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平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
![[理学]2平稳随机过程](https://img.taocdn.com/s1/m/ddc2322cbb68a98271fefa60.png)
第2章平稳随机过程2．1 平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。
不大起大落。
随机过程X (t) ，当t变化时，得一系列随机变量：X(t1)，X(t2)，⋯⋯X(t n)。
X (t )具有“平稳”性，是指X(t i)的变化稳定，不“大起大落” ，各X (t i )具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中，X (t1 ) ，X (t 2) ，⋯⋯X (t n )往往假设满足“独立同分布” ( iid )。
“独立” 性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性” 。
2．1．1 严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程X(t) 的n维概率密度(或n维分布函数) p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n )不随时间起点选择不同而改变。
即：对任何n和，过程X (t )的概率密度满足：p X (x1,x2 x n,t1,t2 t n) p X (x1,x2 x n,t1 ,t2 t n )则称X (t )为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程X(t) 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程X (t )的二维概率密度只与t1、t2 时间间隔t2 t1 有关。
证明：当n ＝1时，对任何，有p X (x1,t1) p X(x1,t1 )。
取t1，则有p X (x1,t1) p X (x1,t1 ) p X(x1,t1 t1) p X (x1,0) p X (x1)。
当n＝2时，对任何，有p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,t1 ,t2 )。
取t1，t2 t1，则p X(x1,x2,t1,t2) p X (x1,x2,0,t2 t1) p X(x1,x2, )。
三、严平稳过程的数字特征(1)若X (t )是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
21证明：m X (t) E(X(t)) xp X (x,t)dx xp X (x)dx m XE( X 2(t)) x2p X(x,t)dx x2p X (x)dx X222D(X(t)) (x m X )2p X (x)dx 2X(2)若X (t )是严平稳过程，则它的自相关函数R X (t1 ,t 2 )只是间间隔t2 t1的单变量的函数。
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程
粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。
一.严平稳随机过程
1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1<t2<…<tn ，（ti ∈T ）时刻的n 个状态的n 维概率密度，不随时间平移Δt 而变化。
(Δt 为任意值)
12121212(,,...,;,,...,)
(,,...,;,,...,)
X n n X n n f x x x t t t f x x x t t t t t t =+Δ+Δ+Δ则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数
综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。
a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间
进程中不变化。
则此过程就可以认为是平稳的。
例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。
12121212
12
1
21212
2
2
2
(,)(,;)()
(,)()()(,;)()()(0)(0)[()]
X X X X X
X X X X X
X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m
x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=⋅==−−==−=−==∫∫∫∫
∞<)]([2
t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。
即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。
因此，工程中平稳过程的定义如下：
二、宽平稳过程1、定义
若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数
R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关
则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。
可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。
反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。
c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。
即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。
对于随机过程X(t)=αcos(ωot+ϕ)而言，当ϕ在(0，2 π)或(-π，π) 上均匀分布时，X( t )是平稳的。
当ϕ在(0，π)上或ϕ在(0，π/2) 上均匀分布时，X(t) 是非平稳过程。
因为当ϕ在(0，π)上均匀分布时，E[X(t)]=(-2 α/ π)sin ωot≠常数
当ϕ在(0,π/2) 上均匀分布时，E[X(t)]=2 α/ π(sin ωo t-cosωo t) ≠常数τ。
