随机过程的统计特性—数字特征

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随机过程讲义(中科院-孙应飞)

{N (t ), t ≥ 0} 是一随机过程，试考察其样本函数和状态空间。若记 S n 为第 n 个
“顾客”到达的时刻，则 {S n , n = 1,2,L} 为一随机序列，我们自然要关心
{S n , n = 1,2,L} 的情况以及它与随机过程 {N (t ), t ≥ 0} 的关系，这时要将两个随
2 σX (t ) = D X (t ) = C X (t , t ) = R X (t , t ) − [ µ X (t )]2
例 7：考察上面的例 1，（1）写出 X (t ) 的一维分布列 X (1 / 2), X (1) ；（2）（3）求该过程的均值函数和相关函数。写出 X (t ) 的二维分布列 ( X (1 / 2), X (1)) ；
义为：
C X ( s, t ) = ˆ E{[ X ( s ) − µ X ( s )][ X (t ) − µ X (t )]}
（d）（自）相关函数：随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的（自）相关函数定义为：
R X ( s, t ) = ˆ E{ X ( s ) X (t )}
（ e）特征函数：记：
1 2 n 1 2 n
（2）相容性：对于 m < n ，有：
FX ( x1 , x2 ,L, xm ,+∞,L,+∞; t1 , t 2 ,L, t m , t m+1 ,L, t n ) = FX ( x1 , x2 ,L, xm ; t1 , t 2 ,L, t m )
注 1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分布族决定。注 2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯一确定。问题：一个随机过程 { X (t ); t ∈ T } 的有限维分布族，是否描述了该过程的全部概率特性？解决此问题有以下著名的定理，此定理是随机过程理论的基础。定理：（Kolmogorov 存在性定理）设分布函数族 { FX ( x1 , x2 ,L, xn ; t1 , t 2 ,L, t n ), t1 , t 2 ,L, t n ∈ T , n ≥ 1 } 满足以上提到的对称性和相容性，则必存在唯一的随机过程 { X (t ); t ∈ T } ，使

随机过程知识点汇总

随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。

例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。

协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。

复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

2.2随机过程的分布律和数字特征

2.2随机过程的分布律和数字特征
任意有限个时刻过程各个状态的联合概率分布 : 给定随机过程 { X (t), t T }.
对任意n (1)个不同的时刻 t1, ,tn T , 相应
的状态可由 n维随机变量 X (t1), X (t2), , X (tn)
描述 .
a cost
,t
,
其中a
0,
且P1
2 3
,
P2
1 3
,
试求随机过程 X (t)，t (,)
的数字特征。
解
mX
EX t a cos t 1 a cos t 2 1 cos t，
3
33
t (,)
RX s,t EX sX t
a coss a cost 1 a cossa cost 2
示一条固定的曲线。如图蓝色曲线
2.2随机过程的分布律和数字特征
2.称 BX(s,t) = E{[X(s) - mX(s)][X(t) - mX(t)]},s,t T
为 XT 的协方差函数；
3.称 DX (t) BX t,t E[X (t) mX (t)]2 ,t T 为 XT
的方差函数；
4.称 RX (s,t) E[X (s)X (t)]，s,t T 为 XT
2019级研究生课程
彭晓华
辽宁工大基础部数学教研室
第2章随机过程的基本概念
2.1随机过程的基本概念 2.2随机过程的分布律和数字特征 2.3 复随机过程 2.4几种重要的随机过程
本章小结思考题与作业
复习2.1 1.怎样理解随机过程？它与函数及随机变量有何不同？
2.随机过程的五个要素都是什么？

随机过程例题和知识点总结

随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。

下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。

一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。

例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。

二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。

例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。

例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。

求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。

解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。

10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。

P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。

2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。

例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。

解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。

通信原理辅导及习题解析

通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1．随机过程的基本概念（1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。

第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。

③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。

2．平稳随机过程（1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。

数据通信原理填空题汇总

1.调制解调器的功能是通过数据传输网络发送或者接收模拟或数字信号。

3.方差σ2(t)表示随机过程在时刻t对于数学期望值a(t)的偏离程度，一般是时间函数。

4.如果将一个高斯过程加到一个线形网络上，则其输出端的随机过程是_高斯过程_。

6.在正交调幅（QAM）中，载波信号的_幅度和相位被改变。

7.码的检错和纠错能力是用信息量的冗余度来换取的。

8.对线性分组码，如果找到了码的生成矩阵，那么编码方法就完全确定了。

10.一个完整的DTE/DCE接口标准应包括四个特性，其中_电气特性_规定了DTE/DCE之间多条连线的连接方式、适用元件、传输速率以及阻抗等。

11.电路交换和分组交换，实时性较好的是分组交换_。

12.利用现有公用电话网进行数据传输的优点是_最简单，附加设备少、投资少、见效快和使用方便等。

14.运输层又称传送层，负责整个消息无差错的传递过程，它实现用户的端到端或进程之间的信息控制和信息交换_。

15.在我国现有的数据网中，_CHINAEDI提供了电子数据交换业务；__CHINAFAX__提供了新型的传真通信业务；__CHINAMAIL_提供了电子邮件功能；_CHINAFRN提供了便携终端用户间的通信；_CHINANET_是国际因特网在中国的延伸。

3.在异步传输通信中，为可靠传送一个汉字(2个字节)，采用无校验方式，停止信号长度为一个码元。

那么，其传输效率为80%_。

4.散弹噪声的平均值为零，幅度的概率密度函数为高斯或正态_分布。

5.为了反映随机过程不同时刻之间的内在统计特性，采用方差或协方差函数和相关函数R(t1,t2)。

7.在2PSK输出信号中存在倒相现象，其解决方法是采用相对调相_。

8.循环码任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为它的一许用码组。

9.(7，4)汉明码能检出_2_个错误。

ITT(ITU-T)V.24建议中的100系列接口是DTE与调制解调器之间的接口。

12.报文交换方式的基本思想是存储-转发_。

891通信系统原理一

一、891通信系统原理（一）1.系统概述（1）通信基本概念：通信、消息、信息、信息量、平均信息量（熵）（2）通信系统的组成：基本概念、框图（3）通信系统的性能指标：有效性、可靠性（4）通信信道：分类、常用信道特征2.信号与噪声分析（1）随机变量：概率、统计特性、数字特征（2）随机过程：随机过程的概念、统计特性、数字特征、高斯过程（3）平稳随机过程：平稳性、数字特征、各态历经性、功率谱（4）随机过程传输特性：线性系统、非线性系统（5）噪声分析：高斯噪声、白噪声、高斯白噪声、窄带高斯噪声、余弦信号加窄带高斯噪声3.模拟调制系统（1）调制：概念、分类、作用（2）幅度调制：各种幅度调制信号的时/频域特征、线性调制模型、功率和带宽计算、希氏变换（3）相干解调与非相干解调：解调原理、噪声性能分析、信噪比增益比较、传输衰减（4）角度调制：角度调制波时域表达式、频谱特征、单音调角、参数分析（5）角度调制信号的解调：解调原理、噪声性能分析、门限效应（6）频分复用：概念、带宽计算4.模拟信号数字化（信源编码）（1）线性 PCM 概念：取样定理、 PCM 编码/解码原理、基本参数（2）量化噪声分析：均匀及非均匀量化的噪声功率、量化信噪比计算（3）线性 PCM 系统中的误码噪声：误码噪声（信道噪声）和量化噪声对信噪比的影响（4）对数压扩PCM：两种压扩特性、A 律 13 折线 PCM 编解码方法（5）时分复用：时分复用概念、PCM复用群、帧同步、复帧同步、传码率计算（6）增量调制：实现方法、不过载条件、量化信噪比分析、传码率计算（7）预测编码：DPCM、ADPCM基本概念5.数字信号基带传输（1）数字基带信号码型：常见码型及其特点、传输码型的理想特征、常见传输码型数字基带信号功率谱：功率谱特征、主瓣带宽(2) 基带传输系统组成及符号间干扰：符号间干扰概念及产生原因、对通信质量的影响(3) 波形形成：奈氏第一准则、互补滚降特性、升余弦频谱、奈氏带宽、传输速率、传输带宽(4) 基带传输误码率分析：误码率的分析方法、最佳判决门限及其确定条件(5) 部分响应系统：第一类、第四类部分响应系统的实现原理、系统框图、编码和接收判决方法(6) 眼图与信道均衡：眼图及眼图模型、均衡的概念和基本原理6.数字信号的频带传输(1) 二元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(2) 四元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(3) 多元数字调制：系统框图、频带利用率分析(4) 现代调制技术：QAM、CPFSK 和 MSK原理和基本性能分析7.数字信号的最佳接收(1) 信号空间分析：信号空间概念、信号正交化方法、信号点与星座图、信号距离(2) 最佳接收问题：不同的最佳接收准则及其等效性(3) 匹配滤波器法：匹配滤波器的概念、设计、输出信号波形、匹配滤波器法最佳接收机(4) 相关接收机：相关接收机原理、与匹配滤波器最佳接收机的相互等效性(5) 误码率：最佳接收误码率分析方法、最佳数字基带传输系统8.信道编码(1) 差错控制基本原理：差错控制编码分类、汉明距离及其与纠检错能力关系，简单的差错控制编码(2) 线性分组码：线性分组码特点、监督方程组、一致监督（校验）矩阵、生成矩阵、纠检错能力、伴随式解码、对偶码、汉明码、完备码(3) 循环码：循环码特点、码多项式、生成多项式、生成矩阵、系统码及非系统码的编解码方法(4) 卷积码：卷积码概念、卷积码编码方法的代数描述和图解描述、维特比解码方法二、892通信系统原理（二）1.系统概述（1）通信基本概念：通信、消息、信息、信息量、平均信息量（熵）（2）通信系统的组成：基本概念、框图（3）通信系统的性能指标：有效性、可靠性（4）通信信道：分类、常用信道特征2.信号与噪声分析（1）随机变量：概率、统计特性、数字特征（2）随机过程：随机过程的概念、统计特性、数字特征、高斯过程（3）平稳随机过程：平稳性、数字特征、各态历经性、功率谱（4）随机过程传输特性：线性系统、非线性系统（5）噪声分析：高斯噪声、白噪声、高斯白噪声、窄带高斯噪声、余弦信号加窄带高斯噪声3.模拟调制系统（1）调制：概念、分类、作用（2）幅度调制：各种幅度调制信号的时/频域特征、线性调制模型、功率和带宽计算、希氏变换（3）相干解调与非相干解调：解调原理、噪声性能分析、信噪比增益比较、传输衰减（4）角度调制：角度调制波时域表达式、频谱特征、单音调角、参数分析（5）角度调制信号的解调：解调原理、噪声性能分析、门限效应（6）频分复用：概念、带宽计算4.模拟信号数字化（信源编码）（1）线性 PCM 概念：取样定理、 PCM 编码/解码原理、基本参数（2）量化噪声分析：均匀及非均匀量化的噪声功率、量化信噪比计算（3）线性 PCM 系统中的误码噪声：误码噪声（信道噪声）和量化噪声对信噪比的影响（4）对数压扩PCM：两种压扩特性、A 律 13 折线 PCM 编解码方法（5）时分复用：时分复用概念、PCM复用群、帧同步、复帧同步、传码率计算（6）增量调制：实现方法、不过载条件、量化信噪比分析、传码率计算（7）预测编码：DPCM、ADPCM基本概念5.数字信号基带传输（1）数字基带信号码型：常见码型及其特点、传输码型的理想特征、常见传输码型数字基带信号功率谱：功率谱特征、主瓣带宽(2) 基带传输系统组成及符号间干扰：符号间干扰概念及产生原因、对通信质量的影响(3) 波形形成：奈氏第一准则、互补滚降特性、升余弦频谱、奈氏带宽、传输速率、传输带宽(4) 基带传输误码率分析：误码率的分析方法、最佳判决门限及其确定条件(5) 部分响应系统：第一类、第四类部分响应系统的实现原理、系统框图、编码和接收判决方法(6) 眼图与信道均衡：眼图及眼图模型、均衡的概念和基本原理6.数字信号的频带传输(1) 二元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(2) 四元数字调制：信号时域表达式、波形和功率谱特点、发送接收原理、系统框图、误码率分析方法、频带利用率分析(3) 多元数字调制：系统框图、频带利用率分析(4) 现代调制技术：QAM、CPFSK 和 MSK原理和基本性能分析7.数字信号的最佳接收(1) 信号空间分析：信号空间概念、信号正交化方法、信号点与星座图、信号距离(2) 最佳接收问题：不同的最佳接收准则及其等效性(3) 匹配滤波器法：匹配滤波器的概念、设计、输出信号波形、匹配滤波器法最佳接收机(4) 相关接收机：相关接收机原理、与匹配滤波器最佳接收机的相互等效性(5) 误码率：最佳接收误码率分析方法、最佳数字基带传输系统8.信道编码(1) 差错控制基本原理：差错控制编码分类、汉明距离及其与纠检错能力关系，简单的差错控制编码(2) 线性分组码：线性分组码特点、监督方程组、一致监督（校验）矩阵、生成矩阵、纠检错能力、伴随式解码、对偶码、汉明码、完备码(3) 循环码：循环码特点、码多项式、生成多项式、生成矩阵、系统码及非系统码的编解码方法(4) 卷积码：卷积码概念、卷积码编码方法的代数描述和图解描述、维特比解码方法三、893集成电路设计基础（一）1.模拟集成电路设计概论（1）集成电路发展简介（2）模拟集成电路设计基本概念（3）模拟集成电路设计流程2.MOS器件物理基础与建模（1）半导体材料与器件基础（2）CMOS工艺与技术基础（3）MOSFET开关与结构（4）MOS器件I/V特性（5）MOS器件二级效应（6）MOS器件版图与电容（7）MOS器件小信号模型与SPICE模型（8）NMOS与PMOS器件的比较（9）长沟道器件与短沟道器件的比较3.单级放大器（1）单级放大器基本概念（2）共源级放大器（3）源跟随器（4）共栅级放大器（5）共源共栅级放大器（6）器件模型的选择4.差动放大器（1）单端与差动的工作方式（2）基本差动对分析（3）共模响应（4）MOS为负载的差动对（5）吉尔伯特单元5.无源与有源电流镜（1）基本电流镜（2）共源共栅电流镜（3）有源电流镜分析6.运算放大器设计与分析（1）运算放大器基本概念与应用（2）一级运算放大器（3）二级运算放大器（4）增益的提高（5）运算放大器性能比较（6）共模反馈（7）输入范围限制（8）转换速率（9）电源抑制四、895经典控制理论（一）本科目考试主要涉及经典控制理论的基本范畴。

概率论与随机过程第2章(15)

解3, 雅各比行列式的方法
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特征—均值；偏离均值的程度—方差，不同时刻随机变量之间的相关程度 —相关函数，等数字特征。总之，统计平均描述法是从统计平均的意义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限电压为 “1”,小于门限电压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程

按样本函数形式分类
类别不确定随机过程确定随机过程

过去观测值与未来值的关系结果不可预测（不能描述成t的函数）可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类

按时间和状态分类类别连续随机过程离散随机过程连续随机序列离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态连续离散连续离散 X( t )
时间连续连续离散离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程

2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：

2

x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )

随机过程的统计特性

2.2 随机过程的统计特性
2.2.1 随机过程的概率分布 1. 一维概率分布
对于任意的时刻t，X(t)是一个随机
变量F，X设(xx为,t任) 意P实{数X，(t定) 义 x}
为随机过程X(t)的一维分布函数。
若则定F义X ( x, t)
的一阶偏导数存在，
f
X
(
x,
t)

FX (x, x
t)
为随机过程X(t)的二维概率密度。
对于任意的时刻t1,t2,…, tn， X(t1),X(t2),…, X(tn)是一组随机变量，
PF{X 定过X(x(义程1t,1x这X)2(,组t)x的随1,,nx机X维n;(变t概t12,量)t率2的,分x联2布,,合tn，)分,即X布定(为t义n )随机xn}
4FXY ( x1, x2, y1, y2;t1, t2, t1' , t2 ' ) x1x2y1y2
若两个随机过程互相独立，则有
f XY (x1,, xn, y1,, ym;t1,,tn,t1',,tm' ) f X (x1,, xn;t1,,tn ) fY ( y1,, ym;t1',,tm' )
当
时，
t1 t2
当 CX (t1, t1)时，RX (t1, t1) mX (t1)mX (t1) E[ X (t1) X (t1)] mX 2 (t1) E[ X 2(t1)] E2[ X (t1)]
X 2 (t1)
若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0, 那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。

[x mX (t1)][y mY (t2)] fXY (x, y;t1,t2)dxdy

随机过程的基本概念以统计特性

所确定的一族样本函数
X (t )
=
X (t,i ) ，由全部元素 {ξ }
称为随机过程，简记为 X (t , )
。
S
9
定义 2 ：设有一个过程 X(t) ，若对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，则 X(t) tj(j 1 ,2 ,3 ) X (t j , ) 称为随机过程。
S
10
噪声电压的起伏波形
5
2、观察具有随机振幅 A 或随机相位的电压波形若A和 0为常数，是（0，2π）的随机取值的随机变量，电压波形为
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80 10 20 30 40 50 60 70 80
第1章
随机过程
主要内容：
随机过程的基本概念及其统计特性连续时间随机过程的微分和积分随机过程的平稳性和遍历性联合平稳随机过程正态随机过程马尔可夫链
2
随机变量随机过程
与时间无关
与时间相关
3
1.1 随机过程的基本概念及统计特性
自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。确定性过程： 1）每次试验得到的观测过程都相同。 2）具有确定形式的变化过程，或可用一个时间t的确定函数表示。正弦信号随机过程： 1）每次试验得到的观测过程都不同。 2）没有确定的变化形式或不能用一个时间t 示波器的噪声电压的确定函数表示。
先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。
25
1 数学期望（均值函数）
m ( t ) E [ X ( t ) ] f (,) x td x X x

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Q RX (t1 , t2 ) =
k1 , k2 ∈ ε X
∑
∑k ⋅k
1
2
⋅ P{ X (t1 ) = k1 , X (t2 ) = k2 }
一次结果中，决不会发生t1时刻的状态在ζ3上取值，而到t2时刻的状态在ζ4上取值。k1,k2不在一条样本上，此情况发生的概率为0。即P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} =0。由于一次试验结果只有一个样本出现，若此次样本ζ3出现，则t1时刻的状态必在ζ3上取值，且t2时刻的状态必还在ζ3上取值。 k1,k2必在一条样本上，此情况发生的概率为1/4。 P{X(t1)=k1,X(t2)=k2} = 1/4。 ←样本ζi发生的概率。
∫
∞
−∞
x ⋅ f X ( x, t )d χ = mX (t )
mx(t) 描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即在各个时刻摆动的中心 X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。
X (t ) 0
t1
m X (t1 )
m X (t i )
t m X (t )
ti
二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X (t)中的t视为固定时， X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：
例1、设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均匀分布，求E[X(t)]， D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。
⎧1， Q fU (u ) = ⎨ ⎩0，
解：
0 ≤ u ≤1 其它
∞ 1
t ∴ E[ X (t )] = E[U ⋅ t ] = t ⋅ E[U ] = t ⋅ ∫ ufU (u )du = t ⋅ ∫ udu = 0 －∞ 2 2 RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = E[U ⋅ t1 ⋅ U ⋅ t2 ] = t1 ⋅ t2 ⋅ E[U ] t1 ⋅ t2 = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u ⋅ fU (u )du = t1 ⋅ t2 ⋅ ∫ u du = −∞ 0 3 t1 ⋅ t2 t1 t2 t1 ⋅ t2 − ⋅ = C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m(t1 ) ⋅ m(t2 ) = 2 2 12 3 2 t D[ X (t )] = C X (t , t ) = 12
FX (x1, x2 ;t1, t2 ) = P{X (t1 ) ≤ x1; X (t2 ) ≤ x2}......... ......... t1, t2 ∈T
随机过程X(t) 二维概率密度：
∂ FX ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) = ∂x1∂x 2
∴ RX (t1 , t2 ) =
ζi ∈Ω
∑
k1 ⋅ k2 ⋅ Pζ i
1 = (1× 5 + 2 × 4 + 6 × 2 + 3 × 1) =1) 与X(t2)之间的“相关程度”。状态X(t1) 与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述：
C X (t1 , t2 ) = E{[ X (t1 ) − m X (t1 )] ⋅ [ X (t2 ) − m X (t2 )]} =∫
∞ −∞ −∞
∫
X (t)
Y(t)
σ X (t)
mX (t) t
σY (t)
mY (t) t
0
t1 t2
0
t1 t2
一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系” 的重要数字特征 ——自相关函数定义为：
RX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = ∫
∞
−∞ −∞
∫
∞
x1 ⋅ x2 ⋅ f X (x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1 x2
∞ 2 1 2
例2 若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求RX (t1, t2) 。解：由题意可知，随机过程X(t)在 t1, t2 两个时刻为两个离散随机变量。所以可列出联合分布率如下：
X(t1) X(t2) Pζi ζ1 ζ2 ζ3 ζ4 1 2 6 3 5 4 2 1 1/4 1/4 1/4 1/4
∞
[ x1 − m X (t1 )] ⋅ [ x2 − m X (t2 )] ⋅ f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1 x2
C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − m X (t1 ) ⋅ m X (t2 ) t1 = t2 = t时， RX (t , t ) = E[ X 2 (t )] ⇐ 过程的均方值。 C X (t , t ) = D[ X (t )] = σ X 2 (t ) ⇐ 过程的方差。
2 −∞
过程X(t)的均方差：
D[ X (t)] = σ X (t ) = σ X (t )
2
对离散型随机过程Y(t),t∈T,若所有状态取值的样本空间为 Ω＝{y1,y2,…,ym}。可用利δ函数表示其一维概率密度。 m 即： i∈I={1,…,m}
f Y ( y; t ) =
∑p
i =1
i
( t )δ ( y − y i )
i =1
三、随机过程的自相关函数下面两个随机过程 X(t)， Y(t) 它们的期望和方差都相同， mx(t)=my(t)，σx(t)= σy(t)。但从样本函数看有明显不同。χ(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。化快慢、相关性强弱的状况
∫
∞
−∞
⋅ ⋅ ⋅ ∫ f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )dx1dx2 ...dxn = 1
−∞
∞
5)
∫
∞
−∞
⋅⋅⋅ ∫
∞
−∞
f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n )dxm +1dxm + 2 ...dxn
E [ X ( t )] =
2
∫
∞
∞ −∞
x f X ( x , t ) dx
2
将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。同理，过程X(t)的方差：
D[ X (t )] = E{[ X (t ) − mX (t )] } = ∫ [ x − mX (t )]2 ⋅ f X ( x, t )dx =σ X 2 (t )
6）如果X(t1), X(t2),…X(tn)统计独立，则有
= f X ( x1 , x2 ,..., xm ; t1 , t 2 ,..., t m )
f X ( x1 , x2 ,..., xm ; t1, t2 ,..., tm ) = f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t2 )... f X ( xn , tn )
三、随机过程X(t) 的n维概率分布随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1)、X(t2)、…、X(tn) 构成n维随机变量[ X1,X2,…,Xn] 。用类似上面的方法，我们可以定义随机过程X(t)的n维分布函数为：
F X ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) = P{ X (t1 ) ≤ x1 , X (t 2 ) ≤ x 2 ,..., X (t n ) ≤ x n }
随机过程的统计特性—数字特征
1.随机过程的概率分布
X (t )
X (t1 ) M M
X (t2 ) L L X (ti ) L L X (tn ) M M t2 L L M M ti L L M M tn t
0
t1
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1) ,X(t2) ,…,X(tn)构成 n维随机变量[ X(t1),X(t2),…,X(tn) ]，当Ut→0,n →∞时的 n维随机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研究来 “替代”或“近似”对随机过程的分析研究。一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时刻t1∈T，其状态是一维随机变量，其分布函数 FX ( x; t1 ) = P{ X (t1 ) ≤ x}
其中
pi (t ) = P{Y (t ) = yi } 表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。
mY (t ) = ∫ y ∑ pi (t )δ ( y − yi )dy = ∫
−∞ i =1 m ∞ −∞ ∞ m ∞
故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：
−∞ m
∑ p (t ) y δ ( y − y )dy
2
同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要性质： 1） FX ( x1 , x2 ,...,−∞,..., xn ; t1 , t 2 ,..., ti ,..., t n ) = 0 2） FX (∞, ∞,..., ∞; t1 , t 2 ,..., t n ) = 1 3） f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t 2 ,..., t n ) ≥ 0 4）
FX (x1, x2 ;t1, t2 ) = P{X (t1 ) ≤ x1; X (t2 ) ≤ x2}......... ......... t1, t2 ∈T 随着(t1, t2)的变化， FX ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) 可以表示随机过程X(t)
在整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：

概率论与数理统计随机过程及其统计描述

页数:73
概率统计及随机过程：3.1 二维随机变量及其分布 (2)

页数:37
随机过程的统计特性和平稳随机过程

页数:59
第十二章随机过程及其统计描述概率论和数理统计

页数:70
随机过程的统计特性—数字特征

页数:14
21随机过程的基本概念和统计特性.

页数:86
浙江大学《概率论与数理统计》配套题库【章节题库】(随机过程及其统计描述)

页数:8
第十二章随机过程及其统计描述概率论与数理统计

页数:70
随机过程及其统计描述

页数:41
第10讲第九章随机过程及其统计描述

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