第三章_通信原理《随机过程》

通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。

第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。

（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。

② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。

③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。

⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。

2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。

第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。

(2) 随机过程：没有确定的变化形式。

每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。

数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。

随机信号和噪声统称为随机过程。

1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。

每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。

无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。

随机过程具有随机变量和时间函数的特点。

在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。

在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。

随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。

设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。

随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。

把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。

同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。

2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。

数字特征是指均值、方差和相关系数。

是从随机变量的数字特征推广而来的。

(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。

积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。

《通信原理》教案严红丽滁州学院电子与电气工程学院第3章随机过程本章重点1、平稳随机过程；2、高斯随机过程；3、窄带随机过程和高斯噪声、正弦波加窄带高斯噪声。

本章难点1、高斯随机过程；2、窄带随机过程和高斯噪声、正弦波加窄带高斯噪声。

教学方法本章是全书的基础，采用多媒体和板书相结合的手段，详细的讲解随机过程的基本概念，随机过程的数字特征〔均值、方差、相关函数〕和功率谱密度，高斯过程、随机过程、窄带随机过程，以及正弦波加窄带高斯过程、高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通信道滤波器。

公式以及所代表的含义要讲解透彻，课堂习题讲解与课后作业相结合，力求学生掌握基本概念、基本方法。

本章主要采用课堂讲授的教学方法，共用4课时。

授课内容通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常伴随有噪声的加入及此加入噪声在系统中传输。

由此看来，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。

通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随机性，即它们的某个或几个参数不能预知或不能完全预知。

一、随机过程的概念及定义通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t的随机过程。

从一实例讲起，设有n部性能完全相同的通信机，工作条件相同。

n部通信机，n台记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，一次记录的一个波形，就是一个实现〔抽样函数〕。

无数个记录构成的总体〔集合〕就是随机过程。

上述这一类随机过程〔随机信号〕有如下特征：① 信号变化不可预测；如气温信号，知道今中午的温度，但不能确切知道明天中午的温度。

② 事物的变化过程不能用一个〔或几个〕时间t 确实定函数来加以描述。

如通信机的输出热噪声电压，在相同条件下每次测量都将产生不同的热噪电压 ～时间函数，要用一簇函数来描述。

n 部通信机输出的热噪电压波形见下列图：在上图中，()()() 21t t t ξξξ，是随机变量 ,在任一时刻的值是不确定的。

在纵向：()() 211v v V t .==ξ，V 是随机变量， , 21v v 是样本。

本章练习题：3-1．设是的高斯随机变量，试确定随机变量的概率密度函数,其中均为常数。

查看参考答案3-2．设一个随机过程可表示成式中，是一个离散随机变量，且试求及。

查看参考答案3-3．设随机过程,若与是彼此独立且均值为0、方差为的高斯随机变量，试求：（1）、（2）的一维分布密度函数；（3）和。

查看参考答案3-4．已知和是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为和，自相关函数分别为和。

（1）试求乘积的自相关函数。

（2）试求之和的自相关函数。

查看参考答案3-5．已知随机过程,其中，是广义平稳过程，且其自相关函数为=随机变量在（0，2）上服从均匀分布，它与彼此统计独立。

（1）证明是广义平稳的；（2）试画出自相关函数的波形；（3）试求功率谱密度及功率。

查看参考答案3-6．已知噪声的自相关函数为=（为常数）（1）试求其功率谱密度及功率；（2）试画出及的图形。

查看参考答案3-7．一个均值为，自相关函数为的平稳随机过程通过一个线性系统后的输出过程为(为延迟时间)（1）试画出该线性系统的框图；（2）试求的自相关函数和功率谱密度。

查看参考答案3-8. 一个中心频率为、带宽为的理想带通滤波器如图3-4所示。

假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：图3-4（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2）滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。

查看参考答案3-9. 一个RC低通滤波器如图3-5所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；（2）输出噪声的一维概率密度函数。

图3-5查看参考答案3-10. 一个LR低通滤波器如图3-6所示，假设输入是均值为零、功率谱密度为的高斯白噪声，试求：（1）输出噪声的自相关函数；（2）输出噪声的方差。

图3-6查看参考答案3-11．设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为，脉冲幅度取的概率相等。

通信原理（第七版）-樊昌信-第三章-随机过程-重要知识点⼀.⼀些必须知道的：1.均值（数学期望）（详情：）：2.⽅差：3.协⽅差函数和相关函数：3.1协⽅差函数：3.2相关函数：3.3关系：4.性质：⼆、正题：1.严平稳与⼴义平稳：1.1 严平稳：1.2 ⼴义平稳：1.3 关系：严平稳⼀定是⼴义平稳，反之不⼀定成⽴。

2.各态历经性：平稳⼀定具有各态历经性反之不⼀定成⽴；3.⾃相关函数的性质（重点）4.维纳⾟钦定理（重点）：平稳随机过程的⾃相关函数和功率谱密度是⼀对傅⾥叶变换。

（注意：是 R（时域）<---->P（频域））5.⾼斯随机过程：5.1性质：5.2⼀维概率密度函数：5.2.1图像性质5.3误差函数和互补误差函数：5.3.1误差函数：5.3.2互补误差函数：6.平稳随机过程通过线性系统：7.窄带随机过程：7.1 定义：△f << fc7.2 表达式（包络-相位形式）：（同向-正交形式）：8.两个重要结论：9.⽩噪声：9.1 定义：噪声功率谱密度在所有频率为⼀常数（实际中为噪声功率谱密度范围远⼤于⼯作频带时候）9.2 噪声功率谱密度：单边：Pn（f） = n0; 双边：Pn（f） = n0/2;9.3 带限⽩噪声：9.3.1 低通：9.3.2 带通：9.4 功率： N = n0 * B （BPF的带宽）（或者N = n0/2 * 2*B （BPF的带宽））三、⼀些题⽬和不容易理解以及总结：1.不易理解的：2.离散的怎么算：3.总结：3.1 算平均功率：1） R(0)；2）3）3.2 算⽅差：1）E（X²） - E²（X）2）R(0) - R(∞)3）E[ [X-E(X)]² ]。

3.1随机过程的基本概念■什么是随机过程?♦随机过程是一类随时间作不确定变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度看:♦角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。

♦角度2:随机过程是随机变量概念的延伸。

【例】"台示波器同时观测并记录这"台接收机的输出噪声波形样本函数纟⑴：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。

随机过程：f⑴二｛勺⑴,M…,岛⑴｝是全部样本函数的集合。

♦角度2:随机过程是随机变量概念的延伸。

在任一给定时刻心上，每一个样本函数£⑴都是一个确定的数值§（切，但是每个§•（切都是不可预知的。

在一个固定时刻耳上，不同样本的取值= …“}是一个随机变量，记为§（切。

换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。

因此,我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。

这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。

■ 3丄1随机过程的分布函数♦设g⑴表示一个随机过程，则它在任意时刻勺的值纟⑴) 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。

♦随机过程f(r)的一维分布函数：耳(兀“)=尸[吳1)“]♦随机过程£(/)的一维概率密度函数:OXx若上式中的偏导存在的话。

♦随机过程f⑴的二维分布函数：耳（坷,勺；f 1爲，）=戶{做1）S兀1，黒2）S兀2 } ♦随机过程F⑴的二维概率密度函数：f（r r f、—夕鬥（坷宀站』2）丿2，” 儿2“1，2 丿—c c曲・ox2 若上式中的偏导存在的话。

♦随机过程f⑴的〃维分布函数：巧（兀“兀2，・「£茁』2，・・・乙）=P{£（耳）^兀“欽為）＜兀2,… ＜（匚）♦随机过程的〃维概率密度函数:P ”•，・）』/，匂…，x n； G『2,…，t n）dxfix2-dx n随机过程统计特性的部分描述---------------- 数字特征■数学期望00♦定义E{^(t)} = j 对(x，t)dx = a(t) •意义：-8随机过程壬⑴的均值是时间的确定函数，常记作: a(t),它表示随机过程的斤个样本函数曲线的摆动中心：本质就是随机过程所有样本函数的统计平均函数它由随机过程的一维概率特性决定特表示了随机信号的直流分量a(t)的性质:•E{©(t)+g2(t)+…+ ・«)}= E{©(t)}+E{±2(t)}+・・・E{S(t)} •如匕(0匕(t炭计独立，则Efe 0X1(0}= E{® (t)}E{b(t)} •Efe(t)4-k0}=k04-Efc(t)},k。