第5讲(4)有界线性算子

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§1 有界性与连续性
让我们回顾线性算子与线性泛函的有关概念. 定义5.1 设 X和Y都是数域 F上的赋范线性
空间，T : X → Y，如果 ∀x, y ∈ X ， 有T (x + y) = Tx + Ty ，则称T是可加的. 若 ∀α ∈ F, x ∈ X ,T (α x) = αTx
则称T是齐次的.可加齐次的映线称为线性映射
空间，T : X → Y 是一个线性算子，如果T在 某一点 x° ∈ X连续，则T在X上连续.
证明 任取 xn , x ∈ X，且 xn → x，由
T的可加性知，
Txn − Tx = T (xn − x) = T (xn − x + x° ) − Tx°
由于 xn − x + x° → x°，而T在x0连续，
=
⎧
⎪ ⎨
n
⎪0
t∈[a,a+ 1] n
t∈(a+ 1,b]
⎩
n
显然 xn∈L′[a,b] ，而且 ||xn||1=∫ab|xn(t)|dt=1 .
进而有 ||Txn||1=∫ab|∫at xn(s)ds|dt
=
∫a+
a
1 n
|∫at
xn(s)ds|dt
+
∫b
a+
1
|∫at
xn(s)ds|dt
n
=∫a+1 n a
公式求已知连续函数的近似多项式.设 x∈C ⎡⎣a,b⎤⎦
在⎡⎣a,b⎤⎦内任取n个点a≤t1<t2<⋅⋅⋅<tn≤b ，作多项式
( ) ( )( ) ( ) P t t t t t t t t t ⎛ k⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
=
⎡ ⎢⎣
− 1 ⋅⋅⋅
− k −1
− k+1 ⋅⋅⋅
−
n
⎤ ⎥⎦
( ) ( )( ) ( ) t t t t t t t t ⎡
取γ 0<γ ,则 ∃x0∈X
显然 x0≠θ .记
y0= x0 x0
， s.t.
，则
Tx0 >γ y0 =1
x 0
，
，且
18
3
Ty0 = Tx0 >γ 0 .所以 β >γ 0 ，从而 β ≥γ. x0
取 β 0<β ，则存在 y0∈x ，s.t. y0 =1 ，
且 Ty0 >β =β 0 y0 .
证明：T的线性是明显的，下面证明T的
有界性及不等式（5.3.2）.令
M
=
max 0≤s≤1
∫01|k
(s,t)|dt
则∀x∈C[0,1] ，有
25
||Tx|| = ∞
m0≤as≤x1 |∫01K
(s,t)x(t)dt
|
≤
max| 0≤s≤1
x(s)|
m0≤as≤x1 |∫01
K
(s,t)dt|=
M
||
max
a≤t≤b
∫t
a
1 b−a
ds
=1
所以 ||T ||≥1 ，因此||T ||=1 .
5—4 线性算子的一般理论
线性算子理论构成泛函分析的核心内容， 它是泛函分析应用于各个领域的主要工具，近 代数学与工程实际中的许多问题如果能够看成 定义在某空间上的算子或算子方程就可以利用 泛函分析方法进行研究.
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本章主要介绍线性算子与线性泛函的基本 概念和性质，在此基础上着重介绍泛函分析的 基本定理——逆算子定理、闭图像定理、一致 有界原理与Hahn-Banach定理. 最后讨论对偶空 间、自反空间、弱收敛以及对偶算子等内容.
（5.3.1） 22
证明: Ln的线性是明显的，现在证明(5.3.1)式,
令α
=
max
a≤t≤b
∑n |Pk
k =1
(t)|
，则
||Lnx||=
ma≤at≤xb |k∑n=1
X
(tk)Yk
(t)|≤α
max|
a≤t≤b
x(t)|
故||Ln||≤α . =α||x||∞
另一方面,由于∑n |Pk(t)| 在 [a,b] 上连续，故 存在t0∈[a,b]， s.t. α = k=1 ∑n |Pk (t0)|
n(t
−a)dt
+∫b a+ 1
|∫at +
1
xn(s)ds|dt
nn
+
∫b
a+1
|∫ a+1 n a
xn(s)ds|dt
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n
=(n⋅1t 2 −ant) 2
a+ 1 n
a
+
∫b
a+
11dt
n
=1 n⋅(a+ 1)2 − 1 n⋅a2 −an(a+ 1)+a2⋅n+b−a− 1
2 n2
n
n
= 1 n(a2 +2a⋅1 + 1 )− 1 n⋅a2 −na2 −a+a2n+b−a− 1
特别地，对于任意的 x∈X ，恒有
Tx ≤ T x
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证明：显然 β ≤α，任给 α0<α ，
存在 x0∈X ，s.t. Tx0 ≥α0 ，且 x0 ≤1 ，
显然 x0≠θ ，记 y0= x0 ，则 y0 =1 ， x0
且
Ty0 = 1 Tx0 ≥ 1 α0≥α0
x0
x0
故 β ≥α ，所以 α =β .
任给 x∈M ，若 Tx ≤M x ，
则
⎛
T⎜ ⎜
x
⎞
⎟ ⎟
≤
M
.故 β ≤M ，所以 β ≤γ
.
结论
⎜
β⎜⎝
x=γ⎟⎟⎠
.
讫
19
注 定理 5.9 表明有界线性算子的范数
可以采用不同的等价形式.不等式 Tx ≤ T x 给出了 Tx 的某种最佳估计，此不等式在
以后经常使用.
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§3 求有界线性算子范数的实例分析
⎨ ⎩
y1
=
x
sin θ
+
y
cosθ
θ为一个给定的角度.
是R2到它自身的一个有界线性算子，它也是一 个连续线性算子.
例5.5 连续函数的积分
∫b
f (x) = x(t)dt a
∀x ∈C [a,b]
[ ] 是定义在连续函数空间 C n a, b 上的一个有界
线性泛函，它也是一个连续线性泛函.
7
8
定理5.6 设X和 Y都是数域F上的赋范线性
⎤
⎢⎣ k − 1 ⋅⋅⋅ k − k −1 k − k +1 ⋅⋅⋅ k− n ⎥⎦

k =1,2,⋅⋅⋅,n
n
再让 Lnx= y ， y(t)=∑ X (tk)Pk(t) k =1
则 Ln是 C[a,b]到其自身的有界线性算子，而且
n Ln =max{ ∑ Pk(t) : t∈[a,b]}
k =1
i=1
取 X 0∈C[a,b]，s.t.||x0||∞=1 , x0(tk)=sgn(Pk(t0)) ,
k =1,2,⋅⋅⋅,n , 于是 23
||Lnx0|| ≥|(Ln)(t0)|=|∑n sgn(Pk (t0)Pk(t0)|
i=1
n
=∑|Pk (t0)|=α i=1
故 ||Ln||≥α ，从而 ||Ln||=α .
2
n n2 2
n
=b−a− 1 2n
故 ||T ||≥sup||Txn|| ≥b−a ，因此 ||T ||=b−a . 1 n
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例5.14
考虑积分算子
(Tx)(t)=
∫t
a
x(s)ds
试证明
（1）当把T看作C[a,b]→C[a,b] 的算子
时，||T ||=b−a . （2）当把T看作L′[a,b]→C[a,b] 的算子
是一个线性算子，则T连续的必要充分条件是T有 界.
证明：充分性的证明.设T有界，则 ∃M >0 ，
{ } 使得 ∀x∈X, Tx ≤M x . 任取 xn ⊂ X，
使得 x →x ，于是 n Txn −Tx = T(xn −x) ≤ M xn −x，→ 0
因此T是连续的. 11
必要性的证明.
设T连续但无界，则对每个自然数n，必
或线性算子，X称为T的定义域，记作
3
D(T ) = X , R(T ) = {y ∈Y : ∃x ∈ X , y = Tx},
称为T的值域.X中使得Tx = θ 的元素x的集合称 为T的零空间，记作 ker(T ) ，即
ker(T ) = {x :Tx = θ , x ∈ X } = T −1 {θ}
讫
例 5.12 设 K(s,t)是定义在0≤s≤1，0≤t≤1，
上的连续实函数，在实连续函数空间C[0,1]
中，定义积分算子
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4
(Tx)(s)=∫01K(s,t)x(t)dt
则T是C[0,1] 到其自身的有界线性算子，
而且
||T
||≤
max 0≤s≤1
∫01|k
(s,t)|dt
（5. 3. 2）
令即存在yynn=x→nn∈θxXxnn,.x由n，≠T0的则，连使y续n得性=1知Tn，x，nT因y≥n此→n θxynYn，→，0 ，
但是 Tyn
=1 n xn
Txn
≥1
,即 Tyn −θY
→/ 0，
此乃矛盾，故T是有界的.
讫
12
2
注 定理5.7表明，对线性算子来说，有界 性与连续性是等价的