2019版高考数学一轮复习训练： 第一部分 基础与考点过关 不等式选讲学案 选修4-5

课时跟踪检测 (六十) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1．解：(1)不等式|2x －3|≤1可为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3．(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1．即|x |＜|a |＋1．2．(2017·合肥质检)已知函f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a ．(1)求实a 的值；(2)解不等式f (x )≤5．解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2．(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2， 当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，令2x －6≤5，得4<x ≤112， 故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112．3．(2016·广西质检)已知函f(x)＝ax－1＋ax(a＞0)在(1，＋∞)上的最小值为15，函g(x)＝|x＋a|＋|x＋1|．(1)求实a的值；(2)求函g(x)的最小值．解：(1)∵f(x)＝ax－1＋ax＝ax－1＋a(x－1)＋a，x＞1，a＞0，∴f(x)≥3a，即有3a＝15，解得a＝5．(2)由于g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|≥|(x＋5)－(x＋1)|＝4，当且仅当－5≤x≤－1时等号成立，∴g(x)＝|x＋5|＋|x＋1|的最小值为4．4．已知函f(x)＝|x－a|．(1)若f(x)≤m的解集为{}x|－1≤x≤5，求实a，m的值；(2)当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a．∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3．(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可为|x－2|＋t≥|x|．①当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t＜2，∴x∈(－∞，0)；②当x∈．7．(2016·兰州诊断)设函f(x)＝|2x－1|－|x＋2|．(1)解不等式f(x)＞0；(2)若∃x0∈R，使得f(x0)＋2m2＜4m，求实m的取值范围．解：(1)不等式f (x )＞0，即|2x －1|＞|x ＋2|，即4x 2－4x ＋1＞x 2＋4x ＋4，3x 2－8x －3＞0，解得x ＜－13或x ＞3， 所以不等式f (x )＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－13或x ＞3． (2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x ＜－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x ≥12，故f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52． 因为∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，所以4m －2m 2＞－52， 解得－12＜m ＜52． 故实m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52． 8．已知函f (x )＝|3x ＋2|．(1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4．当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23； 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4， 解得－23≤x <12； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12． (2)由题意，1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立， 只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103． 所以实a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，103．。

选修4- 5不等式选讲第1课时绝对值不等式1. 解不等式1<|x —1|<3.解：原不等式可化为1<x—1<3或—3<x—1<—1,解得不等式的解集为(一2，0) U (2 , 4).2. 解不等式|x + 1| + |x —2| V 4.解：当x<—1时，不等式化为一x — 1 + 2—x<4,3 解得—2<x< —1 ；当一K x < 2时，不等式化为x + 1 + 2 —x<4, 得—K x < 2;当x>2时，不等式化为x + 1 + x—2<4,5 解得2<X<7原不等式的解集为i— 2，| .23. 解不等式|x —2x + 4|>2x.解：原不等式等价于x2—2x + 4<—2x①，|或x —2x + 4>2x ②.解①得解集为?,解②得解集为｛x|x € R且x工2｝.•原不等式的解集为｛x|x € R且x丰2｝.4. 解不等式x2—|x| —2<0.解：(解法1)当x > 0 时，x —x —2<0, 解得—1<x<2,「. 0 < x<2 ;|当x<0 时，x + x —2<0,解得—2<x<1 ,—2<x<0.•原不等式的解集为｛x| —2<x<2｝.(解法2)原不等式可化为凶1—|x| —2<0,解得—1<|x|<2.■/ |x| > 0,「. 0 w |x|<2 , •—2<x<2.•原不等式的解集为｛x| —2<x<2｝.5. 已知满足不等式|2x + a| + |x —3| w 4的x的最大值为3，求实数a的值.解：因为x的最大值为3,所以x w 3，即不等式为|2x + a| + 3—x w 4，所以|2x + a| w x+ 1,p>- 1，x + 1 A 0, | —a —1所以’所以｛x^——,—x —1 w 2x+ a w x+ 1, 3x w 1 —a, 因为x的最大值为3,所以1—a= 3,即a=—2.|6. 已知函数f(x) = |x + 1| + |x —2| —|a —2a|.若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围.解：f(x)的最小值为3 —|a2—2a| ,由题设，得|a —2a|<3，解得 a € ( —1, 3).7. 已知函数f(x) = |x| —|x —3|.(1) 解关于x的不等式f(x) > 1；(2) 若存在x o€ R,使得关于x的不等式m w f(x 0)成立，求实数m的取值范围.… x w 0, …0V x v 3, _ 解：(1)原不等式等价于不等式组①：* 或②：/ 或③：—x +( x —3)A1 |x +( x—3)A1x —x + 3> 1. 不等式组①无解；解不等式组②得 2 < x V 3;解不等式组③得等式的解集为[2 ,+^ ).(2)由题意知m< f (x) max,因为f(x) = |x| —|x —3| < |x —x + 3| = 3, 所以me 3,即m€ ( 3].8. 已知函数f(x) = |1 —x| —|2 + x|.(1) 求f(x)的最大值；(2) |2t —1| > f(x)恒成立，求实数t的取值范围.解：⑴ f(x) = |1 —x| —|2 + x| e |1 —x+ 2+ x| = 3, 当且仅当x e—2时等号成立，••• f(x) max= 3.(2)由|2t —1| > f(x)恒成立得|2t —1| > f(x) max,即|2t —1| > 3, 2t —1> 3 或2t —K —3,解得t > 2或t <—1,•实数t的取值范围是(一3 —1] U [2 ,+^ ).9. 已知关于x的不等式|ax —1| + |ax —a| > 1(a>0).(1) 当a = 1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.1解：(1)当a = 1 时，得2|x —1| > 1,即|x —1| > ,x> 3,所以原不所以f(x) max= 3,解得x>扌或x e 1,•不等式的解集为：一3, 1U -|,+3 .(2) •.jax —1| + |ax —a|》|a —1| ,•原不等式解集为R等价于|a —1| > 1.• a > 2 或a e 0.•/ a>0 , • a > 2.•实数a的取值范围是[2 , +3 ).10.设函数f(x) = |2x + 1| —|x —2|.(1)求不等式f(x)>2的解集；2 11⑵？ x€ R, f(x) >t —-^t，求实数t的取值范围.1—x —3,x<—2，解：⑴f(x) 13x —1 , —x<2,x+ 3, x>2,1当x< —q时，一x —3>2, x< —5,「. x<—5；1当—寸 x<2 时，3x —1>2, x>1,「. 1<x<2 ；当x>2 时，x+ 3>2, x> —1,二x >2.综上所述，不等式f(x) >2的解集为{x|x>1或x< —5}.5 11⑵ f(x) min= —2，若？ x € R, f(x) > t 2—~t恒成立，5 2 11t 1则只需f(x) min= —2》t —2，解得2e t e 5.即t的取值范围是-|2, 5 111.设函数 f(x) = |2x — 1| - |x + 1|. ⑴求不等式f(x) < 0的解集D;⑵ 若存在实数x € {x|0 w x w 2}，使得.3x +2 — x>a 成立，求实数a 的取值范围.解：(1)当 x w — 1 时，由 f(x) =— x + 2w 0 得 x >2,所以 x € ?;1 1当一1<x w 2时，由 f(x) = — 3x w 0 得 x 》0,所以 0w x w ; 1 1当 x>2时，由 f(x) = x — 2 w 0 得 x w 2，所以 2<x w 2. 综上，不等式 f(x) w 0的解集D = {x|0 w x w 2}.(2) 3x + 2— x =3 x + 2 — x ，由柯西不等式得(，3 ,x + • 2 — x) 2w (3 + 1)[x + (23—x)] = 8,••• 3x + 2— x w 2〔2,当且仅当x =空时取“ =”， /• a 的取值范围是(一®2 .2). 第2课时 不等式证明的基本方法2 2 2 21. 已知 x > 1, y > 1,求证：x y + xy + 1 w x y + x + y.证明：左边一右边= (y — y 2)x 2+ (y 2— 1)x — y + 1 = (1 — y)[yx 2— (1 + y)x + 1] = (1 —y)(xy — 1)(x — 1),•/x > 1, y > 1 ,• 1 — y w 0, xy — 1 >0, x — 1 >0. 从而左边—右边w 0,• x y + xy + 1 w x y + x + y.2. (2017 •苏州期末)已知 a , b ,x ,y 都是正数，且 a + b = 1,求证:(ax + by)(bx + ay) >xy. 证明：因为a , b , x , y 都是正数，所以(ax + by)(bx + ay) = ab(x 2+ y 2) + xy(a 2+ b 2)2 2 2> ab • 2xy + xy(a + b ) = (a + b) xy. 又 a + b = 1,所以(ax + by)(bx + ay) >xy. 当且仅当x = y 时等号成立.3. 已知 x , y , z € R ,且 x + 2y + 3z + 8= 0.求证：(x — 1) + (y + 2) + (z — 3) > 14. 证明：因为[(x — 1)2+ (y + 2)2+ (z — 3) 2](1 2+ 22+ 32)2> [(x — 1) + 2(y + 2) + 3(z — 3)]2 2=(x + 2y + 3z — 6) = 14 ,X — 1 y -k 2 z 一 3当且仅当 〒=七厂=丁，即x = z = 0, y =— 4时，取等号，所以(x — 1)2+ (y + 2)2+ (z — 3)2> 14.4. 已知函数 f(x) = |2x — 1| + |x + 1|，函数 g(x) = f(x) + |x + 1| 的值域为 M. (1)求不等式f(x) w 3的解集；23若 t € M 求证：t + 1 > + 3t.一 3x ,3x , x > 2,2 —x w3 (2) 证明：g(x) = f(x) + |x + 1| = |2x — 1| + |2x + 2| > |2x — 1 — 2x — 2| = 3, 当且仅当(2x — 1)(2x + 2) w 0 时，取等号，••• M= [3 ,+s ).2 3 t3 — 3t2 + t — 3 (t — 3)( t2 + 1)原不等式等价于t 2— 3t + 1 —x w — 1. (1)依题意，得f(x)1—1< x < —,x w — 1,或—3x w31一 1< X V 2， x > 1,或 2 解得一1 w x w 1.即不等式f(x) w 3的解集为{x| — 1 w x w 1}.3x w 3,•/ t € M •- t — 3> 0, t 2+ 1 > 0.(t — 3)(t2 +1}> 0. • Z 1> 3 + 3t.5. （2017 •苏、锡、常、镇二模）已知a , b , c 为正实数，求证: b2 证明：T a , b , c 为正实数，• a + —>2b , a b2 c2 a2将上面三个式子相加得 a + b + c + +p+ —》2a +2b + 2c , a b cb2 c2 a2+ T + 7》a + * c .1 1 1a 1, a 2, a 3均为正数，且 a 1 + a ? + a 3= 1,求证： — > 9.a1 a2 a31 1 1 因为 a 1, a 2, a 3均为正数，且 a 1 + a2 + a3 = 1，所以 二+帀十-^ = (a 1 + a 2 + ai a2 a31 2 3，+7.已知正数x , y , z 满足x + 2y + 3z = 1，求- + -+-的最小值.x y z1 4 9解：一+-+二=二+代+丁 (x + 2y + 3z) /2y 4x> 14 + 2 • —+ 2\j x 2y1 “ 、 x = y = z = 6时等号成立,1 1 1且a + 2b + 4c = 3.求乔+ R +而的最小值，并指出取得最小值时a , b , c 的值. 解：••• a + 2b + 4c = 3,「 ••• a , b , c 为正数，•••由柯西不等式得［（a + 2)2.当且仅当(a + 1)2= 2(b + 1)2= 4(c + 1)2时，等式成立.1 1 1 11 + 62 • + + 》 a +1 b + 1 c +1 10'• 2(c + 1) + 2 2(c + 1) + 4(c + 1) = 10 ,b2 c2 a2+ — + — > a + b + c. a b c a2 c + > 2a , cc2b + > 2c ,b 6.设 证明: 1 1 1 i 3 = 9（当且仅当a 1 = a 2= a 3时等号成立），所以1 1 1 ■+ -a1 a2 诂 A 3(a 1a 2a 3)3'3F 1 1 +匚+二》9.a2 a3a 3) al a2 a3 xyz 込 2y 3z 厂 -2y 3z 4x 12z 9x 18y=1 + 4 + 9+ +—+ +—+ + 于x x 2y 2y 3z 3z当且仅当 12 3• -+ -+-的最小值为36.x y z 8.已知 x > 0, y > 0, z > 0 且 xyz = 1,证明：T x > 0, y >0, z > 0, • x + y + z > 3xyz.3333同理 x + y + 1 > 3xy , y + z + 1 > 3yz , 求证: 3 3 3x + y + z > xy + yz + zx.将以上各式相加，得 3x 3y + 3z + 3>3xyz + 3xy + 3yz + 3zx. 333T xyz = 1 ,• x + y + z > xy + yz + zx.9.已知a ，b ，c 均为正数, (a + 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1) = 10.12z 2y3z 9x x 3z + 2 18y3z = 36, 1) + 2(b + 1) + 4(c + 1)] • 11 I厂+而+市 A(1+ 2+8- 5j215(2—17 23- 10F2…c = -, b= —7, a= 7 1 ~10.已知a+ b + c= 1, a, b, c>0.求证：1(1) abc w 27 ；(2) a 2+ b2+ c2> ^abc.证明：(1) a+ b + c>3 • Qabc,而a+ b+ c = 1? abc w£7,当且仅当a= b = c=g时取等号.2 2 2 1 2 13 1(2)由柯西不等式得a + b + c >^(a + b+ c) = 3，由(1)知•. abc w3,••• a 2+ b2+ c2> %bc，当且仅当a = b= c =''时取等号.11.已知函数f(x) = . 3x+ 6, g(x) = ■_ 14-x.若存在实数x使f(x) + g(x) > a成立，求实数a的取值范围.解：存在实数x使f(x) + g(x) > a成立，等价于f(x) + g(x)的最大值大于a.■/ f(x) + g(x) = 3x + 6 + ,14- x=i.；3 X :x + 2+ 1 X 14—x,由柯西不等式得， c 3 X，: X+ 2+ 1X 14 —x) 2w (3 + 1) •( x+ 2+ 14—x) = 64,• f(x) + g(x) = 3x + 6 + . 14 —x w 8,当且仅当x = 10 时取等号.故实数a的取值范围是(8).。

考案[15]选修4－5 综合过关限时检测(时间：45分钟 满分100分)一、选择题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·四川成都模拟)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|>k 恒成立，则实数k 的取值范围是导学号 58535527( A )A ．k <1B ．k ≥1C ．k >1D ．k ≤1[解析] 由题意得k <(|x ＋2|＋|x ＋1|)min ，而|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－(x ＋1)|＝1，所以k <1，故选A ．2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是导学号 58535528( B )A ．(－∞，12) B ．(－∞，0)∪(0，12) C ．(12，＋∞) D ．(0，12) [解析] 当x ≥0时，x (1－2x )>0，∴0<x <12当x <0时，－x (1－2x )>0，∴x >12或x <0 综上x <12且x ≠0，故选B ． 3．(2015·山东)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是导学号 58535538( A )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)[解析] |x －1|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，x <12x －6，1≤x <5，4，x ≥5原不等式可化为⎩⎨⎧ x <1－4<2或⎩⎨⎧ 1≤x <52x －6<2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥54<2.解得x <4，故选A ． 4．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的关系是导学号 58535529( D ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n[解析] m ＝|a |－|b ||a －b |≤1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥1.故m ≤n . 5．(2018·福建省漳州市芗城中学高三上学期月考试题)已知a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为导学号 58535530( C )A ．18B ．9C ．3 2D ．2 3 [解析] 利用柯西不等式，即可求出a ＋1＋b ＋3的最大值． 解：由题意，(a ＋1＋b ＋3)2≤(1＋1)(a ＋1＋b ＋3)＝18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为32，故选C ．[点拨] 本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)6．(2013·湖南)已知a 、b 、c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__12__.导学号 58535539[解析] 由题意可知(a 2＋4b 2＋ac 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥12，即a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.7．(2018·重庆南开中学月考试题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，若不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a 的值为__3__.导学号 58535531[解析] 函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |表示数轴上的对应点到－1和a 对应点的距离之和，由于不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，所以数轴上的－2、4对应点到－1和a 对应点的距离之和正好等于6，故有⎩⎪⎨⎪⎧|－2＋1|＋|－2－a |＝6，|4＋1|＋|4－a |＝6，解得a ＝3. [点拨] 本题利用数形结合，发现表示解集的区间的两个边界点恰好是使得等号成立的点是解题的关键．若直接求解，需要分类讨论，步骤比较烦琐，而且容易出现计算错误．8．(2017·浙江，4分)已知a ∈R ，函数f (x )＝|x ＋4x－a |＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__(－∞，92]__.导学号 58535532[解析] ∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x ∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，∴a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是(－∞，92]． 三、解答题(本大题共3个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．(本小题20分)(2018·广西桂林市、百色市、崇左市一联)设函数f (x )＝|x ＋1|.导学号 58535533(1)求不等式f (x )<2x 的解集；(2)若2f (x )＋|x －a |>8对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由f (x )<2x 得|x ＋1|<2x ，则－2x <x ＋1<2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<2x ，x ＋1>－2x ，解得x >1，∴不等式f (x )<2x 的解集为(1，＋∞)．(2)∵f (x )＋|x －a |＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－x ＋a |＝|a ＋1|，又2f (x )＋|x －a |>8＝23对任意x ∈R 恒成立，即f (x )＋|x －a |>3对任意x ∈R 恒成立，∴|a ＋1|>3，解得a <－4或a >2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．10．(本小题20分)(2018·湖南省五市十校高三联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －3|(a <3).导学号 58535534(1)若不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤12或x ≥92}，求a 的值； (2)若对∀x ∈R ，f (x )＋|x －3|≥1，求实数a 的取值范围．[解析] (1)解法一：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋3，x <a ，3－a ，a ≤x ≤3，2x －a －3，x >3，当x <a 时，由－2x ＋a ＋3≥4，得x ≤a －12； 当x >3时，2x －a －3≥4，得x ≥7＋a 2.已知f (x )≥4的解集为{x |x ≤12或x ≥92}，则显然a ＝2. 解法二：由已知易得f (x )＝|x －a |＋|x －3|的图象关于直线x ＝a ＋32对称． 对f (x )≥4的解集为{x |x ≤12或x ≥92}，则12＋92＝a ＋3，即a ＝2. (2)解法一：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋2|x －3|≥1恒成立．当x ≤a 时，－3x ＋a ＋5≥0恒成立，得－3a ＋a ＋5≥0，解得a ≤52； 当a <x ≤3时，－x －a ＋5≥0恒成立，得－3－a ＋5≥0，解得a ≤2；当x ≥3时，3x －a －7≥0恒成立，得9－a －7≥0，解得a ≤2.综上，a ≤2.解法二：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋|x －3|≥－|x －3|＋1恒成立，由图象(图略)可知f (x )＝|x －a |＋|x －3|在x ＝3处取得最小值3－a ，而－|x －3|＋1在x ＝3处取得最大值1，故3－a ≥1，得a ≤2.11．(本小题满分20分)(2018·陕西省延安市黄陵中学高三上学期质量(重点班)数学试题)已知函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝m －2|x －11|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，实数m 的最大值为t 导学号 58535535(1)求实数t ；(2)已知实数x 、y 、z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a ＞0)，且x ＋y ＋z 的最大值是t 20，求a 的值． [解析] (1)若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，可得m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)，而由绝对值三角不等式可得 2(|x ＋3|＋|x －7|)≥20，可得m ≤20，由此求得m 的最大值t .(2)由柯西不等式可得(2x 2＋3y 2＋6z 2)·(12＋13＋16)≥(x ＋y ＋z )2，即a ×1≥(x ＋y ＋z )2，即x ＋y ＋z ≤a ，再根据 x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，可得a ＝1，从而求得a 的值． 解：(1)由题意可得g (x ＋4)＝m －2|x ＋4－11|＝m －2|x －7|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立， ∴2|x ＋3|≥m －2|x －7|，即 m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)．而由绝对值三角不等式可得 2(|x ＋3|＋|x －7|)≥2|(x ＋3)－(x －7)|＝20，∴m ≤20，故m 的最大值t ＝20.(2)∵实数x 、y 、z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a ＞0)，由柯西不等式可得(2x 2＋3y 2＋6z 2)·(12＋13＋16)≥(x ＋y ＋z )2， ∴a ×1≥(x ＋y ＋z )2，∴x ＋y ＋z ≤a .再根据 x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，∴a ＝1，∴a ＝1.。

n2 所以 m ＋ 4 ≥2 [答案] B
2
n2 m· 4 ＝mn＝4，故最小值为 4，选 B.
2
方法感悟 柯西不等式的常见类型及解题策略 (1)求表达式的最值，依据已知条件，利用柯西不等式求最值， 注意等号成立的条件； (2)求解析式的值．利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条 件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值； (2)证明不等式．注意所证不等式的结构特征，寻找柯何意义知， |x－1|＋|x－2|≥1 恒成立，④也正确， 综上①③④正确．
[答案] C
2 2 2 3．设 a、b、c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则a＋b＋ c 的最小值 为_______．
[解析]

2 2 2 ∵(a＋b＋c)a＋b＋ c＝
a＋ b 1 b ④ 2 ≥ ab (a≥0，b≥0)，它的变形形式又有 a＋a≥2(a＞0)，a＋ a b a b≥2(ab＞0)，a＋b≤－2(ab＜0)等．
(2) 用分析法证明不等式时，不要把 “ 逆求 ” 错误地作为 “ 逆 推 ”， 分析的过程是寻求结论成立的充分条件， 而不一定是充要条件， 同时要正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． [注意] 分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法， 其实质是既充分利用已知条件， 又时刻瞄准解题目标， 即不仅要搞清 已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法 书写证题过程．
2 y (2)(2018· 东北三校二模)已知 A， B， P 为双曲线 x2－ 4 ＝1 上不同
→ → → 三点，且满足PA＋PB＝2PO(O 为坐标原点)，直线 PA，PB 的斜率记
2 n 为 m，n，则 m2＋ 4 的最小值为(
) B．4 D．1