随机过程的统计特性—数字特征

随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。

例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。

协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。

复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。

下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。

一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。

例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。

二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。

例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。

例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。

求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。

解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。

10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。

P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。

2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。

例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。

解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。

通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。

第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。

③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。

2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。

1.调制解调器的功能是通过数据传输网络发送或者接收模拟或数字信号。

3.方差σ2(t)表示随机过程在时刻t对于数学期望值a(t)的偏离程度，一般是时间函数。

4.如果将一个高斯过程加到一个线形网络上，则其输出端的随机过程是_高斯过程_。

6.在正交调幅（QAM）中，载波信号的_幅度和相位被改变。

7.码的检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。

8.对线性分组码，如果找到了码的生成矩阵，那么编码方法就完全确定了。

10.一个完整的DTE/DCE接口标准应包括四个特性，其中_电气特性_规定了DTE/DCE之间多条连线的连接方式、适用元件、传输速率以及阻抗等。

11.电路交换和分组交换，实时性较好的是分组交换_。

12.利用现有公用电话网进行数据传输的优点是_最简单，附加设备少、投资少、见效快和使用方便等。

14.运输层又称传送层，负责整个消息无差错的传递过程，它实现用户的端到端或进程之间的信息控制和信息交换_。

15.在我国现有的数据网中，_CHINAEDI提供了电子数据交换业务；__CHINAFAX__提供了新型的传真通信业务；__CHINAMAIL_提供了电子邮件功能；_CHINAFRN提供了便携终端用户间的通信；_CHINANET_是国际因特网在中国的延伸。

3.在异步传输通信中，为可靠传送一个汉字(2个字节)，采用无校验方式，停止信号长度为一个码元。

那么，其传输效率为80%_。

4.散弹噪声的平均值为零，幅度的概率密度函数为高斯或正态_分布。

5.为了反映随机过程不同时刻之间的内在统计特性，采用方差或协方差函数和相关函数R(t1,t2)。

7.在2PSK输出信号中存在倒相现象，其解决方法是采用相对调相_。

8.循环码任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为它的一许用码组。

9.(7，4)汉明码能检出_2_个错误。

ITT(ITU-T)V.24建议中的100系列接口是DTE与调制解调器之间的接口。

12.报文交换方式的基本思想是存储-转发_。

一、891通信系统原理（一）1.系统概述（1）通信基本概念：通信、消息、信息、信息量、平均信息量（熵）（2）通信系统的组成：基本概念、框图（3）通信系统的性能指标：有效性、可靠性（4）通信信道：分类、常用信道特征2.信号与噪声分析（1）随机变量：概率、统计特性、数字特征（2）随机过程：随机过程的概念、统计特性、数字特征、高斯过程（3）平稳随机过程：平稳性、数字特征、各态历经性、功率谱（4）随机过程传输特性：线性系统、非线性系统（5）噪声分析：高斯噪声、白噪声、高斯白噪声、窄带高斯噪声、余弦信号加窄带高斯噪声3.模拟调制系统（1）调制：概念、分类、作用（2）幅度调制：各种幅度调制信号的时/频域特征、线性调制模型、功率和带宽计算、希氏变换（3）相干解调与非相干解调：解调原理、噪声性能分析、信噪比增益比较、传输衰减（4）角度调制：角度调制波时域表达式、频谱特征、单音调角、参数分析（5）角度调制信号的解调：解调原理、噪声性能分析、门限效应（6）频分复用：概念、带宽计算4.模拟信号数字化（信源编码）（1）线性 PCM 概念：取样定理、 PCM 编码/解码原理、基本参数（2）量化噪声分析：均匀及非均匀量化的噪声功率、量化信噪比计算（3）线性 PCM 系统中的误码噪声：误码噪声（信道噪声）和量化噪声对信噪比的影响（4）对数压扩PCM：两种压扩特性、A 律 13 折线 PCM 编解码方法（5）时分复用：时分复用概念、PCM复用群、帧同步、复帧同步、传码率计算（6）增量调制：实现方法、不过载条件、量化信噪比分析、传码率计算（7）预测编码：DPCM、ADPCM基本概念5.数字信号基带传输（1）数字基带信号码型：常见码型及其特点、传输码型的理想特征、常见传输码型数字基带信号功率谱：功率谱特征、主瓣带宽(2) 基带传输系统组成及符号间干扰：符号间干扰概念及产生原因、对通信质量的影响(3) 波形形成：奈氏第一准则、互补滚降特性、升余弦频谱、奈氏带宽、传输速率、传输带宽(4) 基带传输误码率分析：误码率的分析方法、最佳判决门限及其确定条件(5) 部分响应系统：第一类、第四类部分响应系统的实现原理、系统框图、编码和接收判决方法(6) 眼图与信道均衡：眼图及眼图模型、均衡的概念和基本原理6.数字信号的频带传输(1) 二元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(2) 四元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(3) 多元数字调制：系统框图、频带利用率分析(4) 现代调制技术：QAM、CPFSK 和 MSK原理和基本性能分析7.数字信号的最佳接收(1) 信号空间分析：信号空间概念、信号正交化方法、信号点与星座图、信号距离(2) 最佳接收问题：不同的最佳接收准则及其等效性(3) 匹配滤波器法：匹配滤波器的概念、设计、输出信号波形、匹配滤波器法最佳接收机(4) 相关接收机：相关接收机原理、与匹配滤波器最佳接收机的相互等效性(5) 误码率：最佳接收误码率分析方法、最佳数字基带传输系统8.信道编码(1) 差错控制基本原理：差错控制编码分类、汉明距离及其与纠检错能力关系，简单的差错控制编码(2) 线性分组码：线性分组码特点、监督方程组、一致监督（校验）矩阵、生成矩阵、纠检错能力、伴随式解码、对偶码、汉明码、完备码(3) 循环码：循环码特点、码多项式、生成多项式、生成矩阵、系统码及非系统码的编解码方法(4) 卷积码：卷积码概念、卷积码编码方法的代数描述和图解描述、维特比解码方法二、892通信系统原理（二）1.系统概述（1）通信基本概念：通信、消息、信息、信息量、平均信息量（熵）（2）通信系统的组成：基本概念、框图（3）通信系统的性能指标：有效性、可靠性（4）通信信道：分类、常用信道特征2.信号与噪声分析（1）随机变量：概率、统计特性、数字特征（2）随机过程：随机过程的概念、统计特性、数字特征、高斯过程（3）平稳随机过程：平稳性、数字特征、各态历经性、功率谱（4）随机过程传输特性：线性系统、非线性系统（5）噪声分析：高斯噪声、白噪声、高斯白噪声、窄带高斯噪声、余弦信号加窄带高斯噪声3.模拟调制系统（1）调制：概念、分类、作用（2）幅度调制：各种幅度调制信号的时/频域特征、线性调制模型、功率和带宽计算、希氏变换（3）相干解调与非相干解调：解调原理、噪声性能分析、信噪比增益比较、传输衰减（4）角度调制：角度调制波时域表达式、频谱特征、单音调角、参数分析（5）角度调制信号的解调：解调原理、噪声性能分析、门限效应（6）频分复用：概念、带宽计算4.模拟信号数字化（信源编码）（1）线性 PCM 概念：取样定理、 PCM 编码/解码原理、基本参数（2）量化噪声分析：均匀及非均匀量化的噪声功率、量化信噪比计算（3）线性 PCM 系统中的误码噪声：误码噪声（信道噪声）和量化噪声对信噪比的影响（4）对数压扩PCM：两种压扩特性、A 律 13 折线 PCM 编解码方法（5）时分复用：时分复用概念、PCM复用群、帧同步、复帧同步、传码率计算（6）增量调制：实现方法、不过载条件、量化信噪比分析、传码率计算（7）预测编码：DPCM、ADPCM基本概念5.数字信号基带传输（1）数字基带信号码型：常见码型及其特点、传输码型的理想特征、常见传输码型数字基带信号功率谱：功率谱特征、主瓣带宽(2) 基带传输系统组成及符号间干扰：符号间干扰概念及产生原因、对通信质量的影响(3) 波形形成：奈氏第一准则、互补滚降特性、升余弦频谱、奈氏带宽、传输速率、传输带宽(4) 基带传输误码率分析：误码率的分析方法、最佳判决门限及其确定条件(5) 部分响应系统：第一类、第四类部分响应系统的实现原理、系统框图、编码和接收判决方法(6) 眼图与信道均衡：眼图及眼图模型、均衡的概念和基本原理6.数字信号的频带传输(1) 二元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(2) 四元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(3) 多元数字调制：系统框图、频带利用率分析(4) 现代调制技术：QAM、CPFSK 和 MSK原理和基本性能分析7.数字信号的最佳接收(1) 信号空间分析：信号空间概念、信号正交化方法、信号点与星座图、信号距离(2) 最佳接收问题：不同的最佳接收准则及其等效性(3) 匹配滤波器法：匹配滤波器的概念、设计、输出信号波形、匹配滤波器法最佳接收机(4) 相关接收机：相关接收机原理、与匹配滤波器最佳接收机的相互等效性(5) 误码率：最佳接收误码率分析方法、最佳数字基带传输系统8.信道编码(1) 差错控制基本原理：差错控制编码分类、汉明距离及其与纠检错能力关系，简单的差错控制编码(2) 线性分组码：线性分组码特点、监督方程组、一致监督（校验）矩阵、生成矩阵、纠检错能力、伴随式解码、对偶码、汉明码、完备码(3) 循环码：循环码特点、码多项式、生成多项式、生成矩阵、系统码及非系统码的编解码方法(4) 卷积码：卷积码概念、卷积码编码方法的代数描述和图解描述、维特比解码方法三、893集成电路设计基础（一）1.模拟集成电路设计概论（1）集成电路发展简介（2）模拟集成电路设计基本概念（3）模拟集成电路设计流程2.MOS器件物理基础与建模（1）半导体材料与器件基础（2）CMOS工艺与技术基础（3）MOSFET开关与结构（4）MOS器件I/V特性（5）MOS器件二级效应（6）MOS器件版图与电容（7）MOS器件小信号模型与SPICE模型（8）NMOS与PMOS器件的比较（9）长沟道器件与短沟道器件的比较3.单级放大器（1）单级放大器基本概念（2）共源级放大器（3）源跟随器（4）共栅级放大器（5）共源共栅级放大器（6）器件模型的选择4.差动放大器（1）单端与差动的工作方式（2）基本差动对分析（3）共模响应（4）MOS为负载的差动对（5）吉尔伯特单元5.无源与有源电流镜（1）基本电流镜（2）共源共栅电流镜（3）有源电流镜分析6.运算放大器设计与分析（1）运算放大器基本概念与应用（2）一级运算放大器（3）二级运算放大器（4）增益的提高（5）运算放大器性能比较（6）共模反馈（7）输入范围限制（8）转换速率（9）电源抑制四、895经典控制理论（一）本科目考试主要涉及经典控制理论的基本范畴。

§1.2 随机过程的数字特征在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族.过程的数字特征能反映其局部统计性质,在许多实际问题和理论问题中都能很好地满足研究目的.在某些特定情况下, 随机过程的数字特征可以完全确定其有限维分布.需确定各类数字特征随时间的变化规律.12∫+∞∞−∈==T t x xdF X E t m t t ,)()(ˆ)(为此过程的均值函数.定义1.2.1设和是两个实随机过程, 称}),({T t X t ∈ω}),({T t Y t ∈ω1,),()()(−=∈+=j T t jY X Z t t t ωωω为复随机过程.定义1.2.2给定实随机过程, 称}),({T t X t ∈ω1.2.1均值函数与方差函数3复随机过程的均值函数定义为Tt Y jE X E t m t t Z ∈+=,)()(ˆ)(定义1.2.3给定随机过程, 称{}T t X t ∈,2)}({)(ˆ)(t m X E X D t D t t −==为过程的方差函数.称为过程的均方差函数.)(t D 复随机过程的方差函数定义为.},)({ˆ)(2Z T t t m Z E t D t Z ∈−=4)]([)]([)(Z t m Y j t m X t m Z Y t X t t −+−=−因).()(})]({[})]({[)(22t D t D t m Y E t m X E t D Y X Y t X t Z +=−+−=故一般而言, 均值函数和方差函数是时间的函数.问题均值函数和方差函数分别表征了随机过程的什么特征？复随机过程的方差函数定义为.},)({ˆ)(2Z T t t m Z E t D t Z ∈−=5方差函数描述了随机过程在各时点处的波动程度.仅描述了各个孤立时点过程的状态特征. 均值函数表征了随机过程在各时间点上的平均特征.问题均值函数和方差函数分别表征了随机过程的什么特征？描述不同时刻过程状态的关联关系？6需要研究在两个不同时点随机过程状态间的关联关系.回顾两个随机变量的相关系数)()()()()()()(),(Y D X D Y E X E XY E Y D X D Y X Cov XY −==ρ刻画了随机变量X 与Y 的线性相关程度. 1.2.2 协方差函数与相关函数(相关系数)7以下引入的数字特征都是刻画两个不同时点随机过程状态之间的线性关联程度.定义1.2.4给定随机过程,s , t ∈T ,称}),({T t X t ∈ω)(σ)(σ),(ˆ),(t s X X Cov t s t s =ρ为过程的自相关系数函数. 称{})]()][([),(ˆ),(t m X s m X E X X Cov t s C t s t s −−==为过程的协方差函数.8称)(ˆ),(t s X X E t s R =为过程的自相关函数.重点研究内容2)]([),()(t m X E t t C t D t −==有(,)(,)()()C s t R s t m s m t =−特别当时0)(≡t m 零均值随机过程),(),(t s R t s C =对于复随机过程tt t jY X Z +=9自相关函数为)(ˆ),(t s Z Z Z E t s R =协方差函数为]})()][({[),(ˆ),(t m Z s m Z E Z Z Cov t s C Z t Z s t s −−==Ex.1 设U , V 是两个相互独立随机变量, 均服从标准正态分布N (0, 1)，构成随机过程,≥+=t Vt U X t 计算过程的均值函数、方差函数及相关函数，并给出过程的一维和二维分布.对于复随机过程tt t jY X Z +=10解因,0)()(==V E U E 1)()(==V D U D 故均值函数为0,0)()(][)(≥=⋅+==t t V E U E X E t m t 方差函数为222)()(][)(Vt U E t m X E t D t +=−=0,1)()(2)(2222≥+=++=t t V E t UV tE U E U , V 相互独立Ex.1 设U , V 是两个相互独立随机变量, 均服从标准正态分布N (0, 1)，构成随机过程,≥+=t Vt U X t11)(),(),(t s X X E t s R t s C ==)])([(Vt U Vs U E ++=0,,1)()()()(22≥+=+++=t s st V stE UV E t s U E 因)1,0(~2t N Vt U X t ++=故过程的一维概率密度为,,)1(21)()1(2222≥∈+=+−t R x et x f t xt π二维概率密度参见教材P17.协方差函数为12Ex.2(教材P9例1.1.1) 随机开关系统过程..2,cos 21R t tt X t ∈⎩⎨⎧===ωωωωπ出现反面；出现正面求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数.X (t )cos πt 2tp1/2 1/2解因对任意实数t ∈R, 有;cos 21)()(X t t X E t m t +==π;2cos 21)(222t t X E t +=ππ2221()()()(cos );2X tX D t E X m t t t =−=−注意到X s 与X t 不相互独立, 联合分布律为..2,cos 21R t tt X t ∈⎩⎨⎧===ωωωωπ出现反面；出现正面14s t s t X X E t s R t s X 2221cos cos 21)(),(××+==ππ.2cos cos 21ts s t +ππ=协方差函数为)()(),(),(t m s m t s R t s C −=)cos 21)(cos 21(]2cos cos 21[t t s s ts s t ++−+=ππππts t ss t s t +−−=ππππcos 2cos 2cos cos 41(X (t ),X (s ))(cos πt, cos πs ) (2t, 2s )p 1/2 1/215Ex.3随机振幅周期矩形波5.0}1{}1{===−=X P X P 设是振幅为常数C , 周期为L 的矩形波信号. 另有随机变量X , 其分布律为}0),({≥t t x 对任意t ≥0, 令, 过程称为随机振幅周期矩形波, 试求其均值函数, 方差函数以及自相关函数.)(t x X X t ⋅=}0,{≥t X t16]5.0)1(5.0)[())(()()(=⋅−+===t x t Xx E X E t m t ),(),(t s R t s C =)]()([)(t Xx s Xx E X X E t s ⋅==)()()(2X E t x s x =)()(t x s x =解周期矩形波{x (t )}2222()()[()]()()()t D t D X E Xx t x t E X x t ====)(t x X X t ⋅=5.0}1{}1{===−=X P X P17Ex.4设复随机过程,1∑==nk tj k t k eA Z ω其中为相互独立服从正态N (0,σk 2)的实随机变量,ωk 为常数, 试求m Z (t ), R Z (t 1,t 2).n k A k ,2,1, =解∑∑==+==nk k k k nk tj k t t j t A eA Z k 11)sin (cos ωωω∵∑∑==+=nk n k k k k k tA j t A 11sin cos ωω18]sin []cos [))((11=+=∴∑∑==n k nk k k k k t A E j t A E t Z E ωω22)(,,,2,1,kk k A E n k A σ==且相互独立因 ωω12121211(,)()[()()]k k nnj t j t Z t t k k k k R t t E Z Z E A eA e====∑∑ωω11cos sin nnt k k k k k k Z A t j A t===+∑∑∑∑==−=n k nl t t j k l k eA E 11)(][21ωω∑=−=nk t t j k k eA E 1)(221)(ω∑=−=nkttjk keAE1)(221)(ω∑=−=nkttjk ke1)(221ωσ∑=−+−=nkkkkttjtt121212)(sin)((cosωωσ思考题：为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要?19201.2.3 多维随机过程及互相关函数类似于多维随机向量的概念，实际问题中常需要研究多维随机过程.Ex.5随机传输系统输入随机过程X t ，在系统L 的作用下，其输出为随机过程Y t .研究输入与输出过程间的相互关系，分析其整体统计特性.21Ex.6 n 台计算机通过一个有带宽限制的路由器获取网络数据,第i 台计算机获取数据的速度是随机过程:ni t X i t ,,2,1},0,{)( =≥需研究各台计算机的速度之间的关联关系.22定义1.2.5设给定概率空间(Ω,F , P )和指标集T , 若对每个t ∈T, 有定义在(Ω,F , P )上的随机向量,ω∈Ω与之对应. 称）ω，，ω，ω)()()(()()2()1(n t t t X X X },)()()({()()2()1(T t X X X n t t t ∈）ω，，ω，ω 为n 维随机过程.可定义多个随机过程的联合分布函数.参见教材P21.23工程实践中常需要研究多维随机过程的不同过程在相同或不同时点处的关联关系.},0,{≥t X t },0,{≥t Y t st引进两个随机过程的互相关函数.s X tX s Y24定义1.2.7 给定两个复随机过程},{)1(T t Z t ∈称和},,{)2(T t Z t ∈),(Cov ),()2()1()2()1(t s Z Z Z Z t s C =})]([)]({[)2()1()2()1(s m Z s m Z E Z t Z s −−=为两个随机过程的互协方差函数.][),()2()1()2()1(t s Z Z Z Z E t s R =为两个随机过程的称画指标.25当时间s 和t 变动, 两个过程的互协方差函数和互相关函数反映了它们之间的整体相关程度.对实随机过程和},{T t X t ∈},{T t Y t ∈)()(),(),(Cov ),(T m s m Y X E Y X t s C Y X t s t s XY −==若对任意s , t ∈T),(=t s C XY )()()()()(t s Y X t s Y E X E T m s m Y X E ==或称两个过程互不相关.26若对任意s , t ∈T)(),(==t s XY Y X E t s R 称两个过程正交.Ex.6设随机系统输入信号是随机过程输出过程是带有噪声的过程，即},{T t X t ∈Tt N X Y t t t ∈+=,其中是噪声过程.计算输出过程的均值函数与相关函数.},{T t N t ∈27解)()()()()()(t m t m N E X E Y E t m N X t t t Y +=+==)})({(),(t t s s Y N X N X E t s R ++=),(),(),(),(t s R t s R t s R t s R N NX XN X +++=特别当与相互正交,则},{T t X t ∈},{T t N t ∈),(),(),(t s R t s R t s R N X Y +=Ex.6设随机系统输入信号是随机过程输出过程是带有噪声的过程，即},{T t X t ∈Tt N X Y t t t ∈+=,其中是噪声过程.计算输出过程的均值函数与相关函数.},{T t N t ∈28Ex.7已知实随机过程的自相关函数为R (s , t ), 令},{T t X t ∈t a t t X X Y −=+求自相关函数R YY (s , t ).解])[(),(t s a s YY Y X X E t s R −=+),(),(t s R t a s R XY XY −+=)]([)(),(t a t s t s XY X X X E Y X E t s R −==+),(),(t s R a t s R −+=代入),(),(),(),(),(t s R a t s R t a s R a t a s R t s R YY ++−+−++=29),(),(),(),(),(t s R a t s R t a s R a t a s R t s R YY ++−+−++=特别取s=t ,则)(])[(),(2t t a t YY Y D X X E t t R =−=+),(),(),(),(t t R a t t R t a t R a t a t R ++−+−++=Ex.7已知实随机过程的自相关函数为R (s , t ), 令},{T t X t ∈t a t t X X Y −=+求自相关函数R YY (s , t ).。

第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。

随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。

1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。

随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。

2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。

特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。

特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。

特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。

-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。

-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。

-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。

特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。

-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。

-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。

总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。

第一章绪论一、填空题1 、数字通信系统的主要性能指标是传输速率和差错率。

码元速率R B 定义是每秒传送码元的数目，单位B a u d 。

信息速率定义是每秒钟传送的信息量，单位b i t/s。

2 、数字通信系统的有效性用传输速率衡量，可靠性用差错率衡量。

3 、模拟通信系统的有效性用传输带宽衡量，可靠性用信噪比衡量。

4 、在等概条件下，八元离散信源能达到最大熵是3 b i t/符号，若该信源每秒钟发送2000个符号，则该系统的信息速率为6 k b i t/s。

5 、通信系统的有效性衡量指标对于模拟通信系统为传输带宽，对于数字通信系统为传输速率。

6 、通信系统的可靠性衡量指标对于模拟通信系统为信噪比对于数字通信系统为差错率。

7 、一个M 进制基带信号，码元周期为T S 秒，则传码率为 1 /T S 波特，若码元等概出现，一个码元所含信息量为log 2M ( b i t) 。

8 、通信系统模型中有两个变换，它们分别是非电量与电量之间的变换和基带信号与频带信号之间的变换。

9 、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号，数字信号是指信号的参量可离散取值的信号。

10 根据信道中所传输信号特征的不同，通信系统可分为模拟通信系统和数字通信系统。

二、画图1 、画出模拟通信系统的一般模型。

22 b2 、 画 出 通 信 系 统 的 简 化 模 型 。

三 、 计 算 题1 、 对 于 二 电 平 数 字 信 号 ， 每 秒 传 输 300 个 码 元 ， 问 此 传 码 率 R B 等 于 多 少 ？ 若 该 数 字 信 号 0 和 1 出 现 是 独 立 等 概 率 的 ， 那 么 传 信 率 R b 等 于 多 少 ？3 0 0 ba nd 300bit /s2 、、 现 有 一 个 由 8 个 等 概 符 号 组 成 的 信 源 消 息 符 号 集 ， 各 符 号 间 相 互 独 立 ， 每 个 符 号 的 宽 度 为 0 .1 ms 。

实验二 随机过程的模拟与数字特征实验目的1. 学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。

2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。

实验原理1.正态分布白噪声序列的产生MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn 。

函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m ×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从),(2σμN 分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

如果)1,0(~N X ，则),(~σμσμN X +。

2.相关函数估计MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。

函数：xcorr用法：c = xcorr(x,y)c = xcorr(x)c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')功能：xcorr(x,y)计算)(n X 与)(n Y 的互相关，xcorr(x)计算)(n X 的自相关。

option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。

'unbiased' 无偏估计。

'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。

'none' 不做归一化处理。

3.功率谱估计对于平稳随机序列)(n X ，如果它的相关函数满足∞<∑+∞-∞=m Xm R)( （2.1）那么它的功率谱定义为自相关函数)(m R X 的傅里叶变换：∑+∞-∞=-=m jm XX e m RS ωω)()( （2.2）功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。

我们实际所能得到的随机信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。

功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。

第1章1 基本概念：（1）模拟通信系统模型，数字通信系统模型，数字通信系统的主要特点（2）信息量，平均信息量（香农熵）（3）模拟与数字通信系统的主要性能指标（有效性：有效频带（带宽B），传码率R B、传信率R b，频带利用率（带宽效率）：ηb（ηB）；可靠性：信噪比SNR（S/N），误码率P e、误信率P b）等。

2 计算：信息量，平均信息量，传码率R B，传信率R b，频带利用率（带宽效率），误码率P e、误信率P b，二进制与多进制系统的主要性能指标的关系（有效性，可靠性）。

3 填空题、简答题。

第3章1 基本概念：（1）随机过程的统计特性：可以用分布特性（概率分布）和数字特征两种方法描述。

分布特性（概率分布）包括概率分布函数和概率密度函数；数字特征包括数学希望、方差和相关函数等。

（2）平稳随机过程（分布特性与时间起点无关），广义平稳随机过程（数学希望和方差与时间起点无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关的平稳随机过程）（3）平稳随机过程相关函数的性质（物理意义）：平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(ω)与其相关函数R(t)构成一对傅里叶变换关系，R(0) = S（平均功率）等等，功率谱密度意义（描述平稳随机过程的频域特性，建立频域与时域关系，积分面积为总功率，系统传输特性对信号和噪声的影响）。

平稳随机过程的各态历经性与意义（时间平均（一个样本）替代统计平均（无穷多个样本）。

）（4）高斯过程（正态随机过程），窄带随机过程（频带宽度B(△f)远小于其中心频率f c的随机过程，即△f《f c，f c》0）的描述（2种：包络-相位和同相-正交表达式）；平稳窄带高斯过程统计特性（包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布）。

正弦波+窄带高斯过程统计特性（包络服从广义瑞利分布，小信噪比时，接近于瑞利分布；大信噪比时，接近于高斯分布）。

白噪声（理想的宽带平稳随机过程，其功率谱密度在整个频域内是均匀分布的。

理想白噪声通过带通滤波器后，其输出就是一个窄带过程。