离散傅里叶变换(DFT)

（2）可写为： TFn
f (t )e
jn0t
F n 0 F n 0 dt 1T f
令 T 则： n 0
单位频带上的频谱值
TFn
T
f (t )e


j t
dt F ( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
1 jn0t 0 （1）可写为： f (t ) TFn e TFn e jn t T 2 n n
(3) (4) x3 (n) a nu (n), 0 a 1 x4 (n) u (n 3) u (n 4)
(3) X 3 (e )
j n
解
a u(n)e
n
j n
a n e jn
n 0
1 1 ae j
n 3
(4)
X ( k ) x ( n )e , k 0,1, n 0 2 N 1 j nk 1 N x ( n) X ( k )e , n 0,1, N k 0
N 1 j 2 nk N
, N 1 , N 1
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS）

周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t )
其中：
n
F e
n

jnt
2 ( ) T
jnt
1 Fn T

T
0
f (t )e
dt
周期信号可分解为直流，基波和各次谐波 （基波角频率的整数倍）的线性组合。
要求低通滤波器： m c s m

数字信号处理第五章离散傅里叶变换授课教师：胡双红联系QQ：79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院DFT:离散傅里叶变换引言DFSDFTDFT性质DFT应用快速算法：FFT引言DTFT对绝对可加序列给出了频域（ω）表示 Z变换对任意序列给出了广义频域（z）表示 特点：变换都是对无限长序列定义的；变换都是连续变量（ω或z ）的函数；用MATLAB实现时必须将序列截断然后在有限点上求表达式。

即DTFT和ZT都不是数值可计算的变换数值可计算的变换DFT方法：通过在频域对DTFT采样获得。

步骤：通过分析周期序列来建立傅里叶级数(DFS)将DFS推广到有限长序列得DFT优点：适合计算机实现的数值可计算的变换缺点：对长序列的数值计算费时多改进方法：快速傅里叶变换（FFT）第一次课5.1 离散傅里叶级数定义MATLAB实例与Z变换和DTFT的关系Z域采样与重建~式中：x解：由题设可得基波周期~~令x周期，⎪⎧±±==−,2,,02N Lk j N N k L π"作出L=5和N=20的周期序列图>> x=[1,1,1,1,1,zeros(1,15)];>> xtilde=x'*ones(1,3);>> xtilde=xtilde(:);>> xtilde=xtilde';>> n=[-20:39];>> stem(n,xtilde)>> axis([-20,39,-0.5,1.5]);>> xlabel('n');ylabel('x(n)');title('周期方波序列')2）对L=5和N=20的MATLAB脚本如下------------------------MATLAB脚本--------------------->> L=5;N=20;k=[-N/2:N/2];% 方波参数>> xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];% 方波序列x(n) >> Xk=dfs(xn,N);% DFS>> magXk=abs([Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1)]);% DFS幅度>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,0.5]);>> subplot(2,2,1);stem(k,magXk);>> axis([-N/2,N/2,-0.5,5.5]);>> xlabel('k');ylabel('Xtilde(k)');>> title('L=5,N=20 的方波的DFS');3）结论：方波DFS的DFT包络为抽样函数"sinc"函数k=0时幅度为L，函数的零点在N/L的整数倍点 方波持续时间相同时，周期越大，其频谱越密设x(n)是一有限长的序列，长度为N,即：那么它的z 变换和DTFT 为：,01()0,n N x n n ≤≤−⎧=⎨⎩非零其余()()()()∑∑−=−−=−==1010N n jwnjw N n n e n x e X zn x z X 与Z 变换和DTFT 的关系（了解）~现在以周期3）在4）在解：序列x(n)不是周期的，但是有限长的在设x(n)任意序列N−∞1上式表明：单位圆上对X(z)采样，时域将得到一个周期序列，是原序列x(n)和它的无穷多个移位±rN 的副本的线性组合。

即有
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
k 0,1,
, N 1 2
还需计算X(k)的另一半: k N / 2, N / 2 1, , N 1
（4.1）
N 1
X1
N 2
k
2 r0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
r
W rk N2
X1
k
X2
N 2
k
频谱分析中幅度应该怎样计算？
频谱分析中应该：
频域滤波：
x(0) x(4) x(2) x(6) x(1) x(5) x(3) x(7)
X3(0)
W20
X3(1)
1
X4(0) W40
1
W20
X4(1) W41
1
1
X5(0)
W20
1
W20
1 m=0级
X5(1) X6(0) X6(1)
W40
1
W41
1 m=1级
X1(0)
X(0)
X1(1)
X(1)
X1(2)
X(2)
x(2r)WN 2rk
x(2r 1)WN (2r1)k
n0
r0
r0
N / 21
N / 21
x(2r)WN 2rk WNk
x(2r 1)WN 2rk
r0
r0
N / 21
N / 21
x1 (r )WN 2rk WNk
x2 (r)WN 2rk
r0
r0
利用性质：
WN2
j 2 2
e N
j 2
0 k N 1

N X ( k )
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m


x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )

n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x