清远市2014—2015学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学答案

广东省清远一中2014-2015学年高二（下）3月月考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每题5分共50分） 1．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤ 2．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A． 7米/秒B． 6米/秒C． 5米/秒D． 8米/秒 3．函数y=x3+x的递增区间是（ ） A．（0，+∞） B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，+∞）D．（1，+∞） 4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，是因为（ ） A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误 5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 6．函数f（x）=x3﹣x2在[﹣1，3]上（ ） A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值 C．有最小值，无最大值D．既无最大值也无最小值 7．函数f（x）=xlnx的大致图象为（ ） A．B． C． D． 8．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0点的坐标为（ ） A．（1，0）B．（2，8）C．（2，8）和（﹣1，﹣4）D．（1，0）和（﹣1，﹣4） 9．函数y=2x3﹣3x2（ ） A．在x=0处取得极大值0，但无极小值 B．在x=1处取得极小值﹣1，但无极大值 C．在x=0处取得极大值0，在x=1处取得极小值﹣1 D．以上都不对 10．定义A﹡B，B﹡C，C﹡D，D﹡A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4），那么下图中的（5）、（6）所对应的运算结果可能是（ ） A． B*D，A*D B． B*D，A*C C． B*C，A*D D． C*D，A*D 二、填空题（本大题共4小题，每题5分共20分） 11．=． 12．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 ． 13．“∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴AC，BD互相垂直且平分．”此推理过程依据的大前提是 ． 14．已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列也是等比数列”．可类比得关于等差数列的一个性质为 ． 三、解答题（本大题6题共80分） 15．设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点． （Ⅰ）求a和b的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 16．观察以下各等式： sin230°+cos260°+sin30°cos60°=sin220°+cos250°+sin20°cos50°=sin215°+cos245°+sin15°cos45°=分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证： （Ⅰ）a＞0，c＜0； （Ⅱ）． 18．已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列． 19．已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=﹣1， （1）试求常数a、b、c的值； （2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由． 20．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．广东省清远一中2014-2015学年高二（下）3月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每题5分共50分） 1．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤ 考点：归纳推理；演绎推理的意义． 专题：阅读型． 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案． 解答：解：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正确的 故选D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程． 2．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A． 7米/秒B． 6米/秒C． 5米/秒D． 8米/秒 考点：导数的几何意义． 专题：计算题． 分析：①求出s的导函数s'（t）=2t﹣1②求出s'（3） 解答：解： s'（t）=2t﹣1，s'（3）=2×3﹣1=5． 故答案为C 点评：考查求导法则及导数意义 3．函数y=x3+x的递增区间是（ ） A．（0，+∞） B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，+∞）D．（1，+∞） 考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题． 分析：先求导函数y′，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0的区间就是单调增区间． 解答：解：y′=3x2+1＞0 ∴函数y=x3+x的递增区间是（﹣∞，+∞）， 故选C 点评：本小题主要考查函数的导数，单调性等基础知识，属于基础题． 4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，是因为（ ） A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误 考点：演绎推理的基本方法． 专题：推理和证明． 分析：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论． 解答：解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直． 故大前提错误． 故答案为：A 点评：有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，是因为 5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 考点：反证法与放缩法． 专题：常规题型． 分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”； “至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”； “任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”． 解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”． 故选B 点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定． 6．函数f（x）=x3﹣x2在[﹣1，3]上（ ） A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值 C．有最小值，无最大值D．既无最大值也无最小值 考点：利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的概念及应用． 分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值，进而求出答案． 解答：解：f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞，或x＜0， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜， ∴函数f（x）在[﹣1，0），（，3]递增，在（0，）递减， ∴f（x）极大值=f（0）=0，f（x）极小值=f（）=﹣， 而f（﹣1）=﹣2，f（3）=18， ∴函数f（x）既有最大值又有最小值， 故选：B． 点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 7．函数f（x）=xlnx的大致图象为（ ） A．B． C． D． 考点：函数的图象． 专题：作图题． 分析：由已知函数f（x）=xlnx的解析式，我们可以分析出函数的零点个数及在区间（0，1）上的图象位置，利用排除法可得到答案． 解答：解：∵函数f（x）=xlnx只有1一个零点 ∴可以排除CD答案 又∵当x∈（0，1）时 lnx＜0， ∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方 ∴可以排除B答案 故选A 点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质，是解答此类问题的关键． 8．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0点的坐标为（ ） A．（1，0）B．（2，8）C．（2，8）和（﹣1，﹣4）D．（1，0）和（﹣1，﹣4） 考点：导数的几何意义． 分析：先设切点坐标，然后对f（x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案． 解答：解：设切点为P0（a，b），f'（x）=3x2+1，k=f'（a）=3a2+1=4，a=±1， 把a=﹣1，代入到f（x）=x3+x﹣2得b=﹣4； 把a=1，代入到f（x）=x3+x﹣2得b=0， 所以P0（1，0）和（﹣1，﹣4）． 故选D． 点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率． 9．函数y=2x3﹣3x2（ ） A．在x=0处取得极大值0，但无极小值 B．在x=1处取得极小值﹣1，但无极大值 C．在x=0处取得极大值0，在x=1处取得极小值﹣1 D．以上都不对 考点：利用导数研究函数的极值． 专题：导数的概念及应用． 分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，进而求出函数的极值． 解答：解：y′=6x2﹣6x， 令y′＞0，解得：x＞1或x＜0，令y′＜0，解得：0＜x＜1， ∴函数y=2x3﹣3x2在（﹣∞，0），（1，+∞）递增，在（0，1）递减， ∴函数在x=0处取得极大值0，在x=1处取得极小值﹣1， 故选：C． 点评：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题． 10．定义A﹡B，B﹡C，C﹡D，D﹡A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4），那么下图中的（5）、（6）所对应的运算结果可能是（ ） A． B*D，A*D B． B*D，A*C C． B*C，A*D D． C*D，A*D 考点：归纳推理． 专题：压轴题；探究型． 分析：本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系． 解答：解：通过观察可知： A表示“|”， B表示“□”， C表示“﹣”， D表示“○”， 图中的（5）、（6）所对应的运算结果可能是B*D，A*C 故答案选B． 点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分共20分） 11．=1　． 考点：定积分． 专题：导数的概念及应用． 分析：根据定积分的计算法则计算即可． 解答：解：=﹣cosx|=1， 故答案为：1． 点评：本题考查了定积分的计算，属于基础题． 12．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=；sin25°+sin265°+sin2125°=通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题　sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=． 考点：三角函数的和差化积公式；类比推理；二倍角的余弦． 专题：常规题型． 分析：分析已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论． 解答：解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=， sin25°+sin265°+sin2125°=． 归纳推理的一般性的命题为： sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=． 证明如下： 左边=++=﹣[cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）]==右边． ∴结论正确． 故答案为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=． 点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证． 13．“∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴AC，BD互相垂直且平分．”此推理过程依据的大前提是　菱形的对角线互相垂直且平分　． 考点：演绎推理的基本方法． 专题：计算题． 分析：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为菱形，得到四边形ABCD的对角线互相垂直的结论，得到大前提． 解答：解：用三段论形式推导一个结论成立， 大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形ABCD是菱形，所以四边形ABCD的对角线互相垂直的结论， ∴大前提一定是菱形的对角线互相垂直， 故答案为：菱形的对角线互相垂直． 点评：本题考查用三段论形式推导一个命题成立，要求我们填写大前提，这是常见的一种考查形式，属于基础题． 14．已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列也是等比数列”．可类比得关于等差数列的一个性质为　数列bn=也是等差数列　． 考点：归纳推理． 专题：探究型． 分析：等差数列与等比数列有很多地方相似，因此可以类比等比数列的性质猜想等差数列的性质，因此几何平均数与算术平均数正好与等比数列的二级运算及等差数列的一级运算可以类比，因此我们可以大胆猜想，数列bn=也是等差数列．再根据等差数列的定义对猜想进行论证． 解答：若数列{an}是等差数列，则数列bn=也是等差数列． 证明：设等差数列{an}的公差为d， 则bn===， 所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列． 点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 三、解答题（本大题6题共80分） 15．设x=1和x=2是函数f（x）=x5+ax3+bx+1的两个极值点． （Ⅰ）求a和b的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题． 分析：（I）利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值． （Ⅱ）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间． 解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=5x4+3ax2+b 由假设知：f′（1）=5+3a+b=0，f′（2）=24×5+22×3a+b=0 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=5x4+3ax2+b=5（x2﹣1）（x4﹣4）=5（x+1）（x+2）（x﹣1）（x ﹣2） 当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0 当x∈（﹣2，﹣1）∪（1，2）时，f′（x）＜0 因此f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣1，1），（2，+∞） f（x）的单调减区间是（﹣2，﹣1），（1，2） 点评：本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减． 16．观察以下各等式： sin230°+cos260°+sin30°cos60°=sin220°+cos250°+sin20°cos50°=sin215°+cos245°+sin15°cos45°=分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明． 考点：归纳推理． 专题：推理和证明． 分析：我们可以发现等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数，由此不难得到结论 解答：解：观察以下各式： ∵sin230°+cos260°+sin30°cos60°=，sin220°+cos250°+sin20°cos50°=， ∴sin230°+cos2（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）=，sin220°+cos2（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）=， 于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出． 证明：左边=====右边． 点评：本题主要考查了归纳推理，通过观察个别情况发现某些相同性质，从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属基础题． 17．已知a＞b＞c，且a+b+c=0，求证： （Ⅰ）a＞0，c＜0； （Ⅱ）． 考点：分析法和综合法；不等式的证明． 专题：证明题． 分析：（1）因a＞b＞c，故0=a+b+c＜3a，所以a＞0，同理可证c＜0； （2）利用分析法，将证明的不等式转化为证明：（a﹣b）（2a+b）＞0，因为a＞b，a﹣b＞0，即证2a+b＞0，又因为a+b=﹣c即证a﹣c＞0，即证a＞c，故得证． 解答：证明：（1）因a＞b＞c，故0=a+b+c＜3a，所以a＞0， 同理0=a+b+c＞3c， ∴c＜0； （2）要证，即证 即证b2﹣ac＜3a2即3a2﹣b2+ac＞0 又因为c=﹣a﹣b即证3a2﹣b2+a（﹣a﹣b）＞0 即证2a2﹣ab﹣b2＞0 即证（a﹣b）（2a+b）＞0 又因为a＞b，a﹣b＞0，即证2a+b＞0，又因为a+b=﹣c即证a﹣c＞0 即证a＞c 又由已知，a＞c，故原不等式成立 点评：本题以等式与不等式为前提，考查不等式的证明，证题的关键是利用分析法，将要证明的问题，转化为证明已知的条件会结论． 18．已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：不可能是等差数列． 考点：等差关系的确定． 专题：证明题；反证法． 分析：本题考查等差数列的证明、反证法的证题方法，由“不可能成等差数列”自然想到反证法，先假设数列成等差数列，在此基础上进行推理，由推理结果矛盾使问题得证． 解答：证明（反证法）：假设成等差数列， 则 又∵a，b，c成等差数列，且公差不为零， ∴a﹣b=b﹣c≠0．由以上两式，可知．． 两边都乘以ac，得a=c． 这与已知数列a，b，c的公差不为零，a≠c相矛盾， 所以数列不可能成等差数列 点评：反证法是一种间接证法，一般地由证明转向证明与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定为假，推出为真的方法叫做反证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论． 19．已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=﹣1， （1）试求常数a、b、c的值； （2）试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由． 考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法． 专题：计算题． 分析：（1）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值． （2）求出f′（x）并分解因式讨论x的取值决定f′（x）的正负研究函数的增减性得到函数的极值． 解答：（1）解：由f′（1）=f′（﹣1）=0， 得3a+2b+c=0，① 3a﹣2b+c=0．② 又f（1）=﹣1，∴a+b+c=﹣1．③ 由①②③解得a=，b=0，c=﹣． （2）解：f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣=（x﹣1）（x+1）． 当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0． ∴x=﹣1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值． 点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及用待定系数法求函数解析式的能力． 20．已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2 （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值； （Ⅲ）对一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围． 考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性． 专题：综合题；压轴题；转化思想． 分析：（I）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范围即为函数的减区间，令f ′（x）大于0求出x的范围即为函数的增区间；（Ⅱ）当时t无解，当即时，根据函数的增减性得到f（x）的最小值为f（），当即时，函数为增函数，得到f（x）的最小值为f（t）； （Ⅲ）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根据x大于0解出，然后令h（x）=，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0时x的值，利用函数的定义域和x的值分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最大值，即可求出a的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得 ∴f（x）的单调递减区间为 令f′（x）＞0解得 ∴f（x）的单调递增区间为； （Ⅱ）当时，t无解 当，即时， ∴； 当，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增， ∴f（x）min=f（t）=tlnt ∴； （Ⅲ）由题意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1 ∵x∈（0，+∞） ∴ 设，则 令h′（x）=0，得（舍） 当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0 ∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2 ∴a≥﹣2 故实数a的取值范围[﹣2，+∞） 点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的额单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道中档题．。

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的横线上） 13．已知 (1 + 2 x ) n = a o + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + ⋯ + a n x n ，若 a 2 = 40 ，则 n = _____． 14．小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把 4 枚硬 币叠成一摞 （如图） ， 则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相 对的概率是_____ ． 15． 如图是抛物线 形拱桥， 当水面在如图所示的 n 处时， 拱顶离水面 2 米 ， 水面宽 4 米， 水位上升 1 米后，水面宽 米．
6． 为了研究某班学生的身高 y （单位：厘米）和脚长 x （单位：厘米）的关系，从该班 随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，
10
10
ˆ +a 设其回归直线方程为 y ˆ = bx ˆ ．已知
值是 A．750 B．75
∑ xi = 225 ， ∑ y i
取值范围是 A． ⎢
⎡ 5 ⎤ ， 10⎥ ⎣ 5 ⎦
2
B． ⎢
⎡ 5 ⎤ ， 2⎥ ⎣ 5 ⎦
C． ⎢ ,10⎥ ⎣5 ⎦
2
⎡1
⎤
D． ⎢ , 2 ⎥ ⎣5 ⎦
2
⎡1 ⎤
11．设 P 是抛物线 C1 : x = 4 y 上的动点， M 是圆 C2 : ( x − 5) + ( y + 4 ) = 4 上的动点， d 是点 P 到直线 y = −2 的距离，那么 d +|PM|的最小值是（ ） C． 5 2 ��� � ��� � 12．给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为 A． 5 2 − 2 B． 5 2 − 1 D． 5 2 + 1

清远市2018—2019学年度第一学期期末教学质量检测高三理科数学试卷本试卷共4页，共23小题，满分150分,考试用时120分钟．参考公式：1.锥体的体积公式V =,31sh 其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 2.线性回归方程及其系数公式：a x b yˆˆˆ+=，x b y a x n xyx n y xb n i ini i iˆˆ,ˆ1221-=-⋅-=∑∑==．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题卡中．）1. 设集合{}20≤≤∈=x R x M ，{}0)1)(3(<+-∈=x x Z x N ，则=N M A ． []2,0 B ． ()3,1- C ． {}1 D ． {}2,1,02. 设复数z 满足()i i z +=-31（其中i 为虚数单位），则z = A. i +-2 B. i 21- C.i 21+ D. i +23. 等比数列{}n a 中，满足21=a ，且1a ，12+a ，3a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为A. 1B. 2C. 2-D. 44. 如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为A.316B. 8-π32C.332D.8+π325. 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为41，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为A ．121B ．127 C ．41 D ． 1256．如图，矩形ABCD 中曲线的方程分别是y =sin x ，y =cos x ， 在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概 率为A ．2π B ．2πC ．4π D ．4π7．世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的21是较小的三份之和，则最小的1份为A ．316磅B ． 35磅 C ．94磅 D ．34磅8. 下列命题中正确的是A ．在△ABC 中，sin2sin2AB =是△ABC 为等腰三角形的充要条件 B ．“0>x ”是“x x sin >”成立的充分条件C ．命题“000(0,),ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“(0,),ln 1x x x ∀∉+∞≠-” D．命题“若22x =，则x =x =”的逆否命题是“若x ≠x ≠22x =”9． 将函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象向左平移6π个单位长度后得到函数g (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式是A.)62sin()(π-=x x f ；B.)62sin()(π+=x x fC.)32sin()(π-=x x f ；D.)32sin()(π+=x x f10. 已知011<<b a ，给出下列三个结论：①22b a <； ②2>+ba ab ；③ab a lg lg 2>．其中所有的正确结论的序号是 A ． ①② B ． ①③ C ． ②③ D ． ①②③11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，M ，N 分别在是线段1AB ，1BC 的中点，以下结论：①直线MN AA 直线⊥1；②直线MN 与直线AC 异面；③直线11B BDD MN 平面⊥；④122AA MN =，其中正确的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC→的最小值是A ．2B ．0C ．－2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）13. 52)1)(13(x x+-的常数项是_____________ .14. 设向量()2,1-=a ，若单位向量．．．．b 满足()b a a 3-⊥，则⋅= . 15. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n =____；现由成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是______.16. 对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)( （0,,,,≠∈a R d c b a ）有如下定义：设()x f '是函数()x f 的导函数，()x f ''是函数()x f '的导函数，若方程()x f ''=0有实数解m ，则称点()()m f m ,为函数()x f y =的“拐点”。

2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（理科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：1、锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|30}M x x x =-=，集合{|21,}N x x n n Z ==-∈，则M N = ( ) A. {3} B.{0} C.{0,3} D. {3}- 2．设复数31iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z = A ．12i - B. i 21+ C. 2i - D. 2i + 3．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）A.()ln f x x =B.()2sin f x x x =+C.1()f x x x=+D.()x xe f ex -=+4．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是( )．A.6-B.1-C.4D.65．执行如图1所示的程序框图,输出的z 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．某几何体的三视图如图2所示(单位：cm), 则其体积和表面积分别是（ ）A. 6π3cm 和12(1)π+2cmB. 6π3cm 和12π2cmC. 12π3cm 和12(1)π+2cmD. 12π3cm 和12π2cm7．平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是( ) A.28 B.29 C.30 D.278．已知集合{1,3,7,,(21)}()n n A n N *=-∈ ，若从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记123n n S T T T T =++++ ．例如当1n =时，1{1}A =，111,1T S ==；当2n =时，212{1,3},13,13A T T ==+=⨯，213137S =++⨯=.则n S =（ ）． A.21n- B. 2121n -- C.(1)121n n -+- D.(1)221n n +-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9．函数()f x =的定义域为10．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则3a =11．在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是____________.（用数字作答）12．曲线32361y x x x =++-的切线中,斜率最小的切线方程为___________.13．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆2240x y x +-=(24)x ≤≤ 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ∙=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线(0)4πθρ=≥与4cos ρθ=的交点的极坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，90oACB ∠=，CE AB ⊥于点E ,以AE为直径的圆与AC 交于点D ，若24BE AE ==，3CD =，则______AC =三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()sin 6f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,(0,R)A x >∈的最大值为2.(1) 求()fπ的值； (2) 若3sin 5θ=-,,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,求26f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17.（本小题满分12分）一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：（1） 根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.E ξ（附:线性回归方程 y bxa =+ 中， 121()(),,()niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 其中,x y 为样本平均值，ˆˆ,ba 的值的结果保留二位小数.）18. （本题满分14分）如图4，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，12PA AB BC AD ===，四边形ABCD 是直角梯形中，90ABC BAD ∠=∠=︒．（1）求证: CD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PD C --的余弦值．19.（本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足11a =,11n n n a a n a ++-=,n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .(3)证明：22221232n a a a a ++++< .20. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程; (2)若线段AB 中点的横坐标为12,求直线l 的方程; (3) 若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦AB 的中点为P ,试求DPAB的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 21)f x x ax x a -+=+（(其中常数0a ≠). (1) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(2) 若()f x 在 1x =处取得极值，且在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题高三数学（理科）参考答案9．(,3][1,)-∞-+∞ 10. 8 11. 45 12. 320x y --= 13. [5,5]-14.(0,0),,4π⎛ ⎝ 15.831【解析】{0,3}M =，{,1,1,3,}N =- ,M N = {3}2【解析】 223(3)(1)324221(1)(1)12i i i i i iz i i i i i --++-+=====+--+-, 2z i =-.3【解析】()()2sin 2cos 0f x x x x ''=+=+>,()2sin()()f x x x f x -=-+-=-4【解析】画图可知，四个角点分别是(0,2),(1,1),(1,1),(0,2)A B C D --，可知max 6A z z == 5【解析】1:1,1;2:2;2;3:8,3S s a S s a S s a ======，4:64,4S s a ==62log 26z ==，结束。