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随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程的数字特征及概率意义。
1、随机过程的概念
随机变量的特点：在每次试验的结果中，以一定的概率取某些实现未知、但为确定的“数值”。
在实际问题中，我们需要研究在试验过程中随着时间而变化的随机变量，即随时间的改变而随机变化的过程。
随机过程：随参数（比如时间）改变而随机变化的过程称为随机过程，把这个参数称为时间。
在一次试验中，随机过程取一个样本向量或样本数列或样本函数，但究竟取哪一个则带有随机性。
但在大量的观察中，样本的出现是有统计规律性的。
2、随机过程的分类
（1）连续型随机过程：T是连续集，且对于任意的tet，X（t）是连续型随机变量，也就是时间和状态皆为连续的情况。
（2）离散型随机过程：T是连续集，且对于任意的tet，X（t）是离散型随机变量。
（3）连续型随机序列：T是离散集，且对于任意的tet，X（t）是连续型随机变量，它对应于时间离散、状态连续的情况，实际上，它可以用队连续性随机变量进行顺序等时间间隔采样得到。
（4）离散型随机序列：随机数字序列，随机过程的时间和状态都是离散的，为了适应数字化的需求，对连续型随机过程进行等时间间隔采样，派兵将采样值量化、分层，即得到这种连三随机过程，由以
上可知，最基本的是连续型随机过程，其他三类只是对它做离散处理而得。
随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名：_班级：_学号：专业：目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2)实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18)实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布， U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：，序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
第三节 随机过程的数字特征定义6.3.1 设随机过程}),({T t t ∈ξ的一维分布函数为，我们称);(x t F ());()]([x t dF x t E t ∫+∞∞−==ξµξ()()∫+∞∞−−==);(][)]([22x t dF t x t D t ξξµξσ分别为随机过程}),({T t t ∈ξ的均值函数和方差函数。
对离散型的随机过程，其均值函数和方差函数分别为：()()∑===ni i i t p x t E t 1)]([ξµξ()()()()t p t x t t E t D t i ni i 2122][])([)]([ξξξµµξξσ∑=−=−==其中：()n i x t P t p i i ,,1},)({"===ξ对连续型的随机过程，其均值函数和相关函数分别为：()dx x t xf t E t ∫+∞∞−==);()]([ξµξ()()()∫+∞∞−−=−==dx x t f t x t t E t D t );(][])([)]([222ξξξµµξξσ均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的摆动中心。
方差函数表示{)(t ξ}在各个不同时刻取值的关于()t ξµ的平均偏离程度。
但不能描述在不同时刻之间的相互关系，因此我们必须引入自相关函数和自协方差函数概念。
定义6.3.2 设随机过程}T t ),t ({∈ξ的二维分布函数为，我们称其自相关函数和自协方差函数分别为：),;,(2121x x t t F)x ,x ;t,t (dF x x )]t ()t ([E )t ,t (R 2121212121∫∫+∞∞−+∞∞−==ξξξ T t t ∈21,()[][])t ()t (t )t (E )t ,t (C 221121ξξξµξµξ−−=且：)t ()t ()t ,t (R )t ,t (C 212121ξξξξµµ−=若令，则t t t ==21()t t t R t t C 2),(),(ξξξµ−==D ξ(t )=2ξσ由此可以看出：均值函数()t ξµ和相关函数是最基本的数字特征，协方差函数和方差函数可以由它们确定。
实验二随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
1. 学习利用MATLAB模拟产生随机过程的方法。
2. 熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB实现。
二、实验原理
1. 正态分布白噪声序列的产生
MATLAB提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列
的函数为randn。
函数：randn
用法：x = randn(m,n)
功能：产生 m Xn的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从 N ( ,「)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
如果X ~ N(0,1)，则—■- N (,)。
2. 相关函数估计
MATLAB提供了函数 xcorr用于自相关函数的估计。
函数：xcorr
用法：c= xcorr (x,y)
c= xcorr (x)
c= xcorr (x,y ,'opiti on') c= xcorr (x, ,'opiti on')
功能：xcorr(x,y)计算X (n )与Y (n)的互相关，xcorr(x)计算X (n )的自相关。
option选项可以设定为：
'biased'有偏估计。
'un biased'无偏估计。
'coeff m = 0时的相关函数值归一化为1。
'none'不做归一化处理。
3. 功率谱估计
对于平稳随机序列X (n)，如果它的相关函数满足
(2.1)
那么它的功率谱定义为自相关函数R X (m)的傅里叶变换：
(2.2)
功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。
我们实际所能得到的随机
信号的长度总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。
功率谱估计的方法有很多种，这里我们介绍基于傅里叶分析的两种通用谱估计方法。
(1 )自相关法
■
先求自相关函数的估计「X (m)，然后对自相关函数做傅里叶变换
N-L
R
fw) = 乂鞋(耐占皿
x
(2.3)
其中N表示用于估计样本序列的样本个数。
(2 )周期图法
先对样本序列x(n)做傅里叶变换
(2.4)
其中0 n| N-1，则功率谱估计为
s(u>) =
A
(2.5)
MATLAB函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。
函数：periodogram
用法：[Pxx,w] = periodogram(x)
[Pxx,w] = periodogram(x,wi ndow)
[Pxx,w] = periodogram(x,wi ndow, nft)
[Pxx,f] = periodogram(x,wi ndow, nfft,fs)
periodogram(...)
功能：实现周期图法的功率谱估计。
其中：
Pxx为输出的功率谱估计值；
f为频率向量；
w为归一化的频率向量；
window代表窗函数，这种用法种对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表 2.1列出了产生常用窗函数的 MATLAB函数
矩形窗boxcar BlackDLan 窗blackinan
三角窗triang Chebyshev 窗chebft'in
[tanning 窗hann Bartlett 窗bartlett
Ehming 窗hamming Kaiser 窗kaiser nfft设定FFT算法的长度;
fs表示米样频率;
如果不指定输出参数(最后一种用法) ，则直接会出功率谱估计的波形。
三、实验内容
1.按如下模型产生一组随机序列
x(n)=0.8x(n-1)晋|囲(n)
其中黴(n)是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。
估计过程的自相关函数和功率谱。
(1 )实验程序
m.文件如下:
#输入变量p表示x(n)里n的数值# fun ctio n f=fun c1(p) w=randn(1,p)*2+1;
#或 f=normrnd(1,2,1000,1)#
x=zeros(1,p);
for n = 2:1:p
x(n)=0.8*x(n-1)+ w(n); end figure(1) plot(x); c=xcorr(x);
plot(c);
figure(2);
title(' 'x(n) 的自相关函数 ');
figure(3);
periodogram(x);
title('x(n) 的功率谱 ');
end
（2）实验过程及结果：
在 command 命令栏里输入：
fun
c1(5000)
得到三个图的结果:
X 何的自相关函数
50 【
O D
-d l E e t r t *p p 」、
8p ) A o u a D 4 5 3 5
2 a 2
□
Q
o n
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
磁门)的功率谱
o
40
0.2 0.3 04 0.5 0.S 0.7 0.8 0.9 1
Narmalized Frequency (心 rad/sample)
40
30
20 o
o 1 20
30
1—
2.设信号为
x(n)=引"(2两皿)十 Z 工n) -F 细(n) n=0,1 , I , N-1
其中fi =0 .05 , f2 =0 .12为正态分布白噪声序列，试在N =256和N= 1024点时，分别产生随机序列x(n),画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。
(1)实验程序:
写出m.文件
#输入变量p表示x(n)里n的数值# function f=fun c2(p)
f1 = 0.05;
f2 = 0.12;
w=ra ndn (1,p);
x = zeros(1,p);
for n=0:1:p-1
x(n+1) = sin (2*pi*f1* n) + 2*cos(2*pi*f2* n) + w(n+1);
end
figure(1);
plot(x);
title(' N=p 时x(n)的波形');
c = xcorr (x);
figure(2);
subplot(1,2,1);
plot(c);
title(' N=p时x(n)的相关函数'); subplot(1,2,2);
periodogram(x);
end
(2)实验过程及结果
在 command 命令栏里输入：
Func2(256)
得到三个图的结果：
M=256吋爛）的波形
50
200 250
z ：
nn
5Q 100
3 2
1000
2256时K （n ）的相关函数
8Q0
6QD
0.5 1
Normalized Frequency (xu rad/sample)
Periodogram Power Spectral Density Estimate
20
20
l
30
-
400
200
-200 ■400
200 400 EOO
〔
2C J E n 5s *P B
」
*g p ) A u ua nh (L
n -
ra
o
-40
在comma nd 命令栏里输入:。
