随机向量数字特征4-4

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）：

若一个随机变量X只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)PXxpPXxpp，

则称X服从12,xx处参数为p的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)PXxpPXxpp

两点分布的期望：()EXp；两点分布的方差：()(1)DXpp

（2）二项分布：

若一个随机变量X的概率分布由式 {}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn

给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)).

两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.kknknPxkCppkn

二项分布的期望：()EXnp；二项分布的方差：()(1)DXnpp

（3）泊松分布：

若一个随机变量X的概率分布为{},0,0,1,2,...!kPXkekk，则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P ()

泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kPXkekk

泊松分布的期望：()EX；泊松分布的方差：()DX

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数()fx，使得对于任意实数x，有(){}()xFxPXxftdt，则称X为连续型随机变量，称()fx为X的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布：

（1）均匀分布： 若连续型随机变量X的概率密度为其它,0,1)(bxaabxf，则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：其它,0,1)(bxaabxf

1 概率统计复习知识点汇总

第一章

1.概率的性质、加法公式、乘法公式及其相互之间的性质和运算。

复习例题

1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，那么P(BA)=______,P(BA)=______.

2)已知P(A)=0.5 ,P(B)=0.6 ,P(AB)=0.4求下列概率：(1)P(BA) (2)P(A|B)

3)设P（A）=0.5，P（AB）=0.4，则P（B|A）=___________.

4)已知事件A，B相互独立，且P（A）>0，P(B)>0，则下列等式成立的是（ ）

A．P(AB)=P(A)+P(B) B．P(AB)=1－P（A）P（B）

C．P(AB)=P(A)P(B) D．P(AB)=1

5)设A与B互为对立事件，且P（A）>0，P（B）>0，则下列各式中错误．．的是（ ）

A．0)|(BAP B．P（B|A）=0

C．P（AB）=0 D．P（A∪B）=1

2.古典概型、全概率公式、贝叶斯公式的相关计算

1）将一颗骰子掷三次，求掷出的点数都不同的概率

2）若1，2，3，4，5号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为_______________.

3）从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：

（1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数；

（3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。

解 设A表示事件“三位数是奇数”， B表示事件“三位数为5的倍数”，

C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。

基本事件总数为 35AV，

(1) 6.060363)(,3352424AAAPAVA；

(2) 2.060121)(,1352424AABPAVB；

-

- . - 总结资料- 第一章：

多元统计分析研究的容（5点）

1、简化数据结构（主成分分析）

2、分类与判别（聚类分析、判别分析）

3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析）

4、多维数据的统计推断

5、多元统计分析的理论基础

第二三章：

二、多维随机变量的数字特征

1、随机向量的数字特征

随机向量X均值向量：

随机向量X与Y的协方差矩阵：

当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。

随机向量X与Y的相关系数矩阵：

2、均值向量协方差矩阵的性质

(1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵

E（AX）=AE（X）；

E（AXB）=AE（X）B;

D(AX)=AD(X)A’;

Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B’; )',...,,(),,,(2121PpEXEXEXEX)')((),cov(EYYEXXEYXqpijrYX)(),( -

- . - 总结资料- (2).若X，Y独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立．

(3).X的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板

三、多元正态分布的参数估计

2、多元正态分布的性质

(1).若 ,则E(X)= ,D(X)= .

1 第三章 多元正态分布

多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。

第一节 一元统计分析中的有关概念

多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。

一、随机变量及概率分布函数

（一）随机变量

随机变量是随机事件的数量表现，可用X、Y等表示。随机变量X有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X取某个值或X在某个区间取值的概率。

(二)随机变量的概率分布函数

随机变量X的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为：

)()(xXPxF

随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。

1、离散型随机变量的概率分布

若随机变量X在有限个或可列个值上取值，则称X为离散型随机变量。

设X为离散型随机变量，可能取值为1x，2x，…，取这些值的概率分别为1p，2p，…，记为

kkpxXP)(（,2,1k）

称kkpxXP)(（,2,1k）为离散型随机变量X的概率分布。

离散型随机变量的概率分布具有两个性质：

（1）0kp，,2,1k

（2）11kkp

2、连续型随机变量的概率分布

若随机变量X的分布函数可以表示为

dttfxFx)()(

对一切Rx都成立，则称X为连续型随机变量，称)(xf为X的概率分布密度函数，简 2 称为概率密度或密度函数。

连续型随机变量的概率密度函数具有两个性质：