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第三章 有界线性算子空间(续)

第三章 有界线性算子空间(续)
H * { f ; f 为H C的有界线性泛函}
定义代数运算： f f1 f 2 和 f f1 其含义是指对于 x H 和 C 都有：
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f ( x) f1 ( x)
H * 构成线性空间。
定义内积：
( f , f ) (, )*
xA x 1
由于 L sup
xA x 0
Lx x
Lx x

L
x1
x
对于 0 必 x1 A 使
Lx1 x1
x x1 L
L
改写成 L 令 x2
x1 x1
即总 x2 A ，且 x2 1使 Lx2 L
4.1 线性泛函的概念 线性泛函是线性赋范空间 A 到复数域 C 的映射，且对 x, y A 及
, K ，有
f ( x y) f ( x) f ( y)
线性泛函的性质： ①连续性：一定连续 处处连续 ②有界性：有界 连续 有界是指 x A ，有 | f ( x) | K x 对于数域，范数用| |代替。
L( x) L1 x L2 ( x) L1 ( x) L2 ( x) K1 x K 2 x K x
其中 K K1 K2 还可证明满足加法的 a、b、c、d 四条。 对于加法中的 0 元素的解释：
x A y B
L 0 是指对于 x A ，都有 Lx 0
x 0
sup Lx
xA x 1
L 的完备性定理： L 完备的充分条件是 A 完备。
定理是说：A 完备， L 一定完备。但 A 不完备， L 可能完备也可 能不完备。 证明略。

3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子

3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子
3.5 希尔伯特空间的自伴算子酉算子和 正规算子
3.5.1 自伴算子 定义3.5.1（自伴算子）设 H 为希尔伯特 空间， T：H → H 为有界线性算子，若 T 的希尔伯特伴随算子 T* 满足 T* = T ，即 有关系
< T x , y > = < x , T y > （x，y ∈ H ）
则称 T 为自伴算子或厄米特算子。
定义3.5.7（正规算子）
设பைடு நூலகம்H 为希尔伯特空间，T：H→H 是
有界线性算子，若T T* = T* T，则称 T 为
正规算子。
3.5.3 正算子
自伴算子可以比较大小：
定义3.5.8（正算子）设 H 为复希尔伯特
空间， T：H→H 为自伴算子，如果 T ≥
0，即
< T x， x > ≥ 0 任意 x ∈ H
必要条件是其乘积可交换，即有
T1 T2 = T2 T1
定理 3.5.4
设 T 为希尔伯特空间 H 的自伴算子，
I 为恒等算子，λ 为实数，则 λ I - T 也 是自伴算子。
3.5.2 酉算子和正规算子
定义3.5.5（酉算子）设 H 为希尔伯特空 间，T：H → H 是有界线性算子，若 T 是
一双射且 T* = T-1，则称 T 为酉算子。
定理3.5.2（自伴性）
设 H 为复希尔伯特空间，T 为 H 到自
身的有界线性算子，则 T 为自伴的充分必
要条件是，对任意的 x ∈ H ，< T x , x >
为实数。 证明：板书。
定理3.5.3（算子积的自伴性）
设 T1 和 T2 是希尔伯特空间 H 上的有
界自伴线性算子，则其乘积也自伴的充分

第五章 有界线性算子的谱理论

第五章 有界线性算子的谱理论
−1 −1
明显地 , 若 λ ∈ σ p ( A) ，则存 在 x ≠ 0 使得 (λI − A) x = 0 ， 此时 称
x 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征 向 量 . 称 N (λI − A) 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征
向量空 间 . 由定义还知道复平面 C =
ρ ( A) ∪ σ ( A) 并 且 ρ ( A) ∩ σ ( A) = ∅ . 另
∑a A
n=0 n
∞
∞
n
( Ao = I ) 的 收 敛 性 乃 至 算 子 函 数 f ( A) 的 解 析 性
都可以 加以 定义 . 例如 表达式
eA = ∑
n=0
∞ An A2 n +1 , sin A = ∑ (−1) n (2n + 1)! n! n =0
等 在 范 数 收 敛 意 义 下 都 代 表 Β( X ) 中 的 元 素 . 下 面 定 理 中 出 现 的 多 项 式和幂 级数 也是如 此的 . 定 理 3 (von Neumann) 设 X 是 Banach 空间 ， A ∈ Β( X ) , λ ∈ C ,
−1 −1
上 , 根据 逆 算子定 理知 A 定理 2
∈ Β( X ) .
设 Aห้องสมุดไป่ตู้ B ∈ Β( X ) .
−1 −1 −1
(1) 若 A 是正则算 子 , 则 A 是正 则算 子并且 ( A ) (2) 若 A, B 是正 则算子 ，则 AB 是正则 算子 并且
= A.
( AB) −1 = B −1 A −1 .
又由 1 =|| I || ≤ || A || || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 || B ||

3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子

3.5希尔伯特空间的自伴算子酉算子和正规算子

定义3.5.7（正规算子）
设 H 为希尔伯特空间，T：H→H 是
有界线性算子，若T T* = T* T，则称 T 为
正规算子。
3.5.3 正算子
自伴算子可以比较大小：
定义3.5.8（正算子）设 H 为复希尔伯特
空间， T：H→H 为自伴算子，如果 T ≥
0，即
< T x， x > ≥ 0 任意 x ∈ H
定理3.5.2（自伴性）
设 H 为复希尔伯特空间，T 为 H 到自
身的有界线性算子，则 T 为自伴的充分必
要条件是，对任意的 x ∈ H ，< T x , x >
为实数。 证明：板书。
定理3.5.3（算子积的自伴性）
设 T1 和 T2 是希尔伯特空间 H 上的有
界自伴线性算子，则其乘积也自伴的充分
必要条件是其乘积可交换，即有
T1 T2 = T2 T1
定理 3.5.4
设 T 为希尔伯特空间 H 的自伴算子，
I 为恒等算子，λ 为实数，则 λ I - T 也 是自伴算子。
3.5.2 酉算子和正规算子
定义3.5.5（酉算子）设 H 为希尔伯特空 间，T：H → H 是有界线性算子，若 T 是
一双射且 T* = T-1，则称 T 为酉算子。
3.5 希尔伯特空间的自伴算子酉算子和 正规算子
3.5.1 自伴算子 定义3.5.1（自伴算子）设 H 为希尔伯特 空间，子 T* 满足 T* = T ，即 有关系
< T x , y > = < x , T y > （x，y ∈ H ）
则称 T 为自伴算子或厄米特算子。
则称 T 为正算子或非负算子。
定义3.5.10（正定算子）

[理学]应用数学基础 第三章-赋范线性空间和有界线性算子

[理学]应用数学基础 第三章-赋范线性空间和有界线性算子

1.4
等价范数
如果存在正实数 a 和 b，使得对一切 xX，均有： a ||x||2 ≤ ||x||1 ≤b ||x||2 则称 ||•||1 与 ||•||2 等价
定义6：设 ||•||1 和 ||•||2 是线性空间 X 中的两个范数，
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列； 20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x； 30 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 (X, ||•||1) 为 Banach 空间 (X, ||•||2) 为 Banach 空间； 40* 有限维空间中任何两种范数都等价。
d (x,y) d ( x, y)
1.2 收敛函数与连续映射

{xn }n1 X 定义2：设 X 为赋范线性空间，
xn x0 0 ， 如果存在 x0 X ，使得 lim n
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim xn x0
n
这时也称 x0 为序列 {xn }n1 的极限。
20 并不是所有的赋范线性空间都可由内积空间按内积诱导 成空间；
例如： l p {(1 , 2 ,, n ,) i C , i } ( p 2)
i 1

p
x (1, 2 ,, n ,) l p
P x i i 1
例 2：
X C[a, b（其中范数取最大值范数），则 ]
lim xn (t ) x (t ) xn (t ) 在 [a,b]上一致收敛于x(t)。

9-5自伴算子、酉算子和正常算子

9-5自伴算子、酉算子和正常算子

由条件得
0 = Tv , v = αTx + Ty, α x + y
=| α |2 Tx , x + Ty , y +α Tx , y +α Ty , x
= α Tx , y +α Ty , x
令α
(4)
= i ，则 α = −i ，此时由（4）式 此时由（
(5)
则由（ α = 1 ，则由（4）式
*
自伴算子； 自伴算子；若 TT * = T *T ,则称 T 为 X 上的 正常算子； 的一对一映射, 正常算子；若 T 是 X 到 X 的一对一映射,且
1 上的酉算子. T * = T −，则称 T 为 X 上的酉算子.
是自伴算子时， 的定义， 当 T 是自伴算子时，由 T * 的定义， 对一切 x, y ∈ X ，有
−1
仍为酉算子. 所以 U ⋅ V 仍为酉算子. （5 ）当 n → ∞ 时，因 U n → A ， 所以
|| U n − A ||=|| U n − A ||→ 0
* *
即 U n → A , 因此 A A = limU Un = I . n→∞
* *
*
* n
AA* = I . 故 A 为酉算子.证毕. 同理可证 为酉算子.证毕.
Tx , y − Ty , x = 0
又若令
Tx , y + Ty , x = 0
(6)
将（5）式与（6）式相加,得到 Tx , y = 0 , 式与（ 式相加, 中的任意向量， 由于x, y是 X 中的任意向量，所以 T = 0 . 定理1 为复Hilbert Hilbert空间 定理1 设 T 为复Hilbert空间 X 上有界 有界线性算子， 有界线性算子，则 T 为自伴算子的充要条件 是实数. 为对一切 x ∈ X ， Tx , x 是实数. 为自伴算子, 证明 若T为自伴算子,则对所有 x ∈ X,有

有界线性算子与紧算子的关系

有界线性算子与紧算子的关系

有界线性算子与紧算子的关系
受限因需要，我们一般将有界线性算子与紧算子互相联系起来探讨。

在数学领域，有界线性算子是指在满足一定条件下，将函数变换成另一种函数的算子，而紧算子指在给定函数空间下，使空间中所有函数的范数小于等于一定的实数的算子。

显而易见，有界线性算子与紧算子有着密切的联系：有界线性算子的存在确保了算子的一致性，在紧算子的定义下，任何一个有界线性算子都是紧的；此外，紧算子的可逆性可以帮助我们推广有界线性算子的可逆性以及它们的定义范围。

通常情况下，在数学中，有界线性算子由一组线性映射组成，它们可以将某一
段空间里的函数变换成另一个，而紧算子是指那些使空间中函数满足有界性范数的算子。

我们可以用另一种方式来理解：在数学中，有界线性算子是指采用有界性范数定义并容纳所有有界的映射的数学表达的算子；而紧算子则是采用有界性范数定义的映射，使得它们能够满足我们对有界性范数的要求。

因为有界线性算子和紧算子之间存在复杂的联系，因此，如果我们想更深入地
探究有界线性算子和紧算子之间的联系，就需要涉及到复杂的数学证明过程。

比如：我们可以使用拉格朗日中值定理与裂项定理来证明紧算子有界线性算子之间的联系，使它们能够满足有界线性算子的要求；我们还可以使用泰勒展开式与矩阵的运算来研究紧算子的特性。

总之，有界线性算子与紧算子形成了一种博弈的关系，在数学上，它们以有界
性范数作为基础，并满足一定的数学要求，从而确保了紧性对有界线性算子的一致性。

如果我们想更深入地了解它们之间的联系，就需要掌握复杂的数学证明方法，比如拉格朗日中值定理、裂项定理、泰勒展开式等等。

4 有界线性算子与线性算子的基本定理g

4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
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第6页 页 3 有界线性算子的范数 定义2 是线性赋范空间， ⊂ 是线性子空间 是线性子空间, 是有界线性算子, 定义 设X,Y是线性赋范空间，D⊂X是线性子空间 T: D→Y是有界线性算子,则称 是线性赋范空间 → 是有界线性算子 ||T||=inf { M | ||Tx||Y ≤ M||x||X, ∀x∈D} 为算子 的范数 为算子T的 ∈ 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定理2 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是 定理 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是 有界线性算子， 的范数具有下列性质： 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： 的范数具有下列性质 (1)||Tx||≤||T|| ||x||,∀x∈D(即||T||是有界线性算子 的最小界值定义） ≤ 是有界线性算子T的最小界值定义 (1) ∀ ∈ ( 是有界线性算子 的最小界值定义） (2) 证 ⇒ ⇒ ⇒
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第2页 页
一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定义1 设X是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,映射 D→Y. 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 映射T: → . T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子⇔∀x 是线性算子⇔∀ 及数 , (1) 是线性算子⇔∀ 1, x2∈D及数α∈K,有 T(αx)=αTx (2)T是连续算子⇔∀x ∈ (2) 是连续算子⇔∀ n, x∈D,n=1,2,…, xn→x, 有Txn→Tx 是连续算子⇔∀ ⇔∀x,x ⇔∀ 0∈D, x→x0, 有Tx→Tx0;⇔T在D上处处连续 → → 在 上处处连续 (3)T是有界算子⇔∀x∈ (3) 是有界算子⇔∀ ∈D, ∃M>0, 使||Tx||≤M||x||X 是有界算子⇔∀ , ≤ (4)T是有界线性算子⇔ 既是有界算子 既是有界算子, (4) 是有界线性算子⇔T既是有界算子,又是线性算子 是有界线性算子 (5)T是连续线性算子⇔ 既是连续算子, (5) 是连续线性算子⇔T 既是连续算子,又是线性算子 是连续线性算子 定义中, 算子 的定义域; 算子T 算子T的界值 的界值;T(D)={Tx|x∈D}- 算子 的值域 算子T的值域 注:1)定义中,D -算子T的定义域 M -算子 的界值 定义中 ∈ 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x ）有界算子与有界函数不同, 有界算子: 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|

有界线性算子和连续线性泛函.ppt

有界线性算子和连续线性泛函.ppt
证明 若 T 有界，由（3）式，当 xn x(n ) 时，因为 Txn Tx c xn x
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
Txn n xn
对于线性泛涵，我们还有下面的定理 定理2 设X 是赋范线性空间，f 是 X 上线性泛涵，那么 f 是X 上连续泛涵的
充要条件为 f 的零空间 ( f )是 X 中的闭子空间。
证明 设 f 是连续线性泛涵，当 xn ( f ) n 1,2,, 并且 xn x(n ) 时，由 f
的连续性，有
f
(x)
Tx c x
（3）
则称 T是 A(T )到 Y 中的有界线性算子，当 A(T) X时，称 T 为X 到 Y中的有界线性
算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。
定理1 设 T是赋范空间 X 到赋范空间 Y中的线性算子， 则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子。
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
（7）
III 有界线性算子和连续线性泛涵的例子
例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx x 是有界线性 算子，且 T a ，特别

4.1有界线性算子

4.1有界线性算子

4.1有界线性算⼦第4章线性算⼦与线性泛函4.1 有界线性算⼦4.1.1 线性算⼦与线性泛函算⼦概念起源于运算。

例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平⾯上的向量绕坐标原点旋转⼀个⾓度等等。

在泛函分析中，通常把映射称为算⼦，⽽取值于实数域或复数域的算⼦也称为泛函数，简称为泛函。

本章着重考察赋范线性空间上的线性算⼦，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分⽅程论、积分⽅程论中⼤量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。

它是线性泛函分析研究的重要对象。

关于线性算⼦的理论不仅在数学的许多分⽀中有很好的应⽤，同时也是量⼦物理的数学基础之⼀。

中国物理学界习惯上把算⼦称为算符。

定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性⼦空间，:T D Y →是⼀个映射.对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ?∈及数,αβ∈F , 有()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)则称T 是线性算⼦.称D 是T 的定义域，记为()T D ;称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .取值为实数或复数的线性算⼦T （即：()T ?F R , 1=F R 或1C ）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。

注今后所讨论的算⼦（泛函）都是线性算⼦（线性泛函）。

例4.1.1 设1[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义d()()()d Tx t x t t=, 则T 是X 到Y 的线性算⼦。

例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ?上的⼆元连续函数，定义()()(,)()d baTx t K t s x s s =?,则T 是X 到X 的线性算⼦。

第5讲(4)有界线性算子

第5讲(4)有界线性算子
2
§1 有界性与连续性
让我们回顾线性算子与线性泛函的有关概念. 定义5.1 设 X和Y都是数域 F上的赋范线性
空间，T : X → Y，如果 ∀x, y ∈ X ， 有T (x + y) = Tx + Ty ，则称T是可加的. 若 ∀α ∈ F, x ∈ X ,T (α x) = αTx
则称T是齐次的.可加齐次的映线称为线性映射
空间，T : X → Y 是一个线性算子，如果T在 某一点 x° ∈ X连续，则T在X上连续.
证明 任取 xn , x ∈ X，且 xn → x，由
T的可加性知，
Txn − Tx = T (xn − x) = T (xn − x + x° ) − Tx°
由于 xn − x + x° → x°，而T在x0连续，
=
⎧
⎪ ⎨
n
⎪0
t∈[a,a+ 1] n
t∈(a+ 1,b]
⎩
n
显然 xn∈L′[a,b] ，而且 ||xn||1=∫ab|xn(t)|dt=1 .
进而有 ||Txn||1=∫ab|∫at xn(s)ds|dt
=
∫a+
a
1 n
|∫at
xn(s)ds|dt
+
∫b
a+
1
|∫at
xn(s)ds|dt
n
=∫a+1 n a
公式求已知连续函数的近似多项式.设 x∈C ⎡⎣a,b⎤⎦
在⎡⎣a,b⎤⎦内任取n个点a≤t1<t2<⋅⋅⋅<tn≤b ，作多项式
( ) ( )( ) ( ) P t t t t t t t t t ⎛ k⎜ ⎝

9-5自伴算子、酉算子与正常算子

9-5自伴算子、酉算子与正常算子
（2） 由（1）立即可得.
（3） 因U 为一一到上,故U 1也一一到上， 并且由于 (U 1)* U ** U (U 1)1，所以 U 1仍为酉算子.
（4） 因U 及V 为酉算子，故为一一到上 映射，所以 U V 仍为一一到上映射，且
(U V )* V * U * V 1 U 1 (U V )1
（2） 当 X {0} 时，||U ||1 ； （3） U 1 是酉算子； （4） UV 是酉算子； （5） 若 Un , n 1, 2, 是 X 上一列酉算子， 且{Un} 收敛于有界算子 A，则 A也为酉算子.
U
证明 （1）由酉算子定义,有
||Ux ||2 Ux,Ux x,U*Ux x, x || x ||2
lim
n
Tn*
T*
，
但 Tn 自伴，故
lim
n
Tn*

T
，因此由极限的唯
一性，有 T* T .证毕.
上述三个定理是研究自伴算子,特别是 研究自伴算子谱理论的基础.
定理4 设U 及V 是Hilbert空间 X上两个
酉算子，则
（1） U是保范算子,即对任意 x X ，有
||U x |||| x || ;
所以 U V 仍为酉算子.
（5）当 n 时，因 Un A ，
所以
||
U
* n

A*
|||| Un

A
||
0
即
U
* n

A*
,
因此
A* A

limU
n
n*U n

I
.
同理可证 AA* I . 故 A 为酉算子.证毕.

伴随算子的求解与实例

伴随算子的求解与实例

伴随算子的求解与实例作者：赵书改来源：《科技风》2017年第18期摘要：通过对伴随算子的定义、性质的研究，指出计算伴随算子的一般方法，并给出计算伴随算子的实例。

关键词：伴随算子；积分算子；傅里叶算子；移位算子中图分类号：O172.2伴随算子是泛函分析的重要组成部分，伴随算子的计算是其中的难点。

文献[12]研究了伴随算子的性质，伴随算子的谱理论等，但关于伴随算子的计算实例并不多。

鉴于此，本文将探讨计算伴随算子的方法并给出一些实例。

1 预备知识定义1 设X，Y是两个希尔伯特空间，T是从X到Y中的有界线性算子。

如果存在从Y 到X中的有界线性算子T*，使得对任意x∈X，y∈Y，都有〈Tx，y〉=〈x，T*y〉，则称T*为T的伴随算子。

一般情况下，可以利用定义计算伴随算子。

给出有界线性算子T后，从形式〈Tx，y〉出发，利用内积的定义或者性质把它转化为形式〈x，T*y〉，就可以得到T*。

性质1[3] 设X，Y是两个希尔伯特空间，T是从X到Y中的有界线性算子，T*为T的伴随算子，则（1）T*是唯一的；（2）（A+B）*=A*+B*；（3）（αT）*=αT*；（4）（T*）*=T；（5）T*T=TT*=T=T*；（6）当X=Y时，（AB）*=B*A*。

伴随算子的性质也可帮助计算某些伴随算子。

2 例子例1 设X为Hilbert空间，T为X上的相似算子，即T=αI，求T*。

解：因为对任意的x，y∈X，有〈Tx，y〉=〈αx，y〉=α〈x，y〉=〈x，αy〉，所以T*=αI。

注：特殊地，O*=O，I*=I。

例2 设Cn为复欧式空间，A=aij为Cn上的矩阵算子，即对任意的x=（x1，x2，…，xn）∈X，Ax=（∑nj=1a1jxj，∑nj=1a2jxj，…，∑nj=1anjxj），求T*。

解：因为对任意的x=（x1，x2，…，xn），y=y1，y2，…，yn∈Cn，有〈Ax，y〉=∑ni=1∑nj=1aijxjyi=∑nj=1xi∑ni=1aijyi=〈x，ajiy〉，所以T*=aji。

4 有界线性算子与线性算子的基本定理g

4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
注:当 =1时,T为恒等算子I,||I||=1； 当 = 0时, 称T为零算子
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例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
第8页
事实上，T 显然是线性算子
可以证明
T是有界算子,且 因此
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注:1)定义中,D -算子T的定义域; M -算子T的界值;T(D)={Tx|xD}- 算子T的值域 无界函数
2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
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3页
2 有界线性算子的性质 定理1 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是线性算子,则
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且 事实上，T 显然是线性算子
第9页
T是有界算子,且 可以证明 因此
注:乘法算子T: L2[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
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例4 积分算子T: C[a,b]C[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a
故T是有界算子,且||T||1. 另一方面, 取
故T是有界线性算子,且 ||T||=1.
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第13页 例7 Fredholm算子(以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]C[a,b]
也是有界线性算子,且 事实上，T显然是线性算子,且对x=x(t)C[a,b], 有
T(x1+x2)=Tx1+Tx2

物理学中的伴随算子及其计算方法

物理学中的伴随算子及其计算方法

物理学中的伴随算子及其计算方法伴随算子是物理学中一个非常重要的概念，它在哈密顿力学、量子场论、相对论等领域中都扮演着重要的角色。

伴随算子是一种将函数映射到函数的线性算子，它可以用于求解各种物理问题。

本文将介绍伴随算子的定义、性质以及计算方法。

一、伴随算子的定义在物理学中，伴随算子是一种将一个函数映射到另一个函数的线性算子。

具体地说，如果有两个函数f(x)和g(x)，并且有一个算子A，使得A(f(x))=g(x)，那么我们称A是f(x)的伴随算子。

简而言之，伴随算子就是一个线性算子，它可以将一个函数映射到另一个函数，并且该函数和原来的函数之间存在特定的关系。

二、伴随算子的性质伴随算子有很多重要的性质，其中最基本的是它的线性性。

也就是说，对于任意的函数f(x)和g(x)，以及任何标量a和b，都有：A(af(x)+bg(x))=aA(f(x))+bA(g(x))此外，伴随算子还满足以下两个重要的性质：1. 内积性质：对于任意的两个函数f(x)和g(x)，有：∫f(x)A(g(x))dx = ∫g(x)A*(f(x))dx其中，A*表示A的伴随算子。

2. 自伴随性质：如果一个线性算子A的伴随算子也是它本身，即A=A*，那么我们称A是自伴随的。

三、伴随算子的计算方法计算伴随算子是一项重要的任务，它可以帮助我们解决很多物理问题。

下面我们将介绍如何计算伴随算子。

1. 基本方法：对于一个线性算子A，其伴随算子A*可以通过以下公式计算：∫f(x)A(g(x))dx = ∫g(x)A*(f(x))dx其中f(x)和g(x)是任意给定的两个函数。

这个公式可以用于计算A的伴随算子A*。

2. 自伴随算子：如果一个线性算子A是自伴随的，即A=A*，那么我们可以直接求解A的伴随算子，方法如下：a) 将A表示为一个微分算子或者积分算子的形式；b) 反转微分或者积分算子中的所有系数；c) 将反转后的系数代入原来的微分或者积分算子中得到伴随算子。

伴随矩阵和伴随算子的关系

伴随矩阵和伴随算子的关系

伴随矩阵和伴随算子的关系伴随矩阵和伴随算子在线性代数中是两个重要概念。

伴随矩阵和伴随算子之间存在着密切的联系和相互补充的关系。

本文将以伴随矩阵和伴随算子的关系为主题，以一步一步的方式回答相关问题。

首先，我们需要了解伴随矩阵和伴随算子的定义。

在矩阵的定义中，伴随矩阵是指对于一个n阶方阵A，其伴随矩阵A*是一个n阶方阵，其中每个元素都等于原矩阵A的代数余子式的转置。

也就是说，A*的第i行第j 列元素等于矩阵A的第j行第i列元素的代数余子式。

在线性代数的定义中，伴随算子是指对于一个线性算子T: V -> V（V是一个n维线性空间），其伴随算子T*是一个从V到V的线性算子，满足对于任意的向量x和向量y，都有内积的性质：(Tx, y) = (x, T*y)，其中内积（·, ·）表示内积空间中的两个向量的内积运算。

接下来，我们将逐步回答伴随矩阵和伴随算子之间的关系。

1. 伴随矩阵与线性算子之间的关系首先，我们考虑伴随矩阵与线性算子之间的关系。

设线性算子T: V -> V表示为矩阵A，其中V是一个n维线性空间。

如果我们选择V的一组基，则A表示为这组基对应的线性变换矩阵。

现在，我们来看伴随算子T*与矩阵A*之间的关系。

2. 伴随算子与伴随矩阵之间的关系对于线性算子T: V -> V及其对应的矩阵A，我们将伴随算子T*表示为矩阵B。

由于伴随算子的定义，我们可以得到以下关系：对于任意的向量x和向量y，都有内积的性质：(Tx, y) = (x, T*y)。

同时，对应到矩阵的表示形式就是：(Ax, y) = (x, A*y)。

这说明矩阵A与其伴随矩阵A*之间存在着某种特殊的关系。

3. 伴随矩阵和伴随算子的推导我们来详细推导伴随矩阵和伴随算子之间的关系。

首先，我们假设向量x和向量y都是n维列向量，且线性算子T表示为矩阵A，伴随算子T*表示为矩阵B。

根据内积的性质，我们可以得到以下等式：(Ax, y) = (x, A*y)扩展开来，我们可以得到：(Ax)T y = xT (A*y)由于矩阵乘法满足结合律，我们可以得到：xT A T y = xT A*y由于这对于任意的向量x和向量y都成立，所以我们可以得到：AT = A*4. 伴随矩阵和伴随算子的性质伴随矩阵和伴随算子具有以下性质：（1）伴随矩阵和伴随算子都是原线性算子的共轭（conjugate）。

算子-ωL及lL与伴随的关系

算子-ωL及lL与伴随的关系

算子-ωL及lL与伴随的关系
王秀萍;孟晗;孟广武
【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(20)1
【摘要】研究了拓扑空间中的算子-ωL及算子lL与Galois伴随的关系,并给出了另外两个伴随的特征,同时提供了几个典型的伴随的实例.
【总页数】2页(P25-26)
【作者】王秀萍;孟晗;孟广武
【作者单位】聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059;聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059;聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059
【正文语种】中文
【中图分类】O153;O189
【相关文献】
1.下有界线性算子与其伴随算子的关系 [J], 李琳
2.素内部算子和素闭包算子与伴随的关系 [J], 徐款款;卢涛
3.下有界线性算子与其伴随算子的关系 [J], 李琳;
4.素内部算子和素闭包算子与伴随的关系 [J], 徐款款;卢涛;
5.下有界线性算子与其伴随算子的关系 [J], 李琳;
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（下转第36页）（上接第10页）
因此y∈D（T*），T*y=z，所以z∈R（T*），即∈R（T*）=X，结论证毕。
【参考文献】
[1]张鸿庆.阿拉坦仓：一类偏微分方程的无穷维Hamilton正则表示.力学学报，1999，31（3）：347–357
[2]黄俊杰.阿拉坦仓：无穷维Hamilton算子的普及相关问题研究.数学进展，2008，38（2）：129–146
定义1.X，Y是Banach空间，T：D（T）X→Y是稠定线性算子，令T'y'=■，其中D（T'）={y'∈Y'：T是D（T）上的有界线性泛函}，称T'是T在Banach空间的伴随算子。
定义2.X是Hilbert空间，T：D（T）X→Y是X中稠定线性算子，令T*y=z，其中D（T*）={y∈X：存在z∈X，使得任意x∈D（T），（Tx，y）=（x，z）}，
并且‖f‖=‖y■‖。设σ（f）=y■，则σ（f）是定义在全空间H*上的双射，且共轭线性同构，即σ（αf+■g）=■■（f）+■σ（g），其中α，β∈C。
证明：证明略，见Weidmann《Hilbert空间的线性算子》P61 Th4.8。
定理3.X，Y是Banach空间，T：D（T）X→Y是稠定线性算子，y'∈Y'，若y'·T在D（T）上有界，则y'·T在X上存在唯一的有界泛函■。
下有界线性算子与其伴随算子的关系
作者：李琳
来源：《文理导航》2018年第11期
【摘要】研究了Banach空间线性算子的伴随算子与Hilbert空间的伴随算子的关系，利用Riesz表示定理给出了无界线性算子是下有界的充要条件。
【关键词】下有界；伴随算子
在数学物理中，很多实际问题都转化成无穷维Hamilton系统，如流体力学、弹性力学、电磁学以及量子力学等数学物理问题。进而应用变分法使无穷维Hamilton系统导出无穷维Hamilton算子。对于无穷维Hamilton算子的研究，国内外很多学者做了大量工作，其中有一种方法是通过其伴随算子来求解无穷维Hamilton系统方程，无穷维Hamilton算子一般情况下是非自伴算子，非自伴算子谱理论的研究还处于初级阶段，没有形成完善的理论结构。而且，无穷维Hamilton算子的谱比自伴算子、u-标算子、积分算子等几类非自伴算子的谱要复杂的多，因为无穷维Hamilton算子可能存在连续谱、剩余谱。因此，無穷维Hamilton算子谱理论研究已经成为泛函分析、弹性力学、电磁学及应用力学中比较活跃的分支学科，引起越来越多的学者的关注。
因为R（T*）=X，所以∨f∈X*，y∈D（T*），使得
f（x■）=（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。
由一致有界原理知{‖x■‖}有界，这与x■→∞矛盾，所以T下方有界。
充分性：∨z∈X，则有引理2知存在唯一f∈X*，使得f（x）=（x，z）。
当x∈D（T）时，记Tx=u，则
x=T■U，f（X）=F（T■（u））。
由于T■，f有界，所以f（T■）是R（T）上的有界线性泛函，
因此由Hahn-Banach定理知f（T■）可延拓到X上■，且‖■‖=‖f（T■）‖。
由引理3知y∈X，g∈X*，使
■（u）=g（u）=（u，y），
从而当u∈R（T）时，
（x，z）=f（x）=f（T■u）=■（u）=g（u）=（u，y）=（Tx，y），
因此F有界，且‖F‖≤‖y'·T‖。
∨x∈D（T），有‖y'·T（x）‖=F（x）≤‖F‖·‖x‖，‖y'·T‖≤‖F‖，所以‖y'·T‖=‖F‖。
下面证明F是唯一的：
设S是D（S）X上的有界线性泛函，且S（x）=y'·T（x），则∨x∈X，{x■} D（T），
使x■→x，且S（x）=limS（x■）=limy'·T（x■）=F（x）。
因此S=F，即F是唯一的，结论证毕。
定理4.X是Hilbert空间，T是X中的稠定线性算子，T*是T的伴随算子，则R（T*）=XR（T*）当且仅当T下方有界。
证明：必要性：假设T不是下方有界，由引理1知，
{x■} D（T），使得∨y∈D（T*），有‖x■‖→∞，T（x■）→0，
则（x■，T*y）=（Tx■，y）→0。
称T*是T在Hilbert空间的伴随算子。
定义3.X是Hilbert空间，T：D（T）X→Y是X中稠定线性算子，存在m>0，使得‖Tx‖≥m‖x‖，∨x∈D（T），则称T是下有界算子。
引理1.X是Banach空间（或Hilbert空间），T是X中的稠定线性算子，若T不是下方有界，则存在{x■} D（T），使得‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。
证明：∨x∈X，由于T稠定，因此{x■} D（T），使得x■→X。因为y'·T在D（T）上有界，所以‖y'·T（x■）-y'·T（x■）‖≤‖y'·T‖·‖x■-x■‖，因此{y'·T（x■）}是Cauchy列，记y'·T（x■）→a。
令F（x）=a，则F是X上的线性泛函，
F（x）=limy'·T（x■）≤‖y'·T‖·‖x‖，
[3]吴国林.阿拉坦仓：一类无穷维Hamilton算子的普.内蒙古大学学报：自然科学版，2007，389（3）：1247–251
[4]吴德玉.阿拉坦仓：无穷维Hamilton算子特征函数系的Cauchy主值意义下的完备性.中国科学A辑：数学，2008，38（8）：904-912
实际应用中，下方有界算子出现在很多实际问题中，如流体力学、弹性力学、电磁学以及量子力学等数学物理问题。我们知道这些问题可以导出无穷维Hamilton系统，与此对应的算子矩阵就是Hamilton算子矩阵，而这些算子中有很多是下方有界算子。我们知道，线性算子的预解集主要考虑本身的下有界性，通过下有界得到线性算子的谱的相关结论。因此，下有界性是线性算子非常重要的性质.在本文，我们给出Banach空间及Hilbert空间无界线性算子的伴随算子的概念，应用Riesz表示定理证明了下有界线性算子和伴随算子之间的关系。
证明：由于T不是下方有界，因此存在{u■} D（T），且‖x■‖=1，使得‖Tu■‖→0。■，Tu■≠0，
nu■，tu=0■
则‖x■‖→∞，‖Tx■‖→0。
引理2.（Riesz表示定理）设H是Hilbert空间，f是H上定义的有界线性泛函，则存在唯一的y■∈H，使得f（x）=（x，y■），∨■∈H，