第二章线性有界算子

运筹学与控制论Operating Research and Control Theory（070105）●培养方案（一）培养目标和要求1、努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。

2、掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，具有独立从事科学研究工作的能力和社会管理方面的适应性，在科学和管理上能作出创造性的研究成果。

3、积极参加体育锻炼，身体健康。

4、硕士应达到的要求：(1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态。

(2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有一定的公关能力及和谐的人际关系。

(3)具有强烈的责任心和敬业精神。

(4)广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。

(5)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。

5、本专业主要学习运筹学与控制论的基础理论与方法，侧重于动力系统与控制、鲁棒控制、最优化理论与方法、分支与混沌、变分不等式理论与算法等专业知识的学习，以及了解现代控制、动力系统、最优化与变分不等式理论方法在社会、经济、生物和自然科学等领域中的应用。

要求本专业的硕士毕业生具有系统、扎实的动力系统与控制和变分不等式理论的基础，熟练掌握一门外国语，能够独立从事本专业的理论研究、实际应用及教学工作。

可在高等院校、科研机构、政府机构和其他企事业单位工作。

（二）研究方向与简介1、动力系统与控制：主要研究无穷维动力系统与偏微分方程、常微分方程定性理论与动力系统分支理论及其应用。

在非自治动力系统的渐近行为、周期解、同异宿分支及亚调和解和不变流形的分支等方面建立了新的理论和方法。

在《J. Diff. Eqns.》、《Nonlinearity》、《Quarterly of Appl. Math.》、《Physica D》、《Disc. Contin.Dyna. Syst.》、《Inter. J. Bifurcation and Chaos》等国内外有重要影响的学术刊物上发表论文100余篇。

第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。

定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。

容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。

命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。

特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。

（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。

（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。

说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。

对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。

若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。

实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。

容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。

第一节 有界线性算子的谱一、算子代数定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。

性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m nm n T T T m n +=∈N ；2、()()()ST S T S T ααα==；3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+；4、单位算子I 满足：IT TI T ==；5、:T X X →为同构⇔存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1T -，并称T 为可逆算子。

以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。

6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且11111(),()()n n ST T S T T -----==。

当()T GL X ∈时约定10()(0),nn T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。

注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)nn ST S T TT n ≤≤≥；3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。

定义：设T 属于某算子代数，称010()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞===++++∑、（其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。

性质：设通常幂级数0()nnn f λαλ∞==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数（3.1.1）绝对收敛：nn n n T T αα≤<∞∑∑。

引理3.1.1 设()T L X ∈，则1()n n I T T ∞-=-=∑只要其右端级数收敛。

特别，当1T <时上式必成立。

推论：若,(),T S L X T ∈可逆，则1110()()n n T S T ST ∞---=+=-∑，只要其右端级数收敛；特别，当S 适当小时必成立。

泛函分析教学大纲一、泛函分析课程说明(一) 课程代码 08130013(二) 课程英文名称:Functional Analysis(三) 开课对象: 数学与应用数学专业本科生(四) 课程性质:泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。

本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。

通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。

前期课程：《数学分析》《高等代数》《实变函数》(五) 教学目的通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础(六) 教学内容本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和Hilbert空间，Banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。

通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。

习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。

(七) 学时、学分数及学时数具体分配教学时数：72学时学分数： 4 学分教学时数具体分配(八) 教学方式以教师讲解为主的课堂教学方式(九) 考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。

严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。

综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。

平时成绩占30％，期末成绩占70％。

二、讲授大纲与各章的基本要求第一章度量空间和赋范线性空间教学要点:1 泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射2 度量空间X的子集Y在X中稠密的充分必要条件是Y的闭包等于X3 有理点集是可数稠密集4 任何度量空间X,都存在完备的度量空间教学时数:12学时教学内容第一节度量空间第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间第三节连续影射第四节柯西点列和完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用第七节线性空间第八节赋范线性空间和Banach空间考核要求：第一节度量空间（识记）第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间（领会与应用）第三节连续影射（领会与应用）第四节柯西点列和完备度量空间（领会与应用）第五节度量空间的完备化（领会）第六节压缩映射原理及其应用（领会与应用）第七节线性空间（领会与应用）第八节赋范线性空间和Banach空间（领会与应用）第二章有界线性算子和连续线性泛函教学要点:1 掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念2 掌握赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间3 掌握线性同构的概念教学时数：16学时教学内容第一节有界线性算子和连续线性泛函第二节有界线性算子空间和共轭空间第三节广义函数考核要求：第一节有界线性算子和连续线性泛函（识记、领会、应用）第二节有界线性算子空间和共轭空间（识记、领会、应用）第三节广义函数（领会）第三章内积空间和Hilbert空间教学要点:1 掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系2 每个Hilbert空间X都有完全规范正交系3 Hilbert空间X可分的充要条件是X存在一个可数的完全规范正交系教学时数：20学时教学内容：第一节内积空间的基本概念第二节投影定理第三节 Hilbert空间中的规范正交系第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函第五节自伴算子,酉算子和正常算子考核要求：第一节内积空间的基本概念（识记，领会，应用）第二节投影定理（领会，应用）第三节 Hilbert空间中的规范正交系（领会，应用）第四节 Hilbert空间上的连续线性泛函（领会，应用）第五节自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）第四章Banach空间中的基本定理教学要点:1理解Banach空间三大基本定理（1）泛函延拓定理（2）一致有界定理（3）逆算子定理2 掌握弱收敛和强收敛的概念3 理解Baie纲定理教学时数：16学时教学内容第一节泛函延拓定理第二节 C[a,b]的共轭空间第三节共轭算子第四节纲定理和一致有界定理第五节强收敛,弱收敛和一致收敛第六节逆算子定理第七节闭图象定理考核要求：第一节泛函延拓定理（领会，应用）第二节 C[a,b]的共轭空间（领会，应用）第三节共轭算子（识记，领会，应用）第四节纲定理和一致有界定理（领会，应用）第五节强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）第六节逆算子定理（领会，应用）第七节闭图象定理（领会，应用）第五章线性算子的谱教学要点:1 理解赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广2 赋范线性空间上的有界线性算子T的谱是复平面上的非空有界闭集3 用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程教学时数：8学时教学内容第一节谱的概念第二节有界线性算子谱的基本性质第三节紧集和全连续算子第四节自伴全连续算子的谱论第五节具对称核的积分方程考核要求：第一节谱的概念（识记，领会）第二节有界线性算子谱的基本性质（领会，应用）第三节紧集和全连续算子（领会，应用）第四节自伴全连续算子的谱论（领会，应用）第五节具对称核的积分方程（领会，应用）三、推荐教材和参考书目《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社《实变函数论与泛函分析概要》,王声望, 第二版，高等教育出版社《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社Introduction to Functioal Analysis,A.B.Tayor,New york Functional Analysis.Walter Rudin,New York:Mcgraw-Hill Book Com。

(t , s )
例：信号的频域表示
(t , s ) e j 2 st
X , Y 表示输入信号x(t )和输出信号y (t )的傅里叶变换; 若网络的冲激响应为h(t ) 则对基函数 (t , s ) e j 2 st的响应为
(t , s ) h(t , )e j 2 s d ,
S
t T
傅立叶变换
X ( f ) U ( f ) ( f ) 1 U( f ) X(f ) ( f )
代表什么？
u (s) x(t ) ( s t )dt ,
T
sS
例：Hilbert变换
x(t ) 1 H [ x ](s ) H [ x]( s ) dt x(t ) ds s t s t 1
7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式？
算子的特征矢量： S {x; Lx x
算子的特征值
C}
特征矢量
M n是由{i S,i=1,2,...,n}张成的空间，则 x(t ) aii (t )
i 1 n n
xMn
n
Lx(t ) ai Li (t ) ai ii (t )
T
sS
其中
u ( ) L( s, )d
S
y(t ) u (s) (t , s)ds,
S
t T
L( s, )= (t , ) ( s, t ) d dt
T
变换核函数
x (t ) u (s) y (t )
线性网络 L ( s, )
v( s )
(t , s )
数乘算子+时延算子
信号空间算子的实例:

hilbert空间上线性有界算子关系式ab-
ba≠i的一个证明
空间上的线性有界算子是指在一个Hilbert空间上，用线
性方程组来定义的算子。

这种算子常常用来表达特定的空间性质，比如它可以用来描述空间中物体的运动规律，或者表达某种程度的不变量。

本文将讨论关系式AB-BA≠I这一结论，它
表明空间上线性有界算子AB和BA不等价，这也是Hilbert空间上线性有界算子的一个重要特性。

首先，我们来看看Hilbert空间上线性有界算子的定义。

Hilbert空间上的线性有界算子是指从Hilbert空间到自身的线
性算子，它的特征是它的范数是有限的。

也就是说，它的范数是一个有界的数字，表示它的力量是有限的。

另外，它还有一个特性，即它的力量是越来越大的，但总是有一个上限，即它的范数。

现在我们来看AB-BA≠I这个结论。

由于AB是一个线性
有界算子，因此它的范数是有限的，这意味着它的力量是有限的。

另外，BA也是一个线性有界算子，它的范数也是有限的，但是它的力量可能比AB大，因为它的范数可以比AB大。

因此，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

综上所述，AB-BA≠I是空间上线性有界算子的一个重要
性质。

它表明，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

这也是Hilbert空间上线性有界算子的特性之
一，它可以帮助我们更好地理解和分析空间中的特性。

*（5）逆算子定理 ：E、E1 都是 Banach 空间，T:E E1
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价

证明 若 T 有界，由（3）式，当 xn x(n ) 时，因为 Txn Tx c xn x
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
Txn n xn
对于线性泛涵，我们还有下面的定理 定理2 设X 是赋范线性空间，f 是 X 上线性泛涵，那么 f 是X 上连续泛涵的
充要条件为 f 的零空间 ( f )是 X 中的闭子空间。
证明 设 f 是连续线性泛涵，当 xn ( f ) n 1,2,, 并且 xn x(n ) 时，由 f
的连续性，有
f
(x)
Tx c x
（3）
则称 T是 A(T )到 Y 中的有界线性算子，当 A(T) X时，称 T 为X 到 Y中的有界线性
算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。
定理1 设 T是赋范空间 X 到赋范空间 Y中的线性算子， 则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子。
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
（7）
III 有界线性算子和连续线性泛涵的例子
例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx x 是有界线性 算子，且 T a ，特别

第 1 章 泛函分析中一些概念的回顾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 线性空间和线性映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 赋范空间与内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 内积空间的标准正交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 共轭空间与共轭算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Fourier 变换及 Fourier 变换的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 第 2 章 再生核空间的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 再生核空间定义与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 再生核空间的闭子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 半内积函数空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 3 章 δ− 函 数 及 它 在 信 号 处 理 中 的 简 单 应 用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 δ − 函数的物理背景. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 δ − 函数的引入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 δ − 函数的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 关于有界变差函数的的回顾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 司帝吉斯积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 信号、冲激信号 δ (t)、 单位脉冲信号 δ (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 二元 δ − 函数与二元单位脉冲函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 一个 δ − 函数应用的例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 4 章 一个具体应用前景的再生核空间问世 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 绝对连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.2 W2 [a, b] 再生核空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.3 计算再生核空间 W2 [a, b] 的再生核 K (x, y ) 的表达式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.4 再生核空间 W2 [a, b] 的一个注记. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 其它几个常被应用的再生核空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 无穷区间上的再生核空间 W2 1 4.5.2 半轴上的再生核空间 W2 [0, ∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 具有二阶光滑度的再生核空间 W2 第 5 章 再生核在数值分析中的应用举例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 利用再生核构造最佳插值逼近算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 插值、逼近、最佳逼近简单介绍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 预备 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 再生核空间的投影与最佳插值逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

泛函分析学习心得体会院系：班别：姓名：学号：泛函分析是继实变函数论后的一门课程，是实变函数论的后继，主要涉及赋范空间，有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。

可以说数字到数字的映射产生函数，而函数到函数的映射产生泛函，因此泛函分析是一门十分抽象的课程，学起来比较吃力。

在本学期上半阶段我们主要跟邓博士学习了第一章距离空间和第二章Banach空间上的有界线性算子。

在距离空间里最主要是掌握距离空间的定义。

定义:设X是一集合，是x × x到R n的映射，满足：(1) （非负性） (x,y)≥0 且 (x,y)=0,当且仅当x=y(2) （对称性） (x,y)= (y,x)(3) （三角不等式） (x,z)≤ (x,y)+ (y,z)则称X为距离空间，记为（X, ），有时简记为X。

由距离空间可以进一步定义出线性距离空间，线性赋范空间，接着进一步研究距离空间的完备性，其中度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间之间关系弄清楚了那么本节课也就掌握了；度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间的区别与联系。

赋范线性空间一定是度量空间，反之不一定成立。

度量空间按照加法和数乘运算成为线性空间，而且度量空间中的距离如果是由范数导出的，那么这个度量空间就是赋范线性空间。

赋范线性空间与巴拿赫空间的联系与区别：完备的赋范线性空间是巴拿赫空间。

巴拿赫空间一定是赋范线性空间，反之不一定成立。

巴拿赫空间一定是度量空间，反之不一定成立。

巴拿赫空间满足度量空间的所有性质。

巴拿赫空间由范数导出距离，而且满足加法和数乘的封闭性。

满足完备性，则要求每个柯西点列都在空间中收敛。

度量空间中距离要满足三个性质：非负线性、对称性、三点不等式，因此距离 (x,y)的定义是重点。

赋范线性空间中范数要满足：非负性、正齐性、三角不等式，距离定义和范数的定义是关键。

在第一章中还有两个重要的空间，内积空间和希尔伯特空间，内积空间是特殊的线性赋范空间，而完备的内积空间被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。

泛函分析讲义张恭庆答案【篇一：《泛函分析》课程标准】>英文名称：functional analysis课程编号：407012010 适用专业：数学与应用数学学分数：4一、课程性质泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。

二、课程理念1、培育理性精神，提高数学文化素养基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。

《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。

它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。

该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。

2、良好的学习状态，提高综合解题能力本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。

学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。

《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。

需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。

为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。

3、内容由浅入深本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。

首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。

然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。

例5 设 Rn是 n 维线性空间，在 Rn中取一组基 {e1,,en}，则 对任何的 x R，nnΒιβλιοθήκη x 可以唯一的表示成x
v ev
v1
，对每一
个
nn
方阵
(t )。作Rn到
Rn
中算子
n
n
T 如下： 当 x vev 时，令 y Tx yueu
v1
1
n
其中 y t , 1,2,n. 显然这样定义的 T是线性算子， 这个算子在线性 1
但
Txn n xn
令
yn

xn n xn
n 1,2,, 则
yn
1 0(n ) ，所以 yn
n
0(n ) ，
由 T 的连续性，得到 Tyn T 0 0(n ) ，但由于 T 是线性算子，又可以得到
对一切正整数n ，成立
Tyn
T ( xn ) Txn
例2 设 P[0,1]为 [0.1]区间上的多项式全体，对每个x P[0,1] 定义 (Tx)(t) d x(t) dt
由求导运算的线性性质，立即可知 T是P[0,1] 到 P[0,1] 中的 线性算子，称为微分算子， 如果任取 t0 [0,1] ，对任何 x P[0,1] 定义 f (x) x(t0 )则 f 是P[0,1]上线性泛函。 例3 对每个 x C[a,b] ，定义
T (x y) T (x) T ( y)
T (x) T (x)
（1） （2）
则称T为 A到Y中的线性算子，其中 A称为T的定义域，记为A(T )，TA称为 T的值域，记为
R(T )，当 T取值于实（或复）域时，就称 T 为实（或复）的线性泛函。如果 T为线性算子，

例：令 X=Rn，Y=Rm，定义映射 T：X
t11 Tx t 21 tm1 t12 t 22 tm 2 t1n t2n t mn x1 x2 xn ， x
Y
x1 x2 xn
则 T 为线性算子，D(T) = X。
例：习题 1.5.6，令 X = Y = C[0，1]，如下定义
的算子 T：X
(Tu)( x )
由 L(X，Y) 中范数的定义可知
|| Tmx –Tnx || || Tm –Tn || || x ||。
由 {Tn} 是 Cauchy 列知 {Tnx} 是 Cauchy 列。
易知 T 是线性算子：
T( x y)
n
，ห้องสมุดไป่ตู้
K ， x ， y X，
y) Tn y ) lim Tn y
n
lim Tn ( x lim( Tn x
在 L(X，Y) 上赋以范数
T sup Tx
x 0
x
sup Tx
x 1
定理：(L(X，Y)，|| ||) 是 Banach 空间。其中，
X 为 B* 空间，Y 为 Banach 空间。 证明：(1) 显然 L(X，Y) 具有线性结构； (2) 直接验证可知 || || 是范数； (3) 完备性：设 {Tn} L(X，Y) 是 Cauchy 列，目
定义：设 X、Y 为 B* 空间，记 L(X，Y) 为所有
X 到 Y 的有界线性算子的集合。特别地，记 L(X) = L(X，X)，X* = L(X，K) 称为 X 的对偶。 对于 T1，T2 L(X，Y)， ， K，定义算子 x X
( T1 + T2)x = T1x + T2x，
则 L(X，Y) 构成线性空间。(和矩阵加法比较)

2
§1 有界性与连续性
让我们回顾线性算子与线性泛函的有关概念. 定义5.1 设 X和Y都是数域 F上的赋范线性
空间，T : X → Y，如果 ∀x, y ∈ X ， 有T (x + y) = Tx + Ty ，则称T是可加的. 若 ∀α ∈ F, x ∈ X ,T (α x) = αTx
则称T是齐次的.可加齐次的映线称为线性映射
空间，T : X → Y 是一个线性算子，如果T在 某一点 x° ∈ X连续，则T在X上连续.
证明 任取 xn , x ∈ X，且 xn → x，由
T的可加性知，
Txn − Tx = T (xn − x) = T (xn − x + x° ) − Tx°
由于 xn − x + x° → x°，而T在x0连续，
=
⎧
⎪ ⎨
n
⎪0
t∈[a,a+ 1] n
t∈(a+ 1,b]
⎩
n
显然 xn∈L′[a,b] ，而且 ||xn||1=∫ab|xn(t)|dt=1 .
进而有 ||Txn||1=∫ab|∫at xn(s)ds|dt
=
∫a+
a
1 n
|∫at
xn(s)ds|dt
+
∫b
a+
1
|∫at
xn(s)ds|dt
n
=∫a+1 n a
公式求已知连续函数的近似多项式.设 x∈C ⎡⎣a,b⎤⎦
在⎡⎣a,b⎤⎦内任取n个点a≤t1<t2<⋅⋅⋅<tn≤b ，作多项式
( ) ( )( ) ( ) P t t t t t t t t t ⎛ k⎜ ⎝

3.3线性有界算子3.3.1 线性有界算子的范数定义3.3.1算子空间设和是同一数域上的线性赋范空间，线性算子空间和线性有界算子空间定义为线性算子空间：线性有界算子空间：注1：下面说明是线性空间．首先零算子，即；其次，，定义“加法”和“数乘”，，；，易验证在此“加法”和“数乘”意义下，是一线性空间，从而是的子空间．定义3.3.2算子范数设，定义的范数为．注2：(1)的存在性．下证是有限值．一方面，当时，，，有，于是是数集的一个上界，可见它的上确界存在，即存在且是有限值．另一方面，若存在且是有限值，则有，即．(2)易验证满足范数的三条公理．综合(1) 、(2)可得上述定义的的范数存在且满足范数公理，故为有界算子组成的线性赋范空间，或简称为线性有界算子空间．注3：(1)设，表示依范数收敛于，即．(2)线性有界算子的范数可表示为：．可见证明，一方面，，，有．另一方面，找到，且，使得；或者找到，且，使得．例3.3.1证明积分算子：()的范数为．证明一方面对于且，即，于是．即．另一方面，取，显然，因此．故得．□例3.3.2在中引入范数，，，构成线性赋范空间，对于固定的，在上定义泛函，，．试求．证明一方面，有，所以．另一方面取向量，显然，于是，可见；同理若取时，也有以及，即，因此．故．□定理3.3.1设和是同一数域上的线性赋范空间，且是Banach空间，那么是Banach空间．证明设是中的基本列，则，，当时，有．于是，有即得是中的基本列，由于是Banach空间，所以在是中收敛，不妨设为，这样由确定唯一的，于是定义算子，．下面证明且．，，由的线性性，知，即是线性算子．由上式可得当时，，于是可知当时，从而．同时由知于是依范数．□3.3.2 算子乘法与逆算子在算子加法和数乘意义下构成线性空间，在引进算子范数后是线性赋范空间，并且当完备时，也完备，下面定义算子之间的代数结构．定义3.3.3算子乘法设是线性赋范空间，，，定义，则称为左乘以，或者右乘以．注4：例如矩阵算子，其中，可验证，令，那么显然有，下面的性质说明对算子乘法封闭．性质3.3.1设是线性赋范空间，若，那么，．证明，有于是．显然当时，，即得．□定义3.3.4 赋范代数如果在是线性赋范空间的元素之间定义了乘法，且有，则称为赋范代数．完备的赋范代数称为Banach代数．注5：显然当是线性赋范空间时，是赋范代数；当是Banach空间时，是Banach代数．为了使赋范代数中的算子书写、运算更加方便简单，特别有以下的规定：(1) 算子乘法，于是乘法满足结合律．；(2) 单位算子(恒等算子)：为，．,，有．(3) 算子多项式，，，，以及，，于是自然产生算子多项式，，显然．定义3.3.5逆算子设是线性赋范空间，，如果存在，使得，则称是可逆算子且为的逆算子，记为．定理3.3.2如果是Banach空间，若，，那么可逆，且．证明由于，所以收敛，下面证收敛，因为所以为Cauchy列，加之为Banach空间，故收敛，不妨记．由于；，故．□。

Banach空间的有界线性算子定义：E及E1都是实的线性空间，T:D⊂E→F⊂E1,IF,∀x,y∈D,T(x+y)=Tx+Ty,则T是可加的，IF∀实数α&&x∈D,有T(αx)=αTx,则T是齐次的。

可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。

T是连续的，则T为连续线性算子。

IF T将D中任一有界集映成有界集，则T是有界的，ELSE，T是无界的定理：E，E1是实赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的连续可加算子，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T有界的充要条件是∃M>0,ST,∀x∈D,||Tx||≤M||x||。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，IF T在某点x0∈D连续，则T在D连续。

E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子，则T连续的充要条件是T有界。

定义：E，E1是赋范线性空间，T是由E的子空间D到E1中的线性算子。

ST ||Tx||≤M||x||对∀x∈D都成立的整数M的下确界为T的范数，记||T||.定理：E，E1是赋范线性空间，在B(E,E1)中定义线性运算：(T1+T2)x=T1x+T2x.(αT)x=α(Tx)则B(E,E1)是一赋范线性空间。

定义：称B(E,E1)为线性算子空间，B(E)称为定义在E上的有界线性算子。

T,Tn∈B(E,E1),IF Lim||Tn-T||=0,则｛Tn｝按算子范数（一致算子拓扑）收敛于T定理：Tn,T∈B(E,E1),｛Tn｝按一致算子拓扑收敛于T的充要条件是｛Tn｝在任意有界集上一致收敛于TE1是B空间，则B(E,E1)也是B空间。

定义：T,Tn∈B(E,E1),IF∀x∈E,Lim||Tnx-Tx||=0,则｛Tn｝强（强算子拓扑）收敛于T开映射定理：有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则F=E1且∃M0>0,ST,∀y∈E1,∃x∈E,Tx=y&&||x||≤M0||Tx||推论：有界线性算子T将B空间E映射成B空间E1中的某个第二类集F,则T将E 中任何开集映成E1中的开集。