2019年高考数学总复习：四种命题的真假

2019 年高考总复习：命题的真假1．下列命题中是假命题的是 ( )A．? x∈R，log2x＝0 B．? x∈R， cosx＝12xC．? x∈R，x2>0 D ．? x∈R，2x>0答案 C解析因为 log 21＝ 0， cos0＝ 1，所以 A 、B 项均为真命题， 02＝ 0， C 项为假命题，2x>0，选项 D 为真命题．2．(2018 ·广东梅州联考 )已知命题 p：? x1，x2∈R，[f(x 1)－f(x2)](x 1－ x2)≥ 0，则非 p 是( ) A．? x1，x2?R，[f(x 1) －f(x 2)](x 1－ x2)<0B．? x1， x2∈ R， [f(x 1)－ f(x 2)](x 1－x2)<0C．? x1，x2?R，[f(x 1)－ f(x 2)](x 1－x2)<0D．? x1，x2∈R，[f(x1)－f(x 2)](x1－x2)<0答案 B解析根据全称命题否定的规则“ 改量词，否结论”，可知选 B.223．已知命题 p：若 x>y ，则－ x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题① p∧q；②p∨q；③p∧(非q)；④ (非 p)∨q中，真命题是 ( )A ．①③B ．①④C．②③ D ．②④答案 C解析若 x>y ，则－ x<－y 成立，即命题 p 正确；若 x>y，则 x2>y2不一定成立，即命题x 12 12C．? x∈R，2x≥2且 x2≤x D ．? x0∈R，2x0≥2且 x02≤x0答案 C解析特称命题的否定是全称命题，注意“ 或”的否定为“且”，故选 C.5．已知集合 A＝｛y|y＝x2＋2｝，集合 B＝｛x|y＝lg x － 3｝，则下列命题中真命题的个数是 ( )①? m∈ A， m?B；② ? m∈B，m?A ；③? m∈A，m∈B；④ ? m∈B，m∈A.A ． 4B ． 3C．2 D ．1q 不正确；则非 p是假命题，非 q为真命题，故 p∨q与 p∧(非 q)是真命题，故选 C.124．(2018 ·浙江临安一中模拟 )命题“ ? x0∈R ， 2x0<2或 x02>x0”的否定是 ( )1 2 x 1 2A．? x0∈R， 2x0≥12或 x02≤x0 B．? x∈R，2x≥12或 x2≤x答案 C解析因为 A ＝ {y|y ＝ x 2＋ 2} ，所以 A＝ {y|y ≥ 2} ，因为 B＝{x|y＝lg x－3} ，所以 B ＝ {x|x>3} ，所以 B 是 A 的真子集，所以①④为真，②③为假命题，所以真命题的个数为2，故选 C. 6．命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A．所有不能被 2 整除的整数都是偶数B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数答案 D解析否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选 D.7．已知命题 p：? x0∈R，mx02＋1≤0；命题 q：? x∈R，x2＋mx＋1>0.若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围为 ( )A．{m|m ≥2} B．{m|m ≤－ 2}C．{m|m ≤－ 2或 m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由 p：? x∈R，mx2＋1≤ 0，可得 m<0；由 q：? x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2 －4<0，解得－ 2<m<2. 因为 p∨q 为假命题，所以 p 与 q 都是假命题，若 p 是假命题，则有 m≥0；若 q 是假命题，则有 m≤－2或 m≥ 2，故实数 m 的取值范围为 {m|m ≥ 2} ．故选 A.8．(2018 ·河北保定模拟 )命题“ ? x>0 ，xi >0”的否定是 ( )x0x0>0，－01≤0 或 x0＝1”，即“? x0>0，0≤ x0－1x0≤ 1”，故选 B.9．(2018 ·山东潍坊一模 )已知 p：函数 f(x) ＝(x－a)2在(－∞，－ 1)上是减函数，q：? x>0，a x2＋1≤ x x恒成立，则非 p 是 q 的 ( )xA．充分不必要条件C．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 p：函数 f(x)＝(x－a)2在(－∞，－1)上是减函数，所以－ 1≤ a，所以非 p：a<－1.x － 1x0 A．? x0<0，0≤ 0 x0－1x C． ? x>0，≤0x－1答案 B B ．? x0>0， 0≤ x0≤1 D．? x<0 ，0≤ x≤1解析x命题“? x>0，>0”的否定为x－1B．必要不充分条件x2＋ 1 1 1q：因为 x>0，所以x＝x＋x≥ 2 x·x＝2，x x xx＝1 时取等号，所以 a≤2.当且仅当则非 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.10．已知命题 p1：函数 y＝2x－2－x在R 上为增函数， p2：函数 y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（非 p1）∨p2和q4：p1∧（非 p2）中，真命题是 ________________________________________________________________________________________答案 q1， q4解析 p1是真命题，则非 p1为假命题； p2是假命题，则非 p2 为真命题．∴q1： p1∨ p2 是真命题， q2：p1∧p2 是假命题．∴q3：（非 p1）∨p2 为假命题， q4：p1∧（非 p2）为真命题．∴真命题是 q1， q4.π11．若“ ? x∈[0，4 ]，tanx≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________ ．答案 1π解析∵? x∈[0，4 ]，tanx∈[0，1]．∴m≥1，∴m 的最小值为 1.12．命题“任意 x∈R，存在 m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是 _____ 命题．（填“真”或“假” ）．答案真解析由于任意 x∈R，x2＋x＋1＝（x＋21）2＋43≥ 43，因此只需 m2－m<43，即－12<m< 32，即 0≤m≤1，所以当 m＝0或 m＝1 时，任意 x∈R，存在 m∈ Z ， m2－ m<x 2＋ x ＋1成立，因此该命题是真命题．13．（2018 ·北京朝阳区模拟）已知函数 f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“ ? x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数 a 的取值范围是．1答案（21，1）∪（1，＋∞ ）解析已知函数 f（x）＝a2x－2a＋1，命题“? x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“存在实数 x0∈（0，1），使 f（x0）＝0”是真命题，∴ f（1）f（0）<0 ，即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<0，21∴（a－1）2（2a－1）>0 ，解得 a>2，且 a≠1，∴实数 a的取值范围是（21，1）∪（1，＋∞）．14．（2018 ·山东青岛模拟）已知命题 p：? x0∈R，使 tanx0＝1；命题 q：x2－3x＋2<0 的解集是 {x|1<x<2} ，现有以下结论：①命题“ p且 q”是真命题；②命题“ p 且非 q”是假命题；③命题“非 p或 q”是真命题；④____________________ 命题“非 p 或非 q”是假命题．其中正确结论的序号为__________________________________ ． (写出所有正确结论的序号 )答案①②③④π解析当 x0＝时， tanx0＝ 1，所以命题 p 为真；不等式 x2－ 3x＋ 2<0 的解集是{x|1<x<2} ， 4所以命题 q也为真，故命题“p且 q”是真命题，①正确；命题“p且非 q”是假命题，②正确；命题“非 p 或 q”是真命题，③正确；命题“非 p 或非 q” 是假命题，④正确．15．(2018 山·东潍坊质检 )已知命题 p：? x>0，2ax－lnx≥0.若命题 p 的否定是真命题，则实数 a 的取值范围是．1答案 (－∞，21e)解析命题 p 的否定是： ? x0>0， 2ax0－lnx 0<0，即不等式 2ax－ lnx<0 有解．而不等式2axlnx lnx 1－ lnx 1 －lnx<0 可化为 2a< x，令 g(x)＝x，则 g′ (x)＝x2 ，可得 g(x)在 x＝e 处取得最大值e，因此要使不等式 2a<lnx有解，只需 2a<1，即 a<1.x e 2e16．若命题“ ? x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数 a 的取值范围为 _______ ．答案 (－1， 3)解析由“? x 0∈ R ，x 02＋ (a－ 1)x 0＋ 1≤ 0”为假命题，得“? x ∈R ，x2＋ (a－ 1)x ＋ 1>0” 为真命题，所以Δ＝ (a－ 1)2－ 4<0 ，解得－ 1<a<3，所以 a 的取值范围为 (－1，3)．17．若 f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，? x1∈［－1，2］，? x0∈［－1，2］，使 g(x 1) ＝ f(x 0)，则实数 a 的取值范围是．1答案 (0，12］解析由于函数 g(x)在定义域［－ 1，2］内是任意取值的，且必存在 x0∈［－1，2］，使得 g(x1) ＝f(x 0) ，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集．函数 f(x)的值域是［－1，13］，函数 g(x) 的值域是［2 － a，2＋ 2a］，则有 2－a≥－1 且 2＋2a≤3，即 a≤2.又a>0，故 a 的取值范围是 (0，12］．18． (2017 安·徽毛坦厂中学模拟 )已知命题 p：实数 x 满足 x2－ 4ax＋3a2<0(a>0)，q：实数 x x2－x－6≤ 0，x2＋2x－8>0.满足2(1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；(2)若非 p是非 q 的充分不必要条件，求实数 a的取值范围．答案 (1)(2，3) (2)(1 ，2］22解析 由 x 2－4ax ＋ 3a 2<0(a>0)，得 a<x<3a ，（1）a ＝ 1 时， p ： 1<x<3. 由 p ∧ q 为真，得 p ，q 均为真命题， 1<x<3 ， 则 得 2<x<3. 2<x ≤ 3，所以实数 x 的取值范围为 （2， 3）．（2）令 A ＝｛x|a<x<3a ｝ ， B ＝｛x|2<x ≤3｝． 由题意知， p 是 q 的必要不充分条件，0<a ≤ 2， 所以 所以 1<a ≤ 2. 3a>3，所以实数 a 的取值范围为 （1，2］．1．（2018 衡·中调研卷 ）已知命题 p ：方程 x 2－2ax －1＝0 有两个实数根； 命题 q ：函数 f （x ） ＝x 4＋x 的最小值为 4.给出下列命题：① p ∧q ；② p ∨q ；③p ∧（非 q ）；④ （非 p ）∨（非 q ）．则其中 x 真命题的个数为 （ ） A ．1 C ．3 D ．4答案 C解析 由于 Δ＝4a 2＋4>0，所以方程 x 2－2ax －1＝0 有两个实数根，即命题 p 是真命题；当4x<0 时， f （x ） ＝ x ＋x 4的值为负值，故命题 q 为假，所以 p ∨q ，p ∧ （非 q ），（非 p ）∨（非 q ）是真x 命题，故选 C.π2．（2017 四·川绵阳中学模拟 ）已知命题 p ：? x ∈［0， 2 ］，cos2x ＋cosx －m ＝0为真命题，则 实数 m 的取值范围是 ． 答案 ［－1， 2］2 1 2 9 π即 p 为真命题时， x 2－x －6≤0， 由2x 2＋2x －8>0， 即 q 为真a<x<3a. －2≤x ≤3， 得 x>2 或x<－4，2<x ≤ 3.B ．2解析令 f（x）＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2（cosx＋4）2－8，由于 x∈［0，］，所以 cosx ∈［0 ， 1］．于是 f（x）∈［－1，2］，因此实数 m 的取值范围是2［－1，2］．3．已知 a>0，设命题 p：函数 y＝a x在R 上单调递增；命题 q：不等式 ax2－ ax＋1>0 对? x ∈R 恒成立．若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求实数 a 的取值范围．答案（0， 1]∪[4，＋∞ ）解析∵y＝a x在R上单调递增，∴ p：a>1.又不等式 ax2－ax＋ 1>0 对? x∈ R 恒成立，∴Δ <0，即 a2－4a<0，∴ 0<a<4.∴ q：0<a<4.而命题 p 且 q 为假， p 或 q 为真，那么 p，q 中有且只有一个为真，一个为假．（1）若 p真，q 假，则 a≥4；（2）若 p假，q 真，则 0<a≤1.所以 a的取值范围为（0，1]∪[4，＋∞）．4．已知命题 p：“ ? x∈ [1， 2] ，x2－ a≥ 0”命题 q：“ ? x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“ p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围．答案 a≤－ 2 或 a＝ 1解析由“p∧ q”是真命题，则 p为真命题， q也为真命题，若 p 为真命题， a≤ x2恒成立，∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若 q为真命题，即 x 2＋ 2ax＋ 2－ a＝ 0有实根，Δ＝ 4a2 －4（2 － a）≥ 0，即 a≥1或 a≤－ 2，综上所求实数 a的取值范围为 a≤－2或a＝1.。

四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。

对于p且q形式的复合命题，同真则真。

对于p 或q形式的复合命题，同假则假。

对于非p形式的复合命题，真假相反。