人教版最新高中数学总复习题总结(有答案)高考必备Word版
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第1讲集合第2讲(附参考答案)一.课标要求:1.集合的含义与表示(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;2.集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;3.集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二.命题走向有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主,分值5分。
预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。
具体题型估计为:(1)题型是1个选择题或1个填空题;(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三.要点精讲1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。
a∈;若b不是集合A的元素,(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作Ab∉;记作A(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。
高考总复习高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解一、选择题1. a n=1,数列 { a n} 的前 n项和为S n,已计算得 S1= 2-1,S2= 3- 1,n+1+ nS3=1,由此可猜想 S n=( )A. n-1B. n+1-1C. n+1-2D. n+2-2[答案 ] B1 2. S k=+k+ 11+k+21+⋯+k+312k( k=1,2,3,⋯ ),那么Sk+1等于 ( )A.S k+1 2( k+1)B.S k+1-2k+11k+1C.S k+1-2k+112k+2D.S k+1+2k+112k+2[答案 ] C[解析 ] S k+1=1+(k+1)+11(k+1)+2+⋯+1=2(k+1)1+k+21 1+⋯+=k+3 2k+ 21+k+11+⋯+k+2 1+2k1 1+-2k+1 2k+21 1=S k+-k+1 2k+11.2k+22+n≤ n+1(n∈N* ),某人的证明过程以下:3.对于不等式 n2+1≤ 1+1,不等式成立 .1°当 n=1时, 12°假设n=k( k∈N * )时不等式成立,即 k2+k< k+1,那么n=k+1时, (k+1)2+ (k+ 1)=2+3k+2< (k2+3k+2)+k+2= (k+2)2=(k+1)+1. k ∴当 n=k+ 1时,不等式成立 .上述证法 ( )A.过程全都正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从 n=k到 n=k+1 的推理不正确[答案 ] D含详解答案高考总复习[解析 ] 没用归纳假设.4.将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16⋯⋯那么在表中数字 2021 出现在 ( )A.第 44 行第 75 列B.第 45 行第 75 列C.第 44 行第 74 列D.第 45 行第 74 列[答案 ] D[解析 ] 第 n 行有 2n-1 个数字,前 n 行的数字个数为1+3+5+⋯+(2 n- 1)=n2.∵442=1936,452=2025,且 1936<2021,2025>2021,∴ 2021 在第 45 行.又 2025-2021=15,且第 45 行有 2× 45-1= 89 个数字,∴2021 在第 89-15=74 列,选D.2 建马上,总可推出 f(k5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f (k)≥ k+1)≥ (k+ 1)2 成立〞.那么,以下命题总成立的是 ( )A.假设 f(3) ≥ 9 成立,那么当 k≥ 1时,均有 f(k)≥ k2 成立2 成立B.假设 f(5) ≥ 25 成立,那么当 k≤ 5时,均有 f(k)≥kC.假设 f(7)<49 成立,那么当 k≥ 8时,均有 f(k)> k2 成立2 成立D.假设 f(4) =25 成立,那么当 k≥ 4时,均有 f(k)≥k[答案 ] D[解析 ]对于 A ,f (3)≥ 9,加上题设可推出当 k≥ 3时,均有 f(k)≥ k2 成立,故 A错误.对于 B,要求逆推到比 5 小的正整数,与题设不符,故 B错误.对于 C,没有确立局部,即没有 f(8)≥ 82,故 C错误.对于 D,f(4)=25≥ 42,由题设的递推关系,可知结论成立,应选D.6.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖去,如图(1);再将节余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个挖去,得图(2);这样连续下去⋯⋯那么第 n 个图共挖去小正方形 ( )含详解答案高考总复习n-1)个A.(8n+1)个B.(81n-1)个C.7(81n+1)个D. (87[答案 ] C2个⋯⋯第[解析 ] 第 1 个图挖去 1 个,第 2 个图挖去 1+8 个,第 3 个图挖去 1+8+8n-182+⋯+8n-1=个.n 个图挖去 1+8+ 877.观察下式:1+ 3=2221+3+5=31+3+5+7=4221+3+5+7+9=5⋯⋯据此你可归纳猜想出的一般结论为( )A.1+3+5+⋯+ (2n-1)=n2(n∈N*)B.1+3+5+⋯+ (2n+1)=n2(n∈N*)C.1+3+5+⋯+ (2n-1)=(n+1)2( n∈N*)D.1+3+5+⋯+ (2n+1)=(n+1)2( n∈N* )[答案 ] D[解析 ]观察可见第 n 行左边有 n+1 个奇数,右边是 ( n+1)2,应选D.x,f n(x)=f n-1[ f(x)]( n≥ 2,n∈N*),那么f(1) 8.(2021 ·天津滨海新区五校 )假设 f(x)=f1(x)=1+x+f (2)+⋯+ f(n)+f1(1)+ f2(1) +⋯+ f n(1)=( )A.n9B.n+1nC.n+1 D.1[答案 ] A12,f(2)=[解析 ] 易知 f (1)=2 3,f(3)=,⋯,f( n)=3 4n x;由 f n(x)=f n-1(f (x))得,f2(x)=,n+ 1 1+2xx x 1,⋯,f n(x)=,从而 f1(1)=,f2(1)=1+3x 1+ nx 2f3(x)=1 1 1,f3(1)=,⋯,f n(1)=,,3 4 n+1含详解答案高考总复习因此 f(n)+f n (1)=1,故 f(1)+f(2)+⋯ +f(n)+f 1(1)+f 2(1)+⋯ +f n (1)=n.9.(2021 曲· 阜一中 )设f( x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x ,y ∈R ,1都有 f( x) ·f( y)=f(x +y),假设 a 1= ,a n =f(n)( n ∈N *),那么数列 { a n } 的前 n 项和 S n 的取值范围是2 ( )1 ,2) A .[2B .[1 ,2] 2C .[1 ,1] 21 ,1) D .[2 [答案] D[解析] 由可得a 1=f(1)=1 2 ,a 2=f(2)=f 2(1)=1 2 2,a 3=f(3)=f(2) f ·(1)=f 3(1)=123,⋯ ,a n =f(n)=fn(1)=1 2 n,∴S n =1 + + 2 1 2 2+ 1 2 3+⋯+ 1 2 n = 1 12] 2[1-(2) =1-(1 n, n ,) 1 21-2∵n ∈N *,∴1 2≤ S n <1.10.如图,一条螺旋线是用以下方法画成的: △ABC 是边长为1 的正三角形, 曲线CA 1、 A 1A 2,A 2A 3 是分别以 A 、B 、C 为圆心, AC 、BA 1、CA 2为半径画的圆弧,曲线CA 1A 2A 3 称为 螺旋线旋转一圈.尔后又以 A 为圆心, AA 3为半径画圆弧⋯ ⋯这样画到第 n 圈,那么所得螺旋 线的长度 l n 为( )2+n) π A .(3n2-n +1) π B .(3 n (3 n 2+n)πC.22-n+1)π (3nD.2[答案] A[解析] 由条件知 CA1 , A1A2 , A2A3 ,⋯,A n-1A n对应的中心角都是2π,且半径依32π次为1,2,3,4,⋯,故弧长依次为,3 2π×2,32π 2π×3⋯,据题意,第一圈长度为(1+2+3),3 32π 2π 2π第二圈长度为3 (4+5+6),第 n 圈长度为3 [(3 n-2)+(3n-1)+3n],故 L 3 (1+2+3+⋯n=+3n)=2π3n(1+3n)=(3n2+n) π.·3 2含详解答案高考总复习二、填空题2 3 11. (2021 ·浙江金华十校模考 ) 2+ = 2 2 3, 3+3 8 = 33 8, 4+4 15= 44 a ,⋯ ,假设 6+ =6 15 t a t ,( a ,t 均为正实数 ),类比以上等式,可推测a , t 的值,那么a +t =________.[答案 ] 41[解析 ] 注意分数的分子、分母与整数的变化规律, 2→分子 2,分母 3=22-1,3→分子2-1,4→分子 4,分母 15=42-1,故猜想 a =6,t =62-1= 35,再考据 6+3,分母 8=3 6 35=66成立, ∴a +t = 41. 35n[议论] 一般地, n += n 2-13n=nn 2-1 n,( n ∈N *)成立. n 2- 1a比方,假设 15+ =15ta t成立,那么t +a =239.23+53>22·5+2·5212.观察以下一组不等式:4 4 3 3 +5>2 5 2 5 · + · 25 5 1 1+5 2·5+222 2>2·52 2 2将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以实行,使以上的不等式成为实行不等式的特例,那么实行的不等式为 ________________________ .m+ n+b m +n>a m b n +a n b m(a ,b>0,a ≠b , m , n>0) [答案 ] a13.(2021 浙· 江杭州质检)观察以低等式: (x 2+x + 1)0=1; 2+x + 1)1=x 2+x +1; (x(x 2+x + 1)2=x 4+2x 3+3x 2+2x +1;2+x + 1)3=x 6+3x 5+6x 4+7x 3+6x 2+ 3x +1; (x可以推测(x 2+ x +1)4的张开式中,系数最大的项是 ________. [答案 ] 19x 4[解析 ]观察其系数变化规律:2+x+ 1)1为1,1,1(x(x2+x+ 1)2为1,2,3,2,12+x+ 1)3为1,3,6,7,6,3,1 (x故由此可推测(x2+x+ 1)4 系数中最大的为6+7+6= 19,故系数最大项是 19x4. 14.(2021 南·京调研 )五位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学首次报出的数含详解答案高考总复习为2,第二位同学首次报出的数为3,此后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字,那么第 2021 个被报出的数为________.[答案 ] 4[解析 ] 依照规那么,五位同学第一轮报出的数依次为2,3,6,8,8,第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8,第三轮报出的数依次为8,4,2,8,6,故除第一、第二位同学第一轮报出的数为2,3 外,从第三位同学开始报出的数依次按 6,8,8,4,2,8 循环,那么第 2021 个被报出的数为4.[议论] 数字 2021 比较大,不可以能一个一个列出数到第 2021 个数,故隐含了探望其规律性 (周期 )的要求,因此可经过列出局部数,观察可否存在某种规律来求解.明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路.三、解答题15.点列 A n(x n,0), n∈N*,其中 x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点, A4 是线段 A2A3的中点,⋯ A n 是线段 A n-2A n-1的中点,⋯,(1)写出 x n 与 x n-1、x n-2之间的关系式 (n≥ 3);(2)设a n=x n+1- x n,计算 a1,a2,a3,由此推测数列 { a n} 的通项公式,并加以证明.x n-1+x n-2[解析 ] (1)当 n≥ 3时, x n=2 .(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=x2+x1-x2=-212(x2-x1)=-12a,a3=x4-x3=x3+x2-x3=-212(x3-x2)=14a,由此推测a n= (-1n-1a(n∈N*).2)证法 1:由于a1= a>0,且x n+x n x n-1-x n-1-x n=a n=x n+1-x n==-2 2 12(x n-x n-1)=-12a n-1( n≥2),1n-1a.因此 a n=(-)2证法 2:用数学归纳法证明:1(1)当 n=1时, a1=x2-x1=a=(-2)0a,公式成立.1k-1a 成立.那么当 n=k+1时,(2)假设当 n=k时,公式成立,即 a k=(- )2a k+1= x k+2- x k+1=x k+1+ x k- x k+1=-212( x k+1- x k)=-12a k=-12(-1k-1a=(-2)1(k+1)-1a,公2)式仍成立,依照 (1)和(2)可知,对任意 n∈N*,公式 a n=(-1n-1a 成立.)2含详解答案高考总复习16.设数列 { a n }的前 n 项和为S n ,对所有 n ∈N S n *,点 n , n 都在函数 f(x)=x + a n的图象 2x上.(1)求 a 1,a 2, a 3 的值,猜想 a n 的表达式,并用数学归纳法证明;(2)将数列 { a n } 依次按 1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1),(a 2,a 3),(a 4,a 5,a 6),(a 7, a 8,a 9, a 10);( a 11),(a 12, a 13),(a 14,a 15,a 16),(a 17, a 18,a 19, a 20);( a 21),⋯ ,分别计算 各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后序次组成的数列为{ b n } ,求 b 5+b 100 的 值.S n [解析 ] (1)将点 n , n a n的坐标代入函数 f(x)=x +中,经过整理获取 S n 与 a n 的关系,2x那么a 1,a 2,a 3 可求;(2)经过观察发现b 100 是第 25组中第 4 个括号内各数之和,各组第 4 个括号中各数之和 组成首项为68、公差为80 的等差数列,利用等差数列求和公式可求 b 100.S n n [解析 ] (1)∵点 n , 在函数 f( x)= x +a n 的图象上, 2x∴ S n =n + n a n 1 ,∴S n =n 2+ 2n2a n .1令 n =1 得, a 1=1+ a 1,∴ a 1=2;21令 n =2 得, a 1+a 2=4+2a2, ∴a 2=4;令 n =3 得, a 1+a 2+a 3=9+1 2a 3, ∴a 3=6.由此猜想: a n =2n. 用数学归纳法证明以下:①当 n =1时,由上面的求解知,猜想成立. ②假设n =k(k ≥ 1)时猜想成立,即 a k =2k 成立,那么当 n =k + 1时,注意到 S n = n 2+1n( n ∈N *), 2a故 S k +1=(k +1)2+1 1 a k a k .+1,S k =k2++1,S k =k2+2 21 1两式相减得, a k+1= 2k+1+k,因此 a k+1=4k+2-a k.2a k+1-2a由归纳假设得, a k=2k,故 a k+1=4k+2-a k=4k+2-2k=2(k+1).这说明 n=k+1时,猜想也成立.由①②知,对所有 n∈N*,a n=2n 成立.(2)由于a n= 2n(n∈N*),因此数列 { a n} 依次按 1项、2项、3项、4项循环地分为(2),(4,6),含详解答案高考总复习(8,10,12) ,(14,16,18,20); (22),(24,26), (28,30,32),(34,36,38,40) ;(42),⋯ .每一次循环记 为一组.由于每一个循环含有 4 个括号,故 b 100 是第 25组中第 4 个括号内各数之和.由分 组规律知,各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列,且公差为20.同理,由 各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、 所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差 数列,且公差均为20.故各组第 4 个括号中各数之和组成等差数列, 且公差为80.注意到第一 组中第 4 个括号内各数之和是 68,因此 b 100=68+24× 80=1988, 又 b 5=22,因此 b 5+b 100=2021.[议论] 由求出数列的前几项,做出猜想,尔后利用数学归纳法证明,是不完满归 纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法.证明的要点是依照已 知条件和假设搜寻 a k 与 a k+1或 S k 与 S k +1间的关系,使命题得证.n= a 0+ a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ a 3(x -1)3+⋯ + a n (x - 17. (2021 南· 京调研 ): (x + 1) 1) n (n ≥ 2,n ∈N *).(1)当 n =5时,求 a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 的值.(2)设b n =a 2n -3, T n = b 2+ b 3+ b 4+⋯ + b n .试用数学归纳法证明:当 n ≥ 2时, T n = 2n(n +1)( n -1).3[解析 ] (1)当 n =5时,原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+ a 3(x - 1)3+a 4(x -1)4+ a 5(x -1)5令 x =2 得 a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+ a 5=35=243.-2n=[2+(x -1)]n ,因此 a 2=C n 2·2n(2)由于(x +1)b n = a 2n -3=2C n2=n(n -1)(n ≥ 2)2①当 n =2时.左边= T 2=b 2=2, 2(2+1)(2-1)右边= =2,左边=右边,等式成立.3 ②假设当 n =k(k ≥ 2,k ∈N *)时,等式成立,即 T k =k (k +1)(k -1)成立3 那么,当 n =k +1时,k(k +1)( k -1) 左边= T k +b k +1=3k(k +1)(k -1) +(k +1)[( k +1)-1]= +k(k +1)3=k( k +1)k -1 +1 = 3k (k +1)(k +2)3=(k +1)[( k +1)+1][( k +1)-1] =右边.3含详解答案高考总复习故当 n=k+1 时,等式成立.n( n+1)( n-1)综上①②,当 n≥2 时,T n=3 .含详解答案。
数学总复习题总结(附参考答案)第一章 集合与函数概念一、选择题1.设全集U ={(x ,y )| x ∈R ,y ∈R },集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧1=2-3-|),(x y y x , P ={(x ,y )| y ≠x +1},那么C U (M ∪P )等于( ).A .∅B .{(2,3)}C .(2,3)D .{(x ,y )| y =x +1} 2.若A ={a ,b },B ⊆A ,则集合B 中元素的个数是( ).A .0B .1C .2D .0或1或2 3.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ).A .1B .0C .0或1D .1或2 4.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的表达式是( ). A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7 5. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示,则( ).A .b ∈(-∞,0)B .b ∈(0,1)C .b ∈(1,2)D .b ∈(2,+∞) 6.设函数f (x )=⎩⎨⎧0++2 x c x c bx x ,,≤, 若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为( ).A .1B .2C .3D .47.设集合A ={x | 0≤x ≤6},B ={y | 0≤y ≤2},下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ).A .f :x →y =21x B .f :x →y =31xC .f :x →y =41xD .f :x →y=61x8.有下面四个命题:①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ).A .1B .2C .3D .4 9.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( ). A .递减函数 B .递增函数 C .先递减再递增 D .先递增再递减10.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1)(第5题)>二、填空题11.集合{3,x ,x 2-2x }中,x 应满足的条件是 .12.若集合A ={x | x 2+(a -1)x +b =0}中,仅有一个元素a ,则a =___,b =___.13.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.14.已知f (x +1)=x 2-2x ,则f (x )= ;f (x -2)= . 15.y =(2a -1)x +5是减函数,求a 的取值范围 .16.设f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞)时,f (x )=x (1+x 3),那么当x ∈(-∞,0]时,f (x )= .三、解答题17.已知集合A ={x ∈R | ax 2-3x +2=0},其中a 为常数,且a ∈R . ①若A 是空集,求a 的范围;②若A 中只有一个元素,求a 的值;③若A 中至多只有一个元素,求a 的范围.18.已知M ={2,a ,b },N ={2a ,2,b 2},且M =N ,求a ,b 的值.19.证明f (x )=x 3在R 上是增函数.20.判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=3x 4+21x ;(2)f (x )=(x -1)xx-+11; (3)f (x )=1-x +x -1;(4)f (x )=12-x +21x -.第一章 集合与函数概念参考答案一、选择题1.B 解析:集合M 是由直线y =x +1上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合P 是坐标平面上不在直线y =x +1上的点组成的集合,那么M P 就是坐标平面上不含点(2,3)的所有点组成的集合.因此C U (M P )就是点(2,3)的集合.C U(M P )={(2,3)}.故选B .2.D解析:∵A 的子集有∅,{a },{b },{a ,b }.∴集合B 可能是∅,{a },{b },{a ,b }中的某一个,∴选D .3.C解析:由函数的定义知,函数y =f (x )的图象与直线x =1是有可能没有交点的,如果有交点,那么对于x =1仅有一个函数值.4.B解析:∵g (x +2)=2x +3=2(x +2)-1,∴g (x )=2x -1. 5.A 解析:要善于从函数的图象中分析出函数的特点.解法1:设f (x )=ax (x -1)(x -2)=ax 3-3ax 2+2ax ,比较系数得b =-3a ,c =2a ,d =0.由f (x )的图象可以知道f (3)>0,所以f (3)=3a (3-1)(3-2)=6a >0,即a >0,所以b <0.所以正确答案为A .解法2:分别将x =0,x =1,x =2代入f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 中,求得d =0,a =-31b ,c =-32b . ∴f (x )=b (-31x 3+x 2-32x )=-3bx [(x -23)2-41]. 由函数图象可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )<0,又[(x -23)2-41]>0,∴b <0.x ∈(0,1)时,f (x )>0,又[(x -23)2-41]>0,∴b <0.x ∈(1,2)时,f (x )<0,又[(x -23)2-41]<0,∴b <0.x ∈(2,+∞)时,f (x )>0,又[(x -23)2-41]>0,∴b <0.故b ∈(-∞,0).6.C解:由f (-4)=f (0),f (-2)=-2,得22422b bc ⎧-=-⎪⎨⎪-+=-⎩,∴42b c =⎧⎨=⎩ . ∴f (x )=⎩⎨⎧)0 ( 2)0 (2+4+2x ,x ,x x 由⎩⎨⎧ 得x =-1或x=-2;由得x =2. 综上,方程f (x )=x 的解的个数是3个. 7.A解:在集合A 中取元素6,在f :x →y =21x 作用下应得象3,但3不在集合B ={y |0≤y ≤2}中,所以答案选A .8.A提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f (x )=0,x ∈(-a ,a ).所以答案选A .9.C解析:本题可以作出函数y =x 2-6x +10的图象,根据图象可知函数在(2,x >0 x =2≤>x ≤0 x 2+4x +2=x (第5题)4)上是先递减再递增.答案选C .10.B解析:∵对称轴 x =2,∴f (1)=f (3). ∵y 在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f (4)>f (3)>f (2),于是 f (2)<f (1)<f (4). ∴答案选B . 二、填空题11.x ≠3且x ≠0且x ≠-1.解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足⎪⎩⎪⎨⎧ 解得x ≠3且x ≠0且x ≠-1. 12.a =31,b =91.解析:由题意知,方程x 2+(a -1)x +b =0的两根相等且x =a ,则△=(a-1)2-4b =0①,将x =a 代入原方程得a 2+(a -1)a +b =0 ②,由①②解得a =31,b =91.13.1 760元.解析:设水池底面的长为x m ,水池的总造价为y 元,由已知得水池底面面积为4 m 2.,水池底面的宽为x4m . 池底的造价 y 1=120×4=480.池壁的造价 y 2=(2×2x +2×2×x4)×80=(4x +x16)×80. 水池的总造价为 y =y 1+y 2=480+(4x +x16)×80, 即 y =480+320(x +x4)=480+320⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4+22x -x . 当 x =x2, 即x =2时,y 有最小值为 480+320×4=1 760元.14.f (x )=x 2-4x +3,f (x -2)=x 2-8x +15.解析:令x +1=t ,则x =t -1,因此f (t )=(t -1)2-2(t -1)=t 2-4t +3,即f (x )=x 2-4x +3.∴f (x -2)=(x -2)2-4(x -2)+3=x 2-8x +15.15.(-∞,21).解析:由y =(2a -1)x +5是减函数,知2a -1<0,a <21.16.x (1-x 3).解析:任取x ∈(-∞,0], 有-x ∈[0,+∞),∴f (-x )=-x [1+(-x )3]=-x (1-x 3),∵f (x )是奇函数,∴ f (-x )=-f (x ). ∴ f (x )=-f (-x )=x (1-x 3), 即当x ∈(-∞,0]时,f (x )的表达式为x (1-x 3).三、解答题17.解:①∵A 是空集,∴方程ax 2-3x +2=0无实数根.x ≠3,x 2-2x ≠3, x 2-2x ≠x .∴⎩⎨⎧∆,a a 08-9=,0 解得a >89.②∵A 中只有一个元素,∴方程ax 2-3x +2=0只有一个实数根.当a =0时,方程化为-3x +2=0,只有一个实数根x =32;当a ≠0时,令Δ=9-8a =0,得a =89,这时一元二次方程ax 2-3x +2=0有两个相等的实数根,即A 中只有一个元素.由以上可知a =0,或a =89时,A 中只有一个元素.③若A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由①②的结果可得a =0,或a ≥89.18.解:根据集合中元素的互异性,有 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==a b b a b b a a 2222或解得 或 或再根据集合中元素的互异性,得 或 19.证明:设x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则 f (x 1)-f (x 2)=31x -32x =(x 1-x 2)(21x +x 1x 2+22x ).又21x +x 1x 2+22x =(x 1+21x 2)2+4322x .由x 1<x 2得x 1-x 2<0,且x 1+21x 2与x 2不会同时为0,否则x 1=x 2=0与x 1<x 2矛盾,所以 21x +x 1x 2+22x >0.因此f (x 1)- f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), f (x )=x 3 在 R 上是增函数.20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x ∈R ,且x ≠0}, f (-x )=3(-x )4+21)(-x =3x 4+21x =f (x ),∴f (x )=3x 4+21x 是偶函数.(2)由x x -+11≥0⇔⎩⎨⎧≠01--1+1x x x ))(( 解得-1≤x <1.∴ 函数定义域为x ∈[-1,1),不关于原点对称,∴f (x )=(x -1)xx-11+为非奇非偶函数.(3)f (x )=1-x +x -1定义域为x =1, ∴ 函数为f (x )=0(x =1),定义域不关于原点对称,∴f (x )=1-x +x -1为非奇非偶函数. a =0 b =1a =0b =0a =41b =21 a =0 b =1a =41 b =21≥0≠<(4)f (x )=1-2x +2-1x 定义域为≥ -10≥1-22x x ⇒ x ∈{±1},∴函数变形为f (x )=0 (x =±1),∴f (x )=1-2x +2-1x 既是奇函数又是偶函数.高一数学必修1一、选择题:(每小题5分,共30分)。
高中数学总复习题含答案1. 函数的定义域和值域若函数f(x) = 1/(x-2),求该函数的定义域和值域。
答案:定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠0}。
2. 等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=2,求该数列的第10项。
答案:a10 = a1 + (n-1)d = 3 + (10-1)×2 = 21。
3. 圆的标准方程已知圆心坐标为(2, -3),半径为5,求该圆的标准方程。
答案:(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。
4. 三角函数的化简求值若sin(θ) = 3/5,且θ为锐角,求cos(θ)的值。
答案:cos(θ) = √(1 - sin^2(θ)) = √(1 - (3/5)^2) = 4/5。
5. 向量的数量积已知向量a = (3, -4),向量b = (2, 1),求向量a和向量b的数量积。
答案:a·b = 3×2 + (-4)×1 = 6 - 4 = 2。
6. 直线的斜率与倾斜角已知直线l的斜率为3,求直线l的倾斜角α。
答案:α = arctan(3)。
7. 二项式定理的应用展开式(1+x)^5中含x^3项的系数是多少?答案:C_5^3 = 10。
8. 概率的计算一个袋子里有5个红球和3个蓝球,随机抽取一个球,抽到红球的概率是多少?答案:P(红球) = 5/(5+3) = 5/8。
9. 导数的几何意义若函数f(x) = x^2,求f'(2)的几何意义。
答案:f'(2) = 2x|x=2 = 4,表示曲线y = x^2在x=2处的切线斜率。
10. 复数的运算已知复数z1 = 2 + 3i,z2 = 1 - i,求z1 * z2的值。
答案:z1 * z2 = (2 + 3i)(1 - i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i。
人教版高中数学必修3复习参考题及答案学习数学多做题能够让同学们能够更加的了解自己的知识掌握与运用情况,有的放矢的进行学习,下面是店铺分享给大家的高中数学必修3复习参考题及答案的资料,希望大家喜欢!高中数学必修3复习参考题及答案一一、书写。
(2分)要求:①蓝黑墨水钢笔书写。
②卷面整洁。
③字迹端正。
④大小适当。
二、填空。
(共32分)1、在下面括号里填上适当的单位。
小明身高126( ),体重35( )。
桌子高约8( ) 一头大象约重4( )数学课本厚约8( ) 飞机每小时行800( )2、80毫米=( )厘米 6分米=( )厘米 5米=( )分米7千米=( )米 4000米=( )千米 90厘米=( )分米3、在○里填上“>”、“<”或“=”。
(1)5时○250分 180分○3时 2分○160秒(2)6吨○600千克 4500千克○5吨 2吨○18000千克(3)17 ○ 18 49 ○ 79 311 ○ 3114、1里面有( )个 15 1里面有( )个 17 。
5、实验小学第一节课8:20上课,8:55下课,一节课历时( )分钟。
放学了,小明11:30离校,25分钟后到家,小明到家的时刻是( )。
6、在一个长45厘米,宽25厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形,这个正方形的周长是( )厘米。
7、一块菜地的种了萝卜,剩下的种白菜,种白菜的地占整块菜地的( )。
8、在每个图中的适当部分涂上颜色表示它下面的分数。
9、用6、8、9 三个数字卡片可以摆出( )个不同的三位数,最大的是。
得分评分人三、选出正确答案填在( )里。
(共16分)1、一个三年级小朋友的体重大约是( )。
① 300千克② 30克③ 30千克2、两个正方形的周长( )。
① 一定相等② 可能相等③ 一定不相等3、在÷8 = 6…… 中,余数最大是( )。
① 7 ② 6 ③ 54、某书店第一天售出图书2044册,第二天上午售出985册,下午售出1960册,两天售出的图书大约共有( )册。
新人教版高三数学专题总复习Word完整版2018年高考数学复习专题专题一集合、逻辑与不等式集合概念及其基本理论,是近代数学最基本的内容之一,集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支.有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中,学习关于逻辑的有关知识,可以使我们对数学的有关概念理解更透彻,表达更准确.不等式是高中数学的重点内容之一,是工具性很强的一部分内容,解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用.关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的.§1-1 集合【知识要点】1.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.2.集合常用的两种表示方法:列举法和描述法,另外还有大写字母表示法,图示法(韦恩图),一些数集也可以用区间的形式表示.3.两类不同的关系:(1)从属关系——元素与集合间的关系;(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况).4.集合的三种运算:交集、并集、补集.【复习要求】1.对于给定的集合能认识它表示什么集合.在中学常见的集合有两类:数集和点集.2.能正确区分和表示元素与集合,集合与集合两类不同的关系.3.掌握集合的交、并、补运算.能使用韦恩图表达集合的关系及运算.4.把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等.【例题分析】例1 给出下列六个关系:(1)0∈N* (2)0{-1,1} (3)∈{0}∉∅(4){0} (5){0}∈{0,1} (6){0}{0}∅∉⊆其中正确的关系是______.解答:(2)(4)(6)【评析】1.熟悉集合的常用符号:不含任何元素的集合叫做空集,记作;N 表示自然数集;N+或N*表示正整数集;Z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集.∅2.明确元素与集合的关系及符号表示:如果a是集合A的元素,记作:a∈A;如果a不是集合A的元素,记作:aA.∉3.明确集合与集合的关系及符号表示:如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集.记作:AB 或BA .⊆⊇如果集合A 是集合B 的子集,且B 中至少有一个元素不属于A ,那么,集合A 叫做集合B 的真子集.AB 或BA .4.子集的性质:①任何集合都是它本身的子集:AA ;⊆②空集是任何集合的子集:A ;∅⊆提示:空集是任何非空集合的真子集.③传递性:如果AB ,BC ,则AC ;如果AB ,BC ,则AC .⊆⊆⊆例2 已知全集U ={小于10的正整数},其子集A ,B 满足条件(UA)∩(UB)={1,9},A ∩B ={2},B ∩(UA)={4,6,8}.求集合A ,B .解:根据已知条件,得到如图1-1所示的韦恩图,图1-1于是,韦恩图中的阴影部分应填数字3,5,7.故A ={2,3,5,7},B ={2,4,6,8}.【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A 、B ,由既属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集.记作:A ∩B .对于两个给定的集合A 、B ,把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A 、B 的并集.记作:A ∪B .如果集合A 是全集U 的一个子集,由U 中不属于A 的所有元素构成的集合叫做A 在U 中的补集.记作UA .2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算,而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化,是解决集合运算问题的一个很好的工具,要习惯使用它解决问题,要有意识的利用它解决问题.例3 设集合M ={x |-1≤x <2},N ={x |x <a}.若M ∩N =,则实数a 的取值范围是______.∅答:(-∞,-1].【评析】本题可以通过数轴进行分析,要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值.象韦恩图一样,数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具.例4 设a ,b ∈R ,集合,则b -a =______.},,0{},,1{b ab a b a =+【分析】因为,所以a +b =0或a =0(舍去,否则没有意义),},,0{},,1{b a ba b a =+a b 所以,a +b =0,=-1,所以-1∈{1,a +b ,a},a =-1,ab 结合a +b =0,b =1,所以b -a =2.练习1-1一、选择题1.给出下列关系:①;②Q ;③|-3|N*;④.其中正确命题的个数是( )R ∈212∉∉Q ∈-|3|(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.下列各式中,A 与B 表示同一集合的是( )(A)A ={(1,2)},B ={(2,1)} (B)A ={1,2},B ={2,1}(C)A ={0},B = (D)A ={y |y =x2+1},B ={x |y =x2+1}∅3.已知M ={(x ,y)|x >0且y >0},N ={(x ,y)|xy >0},则M ,N 的关系是( )(A)MN (B)NM (C)M =N (D)M ∩N =∅4.已知全集U =N ,集合A ={x |x =2n ,n ∈N},B ={x |x =4n ,n ∈N},则下式中正确的关系是( )(A)U =A ∪B (B)U =(UA)∪B (C)U =A ∪(UB) (D)U =(UA)∪(UB)二、填空题5.已知集合A ={x |x <-1或2≤x <3},B ={x |-2≤x <4},则A ∪B =______.6.设M ={1,2},N ={1,2,3},P ={c |c =a +b ,a ∈M ,b ∈N},则集合P 中元素的个数为______.7.设全集U =R ,A ={x |x ≤-3或x ≥2},B ={x |-1<x <5},则(UA)∩B =______.8.设集合S ={a0,a1,a2,a3},在S 上定义运算为:aiaj =ak ,其中k 为i +j 被4除的余数,i ,j =0,1,2,3.则a2a3=______;满足关系式(xx)a2=a0的x(x ∈S)的个数为______.⊕⊕⊕⊕⊕三、解答题9.设集合A ={1,2},B ={1,2,3},C ={2,3,4},求(A ∩B)∪C .10.设全集U ={小于10的自然数},集合A ,B 满足A ∩B ={2},(UA)∩B ={4,6,8},(UA)∩(UB)={1,9},求集合A 和B .11.已知集合A ={x |-2≤x ≤4},B ={x |x >a},①A ∩B ≠,求实数a 的取值范围;∅②A ∩B ≠A ,求实数a 的取值范围;③A ∩B ≠,且A ∩B ≠A ,求实数a 的取值范围.∅§1-2 常用逻辑用语【知识要点】1.命题是可以判断真假的语句.2.逻辑联结词有“或”“且”“非”.不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.可以利用真值表判断复合命题的真假.3.命题的四种形式原命题:若p 则q .逆命题:若q 则p .否命题:若p ,则q .逆否命题:若q ,则p .注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念.原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系.⌝⌝⌝⌝4.充要条件如果pq ,则p 叫做q 的充分条件,q 叫做p 的必要条件.⇒如果pq 且qp ,即qp 则p 叫做q 的充要条件,同时,q 也叫做p 的充要条件.⇒⇒⇔5.全称量词与存在量词【复习要求】1.理解命题的概念.了解“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3.理解全称量词与存在量词的意义.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【例题分析】例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题,并判断它们的真假.⌝(1)p:0∈N,q:1N;∉(2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线相互平分.解:(1)p∨q:0∈N,或1N;∉p∧q:0∈N,且1N;p:0N.∉⌝∉因为p真,q假,所以p∨q为真,p∧q为假,p为假.⌝(2)p∨q:平行四边形的对角线相等或相互平分.p∧q:平行四边形的对角线相等且相互平分.⌝p:存在平行四边形对角线不相等.因为p假,q真,所以p∨q为真,p∧q为假,p为真.⌝【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表.例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.(1)若a2+b2=0,则ab=0;(2)若A∩B=A,则AB.解:(1)逆命题:若ab=0,则a2+b2=0;是假命题.否命题:若a2+b2≠0,则ab≠0;是假命题.逆否命题:若ab≠0,则a2+b2≠0;是真命题.(2)逆命题:若AB,则A∩B=A;是真命题.否命题:若A∩B≠A,则A不是B的真子集;是真命题.逆否命题:若A不是B的真子集,则A∩B≠A.是假命题.评述:原命题与逆否命题互为逆否命题,同真同假;逆命题与逆否命题也是互为逆否命题.例3 指出下列语句中,p是q的什么条件,q是p的什么条件.(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x=2;(2)p:a≥2;q:a≠0.【分析】由定义知,若pq且qp,则p是q的充分不必要条件;⇒若pq且qp,则p是q的必要不充分条件;⇒若pq且qp,p与q互为充要条件.⇒⇒于是可得(1)中p是q的必要不充分条件;q是p的充分不必要条件.(2)中p是q的充分不必要条件;q是p的必要不充分条件.【评析】判断充分条件和必要条件,首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论,剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了.例4 设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M ∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解:条件p:x∈M或x∈N,即为x∈R;条件q:x∈M∩N,即为{x∈R|2<x <3}.又R{x∈R|2<x<3},且{x∈R|2<x<3}R,所以p是q的必要非充分条件,选B.⊆【评析】当条件p和q以集合的形式表现时,可用下面的方法判断充分性与必要性:设满足条件p的元素构成集合A,满足条件q的元素构成集合B,若AB 且BA,则p是q的充分非必要条件;若AB且BA,则p是q的必要非充分条件;若A=B,则p与q互为充要条件.⊆⊆例5 命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R,x3-x2+1≤0,(B)存在x∈R,x3-x2+1≤0(C)存在x∈R,x3-x2+1>0 (D)对任意的x∈R,x3-x2+1>0【分析】这是一个全称命题,它的否定是一个特称命题.其否定为“存在x ∈R,x3-x2+1>0.”答:选C.【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词),并把结论否定.练习1-2一、选择题1.下列四个命题中的真命题为( )(A)x∈Z,1<4x<3 (B)x∈Z,3x-1=0∃∃(C)x∈R,x2-1=0 (D)x∈R,x2+2x+2>0∀∀2.如果“p或q”与“非p”都是真命题,那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3.已知a为正数,则“a>b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.“A是B的子集”可以用下列数学语言表达:“若对任意的x∈Ax∈B,则称AB”.那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )⇒⊆(A)若x∈A但xB,则称A不是B的子集∀∉(B)若x∈A但xB,则称A不是B的子集∃∉(C)若xA但x∈B,则称A不是B的子集∃∉(D)若xA但x∈B,则称A不是B的子集∀∉二、填空题5.“p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件.⌝6.命题“若x <-1,则|x |>1”的逆否命题为_________.7.已知集合A ,B 是全集U 的子集,则“AB ”是“UBUA ”的______条件.⊆⊆8.设A 、B 为两个集合,下列四个命题:①AB 对任意x ∈A ,有xB ②ABA ∩B =⇔∉⇔∅③ABAB ④AB 存在x ∈A ,使得xB ⇔⇔∉ 其中真命题的序号是______.(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9.判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假:(1)指数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除又能被5整除;(3)x ∈{x |x ∈Z},log2x >0;∃ (4).041,2≥+-∈∀x x x R 10.已知实数a ,b ∈R .试写出命题:“a2+b2=0,则ab =0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断四个命题的真假,说明判断的理由.§1-3 不等式(含推理与证明)【知识要点】1.不等式的性质.(1)如果a >b ,那么b <a ;(2)如果a >b ,且b >c ,那么a >c ;(3)如果a >b ,那么a +c >b +c(如果a +c >b ,那么a >b -c);(4)如果a >b ,c >d ,那么a +c >b +d ;(5)如果a >b ,c >0,那么ac >bc ;如果a >b ,c <0,那么ac <bc ;(6)如果a >b >0,c >d >0,那么ac >bd ;(7)如果a >b >0,那么an >bn(n ∈N +,n >1);(8)如果a >b >0,那么;)1,N (>∈>+n x b a n n2.进行不等式关系判断时常用到的实数的性质:若a ∈R ,则.)R (0.0||;02+∈≥≥≥a a a a3.会解一元一次不等式,一元二次不等式,简单的分式不等式、绝对值不等式.简单的含参数的不等式.4.均值定理:如果a 、b ∈R +,那么当且仅当a =b 时,式中等号成立..2ab b a ≥+ 其他常用的基本不等式:如果a 、b ∈R ,那么a2+b2≥2ab ,(a -b)2≥0. 如果a 、b 同号,那么.2≥+b a a b5.合情推理之归纳推理与类比推理;演绎推理;综合法、分析法与反证法.【复习要求】1.运用不等式的性质解决以下几类问题:(1)根据给定的条件,判断给出的不等式能否成立;(2)利用不等式的性质,实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系;(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系.2.熟练掌握一元一次不等式,一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法.并会解简单的含参数的不等式.3.了解合情推理和演绎推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题.熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系.比较法:常有“作差比较法”和“作商比较法”;综合法:从已知推导致结果的思维方法;分析法:从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法;反证法:由证明pq 转向证明qr …t ,而t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q 为假,进而推出q 为真的方法,叫做反证法.⇒⌝⇒⇒⇒⌝一般来讲,由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写.【例题分析】例1 若a >b >c ,则一定成立的不等式是( )A .a |c |>b |c |B .ab >acC .a -|c |>b -|c |D .cb a 111<< 【分析】关于选项A .当c =0时,a |c |>b |c |不成立.关于选项B .当a <0时,ab >ac 不成立.关于选项C .因为a >b ,根据不等式的性质a -|c |>b -|c |,正确. 关于选项D .当a >b >0>c 时,不成立.所以,选C .c b a 111<< 例2 a ,b ∈R ,下列命题中的真命题是( )A .若a >b ,则|a |>|b |B .若a >b ,则b a 11<C .若a >b ,则a3>b3D .若a >b ,则1>b a 【分析】关于选项A .当a =-1,b =-2时,|a |>|b |不成立. 关于选项B .当a >0,b <0时,不成立.ba 11< 关于选项C .因为a >b ,根据不等式的性质a3>b3,正确. 关于选项D .当b <0时,不成立.所以,选C .1>b a【评析】判断不等关系的正误,其一要掌握判断的依据,依据相关的理论判断,切忌仅凭感觉进行判断;其二要掌握判断的方法.判断不等式的理论依据参看本节的知识要点,另外,后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法.判断一个不等式是正确的,就应该给出一个合理的证明(或说明),就像例1、例2对正确的选项判断那样.判断一个不等式是不正确的,应举出反例.例3 解下列不等式:(1)x2-x -1>0;(2)x2-3x +2>0;(3)2x2-3x +1≤0;(4)(5)|2x -1|<3;(6);021>--x x .1212≤--x x 解:(1)方程x2-x -1=0的两个根是结合函数y =x2-x -1的图象,可得不等式x2-x -1>0的解集为251,21±=x x }.251251|{+>-<x x x 或 (2)不等式x2-3x +2>0等价于(x -1)(x -2)>0,易知方程(x -1)(x -2)=0的两个根为x1=1,x2=2,结合函数y =x2-3x +2的图象,可得不等式x2-3x +2>0的解集为{x |x <1或x >2}.(3)不等式2x2-3x +1≤0等价于(2x -1)(x -1)≤0,以下同(2)的解法, 可得不等式的解集为}.121|{≤≤x x(4)等价于(x -1)(x -2)>0,以下同(2)的解法,可得不等式的解集为{x |x <1或x >2}.021>--x x (5)不等式|2x -1|<3等价于-3<2x -1<3,所以-2<2x <4,即-1<x <2,所以不等式|2x -1|<3的解集为{x |-1≤x <2}.(6)不等式可以整理为1212≤--x x ,021≤-+x x ,021≤-+x x 等价于以下同(4)的解法,可得不等式的解集为{x |-1≤x <2}..021021=-+<-+x x x x 或 【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握.其他不等式的解法适当掌握.1.利用不等式的性质可以解一元一次不等式.2.解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系,通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了.所以,解一元二次不等式的步骤为:计算二次不等式相应的方程的判别式;求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根);画出相应的二次函数的简图;根据简图写出二次不等式的解集.3、不等式与(x -a)(x -b)>0同解;不等式与(x -a)(x -b)<0同解;0>--bx a x 0<--b x a x 4*、不等式|f(x)|<c 与-c <f(x)<c 同解;不等式|f(x)|>c 与“f(x)>c 或f(x)<-c ”同解.在解简单的分式不等式时要注意细节,例如(5)题关于“≤”号的处理.例4 解下列关于x 的不等式;(1)ax +3<2;(2)x2-6ax +5a2≤0.解:(1)由ax +3<2得ax <-1,当a =0时,不等式解集为;∅当a >0时,不等式解集为;}1|{ax x -<当a <0时,不等式解集为.}1|{a x x -> (2)x2-6ax +5a2≤0等价于不等式(x -a)(x -5a)≤0,当a =0时,不等式解集为{x |x =0};当a >0时,不等式解集为{x |a ≤x ≤5a};当a <0时,不等式解集为{x |5a ≤x ≤a}.【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的.要注意的是,当进行到某一步骤具有不确定性时,需要进行分类讨论.如(2)的解决过程中,当解出方程(x -a)(x -5a)=0的两根为x1=a ,x2=5a 之后,需要画出二次函数y =x2-6ax +5a2的草图,这时两根a 与5a 的大小不定,需要讨论,当分a =0,a >0,a <0三种情况之后,就可以在各自情况下确定a 与5a 的大小,画出二次函数y =x2-6ax +5a2的草图写出解集了.例5 已知a >b >0,c <d <0,m <0.求证:⋅->-db mc a m 证明:方法一(作差比较)由已知b -a <0,c -d <0,又m <0,所以m[(b -a)+(c -d)]>0,因为a >b >0,c <d <0,所以a -c >0,b -d >0, 所以,所以0))(()]()[(>---+-d b c a d c a b m ⋅->->---db mc a md b m c a m 即,0 方法二因为c <d <0,所以c -d <0,又a >b >0,所以a -b >0,所以a -b >c -d ,所以a -c >b -d >0,所以,又因为m <0,所以d b c a -<-11⋅->-db mc a m 例6 已知a +b +c =0,a >b >c ,求证:(1)a >0;(2).2->a c证明:(1)假设a ≤0,因为a >b >c ,所以b <0,c <0.所以a +b +c <0,与a +b +c =0矛盾.(2)因为b =-a -c ,a >b ,所以,所以2a >-c ,又a >0,所以,所以a c ->2.2->a c 例7 已知a ,b ,c ∈(0,1),求证:(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a 中至少有一个不大于.41 证明:假设(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a 均大于,41 即,41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a 因为a ,b ,c ∈(0,1),所以1-a ,1-b ,1-c ∈(0,1),所以,同理(1-b)+c >1,(1-c)+a >1,1)1(2)1(>-≥+-b a b a所以(1-a)+b +(1-b)+c +(1-c)+a >3,即0>0,矛盾.所以(1-a)b ,(1-b)c ,(1-c)a 中至少有一个不大于.41 【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等.证明不等式也是如此.1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易,也相对易于把握,要熟练掌握.2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法,其书写方法简明、易读,但要注意的是,这样的题的思路常常是分析法.比如,例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的:欲证只需证明m(b -d)>m(a -c)(因为b -d >0,a -c >0),即只需证明b -d <a -c ,即只需证明a -b >c -d ,,db mc a m ->- 而由已知a -b >0,c -d <0,所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写.所以,在很多情况下,分析法更是思考问题的方法,而综合法更是一种书写方法.3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1))、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等.证明的步骤一般是:(1)假设结论的反面是正确的;(2)推出矛盾的结论;(3)得出原来命题正确的结论.例8 根据图中图形及相应点的个数找规律,第8个图形相应的点数为______.【分析】第一个图有1行,每行有1+2个点;第二个图有2行,每行有2+2个点;第三个图有3行,每行有3+2个点;……第八个图有8行,每行有8+2个点,所以共有8×10=80个点.答:80.练习1-3一、选择题1.若则下列各式正确的是( )011>>b a (A)a >b(B)a <b (C)a2>b2 (D)2211b a < 2.已知a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列命题成立的是( ) (A)a2<b2 (B)a2b <ab2 (C) (D)b a ab 2211<b a a b < 3.已知A ={x ||x |<a},B ={x |x >1},且A ∩B =,则a 的取值范围是( )∅(A){a |a ≤1} (B){a |0≤a ≤1} (C){a |a <1} (D){a |0<a <1}4.设集合M ={1,2,3,4,5,6},S1,S2,…,Sk 都是M 的含有两个元素的子集,且满足:对任意的Si ={ai ,bi}、Sj ={aj ,bj}(i ≠j ,i ,j ∈{1,2,3,…,k})都有,(min{x ,y}表示两个数x ,y 中的较小者),则k 的最大值是( )},min{},min{j j j j i i i i a b b a a bb a =/ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13二、填空题5.已知数列{an}的第一项a1=1,且,请计算出这个数列的前几项,并据此归纳出这个数列的通项公式an =______.),3,2,1(11 =+=+n a aa n n n6.不等式x2-5x +6<0的解集为____________.7.设集合A ={x ∈R ||x |<4},B ={x ∈R |x2-4x +3>0},则集合{x ∈R |x ∈A ,且xA ∩B}=____________.∉8.设a ∈R 且a ≠0,给出下面4个式子:①a3+1;②a2-2a +2;③;④a a 1+⋅+221aa 其中恒大于1的是______.(写出所有满足条件式子的序号)三、解答题9.解下列不等式:(1)2x2+x >0;(2)x2+3x +1<0;(3);(4)|2-x |<3;(5).032<-x x 21>-x x 10.已知a +b +c =0,求证:ab +bc +ca ≤0.11.解下列关于x 的不等式:(1)x2-2ax -3a2<0;(2)ax2-x >0;习题1一、选择题1.命题“若x 是正数,则x =|x |”的否命题是( )(A)若x 是正数,则x ≠|x | (B)若x 不是正数,则x =|x |(C)若x 是负数,则x ≠|x | (D)若x 不是正数,则x ≠|x |2.若集合M 、N 、P 是全集U 的子集,则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N)∪P (B)(M ∩N)∩P(C)(M ∩N)∪(UP) (D)(M ∩N)∩(UP)3.“”是“对任意的正数”的( )81=a 12,≥+xa x x(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4.已知集合P ={1,4,9,16,25,…},若定义运算“&”满足:“若a ∈P ,b ∈P ,则a&b ∈P ”,则运算“&”可以是( )(A)加法 (B)减法 (C)乘法 (D)除法5.已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是( )(A)ab >ac (B)c(b -a)<0 (C)cb2<ab2 (D)ac(a -c)<0二、填空题6.若全集U ={0,1,2,3}且UA ={2},则集合A =______.7.命题“x ∈A ,但xA ∪B ”的否定是____________.∃∉8.已知A ={-2,-1,0,1},B ={y |y =|x |,x ∈A},则B =____________.9.已知集合A ={x |x2-3x +2<0},B ={x |x <a},若AB ,则实数a 的取值范围是____________.10.设a ,b 是两个实数,给出下列条件:①a +b >1;②a +b =2;③a +b >2;④a2+b2>2;⑤ab >1,其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是______.(写出所有正确条件的序号)三、解答题11.解不等式.21<x12.若0<a <b 且a +b =1.(1)求b 的取值范围;(2)试判断b 与a2+b2的大小.13.设a ≠b ,解关于x 的不等式:a2x +b2(1-x)≥[ax +b(1-x)]2.14.设数集A 满足条件:①AR ;②0A 且1A ;③若a ∈A ,则⊆∉∉.11A a ∈- (1)若2∈A ,则A 中至少有多少个元素;(2)证明:A 中不可能只有一个元素.专题一 集合、逻辑与不等式参考答案练习1-1一、选择题1.B 2.B 3.A 4.C提示:4.集合A 表示非负偶数集,集合B 表示能被4整除的自然数集,所以{正奇数}(UB),从而U =A ∪(UB).二、填空题5.{x |x <4} 6.4个 7.{x |-1<x <2} 8.a1;2个(x 为a1或a3).三、解答题9.(A ∩B)∪C ={1,2,3,4}10.分析:画如图所示的韦恩图:得A ={0,2,3,5,7},B ={2,4,6,8}.11.答:①a <4;②a ≥-2;③-2≤a <4提示:画数轴分析,注意a 可否取到“临界值”.练习1-2一、选择题1.D 2.A 3.B 4.B二、填空题5.必要不充分条件 6.若|x |≤1,则x ≥-1 7.充要条件 8.④ 提示:8.因为AB ,即对任意x ∈A ,有x ∈B .根据逻辑知识知,AB ,即为④.⊆ 另外,也可以通过文氏图来判断.三、解答题9.答:(1)全称命题,真命题.(2)特称命题,真命题.(3)特称命题,真命题;(4)全称命题,真命题.10.略解:答:逆命题:若ab =0,则a2+b2=0;是假命题;例如a =0,b =1否命题:若a2+b2≠0,则ab ≠0;是假命题;例如a =0,b =1逆否命题:若ab ≠0,则a2+b2≠0;是真命题;因为若a2+b2=0,则a =b =0,所以ab =0,即原命题是真命题,所以其逆否命题为真命题.练习1-3一、选择题1.B 2.C 3.A 4.B二、填空题5. 6.{x |2<x <3} 7.{x ∈R |1≤x ≤3| 8.④n1 三、解答题9.答:(1);(2);}210|{-<>x x x 或}253253|{+-<<--x x (3);(4){x |-1<x <5};(5).}230|{<<x x }310|{<<x x 10.证明:ab +bc +ca =b(a +c)+ac =-(a +c)(a +c)+ac =-a2-ac -c2所以ab +bc +ca ≤0.11.解:(1)原不等式(x +a)(x -3a)<0.⇔分三种情况讨论:①当a <0时,解集为{x |3a <x <-a};②当a =0时,原不等式x2<0,解集为;⇔∅③当a >0时,解集为{x |-a <x <3a}.(2)不等式ax2-x >0x(ax -1)>0.⇔分三种情况讨论:①当a =0时,原不等式-x >0,解集为{x |x <0};⇔②当a >0时,x(ax -1)>0x(x -)>0,解集为;⇔a 1}10|{ax x x ><或 ③当a <0时,x(ax -1)>0x(x -)<0,解集为.⇔a 1}01|{<<x a x 习题1一、选择题1.D 2.D 3.A 4.C 5.C提示:5.A 正确.B 不正确.D .正确.当b ≠0时,C 正确;当b =0时,C 不正确,∴C 不一定成立.二、填空题6.{0,1,3} 7.x ∈A ,x ∈A ∪B 8.{0,1,2} 9.{a |a ≥2} 10.③.∀ 提示:10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确.对于③:若a 、b 均小于等于1.即,a ≤1,b ≤1,则a +b ≤2,与a +b >2矛盾,所以③正确.三、解答题11.解:不等式即21<x ,021,021<-<-xx x 所以,此不等式等价于x(2x -1)>0,解得x <0或,012>-x x 21>x 所以,原不等式的解集为{x |x <0或}.21>x 12.解:(1)由a +b =1得a =1-b ,因为0<a <b , 所以1-b >0且1-b <b ,所以.121<<b(2)a2+b2-b =(1-b)2+b2-b =2b2-3b +1=⋅--81)43(22b 因为,所以121<<b ,081)43(22<--b即a2+b2<b .13.解:原不等式化为(a2-b2)x +b2≥(a -b)2x2+2b(a -b)x +b2,移项整理,得(a -b)2(x2-x)≤0.因为a ≠b ,故(a -b)2>0,所以x2-x ≤0.故不等式的解集为{x |0≤x ≤1}.14.解:(1)若2∈A ,则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有-1,,2三个元素.21 (2)假设A 中只有一个元素,设这个元素为a ,由已知,则.即a2-a +1=0,此方程无解,这与A 中有一个元素a 矛盾,所以A 中不可能只有一个元素.A a∈-11a a -=11专题二函数函数是中学数学中的重点内容,是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.本章内容有两条主线:一是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等.§2-1 函数【知识要点】要了解映射的概念,映射是学习、研究函数的基础,对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念.1、设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.记作f:A→B,其中x叫原象,y叫象.2、设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完全确定.3、函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都有原象.构成函数的三要素:定义域,值域和对应法则.其中定义域和对应法则是核心.【复习要求】1.了解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象.2.能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数.3.掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法),理解函数符号f(x)(对应法则),能依据一定的条件求出函数的对应法则.4.理解定义域在三要素的地位,并会求定义域.【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N.映射f:A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x+x,则在映射f作用下,2的象是______;20的原象是______.【分析】由已知,在映射f作用下x的象为2x+x.所以,2的象是22+2=6;设象20的原象为x,则x的象为20,即2x+x=20.由于x∈N,2x+x随着x的增大而增大,又可以发现24+4=20,所以20的原象是4.例2 设函数则f(1)=______;若f(0)+f(a)=-2,则a的所有可能值为______.⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 【分析】从映射的角度看,函数就是映射,函数解析式就是映射的法则. 所以f(1)=3.又f(0)=-1,所以f(a)=-1,当a ≤0时,由a -1=-1得a =0;当a >0时,由-a2+2a +2=-1,即a2-2a -3=0得a =3或a =-1(舍). 综上,a =0或a =3.例3 下列四组函数中,表示同一函数的是( )(A) (B)22)(,t y x y ==2|,|t y x y ==(C) (D)1,112+=--=x y x x y x x y x y 2,== 【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.(B)中两个函数的定义域相同,化简后为y =|x |及y =|t |,法则也相同,所以选(B).【评析】判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同.一般有两个步骤:(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致.(2)对解析式进行合理变形的情况下,看法则是否一致.例4 求下列函数的定义域(1)(2);11--=x y ;3212-+=x x y (3) (4);)1()3lg(0-+-=x xx y ;2|2|12---=x x y 解:(1)由|x -1|-1≥0,得|x -1|≥1,所以x -1≥1或x -1≤-1,所以x ≥2或x ≤0.所以,所求函数的定义域为{x |x ≥2或x ≤0}.。
}x-x=0,B={x ax-2x+4=0,且π________Q,1精选文档可编辑修改§1.1集合(附参考答案)重难点:(1)集合的含义及表示.(2)集合的基本关系(3)集合的基本运算经典例题:1.若x∈R,则{3,x,x2-2x}中的元素x应满足什么条件?2.已知A={x|x=8m+14n,m、n∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},问:(1)数2与集合A的关系如何?(2)集合A与集合B的关系如何?3.已知集合A={x22}A⋂B=B,求实数a的取值范围.基础训练:1.下面给出的四类对象中,构成集合的是()A.某班个子较高的同学B.长寿的人C.2的近似值D.倒数等于它本身的数2.对于集合A={2,4,6},若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是__________.3.平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是()A.{x,y且x<0,y>0}B.{(x,y)x<0,y>0}C.{(x,y)x<0,y>0}D.{x,y且x<0,y>0}4.用适当的符合填空:0__________{0},a__________{a},2________Z,-1________R,0________N,0Φ.{a}_______{a,b,c}.{a}_________{{a},{b},{c}},Φ_______{a,b}5.由所有偶数组成的集合可表示为{x x=}.6.用列举法表示集合D={(x,y)y=-x2+8,x∈N,y∈N}为.7.已知集合A={x ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.(1)若A中只有一个元素,求a的值;(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.8.设U为全集,集合M、N U,且M⊆N,则下列各式成立的是()A.C M⊇C N B.C M⊆MU U UC.C M⊆C N D.C M⊆NU U U9.已知全集U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x<1=,B={x|x2+x-2=0},C={x|-2≤x<1=,则()A.C⊆A B.C⊆C uA1精选文档可编辑修改2 +}x+px+2=0,N={x x-x-q=0,且M⋂N={2},则p,q的值为()..g(x)=0的解集是(U精选文档可编辑修改C.C uB=C D.CuA=B10.已知全集U={0,1,2,3}且C UA={2},则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.8个D.7个11.如果M={x|x=a2+1,a∈N*},P={y|y=b2-2b+2,b∈N+},则M和P的关系为M_________P.12.集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},若B A,则实数m的值是.13.判断下列集合之间的关系:(1)A={三角形},B={等腰三角形},C={等边三角形};(2)A={x|x2-x-2=0},B={x|-1≤x≤2},C={x|x2+4=4x};(3)A={x|1≤x≤1010},B={x|x=t2+1,t∈R},C={x|2x+1≥3};(4)A={x|x=k14,k∈Z},B={x|x=k4+12,k∈Z}.1.已知集合M={x22}A.p=-3,q=-2B.p=-3,q=2C.p=3,q=-2D.p=3,q=22.设集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则满足C⊆A∩B的集合C的个数是(A.0B.1C.2D.33.已知集合A={x|-3≤x≤5},B={x|a+1≤x≤4a+1},且A⋂B=B,B≠φ,则实数a的取值范围是().A.a≤1B.0≤a≤1C.a≤0D.-4≤a≤1)4.设全集U=R,集合M={x f(x)=0},N={x g(x)=0},则方程f(x)).A.M B.M∩(CuN)C.M∪(CUN)D.M⋃N5.有关集合的性质:(1)Cu(A⋂B)=(Cu A)∪(Cu B);(2)Cu(A⋃B)=(Cu A)⋂(Cu B)(3)A⋃(Cu A)=U(4)A⋂(Cu A)=Φ其中正确的个数有()个.A.1B.2C.3D.46.已知集合M={x|-1≤x<2=,N={x|x—a≤0},若M∩N≠Φ,则a的取值范围是.7.已知集合A={x|y=x2-2x-2,x∈R},B={y|y=x2-2x+2,x∈R},则A∩B=8.表示图形中的阴影部分.A BC9.集合U,M,N,P如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是()(A)M∩(N∪P)(B)M∩C(N∪P)U精选文档可编辑修改P M N2UU{, 且M ⋂ N = {2 } ,求实数 + 2( a + 1) x + ax + 1 ,则函数 f [ f ( x)] 的定义域是( 6.规定记号“ ∆ ”表示一种运算,即 a ∆ b = ab + a + b ,a 、b ∈ R +. 若 1 ∆ k = 3 ,则函数 f ( x ) = k ∆ x 的值域是 精选文档 可编辑修改(C )M ∪C (N ∩P )(D )M ∪C (N ∪P )10.在直角坐标系中,已知点集 A=( x, y) y - 2}= 2 ,B= {( x , y) y = 2 x } ,则x - 1(CuA) ⋂ B=.11.已知集合 M= {2, a + 2, a 2- 4}, N = {a + 3, a2 + 2, a 2- 4 a + 6 }a 的的值12.已知集合 A= {x ∈ R x 2+ 4 x = 0},B= {x ∈ R x 22- 1 = 0},且 A ∪B=A ,试求 a 的取值范围.§1.2 函数与基本初等函数重难点:(1)函数(定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值)(2)基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)(函数基本性质)典型例题:1.设函数 f (x )的定义域为[0,1],求下列函数的定义域(1)H (x )=f (x 2+1);(2)G (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0).2.已知函数 f (x )=2x 2-mx +3,当 x ∈ (-2, +∞ ) 时是增函数,当 x ∈ (-∞, -2 ) 时是减函数,则 f (1)等于( ) A .-3 B .13 C .7 D .含有 m 的变量基础训练:1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( )A . f ( x ) = x , g ( x ) =x 2 B . f ( x ) = x , g ( x ) = ( x )2x 2 - 1 C . f ( x ) =, g ( x ) = x + 1D . f ( x ) = x + 1 ⋅ x - 1, g ( x ) = x 2 - 1x - 12.函数 y = f ( x ) 的图象与直线 x = a 交点的个数为( )A .必有一个B .1 个或 2 个C .至多一个D .可能 2 个以上3.已知函数 f ( x ) =1)A . {x x ≠ 1}B . {x x ≠ -2}C . {x x ≠ -1, -2}D . {x x ≠ 1, -2}4.函数 f ( x ) =11 - x(1- x)的值域是( )5 5 4 4A . [ , +∞)B . (-∞, ]C . [ , +∞)D . (-∞, ]4 4 3 35.函数 f ( x ) 对任何 x ∈ R +恒有 f ( x ⋅ x ) = f ( x ) + f ( x ) ,已知 f (8) = 3 ,则 f ( 2) = .1 2 1 2___________.7.求函数 y = x - 3x - 2 的值域.3 精选文档 可编辑修改13. 已知函数 f(x)在区间 (0, +∞) 上是减函数,则 f ( x 2 + x + 1) 与 f ( ) 的大小关系是.1 1 1 精选文档 可编辑修改8. 求下列函数的定义域 : f ( x ) =2 -x 1x - 19.已知 f(x)=x 2+4x+3,求 f(x)在区间[t,t+1]上的最小值 g(t)和最大值 h(t).10.函数 f ( x ) =1 + x2 + x - 1是( ) 1 + x 2 + x + 1A . 非奇非偶函数B .既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C . 偶函数D . 奇函数11.奇函数 y =f (x )(x ≠0),当 x ∈(0,+∞)时, f (x )=x -1,则函数 f (x -1)的图象为( )12.函数 f ( x ) = -2 x 2 + 4tx + t 在区间[0, 1]上的最大值 g(t)是.3 414.如果函数 y =f (x +1)是偶函数,那么函数 y =f (x )的图象关于_________对称x 2 + 2 x +115. 已知函数 f ( x ) =2 ,其中 x ∈ [1,+∞) ,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.x16.已知映射 f:A → B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,基础训练:(指数函数)经典例题:求函数 y =3 - x 2+2 x +3 的单调区间和值域1 1 11.数 a = ( )- 4 , b = ( )- 6 , c = ( )- 8 的大小关系是()2 3 5A . a < b < cB . b < a < cC . c < a < bD . c < b < a2.下列函数中,图象与函数 y =4x 的图象关于 y 轴对称的是( )A .y =-4xB .y =4-xC .y =-4-xD .y =4x +4-x3.把函数 y=f(x)的图象向左、向下分别平移 2 个单位长度,得到函数 y = 2 x 的图象,则( )A . f ( x) = 2x -2+ 2 B . f ( x) = 2 x -2 - 2 C . f ( x) = 2 x +2 + 2 D . f ( x) = 2 x +2 - 24.设函数 f ( x ) = a - x ( a > 0, a ≠ 1) ,f(2)=4,则()A .f(-2)>f(-1)B .f(-1)>f(-2)C .f(1)>f(2)D .f(-2)>f(2)m - n5.设 x +x 2 - 1 = a 2 mn,求x - x 2 - 1 = .6.函数 f ( x ) = a x -1 - 1(a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点.精选文档 可编辑修改42x + 1 的最小值与最大值.(1) f ( x ) = ( ) x( x +1); (2) y = 1 - 2x +(对数函数)经典例题:已知 f (log a x )= a( x 2 - 1) ⎩lg(x + 1), x > 04.已知函数 f (x )= ⎨ ⎧log x( x > 0) 1(1)1.5 3 1323 ,(-103 ,1.1 2- 的定义域是()精选文档 可编辑修改7.(1)已知 x ∈ [-3,2],求 f(x)=14x-1(2)已知函数 f ( x ) = a x 2-3 x +3 在[0,2]上有最大值 8,求正数 a 的值.8.求下列函数的单调区间及值域:2 34x基础训练:; (3)求函数 f ( x ) = 2- x 2 3x+2 的递增区间.x(a 2 - 1),其中 a >0,且 a ≠1.(1)求 f (x ); (2)求证:f (x )是奇函数; (3)求证:f (x )在 R 上为增函数. 1.若 lg 2 = a, lg 3 = b ,则 lg 0.18 = ( ) A . 2a + b - 2B . a + 2b - 2C . 3a - b - 2D . a + 3b - 12.函数 y = lg(-3x 2 + 6 x + 7) 的值域是( )A . [1 - 3,1 + 3]B .[0,1]C .[0, +∞)D .{0}⎧ x 2 , x ≤ 03.设函数 f ( x ) = ⎨ , 若f ( x ) > 1,则x 的取值范围为()0 0A .(-1,1)B .(-1,+∞)C . (-∞,9)D . (-∞, -1) (9, +∞)2 ,则 f [f ( )]的值是()⎩3x ( x ≤ 0)4A .9B . 19C .-9D .- 195.计算 log2008[log (log 8)] = . 3 26.函数 f(x)的定义域为[0,1],则函数 f [log (3 - x)] 的定义域为.3基础训练:(幂函数)经典例题:比较下列各组数的大小:1,1.7 ,1; (2)(-) -2 ) 2- 43 ;2 711.函数 y =(x -2x ) 2A .{x |x ≠0 或 x ≠2}B .(-∞,0) (2,+∞)C .(-∞,0) [2,+∞ )D .(0,2)22.函数 y = x 5 的单调递减区间为()A .(-∞,1)B .(-∞,0)C .[0,+∞ ]D .(-∞,+∞)3.如图,曲线 c 1, c 2 分别是函数 y =x m 和 y =x n 在第一象限的图象, y c1那么一定有()A .n<m<0B .m<n<0C .m>n>0D .n>m>05精选文档 可编辑修改c2x4.幂函数的图象过点(2,14),则它的单调递增区间是.5.设x∈(0,1),幂函数y=x a的图象在y=x的上方,则a的取值范围是.§1.3函数的应用重难点:(1)函数与方程(零点与一元二次方程根存在性的关系,了解二分法)(2)函数模型及其应用(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数的增长特点)(函数与方程)经典例题:研究方程|x2-2x-3|=a(a≥0)的不同实根的个数.1.如果抛物线f(x)=x2+bx+c的图象与x轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是()A.(-1,3)B.[-1,3]C.(-∞,-1)⋃(3,+∞)D.(-∞,-1]⋃[3,+∞)2.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是()件(即生产多少件以上自产合算)A.1000B.1200C.1400D.16003.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台精选文档可编辑修改6(§2.1空间几何体重难点:1)空间几何体的结构(2)空间几何体的三视图和直观图(3)空间几何体的表面积和体积典型例题:半径为R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为()A.3355πR3B.πR3C.πR3D.πR3248248基础训练:一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个()A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对主视图左视图俯视图2.下图是由哪个平面图形旋转得到的()A B C D3.棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.3B.23C.33D.434.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是()A.25πB.50πC.125πD.都不对5.正方体的内切球和外接球的半径之比为()A.3:1B.3:2C.2:3D.3:3△6.在ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=1200,若使绕直线BC旋转一周,7精选文档可编辑修改A.9,精选文档可编辑修改则所形成的几何体的体积是()753π B.π C.π D.π22227.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是()A.130B.140C.150D.160二、填空题1.一个棱柱至少有_____个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱。
人教A 版数学课本优质习题总结训练——必修二参考答案:1.A【分析】设AB 中点为D ,确定AO AD =,ABO 为正三角形,再计算向量的投影得到答案.【详解】设AB 中点为D ,则22AO AB AC AD =+= ,即AO AD =,故BC 边为圆O 的直径,则AO OB =,又AO AB = ,则ABO 为正三角形,则有12BA BC = ,向量BA 在向量BC 上的投影向量1cos604BC BA BC BC ︒⨯=,故选:A2.OD OA OB OC=-+ 【解析】由OD OA AD =+ ,AD BC = ,BC OC OB =-,即可得到结论.【详解】OD OA AD OA BC OA OC OB OA OB OC =+=+=+-=-+.【点睛】本题考查向量加法,向量减法,属于基础题.3.(1(2)合理【分析】(1)结合图形作辅助线在直角三角形中求解;(2)根据平面向量基本定理,12,e e作为一组基底,则平面内任意向量都有唯一有序数对(),x y 使得12OP xe ye =+.【详解】解:(1)建立如图所示的直角坐标系,将OP分解到Ox '轴和Oy '轴可求得|||4PM OM ==,所以||OP ==.(2)12,e e 作为一组基底,对于任意向量12,,OP xe ye x y =+都是唯一确定的,所以本题中对向量坐标的规定合理.【点睛】此题考查平面向量基本运算,涉及数形结合处理模长问题,对平面向量基本定理辨析4.2【分析】利用平面向量基本定理表示出AO,列方程组即可求解.【详解】因为点O 是BC 的中点,所以1111=2222AO AB AC mAM nAN =++ .而M 、N 、O 三点共线,所以()1AO t AM t AN =+-,则有122112m t m n n t ⎧=⎪⎪⇒+=⎨⎪=-⎪⎩5.()()sin sin -sin -h ααγβγα=【详解】主要考查正弦定理的应用.解:在ABP 中,180+ABP γβ∠=- ,()()()180- 180-180+ =-BPA ABP αβαβγβγα∠=--∠=--- .在ABP 中,根据正弦定理,()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP ABABP APBAP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯=所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==.6.D 【分析】由0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭可得AB AC =,再由12AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠,即得三角形形状.【详解】因为||AB AB 和AC ACuuu r uuu r 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量,由0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭,可得A ∠的角平分线与BC 垂直,所以ABC 为等腰三角形,且AB AC =,22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅12AC AC = ,所以1cos 2A Ð=,又()0,πA ∠∈,所以π3A ∠=,所以π3B C A ∠=∠=∠=,所以三角形为等边三角形.故选:D .7.C【详解】试题分析:因为OA OB OC ==,所以O 到定点,,A B C 的距离相等,所以O 为ABC ∆的外心,由0NA NB NC ++= ,则NA NB NC +=- ,取AB 的中点E ,则2N A N B N E C N +=-= ,所以2NE CN = ,所以N 是ABC ∆的重心;由•••PA PB PB PC PC PA ==,得()0PA PC PB -⋅= ,即0AC PB ⋅= ,所以AC PB ⊥,同理AB PC ⊥,所以点P 为ABC ∆的垂心,故选C.考点:向量在几何中的应用.8.tan sin sin()s θβαβ⋅+【详解】在△BCD 中,CBD παβ∠=--.由正弦定理得,sin sin BC CDBDC CBD=∠∠所以sin sin CD BDC BC CBD∠=∠sin .sin()s βαβ⋅=+在Rt △ABC 中,tan AB BC ACB=∠tan sin .sin()s θβαβ⋅=+塔高AB 为tan sin sin()s θβαβ⋅+.9【解析】MPN ∠即为AM 与AN 的夹角,先用,AB AC 将AM 与AN表示出来,求出AM BN ⋅ 以及AM ,AN ,代入公式cos ||||AM BNMPN AM BN ⋅∠=即可.【详解】解:∵M ,N 分别是BC ,AC 的中点,11(),22AM AB AC BN AN AB AC AB ∴=+=-=- .AM 与BN 的夹角等于,cos ||||AM BNMPN MPN AM BN ⋅∠∴∠=.11()22AM BN AB AC AC AB ⎛⎫⋅=+⋅- ⎪⎝⎭211114242AB AC AB AC AB AC =⋅-+-⋅ 2211125cos 60253424︒=-⨯⨯⨯-⨯+⨯=,||2AM ===,||2BN =,cos 91MPN ∴∠=.【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式,考查计算能力,是中档题.10.证明见解析【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边,化简整理即可得到右边.【详解】根据余弦定理的推论222222cos ,cos 22b c a c a b A B bc ca +-+-==,得左边222222222222(cos cos )()(2222a c b b c a a c b b c a c a B b A c a b c ac bc c c+-+-+-+-=-=⋅-⋅=-22221(22)2a b a b =-=-=右边,故等式成立.【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用,考查了证明等式的方法及推理论证能力,属于基础题.11.(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)设三角形的三边a ,c 的对角分别为A ,B ,C ,则由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=,求出sin C 并代入三角形面积公式in 12s S ab C =,设1()2p a b c =++,则111(),(),()222b c a p a c a b p b a b c p c +-=-+-=-+-=-,即可化简得证;(2)由(1)可得S =.而又因为2l a b c p =++=,12S lr =,结合上述两式即可得证;(3)由三角形面积公式可得111222a b c S ah bh ch ====,即可得解.【详解】证明:(1)根据余弦定理的推论得222cos 2a b c C ab+-=,则sin C ==in 12s S ab C =,得12S ===又1()2p a b c =++,所以111(),(),()222b c a p a c a b p b a b c p c +-=-+-=-+-=-,代入可得S =;(2)因为1()2p a b c =++,所以三角形的周长2l a b c p =++=,又三角形的面积11222S lr p r pr ==⋅⋅=,其中r 为内切圆半径,所以S r p ==(3)根据三角形的面积公式111222a b c S ah bh ch ===,得2a S h a ==同理可证b h =c h =【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式,平方差公式的应用,计算量较大,属于中档题.12.(1)π3A =(2)2b c ==【分析】(1)在ABC 中,由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理得到π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得出角A ;(2)由三角形面积公式结合余弦定理可得2b c ==.【详解】(1)根据正弦定理,cos sin 0a C Cbc +--=变为sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=,即sin cos sin sin sin A C A C B C =+,也即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++,所以sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C =++.cos 1A A -=,即11cos 222A A -=,所以()π1sin ,0,π62A A ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,所以ππ66A -=,则π3A =.(2)由π3A =,1sin 2ABC S bc A == ,得4bc =.由余弦定理,得()22222cos 22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--,则()223=4+12=16b c a bc +=+,所以4b c +=.则2b c ==.13.D【详解】试题分析:由已知得,而,,CA AC DB BD =-=- 所以4OA OB OC OD OM +++=,选D.考点:平面向量的线性运算,相反向量.14.B【分析】利用向量减法和向量相等的定义即可求得,,,a b c d之间的关系,进而得到正确选项.【详解】OB OA AB OC OD DC -=-=,,而在平行四边形ABCD 中,AB DC = ,所以OB OA OC OD -=-,又OA a = ,OB b = ,OC c = ,OD d = ,则b a c d -=-,也即0a b c d -+-= .故选:B .15.B【分析】先求得12e e ⋅ 的值,根据数量积的运算法则求得a b ⋅以及,a b 的模,再根据向量的夹角公式,即可求得答案.【详解】因为1e ,2e是夹角为60︒的两个单位向量,所以12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒= ,故2212121122(2)(32)62a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅+ 176222=-++=-,||a == ,||b=故712cos,2||||a ba ba b-⋅〈〉==-⋅,由于0,180a b︒≤〈〉≤︒,故,120a b〈〉=︒.故选:B.16.C【分析】根据给定条件,利用向量运算律计算即得.【详解】由向量a,b,c两两的夹角相等,得,,,0a b b c a c〈〉=〈〉=〈〉=或2π,,,3a b b c a c〈〉=〈〉=〈〉=,当,,,0a b b c a c〈〉=〈〉=〈〉=时,||5a b c++=,当2π,,,3a b b c a c〈〉=〈〉=〈〉=时,||a b c++=2==.故选:C17.cos()cos()cosa Bb A cθθθ⋅-+⋅+=⋅【分析】由BA BC CA=+,结合数量积可得DE BA DE BC DE CA⋅=⋅+⋅,再运用数量积定义可分别求出DE BA⋅、DE BC⋅、DE CA⋅,代入整理即可.【详解】如图所示,因为BA BC CA=+,所以()DE BA DE BC CA⋅=⋅+,即DE BA DE BC DE CA⋅=⋅+⋅,又因为||||cos||cosDE BA DE BA EDA c DEθ⋅=∠=,||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE Bθθ⋅=-=-,||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE Aθθ⋅=+=+,所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++,即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.18.(1)4i3x =±(2)12x =-±【分析】根据题意,由一元二次方程的解法结合复数的运算,即可得到结果.【详解】(1)将方程29160x +=的二次项系数化为1,得2160.9x +=得2169x =-,即4i.3x =±所以原方程的根为4i3x =±(2)方程210x x ++=的二次项系数为1,配方,得21324x ⎫-⎛+= ⎪⎝⎭,由Δ0<,知()30.4-->可得12x +=所以原方程的根为122x =-±.19.(1)24(2)(2)x x i x i +=+-;(2)44()()()()a b a b a b a bi a bi -=+-+-.【解析】(1)运用平方差公式进行因式分解即可;(2)运用平方差公式进行因式分解即可.【详解】(1)22224(4)(2)(2)(2)x x x i x i x i +=--=-=+-;(2)442222()()()()()()a b a b a b a b a b a bi a bi -=-+=+-+-.【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解,考查了平方差公式的应用,属于基础题.20.9716λ-≤≤.【详解】试题分析:当12z z =时,复数的实部和虚部分别相等,求得24sin 3sin =-λθθ,根据[]sin 1,1θ∈-,求函数的值域.试题解析:∵12z z =,∴()()242cos 3sin m m i i θλθ+-=++,∴22{43m cos m sin θλθ=-=+,消去m 得:24cos 3sin θλθ-=+,∴22394sin 3sin 4sin 816λθθθ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,∵1sin 1θ-≤≤,∴当3sin 8θ=时,min 916λ=-.当sin 1θ=-时,max 7λ=.所以λ的取值范围为:9716λ-≤≤.21【解析】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组,解出即可.【详解】解:设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,则由题意得2a r rl ππ=+.又圆锥的侧面展开图为半圆,2r l ππ∴=,即2l r =.将②式代入①式得23a r π=,23a r π∴=,即r =.【点睛】本题考查圆锥的表面积公式,是基础题.22.6【分析】按侧面11ABB A 放置时,液面以上部分为三棱柱,其体积为原来棱柱的14,故可得水的体积为棱柱的34,由此可得按底面ABC 放置时液面的高.【详解】设三棱锥的体积为V ,按侧面11ABB A 水平放置时液面以上部分的体积为14V ,故水的体积为34V ,设按底面ABC 放置时液面的高为h ,则33484h V ==,故6h =.【点睛】一定形状的几何体容器,按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致,可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系.23.222123111V V V +=【解析】直角三角形ABC 的两条直角边分别为a ,b ,斜边为c ,依照题意,得到三个几何体的体积.【详解】解:设直角三角形ABC 的两条直角边分别为a ,b ,斜边为c ,以a 为轴,进行旋转,形成底面半径为b ,高为a 的圆锥,其体积221133V b a ab ππ=⨯⨯⨯=;以b 为轴,进行旋转,形成底面半径为a ,高为b 的圆锥,其体积222133V a b a b ππ=⨯⨯⨯=,以c 为轴,进行旋转,形成底面半径为abc,高的和为c 的两个圆锥的组合体,其体积22231(33ab a b V c c cππ=⨯⨯⨯=.()222222242422442442291199933b a c a b a b a b a b ab a b ππππππ++=+=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222123111V V V +=.【点睛】本题考查几何体的体积公式.较易.解题时要认真审题,仔细解答.24.27个部分【分析】根据题意画出图形即可得出答案.【详解】如图,图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分,同理中层、下层也分别把空间分成9个部分,因此共将空间分成27个部分.【点睛】本题主要考查的是平面基本性质,正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键,是中档题.25.证明见解析【分析】推导出P ,Q ,R 都在平面ABC 与平面α的交线上,即可证明.【详解】证明:法一:∵AB ∩α=P ,∴P ∈AB ,P ∈平面α.又AB ⊂平面ABC ,∴P ∈平面ABC .∴由基本事实3可知:点P 在平面ABC 与平面α的交线上,同理可证Q ,R 也在平面ABC与平面α的交线上.∴P,Q,R三点共线.法二:∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC,∴Q∈平面APR,又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.26.画线见解析.【详解】试题分析:利用线面平行的判定定理去确定.试题解析:过平面内一点作直线,交于,交于;过平面内一点作直线,交于,则,所确定的截面为所求.考点:棱锥的结构特征,线面平行的判定和实际应用.27.(1)(2)(4)(5)【分析】根据题意,结合棱柱的特征进行判断,观察即可得到答案.【详解】根据棱柱的定义知,有两个面是互相平行且是全等的多边形,其余每相邻两个面的交线也互相平行,而这些面都是平行四边形,所以(1)和(2)正确;因为水面EFGH所在四边形,从图2,图3可以看出,有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化,所以水面四边形EFGH的面积是变化的,(3)错误;因为棱11A D始终与BC平行,BC与水面始终平行,所以(4)正确;因为水的体积是不变的,高始终是BC 也不变,所以底面积也不会变,即BE BF ⋅是定值,所以(5)正确;综上知(1)(2)(4)(5)正确,故答案为:(1)(2)(4)(5).28.外中点垂【分析】(1)由PO α⊥可得PO AO ⊥,PO BO ⊥,根据题意可得POA POB ∆≅∆,可得OA OB =,从而可得OA OB OC ==,从而得到结果;(2)由(1)得到OA OB OC ==,根据在直角三角形中,斜边的中线是斜边的一半可得,点O 为斜边AB 的中点;(3)由PA PB ⊥,PB PC ⊥可得PB ⊥平面PAC ,进而可得PB AC ⊥,又PO AC ⊥,可得AC ⊥平面PBO ,进而可得BO AC ⊥,同理可得CO AB ⊥,AO BC ⊥,从而得出答案。
数学总复习题总结(附参考答案)第一章 集合与函数概念一、选择题1.设全集U ={(x ,y )| x ∈R ,y ∈R },集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧1=2-3-|),(x y y x , P ={(x ,y )| y ≠x +1},那么C U (M ∪P )等于( ).A .∅B .{(2,3)}C .(2,3)D .{(x ,y )| y =x +1} 2.若A ={a ,b },B ⊆A ,则集合B 中元素的个数是( ).A .0B .1C .2D .0或1或2 3.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ).A .1B .0C .0或1D .1或2 4.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的表达式是( ). A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7 5. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示,则( ).A .b ∈(-∞,0)B .b ∈(0,1)C .b ∈(1,2)D .b ∈(2,+∞) 6.设函数f (x )=⎩⎨⎧00++2 x c x c bx x ,,≤, 若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为( ).A .1B .2C .3D .47.设集合A ={x | 0≤x ≤6},B ={y | 0≤y ≤2},下列从A 到B 的对应法则f 不是映射的是( ).A .f :x →y =21x B .f :x →y =31xC .f :x →y =41xD .f :x →y=61x8.有下面四个命题:①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ).A .1B .2C .3D .4 9.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( ). A .递减函数 B .递增函数 C .先递减再递增 D .先递增再递减10.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1)(第5题)>二、填空题11.集合{3,x ,x 2-2x }中,x 应满足的条件是 .12.若集合A ={x | x 2+(a -1)x +b =0}中,仅有一个元素a ,则a =___,b =___.13.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为 元.14.已知f (x +1)=x 2-2x ,则f (x )= ;f (x -2)= . 15.y =(2a -1)x +5是减函数,求a 的取值范围 .16.设f (x )是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞)时,f (x )=x (1+x 3),那么当x ∈(-∞,0]时,f (x )= .三、解答题17.已知集合A ={x ∈R | ax 2-3x +2=0},其中a 为常数,且a ∈R . ①若A 是空集,求a 的范围;②若A 中只有一个元素,求a 的值;③若A 中至多只有一个元素,求a 的范围.18.已知M ={2,a ,b },N ={2a ,2,b 2},且M =N ,求a ,b 的值.19.证明f (x )=x 3在R 上是增函数.20.判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=3x 4+21x ;(2)f (x )=(x -1)xx-+11; (3)f (x )=1-x +x -1;(4)f (x )=12-x +21x -.第一章 集合与函数概念参考答案一、选择题 1.B 解析:集合M 是由直线y =x +1上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合P 是坐标平面上不在直线y =x +1上的点组成的集合,那么M P 就是坐标平面上不含点(2,3)的所有点组成的集合.因此C U (M P )就是点(2,3)的集合.C U(M P )={(2,3)}.故选B .2.D解析:∵A 的子集有∅,{a },{b },{a ,b }.∴集合B 可能是∅,{a },{b },{a ,b }中的某一个,∴选D .3.C解析:由函数的定义知,函数y =f (x )的图象与直线x =1是有可能没有交点的,如果有交点,那么对于x =1仅有一个函数值.4.B解析:∵g (x +2)=2x +3=2(x +2)-1,∴g (x )=2x -1. 5.A 解析:要善于从函数的图象中分析出函数的特点.解法1:设f (x )=ax (x -1)(x -2)=ax 3-3ax 2+2ax ,比较系数得b =-3a ,c =2a ,d =0.由f (x )的图象可以知道f (3)>0,所以f (3)=3a (3-1)(3-2)=6a >0,即a >0,所以b <0.所以正确答案为A .解法2:分别将x =0,x =1,x =2代入f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 中,求得d =0,a =-31b ,c =-32b . ∴f (x )=b (-31x 3+x 2-32x )=-3bx [(x -23)2-41]. 由函数图象可知,当x ∈(-∞,0)时,f (x )<0,又[(x -23)2-41]>0,∴b <0.x ∈(0,1)时,f (x )>0,又[(x -23)2-41]>0,∴b <0.x ∈(1,2)时,f (x )<0,又[(x -23)2-41]<0,∴b <0.x ∈(2,+∞)时,f (x )>0,又[(x -23)2-41]>0,∴b <0.故b ∈(-∞,0). 6.C解:由f (-4)=f (0),f (-2)=-2,得22422b bc ⎧-=-⎪⎨⎪-+=-⎩,∴42b c =⎧⎨=⎩ . ∴f (x )=⎩⎨⎧)0 ( 2)0 (2+4+2x ,x ,x x 由⎩⎨⎧ 得x =-1或x =-2;由得x =2. 综上,方程f (x )=x 的解的个数是3个. 7.A解:在集合A 中取元素6,在f :x →y =21x 作用下应得象3,但3不在集合B ={y |0≤y ≤2}中,所以答案选A .8.A提示:①不对;②不对,因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f (x )=0,x ∈(-a ,a ).所以答案选A .9.C解析:本题可以作出函数y =x 2-6x +10的图象,根据图象可知函数在(2,x >0 x =2≤>x ≤0 x 2+4x +2=x (第5题)4)上是先递减再递增.答案选C .10.B解析:∵对称轴 x =2,∴f (1)=f (3). ∵y 在〔2,+∞〕上单调递增, ∴f (4)>f (3)>f (2),于是 f (2)<f (1)<f (4). ∴答案选B . 二、填空题11.x ≠3且x ≠0且x ≠-1.解析:根据构成集合的元素的互异性,x 满足⎪⎩⎪⎨⎧ 解得x ≠3且x ≠0且x ≠-1. 12.a =31,b =91.解析:由题意知,方程x 2+(a -1)x +b =0的两根相等且x =a ,则△=(a-1)2-4b =0①,将x =a 代入原方程得a 2+(a -1)a +b =0 ②,由①②解得a =31,b =91.13.1 760元.解析:设水池底面的长为x m ,水池的总造价为y 元,由已知得水池底面面积为4 m 2.,水池底面的宽为x4m . 池底的造价 y 1=120×4=480.池壁的造价 y 2=(2×2x +2×2×x4)×80=(4x +x16)×80. 水池的总造价为 y =y 1+y 2=480+(4x +x16)×80, 即 y =480+320(x +x4)=480+320⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4+22x -x . 当 x =x2, 即x =2时,y 有最小值为 480+320×4=1 760元.14.f (x )=x 2-4x +3,f (x -2)=x 2-8x +15.解析:令x +1=t ,则x =t -1,因此f (t )=(t -1)2-2(t -1)=t 2-4t +3,即f (x )=x 2-4x +3.∴f (x -2)=(x -2)2-4(x -2)+3=x 2-8x +15.15.(-∞,21).解析:由y =(2a -1)x +5是减函数,知2a -1<0,a <21.16.x (1-x 3).解析:任取x ∈(-∞,0], 有-x ∈[0,+∞),∴f (-x )=-x [1+(-x )3]=-x (1-x 3),∵f (x )是奇函数,∴ f (-x )=-f (x ). ∴ f (x )=-f (-x )=x (1-x 3), 即当x ∈(-∞,0]时,f (x )的表达式为x (1-x 3).三、解答题17.解:①∵A 是空集,∴方程ax 2-3x +2=0无实数根.x ≠3,x 2-2x ≠3, x 2-2x ≠x .∴⎩⎨⎧∆,a a 08-9=,0 解得a >89.②∵A 中只有一个元素,∴方程ax 2-3x +2=0只有一个实数根.当a =0时,方程化为-3x +2=0,只有一个实数根x =32;当a ≠0时,令Δ=9-8a =0,得a =89,这时一元二次方程ax 2-3x +2=0有两个相等的实数根,即A 中只有一个元素.由以上可知a =0,或a =89时,A 中只有一个元素.③若A 中至多只有一个元素,则包括两种情形:A 中有且仅有一个元素;A 是空集.由①②的结果可得a =0,或a ≥89.18.解:根据集合中元素的互异性,有 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==a b b a b b a a 2222或解得 或 或再根据集合中元素的互异性,得 或 19.证明:设x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则 f (x 1)-f (x 2)=31x -32x =(x 1-x 2)(21x +x 1x 2+22x ).又21x +x 1x 2+22x =(x 1+21x 2)2+4322x .由x 1<x 2得x 1-x 2<0,且x 1+21x 2与x 2不会同时为0,否则x 1=x 2=0与x 1<x 2矛盾,所以 21x +x 1x 2+22x >0.因此f (x 1)- f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), f (x )=x 3 在 R 上是增函数.20.解:(1)∵ 函数定义域为{x | x ∈R ,且x ≠0}, f (-x )=3(-x )4+21)(-x =3x 4+21x =f (x ),∴f (x )=3x 4+21x 是偶函数.(2)由xx -+11≥0⇔⎩⎨⎧≠01--1+1x x x ))(( 解得-1≤x <1. ∴ 函数定义域为x ∈[-1,1),不关于原点对称,∴f (x )=(x -1)xx-11+为非奇非偶函数.(3)f (x )=1-x +x -1定义域为x =1,∴ 函数为f (x )=0(x =1),定义域不关于原点对称, ∴f (x )=1-x +x -1为非奇非偶函数.a =0b =1a =0b =0a =41b =21 a =0 b =1a =41 b =21≥0≠<。