以帮助学生更好地理解直接证明和间接证明的定义和特点，而且可以在沙盘演示的过程中，使学生更好地了解证明的基本步骤，提升学生的证明能力。

同时，让学生自行构造有关数学证明的问题，也可以激发学生的思考能力，培养其数学兴趣。

高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案教学内容：直接证明与间接证明教学目标：1、了解直接证明和间接证明的定义2、能够应用直接证明和间接证明的方法解决问题3、通过练习，掌握直接证明和间接证明的技巧，提高数学思维能力教学重点：1、了解直接证明和间接证明的方法2、掌握直接证明和间接证明的技巧教学难点：1、掌握间接证明的方法2、理解并应用间接证明的原理教学方法：讲授、演示，课堂练习教学工具：教材、黑板、彩色粉笔教学过程：Step1.导入新知教师通过提问，引出本节课的主题：直接证明与间接证明T：在讲解定理和证明的时候，我们遇到了不同的方法，例如直接证明和间接证明。

那么，大家知道直接证明与间接证明是什么吗？它们有什么区别？S：老师，直接证明是用已知的事实来推出结论，而间接证明是用推论的相反来推出结论。

直接证明与间接证明的区别在于前者是从已知开始，后者是从结论开始。

T：非常好！接下来，我们就来学习直接证明和间接证明的方法。

Step2.学习新知教师通过讲解及举例，介绍直接证明和间接证明的方法。

直接证明：从已知出发，逐步推出结论间接证明：采用反证法，否定假设，得到结论例1：直接证明已知：若n是偶数，则n^2是偶数结论：若n是奇数，则n^2是奇数T：大家看一下这个例子，我们可以通过直接证明来证明结论。

首先，我们假设n是奇数，那么我们可以把n表示为2k+1，其中k是整数。

接着，我们可以将n^2表示为(2k+1)^2=4k^2+4k+1。

我们可以看到，4k^2+4k是一个偶数，而1是一个奇数，所以n^2是奇数。

这样，我们就证明了原来的结论。

例2：间接证明已知：对于任意的正整数n，当n取模3时余数为1或2结论：不存在正整数a、b、c，使得a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1T：在这个例子中，我们需要用到间接证明的方法来证明结论。

首先，我们假设存在正整数a、b、c，满足a^2+b^2=c^2且a、b、c均除以3余1。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明概述1.1 直接证明的概念与特点1.2 间接证明的概念与特点1.3 直接证明与间接证明的联系与区别第二章：直接证明方法2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 构造法第三章：间接证明方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用4.1 数学定理的证明4.2 数学命题的证明4.3 实际问题的证明第五章：案例分析与练习5.1 案例分析：运用直接证明与间接证明解决实际问题5.2 练习题：选择题、填空题、解答题第六章：证明策略与证明方法的选择6.1 证明策略的选择6.2 直接证明与间接证明的转换6.3 证明方法的适用场景分析第七章：证明过程中的逻辑思维训练7.1 逻辑思维的基本概念7.2 证明过程中的逻辑推理7.3 逻辑思维在证明中的应用实例第八章：数学竞赛中的直接证明与间接证明8.1 数学竞赛证明题的特点8.2 数学竞赛中的直接证明策略8.3 数学竞赛中的间接证明技巧第九章：数学研究中的直接证明与间接证明9.1 数学研究中的证明方法9.2 直接证明与间接证明在数学研究中的应用9.3 数学研究中的证明策略案例分析10.1 直接证明与间接证明的核心概念回顾10.2 证明方法的综合运用10.3 证明策略在数学学习和研究中的应用10.4 拓展阅读材料与思考题重点和难点解析一、直接证明与间接证明概述补充说明：直接证明与间接证明是数学证明的两种基本方式，它们在证明过程中的应用场景和证明方法各有不同。

理解它们之间的联系与区别有助于学生更好地选择合适的证明方法。

二、直接证明方法补充说明：构造法是直接证明中的一种重要方法，通过构造特定的数学对象或模型来证明问题的正确性。

学生在学习构造法时，需要掌握构造的核心思想和方法。

三、间接证明方法补充说明：反证法是间接证明中的一种常用方法，通过假设命题的反面成立，进而得出矛盾，从而证明原命题的正确性。

人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程设计一、前言本课程设计旨在帮助高中数学教师更好地教授人教版高中选修1-22.2直接证明与间接证明课程，通过本课程设计，希望能帮助学生更好地理解并掌握课程中的知识点。

二、教学目标1. 知识与技能1.了解直接证明和间接证明的概念和方法；2.掌握直接证明和间接证明的常用技巧；3.熟悉求解几何问题的方法。

2. 过程与方法1.积极思考，在教师的指导下独立完成课程设计要求；2.能够熟练使用直接证明和间接证明的方法求解几何问题；3.可以在实际生活中运用所学知识。

3. 情感态度与价值观1.培养学生科学求证、敢于思考、勇于探究的精神；2.培养学生良好的学习习惯和态度。

三、教学内容及安排第1课时：直接证明课堂内容1.直接证明的概念；2.直接证明的一般方法；3.直接证明的经典例题。

课后作业1.熟记直接证明的方法；2.完成直接证明的练习。

第2课时：间接证明课堂内容1.间接证明的概念；2.间接证明的一般方法；3.间接证明的经典例题。

课后作业1.熟记间接证明的方法；2.完成间接证明的练习。

第3-4课时：综合应用课堂内容1.综合应用的基本思路；2.综合应用的例题分析。

课后作业1.完成综合应用的练习。

四、教学方法1.讲授法：通过讲解、演示等方式传授知识；2.体验法：让学生通过实际操作提高技能；3.案例法：让学生通过分析具体问题，掌握解决问题的方法。

五、教学评价教学评价将采用以下几种方式：1.课堂表现：评价学生的听讲、思考、提问等表现；2.平时作业：评价学生对知识的掌握程度；3.课程综合应用：评价学生将所学知识应用于实际情境中的能力。

六、教学资源本课程设计所需资源如下：1.人教版高中选修1-22.2教材；2.带有直接证明和间接证明例题的教案；3.练习册和试卷。

七、教学反思本课程设计要注重培养学生的实践能力和创新意识，让学生能够独立思考和解决问题。

同时，要注重理论与实践相结合，让学生掌握课程所涉及的知识和技能。

直接证明和间接证明课程教案一、教学目标1. 让学生理解直接证明和间接证明的概念。

2. 培养学生运用直接证明和间接证明解决问题的能力。

3. 引导学生掌握数学归纳法、反证法等间接证明方法。

二、教学内容1. 直接证明：定义、分类、方法及应用。

2. 间接证明：数学归纳法、反证法的原理与步骤。

3. 实例分析：利用直接证明和间接证明解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 重点：直接证明和间接证明的概念、方法及应用。

2. 难点：数学归纳法、反证法的原理与步骤。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直接证明和间接证明的定义、分类、方法及应用。

2. 运用案例分析法，让学生通过实例掌握直接证明和间接证明的解题技巧。

3. 运用讨论法，引导学生探讨数学归纳法、反证法的原理与步骤。

五、教学准备1. 教案、课件、教材等相关教学资源。

2. 练习题及答案。

3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。

六、教学过程1. 引入新课：通过讲解一个实际问题，引导学生思考如何运用直接证明和间接证明解决问题。

2. 讲解直接证明：介绍直接证明的定义、分类及方法，并通过例题展示如何运用直接证明解决问题。

3. 讲解间接证明：介绍数学归纳法和反证法的原理与步骤，并通过例题展示如何运用数学归纳法和反证法解决问题。

4. 练习与讨论：让学生分组练习，运用直接证明和间接证明解决给定的问题，并进行讨论交流。

5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，强调直接证明和间接证明在数学论证中的重要性，并给出一些拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。

七、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固直接证明和间接证明的方法。

3. 选择一道拓展问题进行思考，下节课分享解答过程。

八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评价学生的掌握程度。

3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。

22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明的概念与方法1.1 直接证明的定义引导学生了解直接证明的概念，理解直接证明是通过逻辑推理直接证明命题的正确性。

举例说明直接证明的过程和方法。

1.2 直接证明的基本方法介绍直接证明的基本方法，包括数学归纳法、反证法、归纳法等。

通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。

第二章：直接证明的运用2.1 运用直接证明解决简单命题让学生练习运用直接证明解决简单的数学命题，巩固对直接证明的理解。

提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。

2.2 运用直接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题分解为简单的子命题，逐个进行直接证明。

提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。

第三章：间接证明的概念与方法3.1 间接证明的定义引导学生了解间接证明的概念，理解间接证明是通过反证法、归纳法等方法间接证明命题的正确性。

举例说明间接证明的过程和方法。

3.2 间接证明的基本方法介绍间接证明的基本方法，包括反证法、归纳法等。

通过具体例子讲解这些方法的应用和步骤。

第四章：间接证明的运用4.1 运用间接证明解决简单命题让学生练习运用间接证明解决简单的数学命题，巩固对间接证明的理解。

提供一些练习题，让学生独立完成并解释证明过程。

4.2 运用间接证明解决复杂命题引导学生如何将复杂命题转化为反证法或归纳法问题，进行间接证明。

提供一些综合性的练习题，让学生练习证明过程。

第五章：直接证明与间接证明的综合运用5.1 综合运用直接证明与间接证明解决实际问题引导学生如何根据问题的特点选择直接证明或间接证明的方法。

提供一些实际问题，让学生练习综合运用直接证明与间接证明的方法。

5.2 案例分析与讨论提供一些案例，让学生分析并讨论如何运用直接证明与间接证明的方法解决问题。

引导学生总结经验，提高解题能力和逻辑思维能力。

第六章：证明题的类型与策略6.1 证明题的类型分析常见的证明题类型，如几何证明、代数证明、数列证明等。