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§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
Σ_e^1型Banach空间上黎斯算子和良有界算子的性质康文山;陈秋生;苏维钢
【期刊名称】《福建师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2009()6
【摘要】证明了Σe1型Banach空间X上黎斯算子类R(X)就等于非本性算子理想In(X),从而R(X)是B(X)中亏维为1的依算子范数闭的双侧理想;给出Σe1型Banach空间上良有界算子的一些性质.
【总页数】4页(P15-18)
【关键词】Σ1e型巴拿赫空间;黎斯算子;良有界算子
【作者】康文山;陈秋生;苏维钢
【作者单位】福建师范大学数学与计算机科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Theta(t)型奇异积分算子在Banach空间值上的加权有界性 [J], 赵凯;周淑娟;马丽敏
2.B值双鞅算子的有界性及Banach空间的几何性质 [J], 翟富菊
3.一类奇异积分算子在Banach空间值Hardy空间上的有界性 [J], 韦旦
4.Σ_e^1型Banach空间上(B)型良有界算子的谱结构 [J], 曾清平;康文山;苏维钢
5.Σ_e^1型Banach空间上(B)型良有界算子的性质 [J], 陈秋生;曾清平;苏维钢
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课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。
首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。
然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。
最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。
关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。
这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。
1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。
也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。
这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。
2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。
这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。
3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。
这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。
4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。
这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。
这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。
这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。
它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。
巴拿赫空间是函数分析中的重要概念，与算子理论密切相关。
本文将从巴拿赫空间的定义和性质入手，介绍巴拿赫空间在算子理论中的应用。
首先，我们来了解一下巴拿赫空间的概念。
巴拿赫空间是一种完备的赋范空间，它的一个重要特点是任何一个柯西序列都在该空间中收敛。
一个赋范空间被称为巴拿赫空间，是指其上的每一个柯西序列都能收敛于该空间中的某个元素。
巴拿赫空间的概念最早由斯蒂凡·巴拿赫在20世纪初引入，并由此奠定了函数分析的基础。
巴拿赫空间的特性使得它在算子理论中具有广泛的应用。
其中一项重要的应用是对于线性算子的定义域的描述。
对于给定的线性算子，它的定义域可以是一个巴拿赫空间。
定义域是指使得算子在该空间中有意义的所有元素的集合。
通过巴拿赫空间的完备性质，我们可以更好地描述和研究线性算子的性质和行为。
另外，巴拿赫空间还在算子理论中的算子收敛性和算子拓扑等方面发挥着重要作用。
在巴拿赫空间上，我们可以定义不同类型的算子拓扑，如弱拓扑和强拓扑。
这些拓扑给予了巴拿赫空间上的算子收敛的不同定义，从而更好地描述了算子在巴拿赫空间中的收敛性质。
通过对拓扑的分析，我们可以得到算子序列的极限行为和收敛性质，对于算子的研究和应用具有重要意义。
最后，巴拿赫空间在算子理论中的应用还体现在函数逼近和泛函分析方面。
巴拿赫空间上的函数逼近是指通过一系列基本元素（也称为基底）来逼近一个未知函数。
通过基底的选择和逼近方法的设计，我们可以得到对于需要逼近的函数足够接近的近似函数。
这对于实际问题的求解和函数的近似具有重要意义。
泛函分析是研究巴拿赫空间上的泛函的理论和方法。
泛函是一类对于函数或者函数序列的函数，通过泛函分析，我们可以研究泛函的性质和应用，为函数的分析和求解提供更多的工具和理论支持。
综上所述，巴拿赫空间在函数分析中具有重要的地位和作用。
它的完备性质使得其在算子理论中有广泛的应用，可以描述线性算子的定义域和收敛性质。
巴拿赫空间上的算子拓扑和收敛性研究对于算子的行为和性质具有重要意义。
函数分析是现代数学的一个重要分支，它研究的是函数空间及其中函数的性质。
在函数分析中，Hilbert空间和Banach空间是两个非常重要的概念。
本文将介绍Hilbert空间和Banach空间的定义及其在函数分析中的应用。
首先，让我们来了解一下Hilbert空间。
Hilbert空间是由一个内积所赋予的完备性质的向量空间。
对于一个Hilbert空间，我们可以定义内积运算，并且该向量空间在内积的度量下是完备的，也就是说，任一柯西序列都有极限。
Hilbert空间的内积具有线性性、对称性和正定性等性质，同时满足柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。
经典的例子包括欧几里得空间，即n维实数向量空间R^n。
Hilbert空间在函数分析中有着广泛的应用。
例如，存在一个重要的表示定理，称为Reisz表示定理，它指出每一个有界线性泛函都可以用内积表示。
这个定理在函数分析的研究中起到了关键的作用，为研究函数空间中的函数提供了重要的工具。
接下来，让我们来了解一下Banach空间。
Banach空间是一个完备的赋范向量空间，也就是说该向量空间中的每一个柯西序列都有极限。
与Hilbert空间不同的是，Banach空间中没有内积结构，而是通过范数来定义空间中向量的大小。
范数具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。
经典的例子包括连续函数空间C[0,1]和Lp空间。
Banach空间在函数分析中也有着重要的应用。
特别是在函数空间的研究中，Banach空间提供了非常有力的解析工具。
例如，通过引入范数的概念，我们可以定义连续函数的收敛性和一致连续性，并研究它们的性质。
此外，Banach空间上的算子理论也是函数分析中的重要研究内容，它包括线性算子、有界算子、紧算子等的定义和性质。
总结起来，Hilbert空间和Banach空间是函数分析中两个非常重要的概念。
Hilbert空间通过内积结构提供了一种自然的度量方式，并且有着重要的表示定理。
而Banach空间则通过范数结构定义了向量的大小，并且在函数空间的研究中起到了关键作用。
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。
从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。
巴拿赫空间理论巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)⼀⼿创⽴的，数学分析中常巴拿赫空间⽤的许多空间都是巴拿赫空间及其推⼴，它们有许多重要的应⽤。
⼤多数巴拿赫空间是⽆穷维空间，可看成通常向量空间的⽆穷维推⼴。
编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是⼀种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之⼀。
数学分析各个分⽀的发展为巴拿赫空间理论的诞⽣提供了许多丰富⽽⽣动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐⼈们久已⼗分关⼼闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的⼀致收敛性。
甚⾄在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上⼀族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来⼗分成功地⽤于常微分⽅程和复变函数论中。
巴拿赫空间1909年⾥斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重⼤事件。
还有⼀个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。
在1910～1917年﹐⼈们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表⽰﹐则照亮了通往对偶理论的道路。
⼈们还把弗雷德霍姆积分⽅程理论推⼴到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算⼦的概念。
当然还该想到希尔伯特空间。
正是基于这些具体的﹑⽣动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独⽴地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成⼀部本⾝相当完美⽽⼜有着多⽅⾯应⽤的理论。
编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。
是⽤波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。
巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建⽴了其上的线性算⼦理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。
这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应⽤上都有重要价值。
哈恩巴拿赫延拓定理-回复哈恩巴拿赫延拓定理是数学中的一个重要定理，它与函数的延拓以及连续性有着密切的关系。
本文将一步一步回答关于哈恩巴拿赫延拓定理的问题，并详细介绍其背后的数学概念和证明过程。
1. 什么是哈恩巴拿赫延拓定理？哈恩巴拿赫延拓定理是泛函分析中的一个重要结果。
它描述了当一个线性有界算子在一个柯西序列上连续时，可以将其唯一地延拓为一个连续的线性有界算子。
简而言之，该定理指出，如果一个算子在一个稠密子空间上连续，那么它可以唯一地延拓到整个空间上。
2. 哈恩巴拿赫延拓定理的证明思路是什么？证明哈恩巴拿赫延拓定理的一种常见方法是通过利用泛函分析中的几何概念和技巧，如共核和共值理论，来构造一个合适的延拓算子。
具体来说，证明的思路如下：- 第一步：首先，我们要找到一个稠密子空间Y，并证明原算子T在Y上是有界的。
- 第二步：其次，我们利用复共轭空间的概念，构造一个新的空间Z，使得原算子T可以在Z上定义。
- 第三步：然后，我们利用共核理论来证明该算子在Z上的定义是合理的，并且能够延拓到整个空间上。
- 第四步：最后，我们还需要证明延拓算子的唯一性。
3. 哈恩巴拿赫延拓定理的应用场景是什么？哈恩巴拿赫延拓定理在泛函分析中有广泛的应用。
其中一个重要的应用是在集合上定义广义函数，如广义导数和广义积分。
通过利用哈恩巴拿赫延拓定理，我们可以将这些广义函数定义为线性有界算子，并使其在相应的空间上连续。
这样一来，我们就能够更加方便地进行函数的分析和运算。
4. 哈恩巴拿赫延拓定理与函数的连续性有什么关系？哈恩巴拿赫延拓定理在一定程度上与函数的连续性密切相关。
通过该定理，我们可以将一个在某个稠密子空间上连续的函数唯一地延拓为整个空间上的连续函数。
这就意味着，如果我们能够证明一个函数在某个子空间上的连续性，那么我们就可以推出它在整个空间上的连续性。
因此，哈恩巴拿赫延拓定理在研究函数的连续性和分析性质时扮演了重要的角色。
总之，哈恩巴拿赫延拓定理是数学中的一个重要定理，它描述了当一个线性有界算子在一个柯西序列上连续时，可以将其唯一地延拓为一个连续的线性有界算子。
第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子算子线性算子 非线性算子无界线性算子 有界线性算子§1 有界线性算子1.1 有界线性算子的基本概念与性质定义1.1 设E 及1E 都是实（或复的）线性空间，T 是由E 的某个子空间D 到线性空间1E 中的映射，如果对任意D y x ∈,，有()Ty Tx y x T+=+则称T 是可加的。
若对任意的实（或复）数α及任意的D x ∈，有()Tx x Tαα=则称T 是齐次的。
可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。
D 中使θ=Tx 的元素x 的集合称为T 的零空间。
设1E 是实（或复）数域，于是T 成为由D 到实（或复）数域的映射，这时称T 为泛函。
如果T 还是线性的，则称T 为线性泛函。
泛函或线性泛函常用g f ,等符号表示。
定义1.2 设E 及1E 都是实或复的赋范线性空间，D 为E 的子空间，T 为由D 到1E 中的线性算子。
如果按照第六章§2.3定义2.6，T 是连续的，则称T 为连续线性算子。
如果T 将D 中任意有界集映成1E 中的有界集，则称T 是有界线性算子。
如果存在D 中的有界集A 使得()A T 是1E 中的无界集，则称T 是无界线性算子。
例 1 将赋范线性空间E 中的每个元素x 映成x 自身的算子称为E 上的单位算子，单位算子常以I 表示.将E 中的每个元素x 映成θ的算子称为零算子.容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子.例 2 连续函数的积分()()⎰=badt t x x f是定义在连续函数空间[]b a C ,上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.定理 1.1 设E ,1E 都是实赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的连续可加算子.则T 满足齐次性，因此T 是连续线性算子.＊推论 设E ,1E 都是复赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的连续可加算子，且iTx ix T =)(，则T 满足齐次性，因此T 是连续线性算子.＊定理 1.2 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子.则T 有界的充要条件是存在0>M ，使得对一切D x ∈，有x M Tx ≤.＊＊定理1.3 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子.则下列性质等价：(i) T 连续；(ii) T 在原点θ处连续； (iii) T 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量—算子的范数.定义 1.3 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的有界线性算子.使x M Tx ≤对一切D x ∈都成立的正数M 的下确界称为T 的范数，记为T .因M 是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠∈θx D x x Tx ,: 的一个上界，因此算子T的范数T 作为所有上界M 的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，T 是上述集合的最小上界，即上确界，亦即xTx T Dx x ∈≠=θsup由此容易导出下列结论：(i) 对一切D x ∈，有x T Tx ≤. ＊(ii)Tx Tx T Dx x Dx x ∈=∈≤==11sup sup现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.例3 设()()n j i a ij .,2,1,,⋅⋅⋅=为一给定的n n ⨯方阵，ij a 均为实数，由等式∑==nj j ij i a 1ξη ()n i ,,2,1⋅⋅⋅=定义了一个由nR 到nR 的算子T ：y Tx =.它将元素()n x ξξξ,,,21⋅⋅⋅=映成元素()n y ηηη,,,21⋅⋅⋅=.在n R 中任取两个向量()()()()()2,1,,,,21=⋅⋅⋅=k x k n k k k ξξξ，由等式()()()()∑∑∑===+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+nj nj j ij j ij nj j j ij a a a 1121121ξξξξ 可知，T 是可加的，类似地可以证明T 是齐次的，因此T 是线性算子，由柯西不等式，有2112211,22112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===nj j nj i ij ni i a ξη故T 有界，因此T连续，且()212a ijT ≤.＊例 4 我们用()∞∞-,C 表示定义在()∞∞-,上有界连续函数构成的集，其中的线性运算与空间[]b a C ,的相同，在()∞∞-,C 中定义范数如下：()t y y t ∞<<∞-=sup ()()∞∞-∈,C y则()∞∞-,C 是一个巴拿赫空间.＊ 设()∞∞-∈,L x ，令()()⎰∞∞--==dt t x e s y Tx y ist: T 是定义在()∞∞-,L 上而值域包含在()∞∞-,C 中的线性算子.再由()()()()()⎰⎰∞∞-∞∞--=≤=dt t x dt t x es y s Tx ist＊可知，T 有界因而连续，且1≤T .例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近似多项式.设[]b a C x ,∈，在[]b a ,中任取n 个点，作多项式()()()()()()()()()n k k k k k k n k k kt t t t t t t t t t t t t t t t t l -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=+-+-111111其中n k ,,2,1⋅⋅⋅=.再令()()()∑===nk kkn t l t x t y x L y 1:则n L 是由[]b a C ,到其自身的有界线性算子，且范数满足()∑=≤≤=nk k bt a n t l L 1max （4）n L 的线性是明显的.今证n L 有界且等式（4）成立.令 ()∑=≤≤=nk k bt a t l 1max α那么()()()x t x t l t x x L bt a nk kkb t a n αα=≤=≤≤=≤≤∑max max 1故α≤n L （5）另一方面，由于()∑=nk k t l 1在[]b a ,上连续，故存在[]b a t ,0∈使得()∑==nk k t l 10α取[]b a x ,0∈满足：()()()n k t l t x x k k ,,2,1,sgn ,1000⋅⋅⋅===至于0x 在[]b a ,中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能超过1，并()t x 0保证在[]b a ,上连续.于是()()()()()()α===≥∑∑==nk k nk kkn n t l t l t l t x L x L 101000sgn故α≥n L （6）由不等式（5）、（6）可得等式（4）. 例 6 设()s t K ,是定义b s a b ta ≤≤≤≤,在上的连续实函数.在空间[]b a C ,上定义如下的积分算子： ()()()()()⎰==bads s x s t K t Tx t y ,则T 为[]b a C ,到其自身的有界线性算子，且范数满足()⎰≤≤=babt a ds s t K T ,max （7）显然T 是[]b a C ,到其自身的线性算子.今证T 有界且等式（7）成立.令 ()⎰≤≤=babt a ds s t K ,max α则()()()()xds s t K t x dss x s t K Tx babt a bt a babt a α=≤=⎰⎰≤≤≤≤≤≤,max max ,max故T 有界且α≤T .由于()⎰bads s t K ,是t的连续函数，故存在[]b a t ,0∈，使得()⎰=bads s t K ,0α记(){}0,:00≥=s t K s e .作函数()()()00,1,1e t nd e t nd t n +-=ϕ其中()0,e t d为t 与0e 的距离，则()t n ϕ于[]b a ,上连续，且()1≤t n ϕ.注意到0e 为闭集，()t n ϕ还有下列性质：()()()⎩⎨⎧∞→∉-→∈==n e t n e t t n 当对一切00,1,1ϕ 由勒贝格控制收敛定理，当∞→n 时，有()()()()()⎰⎰=→=ba ba n n ds s t K ds s s t K t T αϕϕ,,000于是()TT T t T n nn n ≤≤≤=∞→ϕϕϕα0lim因此α=T .若原Φ=0e ，则令(){}0,:0<=s t K s e .例 7 在连续函数空间[]1,0C 中讨论微分算子dtdT =.将在[]1,0上连续可微函数构成的集[]1,01C 作为T 的定义域，则T 是定义[]1,01C 在上，并在[]1,0C 中取值的线性算子.我们证明T 无界. 取()nt t x n sin =，则1=n x ，但∞→===n nt n nt dtd Tx n cos sin （当∞→n 时）故T 将[]1,01C 中的单位球面映成[]1,0C 中的无界集.T 无界.。
