【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版

第1讲集合第2讲(附参考答案)一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ ) 题组二 教材改编2．[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P31例4]函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案 24．[P44A 组T9]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三 易错自纠5．函数y ＝212log (4)x -的单调递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞， 令－a2＝3，得a ＝－6.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________． 答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 引申探究如何用导数法求解本例？解 因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝22311()3x x -+的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 B解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数y ＝22311()3xx -+的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，32 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.题型二 函数的最值1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．答案 26－6解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.3．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________. 答案 25解析 由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2， 即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为____________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 命题点3 求参数范围典例 (1)(2018·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1答案 (1)C (2)C解析 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (19log x )>0的解集为________________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (19log x )＞f ⎝⎛⎭⎫12或f (19log x )＞f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x ＞12或－12＜19log x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的． 2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y ＝212log (6)x x -++的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1,1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1,1)上不是单调函数；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上为减函数． 4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.5．(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b答案 C解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值， 需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案 [0,1) 解析 由题意知 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．9．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是______________． 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.11．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，且f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1 ＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. 12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2，①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a ＞0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________． 答案 8解析 f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧ x (2x －a )，x ＞a 2，－x (2x －a )，x ≤a 2(a ＞0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧ a 4≤2，a 2≥4，解得a ＝8.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13，可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14. 由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12， 令x ＝23，可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14， 因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2， 任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2 ＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2， ∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a >0，x ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝－3.∴a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学经典复习题附参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一、知识导学叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n>2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A＝，B＝a1－，则＝An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.[例2] 已知数列的前n项之和为① ②求数列的通项公式。

错解：①②错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.正解：①当时，当时，经检验时也适合，②当时，当时，∴[例3] 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一、选择题：1. 函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ） A. B. C. πD. 2π4π2π2. 正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B1C1的中点. 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形 3. 函数的反函数是（ ）)0(12≤-=x x y A. )1(1-≥+=x x y B. )1(1-≥+-=x x y C. )0(1≥+=x x y D. )0(1≥+-=x x y4. 已知函数内是减函数，则（ ）)2,2(tan ππω-=在x yA. 0<≤1B. －1≤<0ωωC. ≥1D. ≤－1ωω5. 抛物线上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）y x 42=A. 2B. 3C. 4D.56. 双曲线的渐近线方程是（ ）19422=-y xA. B.x y 32±=xy 94±= C.D.x y 23±=xy 49±= 7. 如果数列是等差数列，则（ ）}{n aA.B. 5481a a a a +<+5481a a a a +=+C.D. 5481a a a a +>+5481a a a a =8. 的展开式中项的系数是（ ）10)2(y x -46y x A. 840 B. －840C. 210D. －2109. 已知点A （，1），B （0，0）C （，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有等于（ ）33λλ其中,→=→CE BCA. 2B.C. －3D. －213110.已知集合（ ）为则N M x x x N x x M ⋂>--=≤≤-=},06|{|},74|{2A. }7324|{≤<-<≤-x x x 或B. }7324|{<≤-≤<-x x x 或C.D.11. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v|个单位）。

注意：（1）空集中没有任何元素，要区分φ和{0}，集合{0}中有1个元素0，而φ中没有任何元素，两者有着本质的不同.（2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程x2+1=0的解集和不等式x2+1<0的解集都是空集.6、常用数集的符号为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示：（1）全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；（2）非负整数集内排除0的集合，称为正整数集，表示成N*（或N+）；（3）全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作Z；（4）全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作Q；（5）全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作R；二、集合间的关系1、包含关系如果任意x∈A，=＞x ∈B,则集合A是集合B的子集，记作A B或BA.显然，任何集合是他自身的子集，即A A，空集是任何集合的子集，即φA.⊆⊇⊆⊆2、相等关系对于两个集合A、B，如果A B同时B A，那么成集合A和集合B相等，记作A=B.显然，两个相等的集合的元素完全相同.⊆⊆3、真包含关系对于两个集合A和B，如果A B，并且A≠b,称集合A是集合B的真子集，记作AB,显然，空集是任何非空集合的真子集，若AB，则B中至少存在一个元素不属于A.⊆三、集合与集合间的运算1、交集；一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A和B的交集，记作A∩B.2、并集；一般的对于两个给定的集合A、B，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B.3、全集与补集；含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记作U，全集是相对的.若A是全集U的子集，则由全集中不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作CUA.专题二：命题一、四种命题及其关系1、命题的定义可以判断真假的语句叫做命题。

如：12>5，3是12的约数都是命题.。

新人教版高三数学专题总复习Word完整版2018年高考数学复习专题专题一集合、逻辑与不等式集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N* (2)0{－1，1} (3)∈{0}∉∅(4){0} (5){0}∈{0，1} (6){0}{0}∅∉⊆其中正确的关系是______．解答：(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N 表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．∅2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：aA．∉3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集．记作：AB 或BA ．⊆⊇如果集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么，集合A 叫做集合B 的真子集．AB 或BA ．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：AA ；⊆②空集是任何集合的子集：A ；∅⊆提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果AB ，BC ，则AC ；如果AB ，BC ，则AC ．⊆⊆⊆例2 已知全集U ＝{小于10的正整数}，其子集A ，B 满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，A ∩B ＝{2}，B ∩(UA)＝{4，6，8}．求集合A ，B ．解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A ＝{2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A 、B ，由既属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集．记作：A ∩B ．对于两个给定的集合A 、B ，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A 、B 的并集．记作：A ∪B ．如果集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合叫做A 在U 中的补集．记作UA ．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a}．若M ∩N ＝，则实数a 的取值范围是______．∅答：(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合，则b －a ＝______．},,0{},,1{b ab a b a =+【分析】因为，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则没有意义)，},,0{},,1{b a ba b a =+a b 所以，a ＋b ＝0，＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a}，a ＝－1，ab 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①；②Q ；③｜－3｜N*；④．其中正确命题的个数是( )R ∈212∉∉Q ∈-|3|(A)1 (B)2 (C)3 (D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( )(A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C)A ＝{0}，B ＝ (D)A ＝{y ｜y ＝x2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x2＋1}∅3．已知M ＝{(x ，y)｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y)｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( )(A)MN (B)NM (C)M ＝N (D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N}，则下式中正确的关系是( )(A)U ＝A ∪B (B)U ＝(UA)∪B (C)U ＝A ∪(UB) (D)U ＝(UA)∪(UB)二、填空题5．已知集合A ＝{x ｜x ＜－1或2≤x ＜3}，B ＝{x ｜－2≤x ＜4}，则A ∪B ＝______．6．设M ＝{1，2}，N ＝{1，2，3}，P ＝{c ｜c ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N}，则集合P 中元素的个数为______．7．设全集U ＝R ，A ＝{x ｜x ≤－3或x ≥2}，B ＝{x ｜－1＜x ＜5}，则(UA)∩B ＝______.8．设集合S ＝{a0，a1，a2，a3}，在S 上定义运算为：aiaj ＝ak ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0，1，2，3．则a2a3＝______；满足关系式(xx)a2＝a0的x(x ∈S)的个数为______．⊕⊕⊕⊕⊕三、解答题9．设集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，求(A ∩B)∪C ．10．设全集U ＝{小于10的自然数}，集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(UA)∩B ＝{4，6，8}，(UA)∩(UB)＝{1，9}，求集合A 和B ．11．已知集合A ＝{x ｜－2≤x ≤4}，B ＝{x ｜x ＞a}，①A ∩B ≠，求实数a 的取值范围；∅②A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；③A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．∅§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p 则q ．逆命题：若q 则p ．否命题：若p ，则q ．逆否命题：若q ，则p ．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．⌝⌝⌝⌝4．充要条件如果pq ，则p 叫做q 的充分条件，q 叫做p 的必要条件．⇒如果pq 且qp ，即qp 则p 叫做q 的充要条件，同时，q 也叫做p 的充要条件．⇒⇒⇔5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．⌝(1)p：0∈N，q：1N；∉(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．解：(1)p∨q：0∈N，或1N；∉p∧q：0∈N，且1N；p：0N．∉⌝∉因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，p为假．⌝(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，p为真．⌝【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则AB．解：(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若AB，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；⇒若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；⇒若pq且qp，p与q互为充要条件．⇒⇒于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4 设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M ∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x ＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．⊆【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB 且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．⊆⊆例5 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0 (D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x ∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)x∈Z，1＜4x＜3 (B)x∈Z，3x－1＝0∃∃(C)x∈R，x2－1＝0 (D)x∈R，x2＋2x＋2＞0∀∀2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈Ax∈B，则称AB”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )⇒⊆(A)若x∈A但xB，则称A不是B的子集∀∉(B)若x∈A但xB，则称A不是B的子集∃∉(C)若xA但x∈B，则称A不是B的子集∃∉(D)若xA但x∈B，则称A不是B的子集∀∉二、填空题5．“p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件．⌝6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________．7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“AB ”是“UBUA ”的______条件．⊆⊆8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①AB 对任意x ∈A ，有xB ②ABA ∩B ＝⇔∉⇔∅③ABAB ④AB 存在x ∈A ，使得xB ⇔⇔∉ 其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；(3)x ∈{x ｜x ∈Z}，log2x ＞0；∃ (4).041,2≥+-∈∀x x x R 10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．§1－3 不等式(含推理与证明)【知识要点】1．不等式的性质．(1)如果a ＞b ，那么b ＜a ；(2)如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ；(3)如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c(如果a ＋c ＞b ，那么a ＞b －c)；(4)如果a ＞b ，c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d ；(5)如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc ；(6)如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd ；(7)如果a ＞b ＞0，那么an ＞bn(n ∈N ＋，n ＞1)；(8)如果a ＞b ＞0，那么；)1,N (>∈>+n x b a n n2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：若a ∈R ，则．)R (0.0||;02+∈≥≥≥a a a a3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．4．均值定理：如果a 、b ∈R ＋，那么当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．.2ab b a ≥+ 其他常用的基本不等式：如果a 、b ∈R ，那么a2＋b2≥2ab ，(a －b)2≥0． 如果a 、b 同号，那么.2≥+b a a b5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．【复习要求】1．运用不等式的性质解决以下几类问题：(1)根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系．2．熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．3．了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题．熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系．比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；综合法：从已知推导致结果的思维方法；分析法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；反证法：由证明pq 转向证明qr …t ，而t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q 为假，进而推出q 为真的方法，叫做反证法．⇒⌝⇒⇒⇒⌝一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写．【例题分析】例1 若a ＞b ＞c ，则一定成立的不等式是( )A ．a ｜c ｜＞b ｜c ｜B ．ab ＞acC ．a －｜c ｜＞b －｜c ｜D ．cb a 111<< 【分析】关于选项A ．当c ＝0时，a ｜c ｜＞b ｜c ｜不成立．关于选项B ．当a ＜0时，ab ＞ac 不成立．关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a －｜c ｜＞b －｜c ｜，正确． 关于选项D ．当a ＞b ＞0＞c 时，不成立．所以，选C ．c b a 111<< 例2 a ，b ∈R ，下列命题中的真命题是( )A ．若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜B ．若a ＞b ，则b a 11<C ．若a ＞b ，则a3＞b3D ．若a ＞b ，则1>b a 【分析】关于选项A ．当a ＝－1，b ＝－2时，｜a ｜＞｜b ｜不成立． 关于选项B ．当a ＞0，b ＜0时，不成立．ba 11< 关于选项C ．因为a ＞b ，根据不等式的性质a3＞b3，正确． 关于选项D ．当b ＜0时，不成立．所以，选C ．1>b a【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．例3 解下列不等式：(1)x2－x －1＞0；(2)x2－3x ＋2＞0；(3)2x2－3x ＋1≤0；(4)(5)｜2x －1｜＜3；(6);021>--x x .1212≤--x x 解：(1)方程x2－x －1＝0的两个根是结合函数y ＝x2－x －1的图象，可得不等式x2－x －1＞0的解集为251,21±=x x }.251251|{+>-<x x x 或 (2)不等式x2－3x ＋2＞0等价于(x －1)(x －2)＞0，易知方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，结合函数y ＝x2－3x ＋2的图象，可得不等式x2－3x ＋2＞0的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．(3)不等式2x2－3x ＋1≤0等价于(2x －1)(x －1)≤0，以下同(2)的解法， 可得不等式的解集为}.121|{≤≤x x(4)等价于(x －1)(x －2)＞0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为{x ｜x ＜1或x ＞2}．021>--x x (5)不等式｜2x －1｜＜3等价于－3＜2x －1＜3，所以－2＜2x ＜4，即－1＜x ＜2，所以不等式｜2x －1｜＜3的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．(6)不等式可以整理为1212≤--x x ,021≤-+x x ,021≤-+x x 等价于以下同(4)的解法，可得不等式的解集为{x ｜－1≤x ＜2}．.021021=-+<-+x x x x 或 【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握．其他不等式的解法适当掌握．1．利用不等式的性质可以解一元一次不等式．2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了．所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集．3、不等式与(x －a)(x －b)＞0同解；不等式与(x －a)(x －b)＜0同解；0>--bx a x 0<--b x a x 4*、不等式｜f(x)｜＜c 与－c ＜f(x)＜c 同解；不等式｜f(x)｜＞c 与“f(x)＞c 或f(x)＜－c ”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“≤”号的处理．例4 解下列关于x 的不等式；(1)ax ＋3＜2；(2)x2－6ax ＋5a2≤0．解：(1)由ax ＋3＜2得ax ＜－1，当a ＝0时，不等式解集为；∅当a ＞0时，不等式解集为；}1|{ax x -<当a ＜0时，不等式解集为．}1|{a x x -> (2)x2－6ax ＋5a2≤0等价于不等式(x －a)(x －5a)≤0，当a ＝0时，不等式解集为{x ｜x ＝0}；当a ＞0时，不等式解集为{x ｜a ≤x ≤5a}；当a ＜0时，不等式解集为{x ｜5a ≤x ≤a}．【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的．要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论．如(2)的解决过程中，当解出方程(x －a)(x －5a)＝0的两根为x1＝a ，x2＝5a 之后，需要画出二次函数y ＝x2－6ax ＋5a2的草图，这时两根a 与5a 的大小不定，需要讨论，当分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a 与5a 的大小，画出二次函数y ＝x2－6ax ＋5a2的草图写出解集了．例5 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，m ＜0．求证：⋅->-db mc a m 证明：方法一(作差比较)由已知b －a ＜0，c －d ＜0，又m ＜0，所以m[(b －a)＋(c －d)]＞0，因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0， 所以，所以0))(()]()[(>---+-d b c a d c a b m ⋅->->---db mc a md b m c a m 即,0 方法二因为c ＜d ＜0，所以c －d ＜0，又a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，所以a －b ＞c －d ，所以a －c ＞b －d ＞0，所以，又因为m ＜0，所以d b c a -<-11⋅->-db mc a m 例6 已知a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求证：(1)a ＞0；(2).2->a c证明：(1)假设a ≤0，因为a ＞b ＞c ，所以b ＜0，c ＜0．所以a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾．(2)因为b ＝－a －c ，a ＞b ，所以，所以2a ＞－c ，又a ＞0，所以，所以a c ->2.2->a c 例7 已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 中至少有一个不大于.41 证明：假设(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 均大于，41 即,41)1(,41)1(,41)1(>->->-a c c b b a 因为a ，b ，c ∈(0，1)，所以1－a ，1－b ，1－c ∈(0，1)，所以，同理(1－b)＋c ＞1，(1－c)＋a ＞1，1)1(2)1(>-≥+-b a b a所以(1－a)＋b ＋(1－b)＋c ＋(1－c)＋a ＞3，即0＞0，矛盾．所以(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 中至少有一个不大于．41 【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等．证明不等式也是如此．1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握．2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法．比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证只需证明m(b －d)＞m(a －c)(因为b －d ＞0，a －c ＞0)，即只需证明b －d ＜a －c ，即只需证明a －b ＞c －d ，,db mc a m ->- 而由已知a －b ＞0，c －d ＜0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写．所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法．3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1))、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等．证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论．例8 根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为______．【分析】第一个图有1行，每行有1＋2个点；第二个图有2行，每行有2＋2个点；第三个图有3行，每行有3＋2个点；……第八个图有8行，每行有8＋2个点，所以共有8×10＝80个点．答：80．练习1－3一、选择题1．若则下列各式正确的是( )011>>b a (A)a ＞b(B)a ＜b (C)a2＞b2 (D)2211b a < 2．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是( ) (A)a2＜b2 (B)a2b ＜ab2 (C) (D)b a ab 2211<b a a b < 3．已知A ＝{x ｜｜x ｜＜a}，B ＝{x ｜x ＞1}，且A ∩B ＝，则a 的取值范围是( )∅(A){a ｜a ≤1} (B){a ｜0≤a ≤1} (C){a ｜a ＜1} (D){a ｜0＜a ＜1}4．设集合M ＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si ＝{ai ，bi}、Sj ＝{aj ，bj}(i ≠j ，i ，j ∈{1，2，3，…，k})都有，(min{x ，y}表示两个数x ，y 中的较小者)，则k 的最大值是( )},min{},min{j j j j i i i i a b b a a bb a =/ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13二、填空题5．已知数列{an}的第一项a1＝1，且，请计算出这个数列的前几项，并据此归纳出这个数列的通项公式an ＝______．),3,2,1(11 =+=+n a aa n n n6．不等式x2－5x ＋6＜0的解集为____________．7．设集合A ＝{x ∈R ｜｜x ｜＜4}，B ＝{x ∈R ｜x2－4x ＋3＞0}，则集合{x ∈R ｜x ∈A ，且xA ∩B}＝____________．∉8．设a ∈R 且a ≠0，给出下面4个式子：①a3＋1；②a2－2a ＋2；③；④a a 1+⋅+221aa 其中恒大于1的是______．(写出所有满足条件式子的序号)三、解答题9．解下列不等式：(1)2x2＋x ＞0；(2)x2＋3x ＋1＜0；(3)；(4)｜2－x ｜＜3；(5).032<-x x 21>-x x 10．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解下列关于x 的不等式：(1)x2－2ax －3a2＜0；(2)ax2－x ＞0；习题1一、选择题1．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( )(A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜(C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜ (D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N)∪P (B)(M ∩N)∩P(C)(M ∩N)∪(UP) (D)(M ∩N)∩(UP)3．“”是“对任意的正数”的( )81=a 12,≥+xa x x(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a&b ∈P ”，则运算“&”可以是( )(A)加法 (B)减法 (C)乘法 (D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )(A)ab ＞ac (B)c(b －a)＜0 (C)cb2＜ab2 (D)ac(a －c)＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且UA ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“x ∈A ，但xA ∪B ”的否定是____________．∃∉8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A}，则B ＝____________．9．已知集合A ＝{x ｜x2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a}，若AB ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)三、解答题11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a2＋b2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a2x ＋b2(1－x)≥[ax ＋b(1－x)]2．14．设数集A 满足条件：①AR ；②0A 且1A ；③若a ∈A ，则⊆∉∉.11A a ∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素；(2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题一 集合、逻辑与不等式参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A 表示非负偶数集，集合B 表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(UB)，从而U ＝A ∪(UB)．二、填空题5．{x ｜x ＜4} 6．4个 7．{x ｜－1＜x ＜2} 8．a1；2个(x 为a1或a3)．三、解答题9．(A ∩B)∪C ＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A ＝{0，2，3，5，7}，B ＝{2，4，6，8}．11．答：①a ＜4；②a ≥－2；③－2≤a ＜4提示：画数轴分析，注意a 可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件 6．若｜x ｜≤1，则x ≥－1 7．充要条件 8．④ 提示：8．因为AB ，即对任意x ∈A ，有x ∈B ．根据逻辑知识知，AB ，即为④．⊆ 另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab ＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a ＝0，b ＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab ≠0；是假命题；例如a ＝0，b ＝1逆否命题：若ab ≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；因为若a2＋b2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．练习1－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．B二、填空题5． 6．{x ｜2＜x ＜3} 7．{x ∈R ｜1≤x ≤3｜ 8．④n1 三、解答题9．答：(1)；(2)；}210|{-<>x x x 或}253253|{+-<<--x x (3)；(4){x ｜－1＜x ＜5}；(5)．}230|{<<x x }310|{<<x x 10．证明：ab ＋bc ＋ca ＝b(a ＋c)＋ac ＝－(a ＋c)(a ＋c)＋ac ＝－a2－ac －c2所以ab ＋bc ＋ca ≤0．11．解：(1)原不等式(x ＋a)(x －3a)＜0．⇔分三种情况讨论：①当a ＜0时，解集为{x ｜3a ＜x ＜－a}；②当a ＝0时，原不等式x2＜0，解集为；⇔∅③当a ＞0时，解集为{x ｜－a ＜x ＜3a}．(2)不等式ax2－x ＞0x(ax －1)＞0．⇔分三种情况讨论：①当a ＝0时，原不等式－x ＞0，解集为{x ｜x ＜0}；⇔②当a ＞0时，x(ax －1)＞0x(x －)＞0，解集为；⇔a 1}10|{ax x x ><或 ③当a ＜0时，x(ax －1)＞0x(x －)＜0，解集为．⇔a 1}01|{<<x a x 习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③．∀ 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式即21<x ,021,021<-<-xx x 所以，此不等式等价于x(2x －1)＞0，解得x ＜0或，012>-x x 21>x 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或}．21>x 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ， 所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b(2)a2＋b2－b ＝(1－b)2＋b2－b ＝2b2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为，所以121<<b ,081)43(22<--b即a2＋b2＜b ．13．解：原不等式化为(a2－b2)x ＋b2≥(a －b)2x2＋2b(a －b)x ＋b2，移项整理，得(a －b)2(x2－x)≤0．因为a ≠b ，故(a －b)2＞0，所以x2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，，2三个元素．21 (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知，则．即a2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．A a∈-11a a -=11专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a2＋2a ＋2＝－1，即a2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)． 综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)22)(,t y x y ==2|,|t y x y ==(C) (D)1,112+=--=x y x x y x x y x y 2,== 【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1)(2);11--=x y ;3212-+=x x y (3) (4);)1()3lg(0-+-=x xx y ;2|2|12---=x x y 解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}．。

2019-2020学年度最新人教版高考数学复习题---集合、常用逻辑用语Word 版(附参考答案)(建议用时40分钟)一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则∁U A ＝( )A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ．{2,5,7}解析：选C.由补集的定义，得∁U A ＝{2,4,7}．故选C.2．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．－3∈AB ．3∉BC ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析：选C.由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A.M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]，故选A.4．(2016·山东聊城模拟)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D.因为A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，所以⎩⎨⎧a 2＝16，a ＝4，则a ＝4. 5．(2016·湖北八校模拟)已知a ∈R ，则“a ＞2”是“a 2＞2a ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．6．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2a i，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于() A．{1＋3i,1－3i} B．{3－i}C．{1＋23i,1－23i} D．{1－3i}解析：选A.问题等价于|1－2a i|＝2，a∈R，解得a＝±32.故选A.7．已知命题p：对任意x＞0，总有e x≥1，则綈p为()A．存在x0≤0，使得e x0＜1B．存在x0＞0，使得e x0＜1C．对任意x＞0，总有e x＜1D．对任意x≤0，总有e x＜1解析：选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：对任意x＞0，总有e x≥1的否定綈p为：存在x0＞0，使得e x0＜1.故选B.8．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是()A．命题“p∧q”是真命题B．命题“p∧(綈q)”是假命题C．命题“(綈p)∨q”是真命题D．命题“(綈p)∧(綈q)”是假命题解析：选D.取x0＝π4，有tanπ4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．9．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3均成立；②若log2x＋log x2≥2，则x＞1；③“若a＞b＞0且c＜0，则ca＞cb”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选A.①中不等式可表示为(x－1)2＋2＞0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋1log2x≥2，得x＞1；③中由a＞b＞0，得1a＜1b，而c＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．10．(2016·山东济南模拟)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝() A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪[2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2]解析：选A.由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B ＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，所以A×B＝[0,1]或(2，＋∞)．11．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0＜b＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d＝|b|2＜1，即|b|＜2，不能得到0＜b＜1；反过来，若0＜b＜1，则圆心到直线的距离为d＝|b|2＜12＜1，所以直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交，故选B.12．(2016·陕西五校二模)下列命题正确的个数是()①命题“∃x0∈R，x20＋1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；②“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；③x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.易知①正确；因为f (x )＝cos 2ax ，所以2π|2a |＝π，即a ＝±1，因此②正确；因为x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤x ＋2在x ∈[1,2]上恒成立⇒a ≤(x ＋2)min ，x ∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b ＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0且a 与b 不反向”，故④不正确．二、填空题(把答案填在题中横线上)13．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎨⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)14．若命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是________． 解析：由题意，命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ＞0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m ＜0，即m ＞1.答案：(1，＋∞)15．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 是假命题，所以p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题知，綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2＞0为真命题，所以m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假命题知，綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.答案：[1，＋∞)16．下列四个命题中，真命题有________．(写出所有真命题的序号)①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点． 解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2＝bc 2，而若ac 2＞bc 2，则有a ＞b ，故“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”形式的命题的否命题是“若綈p ，则綈q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上存在零点，又函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题．答案：①②③④。

综合试题(四)理科数学 【p 329】 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合M ＝{x|－1<x<1}，N ＝{x|x 2<2，x ∈Z }，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∩N ＝{0} D ．M ∪N ＝N【解析】解一元二次不等式x 2<2，得－2<x <2，又x ∈Z ， 所以N ＝{－1，0，1}，所以M ∩N ＝{0}． 【答案】C2．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为( )A ．20B ．10C ．14D ．21【解析】由题意知，P (ξ＞110)＝1－2P （90≤ξ≤100）2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20. 【答案】A3．《算数书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，L ＝2πr ，13πr 2h ＝275(2πr )2h ，所以13π＝875π2，即π的近似值为258.【答案】B4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x －y －1≤0，x －1≥0，若z ＝ax ＋y 仅在点⎝ ⎛⎭⎪⎫73，43处取得最大值，则a 的值可以为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－1【解析】作出约束条件表示的平面区域如图所示，目标函数z ＝ax ＋y 可化为y ＝－ax＋z ，其仅在点⎝ ⎛⎭⎪⎫73，43处纵截距z 取得最大值，得－a <－2，即a >2，所以a 的值可以为4.【答案】A5．一个三位自然数abc 的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b 且c >b 时称为“凹数”．若a ，b ，c ∈{4，5，6，7，8}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位数abc ，则它为“凹数”的概率是( )A.23B.25C.16D.13【解析】根据题意，当且仅当a >b 且c >b 时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A 35＝60种取法．在{4，5，6，7，8}中取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 24＝12种；将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 23＝6种；将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A 22＝2种；根据分类计数原理，可得共有12＋6＋2＝20种，所以构成“凹数”的概率为2060＝13.【答案】D6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，3≤x ≤9，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，当x 1<x 2<x 3<x 4时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则x 1·x 2·x 3·x 4的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7，294B.⎝ ⎛⎭⎪⎫21，1354C ．[27，30) D.⎝⎛⎭⎪⎫27，1354【解析】画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，3≤x ≤9的图象，如图所示，令f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)＝a ，作出直线y ＝a ，由x ＝3时，f ()3＝－cos π＝1；由x ＝9时，f ()9＝－cos 3π＝1；由图象可得，当0<a <1时，直线与曲线y ＝f ()x 有四个交点，由图象可得0<x 1<1<x 2<3<x 3<4.5<x 4<9，则||log 3x 1＝||log 3x 2，即为－log 3x 1＝log 3x 2，可得x 1x 2＝1，由y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x 的图象关于直线x ＝6对称，可得x 3＋x 4＝12，则x 1·x 2·x 3·x 4＝x 3(12－x 3)＝－(x 3－6)2＋36在x 3∈(3，4.5)上递增，即有x 1·x 2·x 3·x 4∈⎝⎛⎭⎪⎫27，1354.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为y ^＝1.3x ＋a ^.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用________年．(结果取整数)【解析】∵x ＝4，y ＝5.1，∴5.1＝1.3×4＋a ^，∴a ^＝－0.1， ∴y ^＝1.3x －0.1，由y ^≤12得x≤9413.【答案】98．设函数f(x)＝ax 2＋b ()a≠0，若⎠⎛02f(x)d x ＝2f(x 0)，x 0>0，则x 0等于________．【解析】∵函数f(x)＝ax 2＋b ()a≠0，⎠⎛02f(x)d x ＝2f(x 0)，∴⎠⎛02()ax 2＋b d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx |20＝83a ＋2b ，2f(x 0)＝2ax 20＋2b ，∴83a ＝2ax 20，∴x 0＝233. 【答案】2339．设F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，且3|PF 1→|＝4|PF 2→|，则双曲线的离心率为________．【解析】由于点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝43|PF 2|，∴|PF 1|＝8a ，|PF 2|＝6a ，∵(OP →＋OF 2→)·PF →2＝0，∴(OP →＋OF 2→)·(OF →2－OP →)＝0，∴OP →2＝OF →22.在△PF 1F 2中，|OP|＝|OF 2|＝|OF 1|，则∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即有64a 2＋36a 2＝4c 2，∴c ＝5a ，∴e ＝5. 【答案】510．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋k （1－a 2），x ≥0，x 2＋（a 2－4a ）x ＋（3－a ）2，x<0，其中a∈R ，若对任意非零．．实数x 1，存在唯一实数x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数k 的最小值为________．【解析】由数形结合讨论知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－a 2－4a 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤4，k ＝（3－a ）21－a 2>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <1，k ＝（3－a ）21－a 2，令g (a )＝（3－a ）21－a 2，则g (a )＝10－6a 1－a 2－1(0≤a <1)且g ′(a )＝－2（3a －1）（a －3）（1－a 2）2(0≤a <1)，∴g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1上递增， 即k min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8. 【答案】8三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随机抽取1 000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1 000人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：(1)根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？(2)为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：现有甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．参与公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）临界值表：【解析】(1)依题意，在本次的实验中，K 的观测值 k ＝1 000×（400×200－300×100）2700×300×500×500＝47.619>10.828，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系． (2)Y 的可能取值为0，10，20，30，40， P(Y ＝0)＝12×12＝14，P(Y ＝10)＝12×25×2＝25，P(Y ＝20)＝25×25＋12×110×2＝1350，P(Y ＝30)＝25×110×2＝225，P(Y ＝40)＝110×110＝1100，E(Y)＝12.12．(16分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H. 将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：平面D′EF⊥平面ABCD ；(2)求直线CD′与平面ABD′所成角的正弦值． 【解析】(1)∵AE＝CF ＝54，∴AE AD ＝CFCD，∴EF ∥AC.∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，∴EF ⊥D ′H. ∵AC ＝6，∴AO ＝3；又AB ＝5，AO ⊥OB ，∴OB ＝4，∴OH ＝AEAD ·OD＝1，∴DH ＝D′H＝3，∴||OD′2＝||OH 2＋||D′H 2，∴D ′H ⊥OH.又∵OH∩EF＝H ，∴D ′H ⊥平面ABCD. ∵D ′H ⊂平面D′EF， ∴平面D′EF⊥平面ABCD.(2)建立如图坐标系H －xyz ，则B ()5，0，0，C ()1，3，0，D ′()0，0，3，A ()1，－3，0，AB →＝()4，3，0，AD′→＝()－1，3，3，设平面ABD′的法向量n ＝()x ，y ，z ，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD ′→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，－x ＋3y ＋3z ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4，z ＝5，∴n ＝()3，－4，5.设直线CD ′与平面ABD ′所成角为θ，∵CD ′→＝()－1，－3，3，∴sin θ＝||cos 〈CD ′→，n 〉＝||CD ′→·n ||CD ′→||n ＝||－3＋12＋1552·19＝123895.13．(18分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，||A 1B 1＝7，四边形A 1B 1A 2B 2是四边形B 1F 1B 2F 2面积的2倍．(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|OP →|＝1，是否存在上述直线l 使AP →·PB →＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7， ① 由S ▱A 1B 1A 2B 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2知a ＝2c ， ② 又b 2＝a 2－c 2， ③ 由①②③解得a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 假设存在直线l 使AP →·PB →＝1成立，(ⅰ)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →|＝1，得|m |1＋k 2＝1， ∴m 2＝k 2＋1.因为|OP →|＝1，AP →·PB →＝1， ∴OA →·OB →＝(OP →＋PA →)·(OP →＋PB →)＝OP →2＋OP →·PB →＋PA →·OP →＋PA →·PB →＝1＋0＋0－1＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0，由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2， ④x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k2， ⑤ ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 将④⑤代入上式并化简得4(1＋k 2)(m 2－3)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0， 将m 2＝1＋k 2代入上式并化简得：－5(1＋k 2)＝0，矛盾，故此时的直线l 不存在．(ⅱ)当l 与x 轴垂直时，满足|OP →|的直线l 的方程为x ＝1，或x ＝－1， 当x ＝1时，A ，B ，P 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，(1，0)．∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，∴AP →·PB →＝94≠1.当x ＝－1时，同理可得AP →·PB →≠1，即此时的直线l 也不存在．综上可知，使AP →·PB →＝1成立的直线l 不存在．。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考前必须复习的几个专题(数学)Word版编辑：__________________时间：__________________专题1函数、导数【课标要求】1．课程目标通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性．通过函数概念与基本初等函数1的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辨证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力．2．复习要求（1）理解集合之间包含与相等的含义，理解两个集合的并集与交集的含义；理解补集的含义．了解集合的含义；了解全集与空集的含义；（不要求证明集合的相等关系、包含关系）．（2）函数的概念和图象理解函数的概念；理解函数的三种表示方法；理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；会运用函数图象理解和研究函数的性质．了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．了解简单的分段函数，（不要求根据函数值求自变量的范围）．了解函数奇偶性的含义．（对复合函数的一般概念和性质不作要求）．（3）指数函数理解有理数指数幂的含义；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象．了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算．了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题．（4）对数函数理解对数的概念及其运算性质；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象．了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数．了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；了解指数函数与对数函数互为反函数（）．（不要求一般地讨论反函数的定义，不要求求已知函数的反函数）．（5）幂函数了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解幂函数的图象变化情况．（6）函数与方程了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系．了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如：的方程的近似解．（7）函数模型及其应用了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．（8）导数理解导数的定义；能利用导数研究函数的单调性；能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．复习建议（1）关于函数的定义域与值域求函数定义域、值域以“简单函数”为主，“简单函数”指下列函数：等．（2）关于分段函数简单（情境）的分段函数指：在定义域的子集上的函数为常数、一次、反比例、二次函数的分段函数．例如：出租车收费、邮资、个人所得税等问题．（3）用二分法求方程的近似解关键是结合具体例子感受过程与方法．本方法限于用计算器求三类方程：的近似解．（4）关于导数重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学，发挥导数的工具作用．要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题，帮助学生增强数学应用的意识，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值．x(5)关于函数综合问题①第一问题通常不是太难，主要是与函数有关的概念和方法，但非常重要，往往是后面小题的知识准备或方法上的提示，所以第一小题要做好做准，再看后面问题与第一小题的联系，然后选择适当的途径解决问题．②通过不同途径了解、洞察所涉及到的函数的性质：在定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性、周期性等方面进行考察，在上述性质中，知道信息越多，则解决问题越容易．③画出示意图，能对解决问题起到很大的帮助．作图要注意图象整体，局部细节．④通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法．通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点．再列表，从表中回答所要求解答的问题．⑤对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度．也可以通过分离变量，转化为函数或不等式问题去解决．【典型例题】 例1（填空题）（１）已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．解析：集合＝{x| a －1≤x≤a＋1}，＝{x| x≥4或x≤1 }．又∵，∴ ，解得，实数的取值范围是(2，3)．说明：通过数轴进行集合包含关系的运算时，要注意端点的“开闭”． 变式：若，则实数的取值范围是 ．？（2）已知不等式的解集是R ，是减函数，如果两个命题中有且只有一个正确，则实数的取值范围为 ．解析：的最小值1，当为真时，，当为真时，，由题设得． （3）函数的定义域，值域，则区间的长度的最小值是 ． 解析：结合图象：当或时，．所以，当时的最小值是． （4）读下列命题，请把正确命题的序号都填在横线上 ．① 函数 的值域为；② 已知函数定义在R 上，且满足，当时，，则； ③ 若函数对定义域中的，总有，则是奇函数；④函数的单调增区间是．解析：③不正确，对称轴是，④不正确，应为．正确答案是：①②．（5）方程lgx＋x＝3的解所在区间为，则的值为．解析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lgx与y＝－x＋3的图象，它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x＝2时，lgx＝lg2，3－x＝1．由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈(2，3)．说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx＋x＝3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．（6）设是奇函数，则使的的取值范围是．解析：依题意，得＝0，即＝0，所以，＝－1，，又，所以，，解得：－1＜x＜0．（7）.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是解析：设，当时，，，则函数是上的减函数；当时，要使函数是上的减函数，则，，解得，综上，或。

m【新题导练】5.若关于的不等式的解集是,则的值为_______解析:原不等式,结合题意画出图可知.6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式解：①若；)251()2511(2150∞++--+<<，，，则原不等式的解集为 a a②若；)251(215∞+++=，，则原不等式的解集为a③若)251()1251(215∞++--+>，，，则原不等式的解集为 a a7.（ 广东省深圳中学20xx —20xx 学年度高三第一学段考试）解不等式.2)21(242>⋅-+x x x．解析： 即得所以原不等式的解集为2)21(2242>⋅-+x x 21422222>⋅∴-+x x 212322>-x 65>x }65|{>x x考点4 简单的恒成立问题题型1:由二次函数的性质求参数的取值范围例1.若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 【解题思路】结合二次函数的图象求解[解析]当时,不等式解集不为,故不满足题意;当时,要使原不等式解集为,只需,解得 综上,所求实数的取值范围为【名师指引】不等式对一切恒成立或不等式对任意恒成立或题型2.转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. [解析] (1)设.由得,故.∵ ∴即,所以,解得 ∴(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,则在上单调递减.所以在上的最大值为.所以的取值范围是.【名师指引】对一切恒成立,则;对一切恒成立,则;【新题导练】8.不等式对一切R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______．22214x a x ax ->++∈x[解析]：不等式对一切R 恒成立, 即 对一切R 恒成立22214x a x ax ->++∈x 014)2(2>-+++a x x a ∈x若=0,显然不成立 若0，则 ∴2+a 2+a ≠⎩⎨⎧<∆>+002a 2>a9.若不等式x2＋ax ＋10对于一切x （0，）成立，则a 的取值范围是 （ ）≥∈12A ．0B ． –2C ．-D ．-352解析：设f （x ）＝x2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝,若，即a －1时，则f （x ）在〔0，〕上是减函数，应有f （）0－x －1 若0，即a0时，则f （x ）在〔0，〕上是增函数，应有f （0）＝10恒成立，故a0a 2－a 2－≥12≤1212≥⇒52≤≤a 2－≤≥12>≥若0，即－1a0，则应有f （）＝恒成立，故－1a0． 综上，有－a,故选 C ．≤a 2－≤12≤≤a2－222a a a 110424≥－＋＝－≤≤52≤ ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1. 不等式的解集是__________解析:将不等式转化成，即.]2. 若不等式的解集为,则不等式的解集为 __________..解析:先由方程的两根为2和3求得后再解不等式.得3. (广东省五校20xx 年高三上期末联考) 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 ．x 2()1()g x a a x R ≥++∈a 解析： 的解集为空集，就是1= []max ＜ 所以2()1()g x a a x R ≥++∈()g x 21a a ++(,1)(0,)a ∈-∞-⋃+∞4(08梅州)设命题P ：函数的定义域为R ；命题q ：不等式对一切正实数均成立.。

第三单元 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数1. 下列说法中正确的是( )A. 三角形的内角必是第一或第二象限的角B. 第一象限的角必是正角C. 第二象限的角一定比第一象限的角大D. {α|α=k ⋅360︒±90︒，k ∈Z }={β|β=k ⋅180︒+90︒，k ∈Z } 2. sin(-270︒)=( )A. 0B. 1C. -1D.123. 若角α的终边过点P (2,1)，则cos α=( )A.5 B. -5C. 5D. -254. 2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形面积的数值是( )A.11sin B.211sin C. 112cos -D. tan 15. (原创题)点P (tan 2 012︒，cos 2 012︒)位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限6. 函数y =112tan x-的定义域为________．7. 已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为________． 8. 有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②终边不同的角的同名三角函数值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α.其中正确的命题为________．(填序号)9. 一个扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．答案：1. D 解析：三角形的内角可以是90︒，即非第一象限角，也不是第二象限角，故A 不正确；第一象限角可能是负角，如-330︒，故B 不正确；第二象限角不一定比第一象限角大，如130︒和390︒分别是第二象限角和第一象限角，故C 不正确．综上，选D.2. B 解析：-270︒的角的终边在y 轴正半轴上，根据三角函数定义，知sin(-270︒)=1.3. C 解析：点P 到原点的距离rcos α5. 4. B 解析： 设扇形半径为r ，则r =11sin ， ∴S 扇=12⋅2⋅11sin ⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 5. D 解析：∵2 012︒=5⨯360︒+212︒， ∴2 012︒的角的终边在第三象限． ∴tan 2 012︒>0，cos 2 012︒<0， ∴点P 在第四象限．6. ,2824k k x x x k ππππ⎧⎫≠+≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 解析：由12022tan x x k k ππ-≠⎧⎪⎨≠+(∈)⎪⎩Z 得定义域为,2824k k x x x k ππππ⎧⎫≠+≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .解析：如图所示，设等边三角形的边长为a ，则其内切圆半径R =13⨯2a=6a ，即该弧所对的圆心角α=aR6. 8. ① 解析：根据任意角三角函数的定义知①正确；对②，我们可举出反例sin3π=sin 23π；对③，可指出sin2π＞0，但2π不是第一、二象限的角；对④，因为α是第二象限的角，故有x ＜0，故cos α.9. 设扇形的半径为r ，则弧长为l =20-2r ，于是扇形的面积：S =12(20-2r )r =-(r -5)2+25.当r =5时，l =10，α=105=2(弧度)，S 取到最大值，此时最大值为25 cm 2.故当扇形的圆心角α=2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是25 cm 2.第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1. (2010⋅全国Ⅰ)cos 300︒=( )A. -2B. -12C. 12D. 22. (2011⋅湖南雅礼中学月考)若sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+sin(π-x )=13，则sin x ⋅cos x 的值为( )A. -49B. 49C. -89D.893. 已知sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan α=( )C. -4D. 44. (2011⋅山东济南模拟)已知△ABC 中，tan A =-512，则cos A =( )A. 1213B. 513C. -513D. -12135. 已知sin x =2cos x ，则sinx cosxsinx cosx-+=( )A. 12B. 13C. 14D. 156. 已知tan x =sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin x =( )A. 12-±B. 12C. D.7.已知sin 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则cos 712x π⎛⎫+⎪⎝⎭=________. 8. (2011⋅浙江杭州质检)已知α∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，tan(π-α)=-34，则sin α=________.9. (原创题)设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f (2 010)=-1，则f (2 012)=______.10. 若x ∈02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则2tan x +tan 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值为______.11. 已知11tan tan αα+-，求cos 2(π-α)+sin(π+α)cos(π-α)+2sin 2(α-π)的值．答案：6. C 解析：∵tan x =sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 即tan x =cos x ，∴sin x =cos 2x . 又∵cos 2x =1-sin 2x ， ∴sin 2x +sin x -1=0， ∴sin x=12. 7. -13 解析：cos 712x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 122x ππ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-sin 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-13.8. 35 解析：∵tan(π-α)=-tan α=-34，∴tan α=34，∴sin cos αα=34. 又∵α∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，解方程组34221sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩得sin α=35.9. -1 解析：∵f (2 010)=a sin(2 010π+α)+b cos(2 010π+β)=a sin α+b cos β=-1，∴f (2 012)=a sin(2 012π+α)+b cos(2 012π+β)=a sin α+b cos β=-1.解析：∵x ∈02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，第三节 三角函数的图象与性质1. 下列函数中，在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数的是( )A. y =sin xB. y =cos xC. y =sin 2x D ．y =cos 2x2. (2011⋅北京统考)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x =3π对称的是( )A. y =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. y =sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭ C. y =sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D. y =sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭3. 函数y =3sin(2x +θ)的单调递增区间不可能是( )A. 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C. 263ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D. 33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4. 当-2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin(x -2ππ-x )的最大值与最小值分别是( ) A. 2,1 B. 1，-1 C. 2，-1 D. 2，-25. (2011⋅浙江杭州质检)下列命题中正确的是( ) A. 设f (x )=sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则∀∈R ，必有f (x )<f (x +0.1)B. ∃x 0∈R ，使得12sin x 0x 0>1C. 设f (x )=cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则函数y =f 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数D. 设f (x )=2sin 2x ，则f 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭6. f (x )=cos 6x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，则当ω>0时，ω=________.7. 函数y =11tanx+的定义域是__________________．8. 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，f (x )=sin x ，则f 53π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 9. 求函数y =2sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．10. (2010⋅天津改编)已知f (x sin x cos x +2cos 2x -1，x ∈R .求f (x )的最小正周期及在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最值．答案：5. C 解析：对于A ，因为f (x )=sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭在R 上不单调，故A 不正确；对于B ，因为∀x ，都有12sin x +32cosx =sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，故不存在这样的x 0，B 不正确；对于C ，f 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 63x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=cos 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-sin x ，是奇函数，正确；对于D ，f 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2sin 223x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，D 不正确．6. 10 解析：∵T =5π=2πω，∴ω=25ππ=10.7. 42x x x k x k k ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z ，解析：要使函数y =11tanx +有意义，则有102tanx x k k ππ+≠⎧⎪⎨≠+(∈)⎪⎩Z 即x ≠k π-4π且x ≠k π+2π(k ∈Z )，∴函数的定义域为42x x x k x k k ππππ⎧⎫≠-≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z ，.8. 32 解析：f 53π⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 23ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=f 23π⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 23ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=f 3π⎛⎫-⎪⎝⎭=f 3π⎛⎫⎪⎝⎭，因为当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )=sin x ，所以f 53π⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 3π⎛⎫⎪⎝⎭=sin 3π=2. 9. y =2sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭可化成 y =-2sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵y =sin u (u ∈R )的递减区间为32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )， ∴函数y =-2sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的递增区间由下面的不等式确定：2k π+2π≤x -4π≤2k π+32π(k ∈Z )，解得2k π+34π≤x ≤2k π+74π(k ∈Z )，∴函数y =2sin 4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间为372,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．第四节 函数y =A sin(ωx +Φ)的图象及三角函数模型的简单应用1. 函数y =cos x (x ∈R )的图象向左平移2π个单位后，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为( ) A. y =-sin xB. y =sin xC. y =-cos xD ．y =cos x2. 已知f (x )=sin x x (x ∈R )，函数y =f (x +Φ)的图象关于直线x =0对称，则Φ的值可以是( )A.2π B.3π C. 4πD. 6π3. 如图为f (x )=A sin(ωx +Φ)(A >0，ω>0，|Φ|<π)的图象的一段，则其解析式为( )A. y 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭B. y 223x π⎛⎫-⎪⎝⎭C. y 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. y 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 在同一平面直角坐标系中，函数y =cos 322x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x ∈[0,2π])的图象和直线y =12的交点个数是( ) A. 0B. 1C. 2D. 45. 关于函数y =sin 2x x 图象的对称性，下列说法正确的是( ) A. 关于直线x =3π对称 B. 关于直线x =6π对称 C. 关于点03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称D. 关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 6. (2010⋅天津)如图是函数y =A sin(ωx +Φ)(x ∈R )在区间566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y =sin x (x ∈R )图象上的所有点( )A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7. (2010⋅辽宁改编)设ω>0，函数y =sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．8. (2011⋅济南模拟)把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式为__________________． 9. 如图所示为函数y =A sin(ωx +Φ)的图象上的一段，则这个函数的解析式为________．10. (2010⋅广东)已知函数f (x )=A sin(3x +Φ)(A >0，x ∈(-∞，+∞)，0<Φ<π)在x =12π时取得最大值4. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式； (3)若f 2312πα⎛⎫+⎪⎝⎭=125，求sin α.11. (2011⋅重庆南开中学月考)已知函数f (x )=A sin(ωx +Φ)0,0,02x A πω⎛⎫∈>><Φ< ⎪⎝⎭R ，的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点M ,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间．答案：6. A 解析：观察图象可知，函数y =A sin(ωx +Φ)中A =1，2πω=π，故ω=2，由ω⨯6π⎛⎫-⎪⎝⎭+Φ=0，得Φ=3π，所以函数y =sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，故只要把y =sin x 的图象向左平移3π个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12倍即可． 7.32 解析：由题意知T =2πω≤43π，∴ω≥32.8. y =sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭解析：把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，得y =sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得y =sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.9. y =2sin 3324x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：由图象知，A =2，2T =56π-6π=23π，即T =43π. ∵2πω=43π，∴ω=32，∴y =2sin 32x ⎛⎫+Φ ⎪⎝⎭. ∵当x =56π时，y =2，∴2=2sin 3526π⎛⎫⨯+Φ ⎪⎝⎭，即sin 54π⎛⎫Φ+ ⎪⎝⎭=1，∴Φ+54π=2π，Φ=-34π， ∴y =2sin 3324x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.10. (1)T =23π.(2)由f (x )的最大值是4知，A =4，f (x )max =f 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4sin 312π⎛⎫⨯+Φ ⎪⎝⎭=4，即sin 4π⎛⎫+Φ ⎪⎝⎭=1，∵0<Φ<π，∴4π<4π+Φ<54π.∴4π+Φ=2π，∴Φ=4π. ∴f (x )=4sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭. (3)f 2312πα⎛⎫+⎪⎝⎭=4sin[32312πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4π]=125，即sin 233124ππα⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=35， sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=35，即cos 2α=35，∴1-2sin 2α=35，sin 2α=15，∴sin α=±5.11. (1)由题意得f (x )的最小正周期T =2π⋅2=π，∴ω=2T π=2ππ=2.又由M 26π⎛⎫⎪⎝⎭是最高点，得A =2，且当α=6π时，f (x )有最大值． ∴sin 26π⎛⎫⋅+Φ ⎪⎝⎭=sin 3π⎛⎫+Φ ⎪⎝⎭=1，∴3π+Φ=2π+2k π，k ∈Z ，即Φ=6π+2k π，k ∈Z . 又∵0＜Φ＜2π，∴Φ=6π. ∴f (x )=2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭.第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. (2010⋅福建)计算1-2sin 222.5︒的结果等于( )A.12B.C.2. 已知tan α=4，1tan β=13，则tan(α+β)=( )A. 711B. -711C. 713D. -7133. (2010⋅全国)若cos α=-45，α是第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=( )A. -10 B.10C. -10D. 104. 在△ABC 中，∠C =120︒， tan A +tan B =23tan A tan B 的值为( )A.14B.13 C. 12D. 535. 已知向量a =16sin πα⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b =(4,4cos α，若a ⊥b ，则sin 43πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于( )A. -4 B.14C. 4D. -146. 1212cossinππ⎛⎫- ⎪⎝⎭1212cos sin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________． 7. (2011⋅济南模拟)已知tan θ=3，则sin 2θ-2cos 2θ=________.8. (2011⋅重庆南开中学月考)函数f (x )=cos 2x +sin x 的最小值是________． 9. 若24cos sin απα⎛⎫- ⎪⎝⎭=-2，则cos α+sin α的值为________.10. (2011⋅杭州学军中学月考)已知函数f (xsin 2x +2cos 2x +3.(1)当x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时，求函数f (x )的值域； (2)若f (x )=285，且x ∈5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求cos 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．答案：1. B 解析：1-2sin 222.5︒=cos 45︒=2. 2. B 解析：由已知得tan β=3，tan(α+β)=1tan tan tan tan αβαβ+-⋅=-711.3. A 解析：∵α是第三象限角，cos α=-45，∴sin α=-35.∴sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin αcos 4π+cos αsin 4π=2⨯4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-710. 4. B 解析：∵tan(A +B )=-tan C =-tan 120︒∴tan(A +B )=1tanA tanBtanAtanB+-即31tanAtanB-tan A tan B =13. 5. D 解析：∵a ⊥b ，∴a ⋅b =4sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭+4cos α=466sin cos cos sin ππαα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4cos αsin α+6cos αsin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14，∴sin 43απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-14.6. 解析：(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)=cos 212π-sin 212π=cos 6π=.7. 25解析：原式=22222sin cos sin cos θθθθ-+=22222sin cos cos sin cos θθθθθ-+=2221tan tan θθ-+=6291-+=25. 8. -2 解析：f (x )=cos 2x +sin x =1-2sin 2x +sin x =-2sin 2x +sin x +1=-214sinx ⎛⎫- ⎪⎝⎭2+98.因为-1≤sin x ≤1，故当sin x =-1时，f (x )有最小值f (x )min =-2.9.12解析：24cos sin απα⎛⎫- ⎪⎝⎭=2244cos sin sin cos cos sinααππαα--=22cos sin sin cos αααα-)-(sin α+cos α)=-2，∴cos α+sin α=12.10. 由已知f (xx +2cos 2xx +cos 2x +4=2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4.(1)当x ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，2x +6π∈7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭∈1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦，故函数f (x )的值域为(3,6]．(2)由f (x )=285，得2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4=285，即sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=45.因为x ∈5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-35，所以2π＜2x +6π＜π，故cos 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 264x ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅2+sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅2=10. 第六节 简单的三角恒等变换1. (2011⋅福州三中月考)已知sin α=23，则cos(π-2α)=( )A. -3B. 19C. -192. (2010⋅全国改编)已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan 2α=( )A. -247B. 247C. 34D. -343.( ) A. -cos 1 B. cos 1C.4. 在△ABC 中，已知sin(A -B )cos B +cos(A -B )sin B ≥1，则△ABC 是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形5. 已知f (x+Φ+Φ)为偶函数，则Φ可以取的一个值为( ) A.6π B.3πC. -6πD. -3π 6. 3702210sin cos -︒-︒=________.7. 已知sin θ-cos θ=-15，且0≤θ≤4π，则cos 2θ=________.8. 若sin(α+β)=35，sin(α-β)=15，则tan tan αβ=________.9. (2011⋅潍坊联考)已知函数f (x )=cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭+sin 2x -cos 2x . (1)求函数f (x )的单调减区间； (2)若f (α)=35，2α是第一象限角，求sin 2α的值．答案：7.725解析：∵sin θ-cos θ=-15，∴(sin θ-cos θ)2=125，∴sin 2θ=2425，又∵0≤θ≤4π，∴0≤2θ≤2π，∴cos 2θ725.8. 2 解析：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=35，① sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=15.② ①+②得2sin αcos β=45，即sin αcos β=25. ①-②得cos αsin β=15， ∴sin cos cos sin αβαβ=tan tan αβ=2. 9. (1)因为f (x )=cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭+sin 2x -cos 2x=12cos 2x sin 2x -cos 2xx -12cos 2x =sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.第七节 正弦定理和余弦定理1. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人( ) A. 不能作出这样的三角形 B. 能作出一个锐角三角形 C ．能作出一个直角三角形 D ．能作出一个钝角三角形2. 已知锐角△ABC 的面积为BC =4，CA =3，则角C 的大小为( ) A. 75︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 30︒3. 在△ABC 中，a =15，b =10，A =60︒，则cos B =( )B.D.4. (2010⋅湖南)在△ABC 中，角A ，B ， C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C =120︒，c a ，则( )A. a>bB. a<bC. a=bD. a与b的大小关系不能确定5. (2011⋅广东深圳调研)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a=2b cos C，则此三角形一定是()A. 等腰直角三角形B．直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形6. (2010⋅北京)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()A. 2sin α-2cos α+2B. sin αcos α+3C. 3sin αcos α+1D. 2sin α-cos α+17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b=2a sin B，则角A的大小为________．8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若b-c)⋅cos A=a cos C，则cos A=________.9. 在△ABC中，A=60︒，b=1，S△ABCa b csinA sinB sinC++++等于________．10. 在锐角三角形ABC中，BC=1，B=2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积S=43sin C，求角C的大小．12. 如图，在△ABC中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC的平分线．(1)求证：DC=2BD;(2)求AB DC的值．答案：6. A解析：四个等腰三角形的面积之和为4⨯12⨯1⨯1⨯sin α=2sin α，再由余弦定理可得正方形的边长为2-2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α-2cos α+2.7. 30︒或150︒解析：由正弦定理得sin B=2sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin A=12，∴A=30︒或A=150︒.8.3解析：b cos A=a cos C+c cos A=a⋅2222a b cab+-+c⋅2222b c abc+-=b，∴cos A=3.9.3解析：由正弦定理可知原式等于2R，而asinA=2R，故只需求出a即可，∵S△ABC=12bc sin A=12⨯1⨯c⨯2∴c=4.由余弦定理知a2=b2+c2-2bc cos A=12+42-2⨯1⨯4⨯12=13，∴a2R=asinA10. 2)解析：由正弦定理得2ACsin A=BCsinA，即2ACsinAcosA=1sinA，∴ACcosA=2.∵△ABC是锐角三角形，∴C=π-(A+B)，即0＜π-(A+B)＜2π，又∵B=2A，∴3A＞2π，∴A＞6π.又∵0＜B ＜2π，∴0＜A ＜4π， 综上，6π＜A ＜4π.由AC =2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)．11. (1)设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，由sin A +sin B =2sin(A +B )=2sin C ， 得a +b =2c . ∵a +b +c =22+4，∴c =22，即AB 边长是22.(2)∵S =12ab sin C =43sin C ，∴ab =83.又∵a +b =2c =4，∴cos C =2222a b c ab +-=2222a b ab c ab (+)--=12，∴C =3π.第八节 正、余弦定理的应用举例1. 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40︒，灯塔B 在观察站的南偏东60︒，则灯塔A 在灯塔B 的( )A. 北偏东10︒B. 北偏西10︒C. 南偏东10︒D. 南偏西10︒2. 如图所示，D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC =a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是β、α(α＜β)，则点A 离地面的高AB 等于( )A.asin sin sin αββα(-) B.asin sin cos αββα(-)C. acos cos sin αββα(-)D.acos cos cos αββα(-)3. 在△ABC 中，AB =3，BC 13AC =4，则边AC 上的高为( )A.32 B.32C. 324. 一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60︒，另一灯塔在船的南偏西75︒，则这只船的速度是每小时( )A. 5 海里海里C. 10 海里 海里5. 已知两座灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20︒方向，灯塔B 在观测站C 的南偏东40︒方向，则灯塔A 与B 的距离为( )A. a kmB.kmC. a kmD. 2a km6. (2011⋅广东实验、华师附中、金山中学等四校联考)2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在坡度15︒的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60︒和30︒，且第一排和最后一排的距离为 m ，则旗杆的高度为________m.7. 有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75︒，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面方法将其倾斜角改为30︒(如图)，则坡底应延长________m.8. 某人先向东走a km ，然后右转150︒，并在新的方向上走了3 km km ，则a =________. 9. 在300米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30︒、60︒，则塔高为________米.10. 如图A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75︒，30︒，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60︒，AC =0.1 km ，试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01 km 1.414≈2.449)11. (2010⋅陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B点北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案：1. B 解析：由图可知∠ACB =180︒-(40︒+60︒)=80︒，又∵AC =BC ， ∴∠A =∠CBA =12(180︒-80︒)=50︒.∵CE ∥BD ， ∴∠CBD =∠BCE =60︒， ∴∠ABD =60︒-50︒=10︒，∴灯塔A 在灯塔B 的北偏西10︒方向上．4. C 解析：如图，依题意有∠BAC =60︒，∠BAD =75︒，所以∠CAD =∠CDA =15︒，从而CD =CA =10，在Rt △ABC 中，可得AB =5，于是这只船的速度是50.5=10(海里/小时)．5. B 解析：如图所示，由题知∠ACB =180︒-20︒-40︒=120︒， 又CA =CB =a km ， ∴∠CAB =∠B =30︒.在△ABC 中，由正弦定理，得AB =ACsinACB sinB=2a⋅2(km)．6. 30 解析：依题意，设旗杆的高度为x m ，由正弦定理，得6045xsin sin ︒︒，解得x =30 m.解析：在△ABB ′中，∠B ′=30︒， ∠BAB ′=75︒-30︒=45︒，AB =10 m.由正弦定理，得BB ′=4530ABsin sin ︒︒=10212⨯(m)．8.解析：如图，AB =a ，BC =3，AC由余弦定理，得)2=a 2+32-2⨯3⨯a ⨯cos 30︒，∴aa9. 200解析：如图所示，AP 为山高，CB 为塔高，在Rt △APB 中，P A =300，∠APB =30︒， ∴PB =PA cosAPB =30030cos ︒又∵∠BPC =30︒，∠BCP =180-60︒=120， 则△PBC 中，PB sinBCP =BCsinBPC，∴BC =30120PBsin sin ︒︒=200(米)．10. 在△ACD 中，∠DAC =30︒，∠ADC =60︒-∠DAC =30︒， 所以CD =AC =0.1.又∠BCD =180︒-60︒-60︒=60︒，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线， 所以BD =BA .在△ABC 中，AB sinBCA =AC sinABC ，即AB =6015ACsin sin ︒︒，因此，BD ≈0.33(km)．故B ，D 间的距离约为0.33 km.11. 由题意知AB 海里，∠DBA =90︒-60︒=30︒，∠DAB =90︒-45︒=45︒，∴∠ADB =180︒-(45︒+30︒)=105︒. 在△DAB 中，由正弦定理，得。