下载文档原格式
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
2.1. 随机过程的描述1. 随机过程的概念随机过程：考察各测量样本固定时刻0t t =在0t 时刻的值)(01t x ，)(02t x ，……，)(0t x n 构成随机变量，具有自身的概率特性，记为)(0t X 。
在数学上把所有已经得到的和未得到的而可能发生的样本总体)}({0t x i (t=1,2,3,……)称为随机过程，记为)(t X 。
随机过程具有双向无穷特征，即在时间轴上无穷，又在样本数上无穷。
2. 随机过程的统计规律(1). 一维概率分布特征设一随机变量)(t X 在某一时刻i t 的随机变量)(i t X 的取值小于等于给定值x ()(t X x ∈),这一事件发生的概率定义为：])([Pr );(1x t X ob t x F i i ≤=,)(t X x ∈)(t X 的一维概率密度函数);(1i t x f 定义为);(1i t x F 对x 的一阶偏导数，即：xt x F t x f i i ∂∂=);();(11 (2). 多维概率分布特征 二维概率分布特征随机过程)(t X 在i t 时刻的随机变量i i x t X ≤)(；而且在j t 时刻的随机变量j j x t X ≤)(，这两件事同时发生的概率定义为二维概率分布特征：])(,)([Pr ),;,(2j j i i j i j i x t X x t X ob t t x x F ≤≤=二维概率密度函数为对j i x x ,的二阶偏导数，即：j i j i j i j i j i x x t t x x F t t x x f ∂∂∂=),;,(),;,(222三维、四维，……直至n 维可以以此类推实际应用中，要确定随机过程的各维概率分布函数及密度函数非常困难3. 随机过程的统计特征量(1). 均值)(t m x也就是随机过程的数学期望吗，度量过程随机变动的平均值dx t x xf t X E t m i x ⎰∞∞-==);()]([)(1 由于)(t X 在不同时刻的一维概率密度函数);(1t x f 是对时间t 的函数，故均值)(t m x 亦随时间而变。
第三节 随机过程的数字特征定义6.3.1 设随机过程}),({T t t ∈ξ的一维分布函数为，我们称);(x t F ());()]([x t dF x t E t ∫+∞∞−==ξµξ()()∫+∞∞−−==);(][)]([22x t dF t x t D t ξξµξσ分别为随机过程}),({T t t ∈ξ的均值函数和方差函数。
对离散型的随机过程，其均值函数和方差函数分别为：()()∑===ni i i t p x t E t 1)]([ξµξ()()()()t p t x t t E t D t i ni i 2122][])([)]([ξξξµµξξσ∑=−=−==其中：()n i x t P t p i i ,,1},)({"===ξ对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：()dx x t xf t E t ∫+∞∞−==);()]([ξµξ()()()∫+∞∞−−=−==dx x t f t x t t E t D t );(][])([)]([222ξξξµµξξσ均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的摆动中心。
方差函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的关于()t ξµ的平均偏离程度。
但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。
定义6.3.2 设随机过程}T t ),t ({∈ξ的二维分布函数为，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：),;,(2121x x t t F)x ,x ;t,t (dF x x )]t ()t ([E )t ,t (R 2121212121∫∫+∞∞−+∞∞−==ξξξ T t t ∈21,()[][])t ()t (t )t (E )t ,t (C 221121ξξξµξµξ−−=且：)t ()t ()t ,t (R )t ,t (C 212121ξξξξµµ−=若令，则t t t ==21()t t t R t t C 2),(),(ξξξµ−==D ξ(t )=2ξσ由此可以看出：均值函数()t ξµ和相关函数是最基本的数字特征，协方差函数和方差函数可以由它们确定。
