2020年陕西省高三教学质量检测卷(一)数学(文科)及答案

2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 2] B.(−1, 3) C.{1} D.{1, 2}2.z =5i1−2i （i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i3.已知向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=() A.4 B.−4 C.0 D.24.已知sin(α−π2)=2sinα，则tan2α的值为（ ） A.−43 B.−34C.165D.125.函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________.7.已知函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，则f(log 215)=()A.516B.54C.52D.58.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.AB.BC.DD.E9.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,π6] B.(0,23π] C.(π3,5π6] D.(π3,23π]10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.4 B.log27 C.2 D.−211.若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.√3B.2√33C.√5 D.2√5512.已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B （x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1+ln2, +∞)B.(−1−ln2, +∞)C.(−34,+∞) D.(ln2−ln3, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）13.曲线y ＝x 3−2x +4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________．14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，b −c ＝2，cosA =−14，则a 的值为________2√6．15.正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P−ABCD =163，则球O 的体积是________323π．16.已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题）17.已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． (1)求通项a n ；(2)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x ¯和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． (i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：19.如图，在四面体PABC中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4√2，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．20.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1, 0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．21.已知函数f(x)＝lnx+ax−1(a∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=−√33ty=2+√63t（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|x−2|+|x−3|．（1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x+1|的解集包含[3, 5]，求实数a的取值范围．2020年陕西省汉中市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}，则A ∩B ＝（ ） A.[1, 2] B.(−1, 3) C.{1} D.{1, 2}【解答】 ∵集合A ＝[1, 2]，B ＝{x ∈Z|x 2−2x −3<0}＝{x ∈Z|−1<x <3}＝{0, 1, 2}， ∴A ∩B ＝{1, 2}．2.z =5i1−2i （i 是虚数单位）则z 的共轭复数为（ ） A.2−i B.2+i C.−2−i D.−2+i【解答】∵z =5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i(1+2i)5=−2+i ，∴z ¯=−2−i ．3.已知向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=() A.4 B.−4 C.0 D.2【解答】向量a →,b →满足|a →|=1,a →⋅b →=−2，所以：a →⋅(2a →−b →)=2|a →|2−a →⋅b →=2+2=4， 4.已知sin(α−π2)=2sinα，则tan2α的值为（ ） A.−43 B.−34C.165D.12【解答】解：由sin(α−π2)=−cosα=2sinα， 可得：tanα=−12， 故tan2α=2tanα1−tan 2α=−43． 故选A .5.函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ． 当x →−∞时，y →+∞，排除B ，当x →+∞时，x 3<3x −1，此时y →0，排除D ，6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______________. 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有C 42=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法， 红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法， 所以所求的概率为46=23． 故答案为：23. 7.已知函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，则f(log 215)=()A.516 B.54C.52D.5【解答】根据题意，函数f(x)={(12)x ,x ≥0f(x +2),x <0，又由log 215=−log 25，则−3<log 215=−log 25<−2， 则f(log 215)＝f(−log 25)＝f(2−log 25)＝f(4−log 25)＝f(log 2165)=(12)log 2165=2log 2516=516，8.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.AB.BC.DD.E【解答】同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．9.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，若f(x)在x∈[0, t)时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A.(0,π6] B.(0,23π] C.(π3,5π6] D.(π3,23π]【解答】由题意，2πω=π，得ω＝2．∴f(x)=sin(2x+π6)．当x∈[0, t)时，2x+π6∈[π6, 2t+π6)，∵f(x)在[0, t)上没有最小值，∴5π6<2t+π6≤3π2，∴π3<t≤2π3，∴t的取值范围为：(π3, 2π3]，10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(32+x)=f(x−32)，且x∈(−32,0)时，f(x)＝log2(−3x+1)，则f(2020)＝（）A.4 B.log27 C.2 D.−2【解答】根据题意，f(x)满足f(32+x)=f(x−32)，即f(x+3)＝f(x)，函数f(x)是周期为3的周期函数，则f(2020)＝f(1+2019)＝f(1)，又由f(x)为奇函数，则f(1)＝−f(−1)＝−log2(3+1)＝−2，故选：D．11.若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A.√3B.2√33C.√5 D.2√55【解答】双曲线C:x 2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，圆(x−2)2+y2＝2的圆心(2, 0)，半径为√2，双曲线的一条渐近线被圆(x−2)2+y2＝2所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√(√2)2−12=1=√22，4b2c=4c2−4a2c=1，解得：e=ca =2√33，12.已知函数f(x)=14x2+12x+a(x<0)，g(x)＝lnx(x>0)，其中a∈R．若f(x)的图象在点A（x1, f(x1)）处的切线与g(x)的图象在点B （x2, g(x2)）处的切线重合，则a的取值范围是（）A.(−1+ln2, +∞)B.(−1−ln2, +∞)C.(−34,+∞) D.(ln2−ln3, +∞)【解答】由题意知，x 1<0<x 2，当x 1<0时，函数f(x)在点A （x 1, f(x 1)）处的切线方程为y −(14x 12+12x 1+a)＝(12x 1+12)(x −x 1)；当x 2>0时，函数g(x)在点B （x 2, g(x 2)）处的切线方程为y −lnx 2=1x 2(x −x 2)．两直线重合的充要条件是1x 2=12x 1+12①，lnx 2−1=−14x 12+a ②，得a ＝lnx 2+(1x 2−12)2−1＝−ln 1x 2+(1x 2−12)2−1，令t =1x 2，由①及x 1<0<x 2知，则0<t <12，且a ＝t 2−t −lnt −34，设ℎ(t)＝t 2−t −lnt −34(0<t <12)， 则ℎ′(t)＝2t −1−1t =2t 2−t−1t=(t+1)(2t−1)t ，当t ∈(0, 12)时，ℎ′(t)<0，ℎ(t)在(0, 12)为减函数， 则ℎ(t)>ℎ(12)＝ln2−1，又t →0时，ℎ(t)→+∞． ∴a >ln2−1，则a 的取值范围是(ln2−1, +∞)．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上）曲线y ＝x 3−2x +4在(1, 3)处的切线的倾斜角为________． 【解答】y′＝3x 2−2，切线的斜率k ＝3×12−2＝1． 故倾斜角为45∘．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√15，b −c ＝2，cosA =−14，则a 的值为________2√6． 【解答】由于cosA =−14，则π2<A <π， 利用sin 2A +cos 2A ＝1，解得sinA =√154， 由于△ABC 的面积为√15，所以12bcsinA =√15，解得bc ＝8． 由于b −c ＝2，所以(b −c)2＝4，整理得b 2+c 2＝20，所以a 2＝b 2+c 2−2bccosA =20+2×8×14=24， 解得a ＝2√6．正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A 、B 、C 、D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果V P−ABCD =163，则球O 的体积是________323π． 【解答】如图，正四棱锥P −ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，∴PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，VP −ABCD =163，∴13⋅2R 2⋅R =163，解得：R ＝2，球O 的体积：V =43πR 3=323π，已知函数f(x)＝log a (x +3)−1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +4＝0上，其中mn >0，则1m+1+2n 的最小值为________． 【解答】由f(x)＝log a (x +3)−1知，f(x)过定点A(−2, −1)． 因为点A 在直线mx +ny +4＝0上，所以2m +n ＝4， 又mn >0，所以m >0，n >0， 所以1m+1+2n =(1m+1+2n )(m+13+n6)=23+n6(m+1)+2(m+1)3n≥23+2√n6(m+1)⋅2(m+1)3n=43，当且仅当n6(m+1)=2(m+1)3n，即m =12，n ＝3时取等号，所以1m+1+2n 的最小值为43．三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，第22～23题为选考题） 已知等差数列{a n }满足a 4=7，2a 3+a 5=19． (1)求通项a n ；(2)设{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n }通项公式及前n 项和T n ． 【解答】解：(1)∵a 4=7，2a 3+a 5=19． {a +3d =7,2(a 1+2d)+a 1+4d =19,解得d =2，a 1=1， ∴a n =2n −1.(2)∵{b n −a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n −a n =2n ， ∴b n =2n +2n −1，∴T n =(2+22+...+2n )+[1+3+...+(2n −1)] =2(1−2n )+1+2n −1⋅n=2n+1+n 2−2.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x ¯和中位数a(a 的值精确到0.01)；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5, 7, 5)，[7.5, 8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． (i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),(n =a +b +c +d)． 临界值表：【解答】该组数据的平均数x ¯=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯因为0.03+0.1+0.2+0.35＝0.68>0.5，所以中位数a ∈[8.5, 9.5)， 由0.03+0.1+0.2+(a −8.5)×0.35＝0.5，解得a =0.5−0.330.35+8.5≈8.99；(i)每周阅读时间为[6, 5, 7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5, 8.5)的学生中抽取6名．………………………………理由：每周阅读时间为[6, 5, 7.5)与每周阅读时间为[7.5, 8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．……………………(ii)由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03+0.1+0.2)＝66人，超过8.5小时的共有200−66＝134人． 于是列联表为：………… K 2的观测值k =200×(40×74−26×60)266×134×100×100≈4.432>3.841，……所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．… 如图，在四面体PABC 中，PA ＝PC ＝AB ＝BC ＝5，AC ＝6，PB ＝4√2，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．【解答】证明：因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，在Rt△PAO中，PA＝5，OA＝3，且PA为直角三角形的斜边，由勾股定理，得PO＝4，因为BA＝BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC．在Rt△BAO中，因为BA＝5，OA＝3，由勾股定理，得BO＝4．因为PO＝4，OB＝4，PB＝4√2，有PO2+OB2＝PB2，则PO⊥OB，且BO∩AC＝O，BO，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，而PO⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC．由（1）可知平面PAC⊥平面ABC．因为平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为在△AOP中，Q是AP的中点所以S△PQ0=12S△PA0＝3，所以V P−OBQ＝V B−POQ=13S△PQ0⋅BO=13×12S△PA0×4=13×3×4＝4．已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的√3倍，焦距为2√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1, 0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．【解答】解：(1)依题意c=√2，{a =√3b,a 2−b 2=2,解得{a =√3,b =1, ∴椭圆方程是x 23+y 2=1； (2)假若存在这样的k 值，由{y =kx +2,x 2+3y 2=3得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0． ∴Δ=(12k)2−36(1+3k 2)>0①，设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2,x 1x 2=91+3k 2,②而y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4. 要使以CD 为直径的圆过点E(−1, 0)， 即CE ⊥DE ，则y 1x1+1⋅y 2x2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0,∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0③，将②式代入③整理解得k =76，经验证，k =76，使①成立． 故存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ． 已知函数f(x)＝lnx +ax −1(a ∈R)． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)的图象与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x 1，x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<1x 1+1x 2．【解答】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x +a =ax+1x．当a ≥0时，f ′(x)>0，f(x)在(0, +∞)上单调递增；…………………………当a <0时，由f ′(x)＝0，得x =−1a ． 若x ∈(0,−1a )，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 若x ∈(−1a ,+∞)，f ′(x)<0，f(x)单调递减 综合上述：当a ≥0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a <0时，f(x)在(0,−1a )单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减．………………（2）证明：由(Ⅰ)知，当a≥0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，不满足条件．当a<0时，f(x)的极大值为f(−1a)=−ln(−a)，由已知得−ln(−a)＝0，故a＝−1，此时f(x)＝lnx−x+ 1．……………………不妨设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2等价于ln x2x1<x2x1−x1x2+x2−x1，即证：ln x2x1−x2x1+x1x2<x2−x1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯令g(x)=lnx−x+1x(x> 1)，………………………………………………………故g(x)在(1, +∞)单调递减，所以g(x)<g(1)＝0<x2−x1．所以对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<1x1+1x2成立．…[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为{x=−√33ty=2+√63t（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P(0, 2)，直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．【解答】直线C1的参数方程为{x=−√3t3y=2+√63t（其中t为参数），消去t可得√2x+y−2=0．由ρcos2θ＝3sinθ，得ρ2cos2θ＝3ρsinθ，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2＝3y；将直线C1的参数方程{x=−√33ty=2+√63t代入x2＝3y，得t2−3√6t−18=0，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t 1+t 2=3√6，t 1t 2＝−18，∴|PM|2+|PN|2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=90． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x −2|+|x −3|． （1）求不等式f(x)<2的解集；（2）若f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，求实数a 的取值范围． 【解答】f(x)={2x −5,x >31,2≤x ≤35−2x,x <2 ，由f(x)<2，解得32<x <72，即不等式f(x)<2的解集是{x|32<x <72}；f(x)≥a|2x +1|的解集包含[3, 5]，即当x ∈[3, 5]时不等式恒成立， 当x ∈[3, 5]时，f(x)＝2x −5，f(x)≥a|2x +1|，即2x −5≥a(2x +1)， 因为2x +1>0，所以2x−52x+1≥a ，令g(x)=2x−52x+1=1−62x+1，x ∈[3, 5]，易知g(x)在[3, 5]上单调递增， 所以g(x)的最小值为17，因此a ≤17，即a 的取值范围为a ∈(−∞,17]．。

2020届陕西省西安市长安一中高三上学期第一次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}11A x N x =∈-<≤，{}11B x Z x =∈-≤<，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．∅C ．{}0D ．()1,1-【答案】C【解析】化简集合A ，B ，求交集即可. 【详解】{}{}110,1A x N x =∈-<≤=，{}11={1,0}B x Z x =∈-≤<-，{0}A B ∴=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2．已知复数1i z =--（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则2z z +的虚部为（ ） A ．i B ．3C ．1D ．3i【答案】B【解析】根据复数的乘法及加法运算化简，由复数概念即可求解. 【详解】1i z =--,22(1)(1)13z z i i i ∴+=--+-+=-+, ∴复数的虚部为3，故选：B . 【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题.3．如图，有四个形状的游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想增加中奖机会，则应选择的游戏盘是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则转盘的阴影面积与转盘面积比最大即可． 【详解】根据几何概型的概率公式可知，中奖的概率等于阴影部分面积与游戏转盘面积之比， 由图形知，则A 转盘的中奖概率小于12，B 转盘的中奖概率是34，C 转盘的中奖概率是58，D 转盘的中奖概率是23， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，属于容易题．4．已知著名的狄利克雷函数() 1,0,R x Q f x x Q ∈⎧=⎨∈⎩，其中R 为实数集，Q 为有理数集，若m R ∈，则()()()f f f m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法求【答案】B【解析】分别讨论m Q ∈和R m Q ∈可求解． 【详解】若m Q ∈，则()1f m =，()()()()()()111f f f m f f f ∴===，若R m Q ∈，则()0f m =，()()()()()()011f f f m f f f ∴===，故选：B ． 【点睛】本题以狄利克雷函数为载体，考查了函数的概念与性质的应用问题，属于容易题.5．以()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭为焦点的抛物线C 的准线与双曲线()2220x y a a -=>两条渐近线相交于M 、N 两点，若OMN ∆的面积为4，则抛物线C 的标准方程为（ ） A ．28y x = B ．28x yC ．24x y =D ．28x y =【答案】D【解析】根据抛物线的准线方程，以及双曲线的渐近线方程，得出OMN 为等腰直角三角形，根据面积为4列式计算，得出p 的值，即可得出抛物线的标准方程． 【详解】抛物线C 的准线为2py =-，双曲线222(0)x y a a -=>， 两条渐近线为y x =±，OMN ∴为等腰直角三角形，则2114224OMNp Sp p =⋅⋅==， 4p ∴=，抛物线C 的标准方程为28x y =， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的性质及几何意义，属于容易题． 6．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2ii y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（ ） A ．6.1 B ．22.1C ．12.6D ．3.5【答案】A【解析】求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可.由表格知，196x =， 6119.2ii y==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+， 1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+， 当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用， 属于中档题.7．如图所示的程序框图是求3333---的值的程序，则判断框中应填入（ ）A ．1i ≥B ．5i ≤C ．5i >D ．7i ≤【答案】B【解析】根据框图，模拟程序的运算即可求解. 【详解】由程序框图得，3S =1i =，满足条件得33S =-3i =，满足条件得333S =--， 5i =，满足条件3333S =---， 7i =，否，输出S 的值，结束程序，因此判断框应该是5i ≤， 故选：B ．本题主要考查了算法的程序框图，基本逻辑结构中的循环结构，属中档题.8．已知命题:p x R ∀∈，40x x +≥，则下列判断正确的是（ ）A ．:p x R ⌝∀∈，40x x +<是真命题B ．:p x R ⌝∀∈，40x x +≤是假命题 C ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +≥是真命题 D ．0:p x R ⌝∃∈，4000x x +<是假命题【答案】D【解析】根据命题p 的真假及含量词的命题的否定即可求解. 【详解】命题p 是真命题，p ∴⌝是假命题，且命题的否定为：，4000x x +<，故选：D . 【点睛】本题考查了全称量词命题的否定及真假判定,属于容易题.9．如图所示，是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83π-B ．283π-C ．8π-D ．82π-【答案】B【解析】根据三视图可得几何体的形状及数据，计算即可求值. 【详解】由三视图知，该几何体为一个正方体挖去两个半圆锥得到的几何体，∴体积为3211222128323V ππ=-⨯⨯⋅⨯=-，故选：B ． 【点睛】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键属于中档题.10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且面积2S =，2c a=，则角B 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】由三角形面积公式得211csin sin24S a B c B ==，又由2S =可得221sin4c B =化简得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可．【详解】2ca=， 211csin sin 24S a B c B ∴==，又2S =，221sin4c B ∴= 即221sin4c B =cos 2B B +=，sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，7666B πππ<+<， 62B ππ∴+=，则3B π=，故选：C ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，三角形面积公式，考查运算化简的能力，属于中档题．11．已知函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，()g x 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，则AOB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．14【答案】A【解析】根据题目条件，逐步分析，首先得出()f x 的解析式，再变换为()g x 的解析式，求出点A 、B ，易得AOB 的面积． 【详解】由题设知，()f x 的周期为π，22ππωω∴=⇒=，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位得到，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()02g ∴=，即()0,2A ，()g x 的图象与x 轴在y 右侧的第一个交点为B ，,04B π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1122244AOBSOA OB ππ=⋅=⨯⨯=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质，属于中档题．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N ，且2OM OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．2D 1【答案】D【解析】由椭圆的性质可先求得ON =，故可得130NF O ∠=︒，再由椭圆的定义得a ，c 的关系，故可得答案． 【详解】21||OM OF OF ==，1290F MF ∴∠=︒，又2OF =，3ON c ∴=，则11tan ON NFO OF ∠==， 130NF O ∴∠=︒，则2MF c =，1MF =，2c a +=， 1e ∴=，故选：D . 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，属于中档题.二、填空题13．已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C ，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB 的模为______.【答案】【解析】由OB OA OC =+得出向量的坐标，再求模即可． 【详解】由向量的平行四边形法则知，()()()2,01,33,3OB OA OC =+=+=，23OB ∴==故答案为： 【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题.14．设不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为M ，则M 的面积是______.【答案】2【解析】作出不等式组所表示的区域，即可求解. 【详解】作出不等式组11y x y x ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩表示的可行域如图所示，则M 为正方形ABCD 2，M ∴的面积是2．故答案为：2． 【点睛】本题考查线性规划所表示的可行域面积问题，属于中档题． 15．sin 75tan195=______. 62-【解析】根据诱导公式化简即可求值. 【详解】sin 75tan195cos15tan15sin15=︒︒=︒,62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=, 62sin 75tan1954-∴=, 故答案为：624【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦公式，属于容易题.16．已知函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，且函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，若[]1,x e ∈时，不等式()()()2ln 121ln 12f m x f f x m --≤++-恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立，故解得m 的取值范围．【详解】函数()1y f x =-的图象关于()1,0对称，∴函数()y f x =的图象关于()0,0对称，即函数()y f x =为奇函数，不等式()()()212112f m lnx f f lnx m --≤++-变为:()()()211221f m lnx f lnx m f ---+-≤，即()()()212121f m lnx f m lnx f --+--≤，()()211f m lnx f --≤，又()f x 函数在[)0,+∞上单调递减，()f x ∴在R 上单调递减，则12ln 111ln 2m x m x --≥⇒≥+在[]1,x e ∈时恒成立， 11ln 2y x =+在[]1,e 上递增，max 131ln 22y e ∴=+=，故32m ≥．故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于难题.三、解答题17．在“互联网+”时代的今天，移动互联快速发展，智能手机（Smartphone ）技术不断成熟，尤其在5G 领域，华为更以1970件专利数排名世界第一，打破了以往由美、英、日垄断的前三位置，再次荣耀世界，而华为的价格却不断下降，远低于苹果；智能手机成为了生活中必不可少的工具，学生是对新事物和新潮流反应最快的一个群体之一，越来越多的学生在学校里使用手机，为了解手机在学生中的使用情况，对某学校高二年级100名同学使用手机的情况进行调查，针对调查中获得的“每天平均使用手机进行娱乐活动的时间”进行分组整理得到如下的数据：（1）求表中a 的值；（2）从该学校随机选取一名同学，能否根据题目中所给信息估计出这名学生每天平均使用手机进行娱乐活动小于3.5小时的概率？若能，请算出这个概率；若不能，请说明理由；（3）若从使用手机1小时和7小时的两组中任取两人，调查问卷，看看他们对使用手机进行娱乐活动的看法，求这2人都使用7小时的概率.【答案】（1）25％（2）抽取到高二的学生能估计，概率为0.53，抽取到高一高三的学生不能估计（3）115【解析】()1由已知易知100410311612225a =------=％％％％％％％％；()2分情况讨论，当抽到的是高二年级时可以估计，若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3抽取6人中编号，写出所有基本事件，找出满足事件A 的结果数，求解．【详解】()1由题设知，100410311612225a =------=％％％％％％％％． ()2样本是从高二年级抽取的，∴根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机进行娱乐活动的平均时间，不能估计全校学生情况． 若抽取的同学是高二年级的学生，则可以估计这名同学每天平均使用手机小于3.5小时的概率大约为：0.040.10.310.080.53+++=；若抽到高一、高三的同学则不能估计；()3由题设知，使用1小时的人共有：10044⨯=％人，设为A ，B ，C ，D ，使用7小时的共有10022⨯=％人，设为a ，b ，从中任选2人有：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种情况，其中，这2人都使用7小时的只有ab ，∴所求概率为115P =． 【点睛】本题考查样本估计总体，古典概型求概率，属容易题．18．已知数列{}n a ，{}n b ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2n S n =，12b =，1112n n b a a b a +=+-.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n T 是数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数n ，使2019n n S T +=，若存在，求出正整数n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）24n b n =-+（2）存在正整数n 的值为673.【解析】()1取1n =，2时求得首项1a ，2a ，代入1112n n b a a b a +=+-，整理得到数列{}n b 是等差数列，再求通项公式;()2由等差数列求和公式求得数列{}n b 的前n 项和为T n ，结合2n S n =，再带入数值可求． 【详解】()21n S n =，11a ∴=，221413a S S =-=-=，代入1112n n b a a b a +=+-得，12n n b b +=-，又12b =，∴数列{}n b 是以2为首项，以2-为公差的等差数列，故24n b n =-+；()2由()1知，()()12224322n n n b b n n T n n +-+===-，又2n S n =，2233n n S T n n n n ∴+=+-=，由2019n n S T +=得，32019n =，673n ∴=，故存在正整数n 的值为673． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，属于中档题．19．如图，在半圆柱W 中，12,O O 分别为两底面半圆的圆心，平面ABCD 是半圆柱的轴截面，M 、N 分别是两底面半圆弧的中点.（1）求证：平面BMC ⊥平面2MNO ；（2）求半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值. 【答案】（1）证明见解析（2）34π【解析】（1）由面面垂直的判定定理可得； （2）根据圆柱、四棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】()1证明：M 、N 分别是上下底面圆弧的中点，//MN AB ∴，又平面ABCD 是半圆柱的轴截面，∴四边形ABCD 是矩形，则BC AB ⊥，BC MN ∴⊥，2O 为底面半圆的圆心，N 是底面半圆弧的中点， 2BC O N ∴⊥，又2MN O N N ⋂=，BC ∴⊥平面2MNO ，BC BMC ⊂平面， ∴平面BMC ⊥平面2MNO ；()2设半圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为AB ，∴半圆柱的体积为2112V r AB π=⋅，连结1MO ，由题设知，1MO ⊥平面ABCD ，∴四棱锥M ABCD -的体积为2211122333ABCD V S MO r AB r r AB =⋅=⋅⋅⋅=⋅， 则半圆柱的体积与四棱锥M ABCD -的体积的比值为：2122132243r AB V V r AB ππ⋅==⋅． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定、棱柱、圆柱体积的计算，考查推理能力和计算能力，属中档题．20．已知函数()()1xf x x e =-，()()21g x a x =+，a R ∈.（1）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，求函数()h x 的单调区间；（2）当1a =时，令()()()ln F x g x g x t x '=-+（t 为常数），若函数()F x 有两个极值点(),m n m n <，求证：()11ln 2042F n -<<. 【答案】（1）单调递减区间(),0-∞和()2,ln +∞，单调递增区间()0,ln2（2）证明见解析【解析】()1通过函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程求解的出()'2xh x xe x =-+，讨论x 的取值范围可确定()f x 的单调区间；()2函数()F x 由两个极值点m ，n 等价于()2220G x x x t =-+=有两个相异实根m ，n ，得出112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，利用单调性即可证明不等式． 【详解】()1由题设知，()()()211x h x x e a x =-++，函数()h x 在点()()0,0h 处的切线方程为2y kx =+，∴(0)12h a =+=，即1a =()()()'1222x x x x h x e x e x xe x x e ∴=-+-+=-+=-，x ∈R ，令()'0h x =，则0x =或ln2x =，∴当0x <或ln 2x >时，()0h x '<，当0ln 2x <<时，()0h x '> ∴函数()h x 在(),0-∞和()2,ln +∞上单调递减，在()0,ln2上单调递增.() 2证明：当1a =时， ()21g x x =+，()212F x x x tlnx ∴=+-+，0x >，则()222'22t x x t F x x x x-+=-+=，0x >，令()222G x x x t =-+，则()G x 为开口向上且对称轴为12x =的抛物线， 由题设知，()0G x =在()0,∞+上有两个相异实根m ，()n m n <，102m >> 即2220n n t -+=且112n <<，222t n n ∴=-+，112n <<，()()222121222F n n n tlnn n n n n lnn =+-+=+-+-+，()()()'22422242F n n n lnn n n lnn ∴=-+-+-+=-+，112n <<， ()420n lnn ∴-+>，则函数()F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112F F n F ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()11ln2042F n -<<．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21．已知圆()22:11F x y +-=，动点(),M x y ()0y ≥，线段FM 与圆F 交于点N ，MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =.（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设()()000,2P x y y >为曲线C 上的一点，过点P 作圆F 的两条切线，12,k k 分别为两切线的斜率，若12311k k =，求点P 的坐标. 【答案】（1）24x y =（2）()±【解析】()1利用抛物线的概念及标准方程直接得结论;()2 设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】()1圆F 的圆心为()0,1F ，半径为1，1MF MN ∴=+，又MH x ⊥轴，垂足为H ，MN MH =，∴动点()(),0M x y y ≥到点()0,1F 等于到直线1y =-的距离．故动点()(),0M x y y ≥的轨迹是以()0,1F 为焦点的抛物线， 则12p=， 2p ∴=，则动点M 的轨迹C 的方程是24x y =；()2设过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，则圆心()0,1F到切线的距离为1d ==，化简得，()()2220000012120x k x y k y y ---+-=，两切线斜率分别为1k ，2k ，200122021y yk k x -∴=-，由题设知，2002023111y y x -=-，又()00,P x y 为曲线C 上的一点， 由()1知，2004x y =，2000234111y y y -∴=-，即20113430y y -+=， 解得，0111y =或03y =， 02y >，03y ∴=，则0x =± ∴点P的坐标为()±．【点睛】本题考查了抛物线的概念及标准方程和定点与定值问题．属于中档题.22．直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为24x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ+-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）过曲线2C 的圆心且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于A 、B 两点，求22C A C B ⋅的值.【答案】（1）24y x =；22(2)(1)1x y ++-=（2）152【解析】()1消去参数及利用极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线1C ，2C 的普通方程；()2由直线l 的参数方程代入24y x =整理得221502t -+=，再运用几何意义可得答案． 【详解】()1由24x t y t=⎧⎨=⎩消去参数t 得，曲线1C 的普通方程为24y x =；222x y ρ=+，x cos ρθ=，y sin ρθ=，∴圆2C 的直角坐标方程为224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-=；()2曲线2C 的圆心为()2,1-，直线l 的倾斜角为4π， ∴直线l的参数方程为22(12x t ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)， 将其代入24y x =整理得，22150t +=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 则2212152C A C B t t ⋅==． 【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查圆的标准方程的法，直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，属于中档题. 23．已知函数()223x a a f x x -+++=.（1）当0a =时，若()f x m ≥恒成立，求m 的最大值； （2）()15f -<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3（2）11a <<-【解析】()1当0a =时，()3f x x x =++，根据绝对值三角不等式可得()3f x ≥，则3m ≤；()()221122f a a -=+++，原不等式即为24220a a -++<，讨论1a ≤-，1a >-两种情况分别求解即可．【详解】()1当0a =时，()3f x x x =++，()333x x x x ++≥-+=，()3f x ∴≥，则3m ≤，m 的最大值为3；()()22211123122f a a a a -=--+-++=+++，()15f ∴-<即为24220a a -++<，当1a ≤-时，24220a a ---<，即2260a a --<，解得11a -<<，11a ∴-，当1a >-时，24220a a -++<，即2220a a +-<，解得11a --<<-11a ∴-<<-+，综上，实数a 的取值范围是11a <<-． 【点睛】本题考查绝对值不等式及不等式恒成立问题,属于中档题.。

2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．34．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．236．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.59．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= ．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.63519．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（）A．B．C．D．【分析】z1﹣z2=﹣i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：z1﹣z2=﹣i是纯虚数，∴sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，∴sinθ=，cosθ=，则tanθ==﹣．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由A∪B={1，3，x}得到集合B是集合A的真子集，所以得到x2，等于3或x，分别求出x的值，经检验即可得到满足题意x的个数．【解答】解：因为A∪B={1，3，x}，A={1，3，x}，B={1，x2}，所以x2=3或x2=x，解得x=±或x=0，x=1（舍去），即满足条件的有3个．故选C．【点评】此题考查学生掌握并集的定义，以及理解集合元素的互异性，是一道基础题．3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（）A．1 B．C．2 D．3【分析】由两个向量的数量积的定义求出，再由可得=0可求m【解答】解：∵||=3，||=2，，的夹角为60°∴=||||cos60°=3×2cos60=3又∵∴==9﹣3m=0∴m=3故选D【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质．4．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．5．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选A【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【分析】按照程序框图的流程，判断出x的值是否满足判断框中的条件，求出所有输出的y值，再将各值加起来．【解答】解：第一次输出y=0；第二次输出y=0；第三次输出0；第四次输出y=0；第经过第五次循环输出y=0；第六次输出y=0.5；第七次输出y=1；第八次输出y=1；第九次输出y=1各次输出的和为0+0+0+0+0+0.5+1+1+1=3.5故选B【点评】本题考查解决程序框图的循环结构，常用的方法是求出前几次循环的结果找规律．9．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（）A．B．C．D．【分析】因为点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，【解答】解：半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，原点与该点的连线与x轴的夹角小于的区域如图：点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则；故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，首先正确画出满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a 的取值为（）A．1 B．C．1或D．【分析】问题转化为a=x3+x2﹣x（x≠1）的交点问题，令h（x）=x3+x2﹣x，（x≠1），画出函数h（x）的图象，结合图象求出a的值即可．【解答】解：联立y=f（x）和y=g（x）得 x2+3x+1=+x，整理可得 a=x3+x2﹣x，且 x≠1．令函数h（x）=x3+x2﹣x，可得函数h（x）的极值点在﹣1和处，画出h（x）的草图，如图示：当x=﹣1时，h（x）=1；当x=时，h（x）=﹣，故当a=1时，y=a和y=h（x）1个交点，因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．故当a=﹣时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．综上，只有当a=﹣时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个j交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（﹣2，1）．【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解不等式可得，﹣2＜a＜1，故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，一元二次不等式的求解，属于基础试题．14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是钝角三角形．【分析】利用正弦定理化简已知不等式可得a2+b2＜c2，进而利用余弦定理可求cosC＜0，结合C的范围即可判断得解．【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得＞0，∴sinA=，sinB=，sinC=．∵asinA+bsinB＜csinC，∴+＜，即a2+b2＜c2．∴cosC=＜0．∵0＜C＜π，∴＜C＜π．∴角C为钝角．∴△ABC的形状是钝角三角形．故答案为：钝角三角形．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•= 32 ．【分析】根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，∴x=6k﹣2，k∈Z∵2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故答案为：32．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．（1）求B的大小；（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．【分析】（1）利用余弦定理可得：cosB=﹣，B∈（0，π），可得B．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD．可得sin∠BAC=．可得cosC=cos（60°﹣∠BAC）．【解答】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2=b2﹣ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac．∴cosB==﹣=﹣，B∈（0，π），可得B=．（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD==．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣×2×=．∴sin∠BAC===．∴cosC=cos（60°﹣∠BAC）=+=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生表2：女生等级优秀合格尚待改进等级优秀合格尚待改进频数15 x 5 频数15 3 y（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．男生女生总计优秀非优秀总计参考数据与公式：K2=，其中n=a+b+c+d．临界值表：P（K2＞k0）0.05 0.05 0.01k0 2.706 3.8416.635【分析】（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．∴P（C）==，故所求概率为．男生女生总计优秀15 15 30非优秀10 5 15总计25 20 45（2）∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，而K2====1.125＜2.706，所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．【点评】本考查了独立检验思想在实际问题中的应用，属于中档题．19．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V M﹣CDE．【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，∴CF⊥平面MDF；（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，∴∠P=30°，∠PCD=60°，∴∠CDF=30°，CF=CD=；∵EF∥DC，∴=，即=，∴DE=，∴PE=，∴S△CDE=CD•DE=；MD===，∴V M﹣CDE=S△CDE•MD=××=．【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．（1）求椭圆方程；（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．【分析】（1）由椭圆的离心率公式e===，点P（1，y）（y＞0），根据三角形的面积公式即可求得y值，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）当l斜率不存在时，，；当l斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理y1+y2及y1•y2，求得=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4=0，，∠ADB是定值．．【解答】解：（1）由题意可知：e===，整理得：a2=b2，由直线x=1与椭圆相交，交点P（1，y）（y＞0），由题意可知：•1•2y=，解得：y=，将P（1，）代入椭圆方程，，解得b2=3，a2=4，∴椭圆的方程为：，．（2）当l斜率不存在时，，∴，∴；当l斜率存在时，设直线，由得（196+147m2）y2+84my﹣576=0，∵l与C有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＞0，且，∴，∵=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4，=+，==0，∴，综上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．（2分）由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）将代入（*），化简得y=x+2，（4分）所以直线l的倾斜角为．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），（7分）代入并化简，得．（8分）．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）所以．（10分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，（8分）故．（10分）【点评】本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R（1）求m，n的值；（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3，故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根，故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n，解得：m=﹣2，n=﹣3，当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，故m=﹣2，n=﹣3；（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1，由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，两边同时加a+b+c，可得3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，即有3（a+b+c）≥（++）2，即++≤=．（当且仅当a=b=c时取得等号）则++≤成立．【点评】本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．。

陕西省高考文科数试模拟题一一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（）A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D2．设z是复数z的共轭复数，且（1﹣2i）z=5i，则|z|＝（）A．3 B．5 C．√3D．√53．一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（）A．π4B．1−π4C．π2−1D．2π4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2b cos C”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（）A．2 B．3 C．4 D．56．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线y=12x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．﹣1 B．0 C．12D．17．已知两个非零单位向量e1→，e2→的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．∀θ∈R，（e1→+e2→）⊥（e1→−e2→）B．e1→在e2→方向上的投影为sinθC．e1→2=e2→2D．不存在θ，使e1→•e2→=√28．已知命题p：直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q：直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q）C．（非p）∧q D．p∧（非q）9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝110．抛物线y2＝ax（a＞0）的准线与双曲线C：x28−y24=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2√2，则a的值为（）A．8 B．6 C．4 D．211．函数y＝sin（2x+π3）的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点（−π12，0）中心对称（）A．向左平移π12B．向右平移π12C．向左平移π6D．向右平移π612．已知定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意x1，x2∈（0，3）都有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，若a=2−√3，b＝log23，c＝e ln4，则下面结论正确的是（）A．f（a）＜f（b）＜f（c）B．f（c）＜f（a）＜f（b）C．f（c）＜f（b）＜f（a）D．f（a）＜f（c）＜f（b）二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13．若sin（π2+α）=−35，α∈（0，π），则sinα＝．14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为．15．已知正方体内切球的体积为36π，则正方体的体对角线长为．16．已知椭圆x2a12+y2b12=1（a1＞b1＞0）与双曲线x2a22−y2b22=1（a2＞0，b2＞0）有公共的左、右焦点F1，F2，它们在第一象限交于点P，其离心率分别为e1，e2，以F1，F2为直径的圆恰好过点P，则1e12+1e22=．三．解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a1+a2＝6，a3﹣a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=1log2a n log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）销售某种活海鲜，根据以往的销售情况，按日需量x（公斤）属于[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．这种海鲜经销商进价成本为每公斤20元，当天进货当天以每公斤30元进行销售，当天未售出的须全部以每公斤10元卖给冷冻库．某海鲜产品经销商某天购进了300公斤这种海鲜，设当天利润为Y元．（Ⅰ）求Y关于x的函数关系式；（Ⅱ）结合直方图估计利润Y不小于800元的概率．19．（12分）如图1，在平面多边形BCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AB，AB＝2EF＝2，沿着AB 将图形折成图2，其中∠AED＝90°，AE＝ED，H为AD的中点．（1）求证：EH⊥BD；（2）求四棱锥D﹣ABFE的体积．20．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为12，直线l与椭圆C交于M、N两点．（I）求椭圆C的方程；（II）若直线l与圆O：x2+y2=125相切，证明：∠MON为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a（1﹣x）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）当f （x ）有最大值，且最大值大于2a ﹣2时，求a 的取值范围．选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数，α∈[0，π）），曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4sinα． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，若|PQ|=√15，求直线l 的斜率． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x +1|+|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≤3 的解集；（2）当x ∈[2，3]时，f （x ）≥﹣x 2+2x +m 恒成立，求m 的取值范围．一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1．【详解详析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ， 矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ， 正方形是矩形，所以C ⊆B ． 故选：B ．2．【详解详析】由（1﹣2i ）z =5i ，得z =5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−2+i ， ∴|z |＝|z |=√5． 故选：D ．3．【详解详析】以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为π， ∵边长为2的正方形的面积为4，∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为P =4−π4=1−π4．故选：B ．4．【详解详析】∵当a ＝2b cos C 时， ∴cos C =a2b ∵cos C =a 2+b 2−c 22ab∴a2b =a 2+b 2−c 22ab，化简整理得b ＝c∴△ABC 为等腰三角形．反之，“△ABC 是等腰三角形，不一定有b ＝c ， 从而a ＝2b cos C 不一定成立．则“a ＝2b cos C ”是“△ABC 是等腰三角形”的充分不必要条件． 故选：A ．5．【详解详析】三棱锥P ﹣BCD 的正视图是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1； 三棱锥P ﹣BCD 的假视图也是底面边长为1，高为2的三角形，面积为：1； 故三棱锥P ﹣BCD 的正视图与侧视图的面积之和为2， 故选：A ．6．【详解详析】由题设知，所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线y =12x +1上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1， 故选：D ．7．【详解详析】∵|e 1→|=|e 2→|=1，∴(e 1→+e 2→)⋅(e 1→−e 2→)=e 1→2−e 2→2=1−1=0，∴(e 1→+e 2→)⊥(e 1→−e 2→)，∴A 正确；e 1→在e 2→方向上的投影为|e 1→|cosθ=cosθ，∴B 错误；显然e 1→2=e 2→2，∴C正确；e 1→⋅e 2→=cosθ＜√2，∴不存在θ，使e 1→•e 2→=√2，∴D 正确． 故选：B ．8．【详解详析】根据线面平行的判定，我们易得命题p ：若直线a ∥b ，直线b ⊂平面α，则直线a ∥平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题q ：若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题；故：A 命题“p ∧q ”为假命题； B 命题“p ∨（￢q ）”为假命题； C 命题“（￢p ）∧q ”为真命题； D 命题“p ∧（￢q ）”为假命题．故选：C ．9．【详解详析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0）， 由圆与直线4x ﹣3y ＝0相切，可得圆心到直线的距离d =|4a−3b|5=r ＝1，化简得：|4a ﹣3b |＝5①，又圆与x 轴相切，可得|b |＝r ＝1，解得b ＝1或b ＝﹣1（舍去），把b ＝1代入①得：4a ﹣3＝5或4a ﹣3＝﹣5，解得a ＝2或a =−12（舍去）， ∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1． 故选：A ．10．【详解详析】抛物线y 2＝ax 的准线为x =−a4， 双曲线C ：x 28−y 24=1的两条渐近线为y ＝±√22x ，可得两交点为（−a 4，√28a ），（−a 4，−√28a ）， 即有三角形的面积为12•a 4•√24a ＝2√2， 解得a ＝8， 故选：A ．11．【详解详析】假设将函数y ＝sin （2x +π3）的图象平移ρ个单位得到：y ＝sin （2x +2ρ+π3）关于点（−π12，0）中心对称∴将x =−π12代入得到：sin （−π6+2ρ+π3）＝sin （π6+2ρ）＝0 ∴π6+2ρ＝k π，∴ρ=−π12+kπ2，当k ＝0时，ρ=−π12 故选：B ．12．【详解详析】根据题意，定义在R 上的函数f （x ）满足f （3﹣x ）＝f （3+x ），则函数f （x ）关于直线x ＝3对称，c ＝e ln 4＝4，f （c ）＝f （4）＝f （2）， 又由对任意x 1，x 2∈（0，3）都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，则函数f （x ）在（0，3）上为减函数，若a =2−√3=3，b ＝log 23，则有0＜a ＜1＜b ＜2，则f （c ）＜f （b ）＜f （a ），。

2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=r r )A B ．7 C ．5 D ．255．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( )A ．10B ．9C ．8D ．79．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ；④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．1311．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e-C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) AB．2C．2-D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 ． 14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件：22022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y =+的最大值是 ．15．（5分）已知22cos sin 2sin()(0x x A x b A ωϕ+=++>，0)ω>，则A = ，b = ． 16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 改写成以下形式：121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋯++ 1231210()n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋯++ 2313210(())n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(23)(13)(13)(13)(13)1f x x x x x x =+++++++++-，则(23)f -= ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin ,3)2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积．18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程23(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程3cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．2020年陕西省咸阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|22}A x N x =∈-<<，{1B =-，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}【解答】解：集合{|22}{0A x N x =∈-<<=，1}，{1B =-，1，2，3}， 则{1}A B =I ， 故选：A ．2．（5分）设21z i i =+g ，则(z = ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【解答】解：由21z i i =+g ，得212(12)()2i i i z i i i ++-===--． 故选：B ．3．（5分）记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20S =，则公比(q = ) A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定【解答】解：1(1)0a q +=，解得1q =-． 故选：B ．4．（5分）已知(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，则|2|(a b +=rr )A B ．7 C ．5 D ．25【解答】解：Q (1,2)a =r，(1,0)b =r ， ∴2(3,4)a b +=rr ， ∴|2|5a b +=rr ．故选：C ．5．（5分）“0x >”是“20x x +>”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由20x x +>，解得0x >，或1x <-．∴ “0x >”是“20x x +>”的的充分不必要条件，故选：A ．6．（5分）椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数(m = ) A ．23B ．25 C ．23-D ．25-【解答】解：椭圆2221x my -=的标准方程为：221112y x m +=-，一个焦点坐标为(0,，，解得25m =-，故选：D ．7．（5分）函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是( )A ．13[2,2]()44k k k Z -+∈B ．37[2,2]()44k k k Z ++∈C ．31[2,2]()44k k k Z -+∈D ．15[2,2]()44k k k Z ++∈【解答】解：解224k x k πππππ--剟得，312244k x k -+剟， ∴函数cos()4y x ππ=-的单调递增区间是31[2,2]()44k k k Z -+∈． 故选：C ． 8．（5分）已知121(0,0)x y x y+=>>，则2x y +的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．7【解答】解：Q121x y +=，且0x >，0y >，∴1242(2)()2248x y x y x y xyy x +=++=++++=…，当且仅当4x y y x=，即24y x ==时取等号，2x y ∴+的最小值为8．故选：C ．9．（5分）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥；③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β． 其中真命题的序号为( ) A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④【解答】解：①根据线面垂直的性质定理，可知①正确； ②根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可知②正确；③若//m α，//n α，则m 与n 的位置关系是平行、相交或异面，即③错误； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，即④错误． 故选：A ．10．（5分）有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为( ) A ．827B ．56C ．23 D ．13【解答】解：有编号为1，2，3的三个盒子和编号分别为1，2，3的三个小球， 每个盒子放入一个小球，基本事件总数336n A ==， 小球的编号与盒子编号全不相同包含的基本事件有： 编号为1，2，3的三个盒子对应的小球的编号分别为： 2，3，1或3，1，2，共有2个，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163p ==． 故选：D ．11．（5分）设函数()x f x x e =g ，则( ) A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -【解答】解：()(1)x f x x e '=+，当1x >-时，()0f x '>，函数单调递增，当1x <-时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =-时，函数取得极小值1(1)f e --=-． 故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ，Q ，M ，N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为( ) A ．22+B ．22+C ．22-D ．22-【解答】解：设MN 与x 轴交于E ，因为四边形PQMN 为正方形，所以OEN ∆为等腰直角三角形，所以2OE NE ON ==，由题意可得半径ON c =， 所以N 坐标2(c ，2)c ，而N 是12F F 为直径的圆交双曲线C 的交点， 代入双曲线方程可得：2222122c c a b-=，而222b c a =-，整理可得：4224420c a c a -+=，离心率ce a=所以可得：42420e e -+=，解得222e =+，所以22e =+， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y x lnx =g在点(1,0)处的切线的方程为 10x y --= ． 【解答】解：由()f x xlnx =，得 11y lnx x lnx x'=+=+g ，f ∴'（1）111ln =+=，即曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线的斜率为1，则曲线()f x xlnx =在点(1,0)处的切线方程为01(1)y x -=⨯-， 整理得：10x y --=． 故答案为：10x y --=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件：22022020x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪++⎩…„…，则32z x y=+的最大值是10．【解答】解：画出约束条件的可行域，32z x y=+得3122y x z=-+，当3122y x z=-+经过可行域的(2,2)B目标函数取得最大值：322210⨯+⨯=．故答案为：1015．（5分）已知22cos sin2sin()(0x x A x b Aωϕ+=++>，0)ω>，则A2，b=．【解答】解：22cos sin21cos2sin22)14x x x x xπ+=++++，则2A=，1b=，21．16．（5分）秦九韶是我国古代的数学家，他的《数学九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法．121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++改写成以下形式：121210()n n nn n nf x a x a x a x a x a----=+++⋯++1231210()n n nn n na x a x a x a x a-----=+++⋯++2313210(())n nn na x a x a x a x a x a---=++⋯++++M1210((()))n n n a x a x a x a x a --=⋯+++⋯++若5432()(2(1(1(1(11f x x x x x x =++++++++-，则(2f -= 0 ．【解答】解：5432()(2(1(1(1(11(((((f x x x x x x =++++++++-=2+ )11111x x x x x +++++++-则(20f =． 故答案为：0．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(2sin 2B m =r ，(cos ,cos )2B n B =r，且m n ⊥r r ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，b =ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）Q m n ⊥r r ，∴2sin cos 022B BB =．化简得：tan B =，又0B π<<Q ，∴23B π=．（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，222112()2c c =+--，解之得：1c =．∴11sin 1122ABC S ac B ∆==⨯⨯=． 18．（12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，2AB =，11BC BB ==． （Ⅰ）求证：11B C DE ⊥； （Ⅱ）求三棱锥11E DB C -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -Q 是长方体，11B C ∴⊥平面11DCC D ． 又DE ⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥．（Ⅱ）2AB =Q ，E 是棱11D C 的中点，11EC ∴=，∴11111111111111111111332326E DB C B DEC DEC V V S B C DD EC B C --===⨯=⨯⨯⨯⨯=V g g g g ．19．（12分）某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制．为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表： 得分 [0，10) [10，20)[20，30) [30，40) [40，50)人数51015137（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在[10，20)和[20，30)的员工中选取5人．从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的概率． 【解答】解：（Ⅰ）记这50名员工学习得分的平均数为x ， 则1(55151025153513457)26.450x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）用分层抽样可知从[10，20)中选2人，记这2人分别为1a ，2a ； 从[20，30)中选3人，记这3人分别为1b ，2b ，3b ． 从1a ，2a ，1b ，2b ，3b 中再任取2人的情况有：12a a ，11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b ，12b b ，13b b ，23b b 共10种．其中得分在[10，20)和[20，30)中各有1人的情况有： 11a b ，12a b ，13a b ，21a b ，22a b ，23a b 共6种．记事件A 为“得分在[10，20)和[20，30)中各有1人”则63()105P A ==． 20．（12分）已知函数()()f x lnx ax a R =-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）()f x lnx ax =-的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-． ①当0a „时，由()0f x '>，知()f x 在(0,)+∞内单调递增． ②当0a >时，由()0f x '>，即10a x ->得10x a<<， 由()0f x '<，即10a x -<得1x a >，()f x ∴在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减． 因此，①当0a „时，()f x 在(0,)+∞内单调递增．②当0a >时，()f x 在1(0,)a 内单调递增；在1(,)a+∞内单调递减．（Ⅱ）()f x 有两个零点． 即：方程0lnx ax -=有两个实根， 即：方程lnxa x=有两个实根， 即：函数y a =和()lnx g x x =有两个公共点，21()lnxg x x -'=． 由()0g x '>，即：210lnxx ->，0x e ∴<<． 由()0g x '<，即：210lnxx-<，x e ∴>． ∴1()()max g x g e e==． 又1()0g e e=-<，当1x >时，0lnxx>，∴10a e <<，∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点． 21．（12分）如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l ． （Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点(8,8)P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N 求证：MF NF ⊥．【解答】解：()I 抛物线的焦点为(2,0)F ， 准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）由()I 知：设直线AB 的方程为：2()x my m R -=∈， 令1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，228x myy x -=⎧⎨=⎩，消去x 得：28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-．直线PB 方程为：228888y x y x --=--，22222888(8)8888y y x y x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，∴22816(2,)8y N y --+，同理得：11816(2,)8y M y --+．∴22816(4,)8y FN y -=-+u u u r ，11816(4,)8y FM y -=-+u u u u r ， ∴212121122121212181681616(8)(8)(816)(816)80(16)80(1616)16088(8)(8)(8)(8)(8)(8)y y y y y y y y FN FM y y y y y y y y --+++--+-+=+⨯====++++++++u u u r u u u u r g ，∴FN FM ⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥．（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程(2sin x y βββ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 的参数方程cos (1sin x t t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数）．（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为(2,)6π时，求直线l 的倾斜角．【解答】解：()I 由曲线C的参数方程2sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(β为参数）．得：cos sin 2y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：221124x y +=．()II 解法一：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为．设直线l 与曲线C 相交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y两点，1212122x x y y ++=． 则2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ②-①得222221210124x x y y --+=，化简得：211221123()y y x x x x y y -+=-==-+即tan l k α==． 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π．解法二：中点极坐标(2,)6π化成直角坐标为，将cos 1sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩分别代入221124x y +=，2(1sin )14t α++=．∴222(cos 3sin )(6sin )60t t αααα+++-=，∴120t t +==，即6sin 0αα--=．∴sin cos αα=，即tan α= 又(0,)απ∈Q ，∴直线l 的倾斜角为56π． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()||(2)|2|()f x x a x x x a =--+--． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x <的解集； （Ⅱ）若(0,2)x ∈时()0f x …，求a 的取值范围．【解答】解：()I 当2a =时，()|2|(2)|2|(2)f x x x x x =--+--， 由()0f x <得|2|(2)|2|(2)0x x x x --+--<． ①当2x …时，原不等式可化为：22(2)0x -<， 解之得：x ∈∅．②当2x <时，原不等式可化为：22(2)0x --<， 解之得x R ∈且2x ≠，2x ∴<． 因此()0f x <的解集为：{|2}x x <．()II 当(0,2)x ∈时，()||(2)|2|()(2)[||()]f x x a x x x a x x a x a =--+--=----． 由()0f x …得(2)[||()]0x x a x a ----…， ||x a x a ∴--„，0x a ∴-…， a x ∴„，(0,2)x ∈，0a ∴„，∴的取值范围为(-∞，0]．a。

2020年陕西省高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，A={y|y=|x|,x∈U}，则∁U A=()A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2}2.已知i为虚数单位，m∈R，若复数(2−i)(m+i)在复平面内对应的点位于实轴上、则复数mi的1−i 虚部为()A. 1B. iC. −1D. −i3.条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%．则上述说法中，正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 34.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得()A. 一鹿、三分鹿之一B. 一鹿C. 三分鹿之二D. 三分鹿之一5.在正三角形△ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为()A. 1−√3π6B. 1−√3π12 C. 1−√3π9 D. 1−√3π186. 已知函数f(x)满足f(x)+f(1−x)=1.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A.20192B. 1010C.20212D. 201920207. 一个几何体的三视图如图所示，其体积为( )A. 116 B.116√3C. 32D. 128. 已知函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,13)C. [16,13)D. (16,13)9. 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2−y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( )A. 34 B. 14C. 45D. 3510. 函数的单调递增区间是( )A. [0,5π12]B. [π6,2π3]C. [π6,11π12] D. [2π3,11π12]11. 过抛物线x =14y 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF|=4，则△AMB 的面积为( )A. 5√33B. 7√33C. 8√33D. 3√312.已知a，b∈R，直线y=ax+b+π2与函数f(x)=tan x的图象在x=−π4处相切，设g(x)=e x+bx2+a，若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2−2恒成立，则实数m有()A. 最大值eB. 最大值e+1C. 最小值−eD. 最小值e二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知a⃗=(1,0), b⃗ =(2,1)，则a⃗⋅b⃗ =______ ．14.若sin(π3−α)=45，则cos(2α+π3)=______ ．15.曲线f(x)=2x−1x在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=R2相切，则R=______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在数列{a n}中，a3=12，a11=−5，且任意连续三项的和均为11，则a2017=(1)；设S n是数列{a n}的前n项和，则使得S n≤100成立的最大整数n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，PD=PA=CD=BC=12AB，PB=PC．(1)求证：平面PAD⊥平面PBD；(2)若三棱锥B−PCD的体积为2√23，求PC的长．18.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB=√3b.(1)求角A的大小；(2)若0<A<π2，a=6，且△ABC的面积S=73√3，求△ABC的周长．19.为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对300名学生做了问卷调查，列联表如下：已知在全部300人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为415．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率e =√22，已知以坐标原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x −y +2=0相切． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过F 1的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6，求直线l 的方程．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx +1(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当a =1时，f(x)>12x 2+32在(1,+∞)上恒成立．22.平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点y=1+2sinαO为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l:θ=π上，且点P到极点O的距离3为4．(Ⅰ)求曲线C的普通方程与点P的直角坐标；(Ⅱ)求▵OCP的面积．23.已知f(x)=|x−2a|+|2x+a|，g(x)=2x+3．(1)当a=1时，求不等式f(x)<4的解集；,1)时，f(x)<g(x)恒成立，求a的取值范围．(2)若0<a<3，且当x∈[−a2【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算，复数的概念，复数的代数形式表示及其几何意义，属于基础题．解：因为复数(2−i)(m+i)=(2m+1)+(2−m)i，又因为复平面内对应的点位于实轴上，所以2−m=0，即m=2，所以复数mi1−i =2i1−i=2i(1+i)2=−1+i，所以虚部为1．故选A．3.答案：D解析：本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．解：对于①，根据图像可知2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；对于②，根据图像可知中位数为24336元，平均数为28338元，则；对于③，根据图像可得2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%故正确的个数有3个，故答案为D．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列的通项公式，以及等差数列的求和． 根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，求得公差，即可得到答案． 解：根据题意得{a 1=535a 1+5×42d =5，解得d =−13， 所以a 3=a 1+2d =53−23=1， 所以是一鹿． 故选B ．5.答案：A解析：先求出正三角形ABC 的面积，再求出满足条件正三角形ABC 内的点到三角形的顶点A 、B 、C 的距离均不小于三角形边长一半的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：设边长为2， 其中正三角形ABC 的面积S △ABC =√34×4=√3．满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影=12π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于1的概率是：P=1−√3π6．故选A．6.答案：A解析：本题主要考查程序框图的应用．比较基础．根据程序框图，让数值进行循环，找到满足条件时，输出的S即为所求．解：S=f(12020)+f(22020)+⋯+f(20192020)，因为f(12020)+f(20192020)=1，f(22020)+f(20182020)=1，…，f(20192020)+f(12020)=1，所以S=20192．故选A．7.答案：A解析：解：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，则其体积为：V=12×2×1×2−1 3×12×1×1×1=116．故选：A．画出三视图对应的几何体的图形，判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．8.答案：C解析：解：∵函数f(x)={(3a −1)x +4a,x <1a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的减函数，∴{3a −1<00<a <13a −1+4a ≥a ，求得16≤a <13， 故选：C ．利用分段函数以及函数的单调性，列出不等式组，求得a 的范围．本题主要考查函数的单调性的性质，指数函数、一次函数的单调性，属于基础题．9.答案：A解析：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．根据双曲线的定义，结合|PF 1|=2|PF 2|，利用余弦定理，即可求cos∠F 1PF 2的值． 解：将双曲线方程x 2−y 2=2化为标准方程x 22−y 22=1，则a =√2，b =√2，c =2，设|PF 1|=2|PF 2|=2m ，则根据双曲线的定义，|PF 1|−|PF 2|=2a 可得m =2√2， ∴|PF 1|=4√2，|PF 2|=2√2， ∵|F 1F 2|=2c =4， ∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=32+8−162×4√2×2√2=2432=34． 故选A ．10.答案：B解析：本题考查三角函数的单调区间的求法，将看作一个整体，根据y =sinx 的单调减区间求解．解：函数，由2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3(k ∈Z)，令k =0得．故选B ．11.答案：C解析：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A，B的坐标是解题的关键．利用抛物线的定义，求出A，B的坐标，再计算△AMB的面积．解：抛物线x=14y2即为y2=4x的准线l：x=−1．∵|AF|=4，∴点A到准线l：x=−1的距离为4，∴1+x A=4，∴x A=3，∴y A=±2√3，不妨设A(3,2√3)，∴S△AFM=12×2×2√3=2√3，∵F(1,0)，∴直线AB的方程为y=√3(x−1)，∴{y=√3(x−1) y2=4x，解得B(13,−2√33)，∴S△BFM=12×2×2√33=2√33，∴S△AMB=S△AFM+S△BFM=2√3+2√33=8√33，故选：C12.答案：B解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，解方程可得b =−1，a =2，求出g(x)的导数和单调性，可得最值，解不等式即可得到m 的最值． 解：∵f(x)=tanx =sinxcosx ，∴f′(x)=cosx 2−sinx⋅(−sinx)cos 2x=1cos 2x ，∴a =f′(−π4)=2，又点(−π4,−1)在直线y =ax +b +π2上， ∴−1=2⋅(−π4)+b +π2，∴b =−1，∴g(x)=e x −x 2+2，g′(x)=e x −2x ，g′′(x)=e x −2， 当x ∈[1,2]时，g′′(x)≥g′′(1)=e −2>0， ∴g′(x)在[1,2]上单调递增，∴g′(x)≥g(1)=e −2>0，∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴{m ≤g(x)min =g(1)=e +1m 2−2≥g(x)max =g(2)=e 2−2⇒m ≤−e 或e ≤m ≤e +1， ∴m 的最大值为e +1，无最小值， 故选：B ．13.答案：2解析：解：由已知a ⃗ =(1,0), b ⃗ =(2,1)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2+0×1=2； 故答案为：2．利用平面向量的数量积公式的坐标运算进行计算即可．本题考查了平面向量的数量积公式的坐标运算；熟记公式是关键．14.答案：725解析：本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．由条件利用诱导公式求得cos(π6+α)的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2α+π3)的值．解：∵sin(π3−α)=cos(π6+α)=45，∴cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)−1=2×1625−1=725，故答案为：725．15.答案：√105解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值．解：f(x)=2x−1x 的导数为f′(x)=2+1x，可得切线的斜率为k=3，切点为(1,1)，即有在x=1处的切线方程为y−1=3(x−1)，即为3x−y−2=0，由切线与圆x2+y2=R2相切，可得d=√10=R，解得：R=√105．故答案为√105．16.答案：429解析：解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=11，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=11，可得a n+3=a n，可得数列{a n}是周期为3的数列．a3=12，a11=−5，即有a2=−5，a1=11−12+5=4，可得a2017=a3×672+1=a1=4；当n=3k，k为自然数，时，S n=11k；当n=3k+1，k为自然数时，S n=11k+4；当n=3k+2，k为自然数时，S n=11k+4−5=11k−1；使得S n≤100成立，由11k≤100，可得k的最大值为9，此时n=27；由11k+4≤100，可得k的最大值为8，此时n=25；由11k−1≤100，可得k的最大值为9，此时n=29．则使得S n≤100成立的最大整数n为29．故答案为：4，29．将a n+a n+1+a n+2=11中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2=−5，a1=4，即可得到a2017=a1，讨论n为3的倍数或余1或余2，计算n的最大值，即可得到所求值．本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：证明：(1)取AD的中点O，BC的中点F，连接PO，OF，PF．∵底面ABCD是直角梯形，AB//CD，BC⊥AB，∴OF//AB，OF⊥BC．又∵PB=PC，∴PF⊥BC，且PF∩OF=F，PF，OF⊂平面POF，∴BC⊥面POF．∵PO⊂面POF，∴BC⊥PO，又PA=PD，∴PO⊥AD，又直线AD与BC相交，且AD、BC在平面ABCD内，∴PO⊥面ABCD．∵BD⊂面ABCD，∴PO⊥BD．∵BC=CD，BC⊥CD∴BD=√2BC，，又AB=2BC，AD=BD=√2BC,AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD，∵PO∩AD=O，PO,AD⊂面PAD，∴BD⊥面PAD，且DB⊂面PDB，∴平面PAD⊥平面PBD；解：(2)设BC=a，则PO=√22a，∵V B−PCD=V P−BCD=13PO×S BCD=13×√22a×a22=√212a3=2√23．∴a=2，从而PO=√2, OF=2+42=3 ，PF=√(√2)2+32=√11 ， PC=√(√11)2+12=2√3，故PC=2√3．解析：本题考查面面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于一般题．(1)易证PO⊥面ABCD，又BD=√2BC，AB=2BC，可得AD⊥BD，即可证明面PAD⊥平面PBD；(2)利用棱锥B−PCD的体积为2√23，求得BC，再求PC．18.答案：解：(1)由题意2asinB=√3b.由正弦定理得：2sinAsinB=√3sinB．∵0<B<π，sinB≠0∴sinA=√32．∵0<A<π．∴A=π3或2π3．(2)∵△ABC的面积S=73√3，即12bcsinA=73√3，可得：bc=283．由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−3bc，即36=(b+c)2−28，从而b+c=8故△ABC的周长l=a+b+c=14．解析：(1)由2asinB=√3b，根据正弦定理化简即可求角A的大小．(2)利用“整体”思想，利用余弦定理求解b+c的值，即可得△ABC的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用能力．属于基础题．19.答案：解：(1)设学习积极性不高的学生的学生共x名，则x300=415，解得x=80．则列联表如下：(2)有理由：由已知数据可求K2=300×(180×60−20×40)2200×100×220×80≈85>7.879，因此有99.5%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关．(3)根据题意，可设抽出的学习积极性高的同学为A、B，学习积极性不高的同学为C、D、E，则选取的两人可以是：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE．所以至少有一名同学学习积极性不高的概率为910．解析：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．(1)根据条件计算并填写列联表；(2)由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．20.答案：解：(Ⅰ)由椭圆的离心率e=ca =√1−b2a2=√22，则a=√2b，由b=√12+12=√2，则a=2，∴椭圆的标准方程为：x24+y22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：椭圆的焦点F1(−√2,0)，F2(√2,0)，当直线l 斜率不存在时，则x =−√2，则A(−√2,1)，B(−√2,−1)，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,−1)(−2√2,1)=7≠6，不符合题意，舍去，当直线l 的斜率存在，且不为0，设直线l 的方程为：y =k(x +√2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +√2)x 24+y 22=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2+4√2k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−4√2k 22k 2+1，x 1x 2=4k 2−42k 2+1，y 1y 2=k 2(x 1+√2)(x 2+√2)=k 2(x 1x 2+√2(x 1+x 2)+2)=−2k 22k +1，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−√2,y 1)(x 2−√2,y 2) =x 1x 2−√2(x 1+x 2)+2+y 1y 2=4k 2−4+8k 2−2k 22k 2+1+2=6，则k 2=4，解得：k =±2， ∴直线l 的方程为y =±2(x +√2).解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式及点到直线的距离公式即可求得a 和b 的值，求得椭圆的方程； (Ⅱ)分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值，可求得直线l 的方程．21.答案：解(1)由于f(x)=ax 2−lnx +1故f′(x)=2ax −1x=2ax 2−1x(x >0)…(1分)当a ≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数…(2分) 当a >0时，令f′(x)=0，得x =√12a …(3分)当x 变化时，f′(x)，f(x)随的变化情况如表：x(0 , √12a )√12a(√12a , +∞ )f′(x)−0+ f(x)↘极小值↗由表可知，f(x)在(0 , √12a )上是单调递减函数，在(√12a , +∞ )上是单调递增函数..(5分)综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当a>0时，f(x)的单调递减区间为( 0 , √12a ),单调递增区间为(√12a,+∞)…(6分)(2)当a=1时，F(x)=x2−lnx+1−12x2−32=12x2−lnx−12…(7分)则F′(x)=x−1x =x2−1x=(x+1)(x_1)x>0在(1,+∞)上恒成立，…(9分)所以F(x)在(1,+∞)上为增函数，且F(1)=0…(10分)即F(x)>0在(1,+∞)上恒成立所以当a=1时,f(x)>12x2+32在(1,+∞)上恒成立…(12分)解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)消去参数α，得曲线C的普通方程为(x−√3)2+(y−1)2=4，点P的极坐标为(4,π3)，直角坐标为(2,2√3).(2)(方法一)圆心C(√3,1)，OC:y=√33x⇒x−√3y=0，点P到OC的距离d=|2−√3⋅2√3|2=2，且|OC|=2，所以S△OCP=12|OC|⋅d=2.(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得，|OC|=2,|OP|=4，所以=12⋅2⋅4⋅sin π6=2．所以S△OCP=2．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和曲线的参数方程，是中档题．(1)消去参数α可得曲线C的普通方程，由P的极坐标转为P的直角坐标；(2)(方法一)，先得出直线OC的方程，再得出点P到OC的距离，即可得出△OCP的面积；(方法二)圆心C(√3,1)，其极坐标为(2,π6)，而P(4,π3)，结合图像利用极坐标的几何含义，可得△OCP的面积．23.答案：解：(1)当a=1时，不等式f(x)<4可化为|x−2|+|2x+1|<4，若x<−12，则有2−x−2x−1<4，解得x>−1，∴此时−1<x<−12；若−12≤x≤2，则有2−x+2x+1<4，解得x<1，∴此时−12≤x<1；若x>2，则有x−2+2x+1<4，解得x<53，∴此时无解，综上可得，原不等式的解集是{x|−1<x<1}；(2)当x∈[−a2,1)时，f(x)=|x−2a|+2x+a，f(x)<g(x)即为|x−2a|<3−a恒成立，∵0<a<3，∴3−a>0，∴a−3<x−2a<3−a，即3a−3<x<3+a在x∈[−a2,1)上恒成立，∴{−a2>3a−31≤3+a0<a<3，解得0<a<67．解析：本题主要考查绝对值不等式的求解，属于中档题． (1)将f(x)分区间求解即可；(2)将f(x)<g(x)恒成立转化为|x −2a|<3−a 恒成立，然后求解得到{−a2>3a −31≤3+a 0<a <3，解出a 的取值范围．。

2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={-2，-1，1，2}，A={x|x2-x-2=0}，则∁U A=（）A. {-2，1}B. {1，-2}C. {-2，-1，1，2}D. {-2，2}2.设z=4-3i，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A. 20l5年-2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B. 2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C. 2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D. 2015年-2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A. 乙分8两，丙分8两，丁分8两B. 乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C. 乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D. 乙分9两，丙分8两，丁分7两5.如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A.B.C.D.6.执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）=（）A. 45B. 35C. 147D. 757.某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A. 128B. 104C. 80D. 568.已知函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，在（-∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A. B. （0，1） C. D.9.已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A. B. [2，3] C. （1，2] D. （1，3]10.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'=f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'=f（x）的图象关于直线对称；②函数y'=f（x）的图象关于点对称；③函数y'=f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'=f（x）的图象在区间上单调递增．A. ①④B. ②③C. ①③D. ②（④11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|=（）A. 4B. 8C.D.12.已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥ln x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. [1，e]B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知=（3，1），=（-4，2t2+3），若•=9，则t=______．14.若sin（α+）=-，α∈（0，π），则cos（2α-）=______．15.函数的图象在x=1处的切线被圆C：x2+y2-2x+4y-4=0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是______．16.已知数列{a n}的各项均为正数，a1=1，a n2a n+1+a n a n+12=2n a n+2n a n+1，则a n=______；{a n}的前10项和S10=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD=CD=BC=2，AB=4．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C-PBD的体积为，求PB的长．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．19.每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.7063.8416.63510.828K2=•n=a+b+c+d．20.已知椭圆，离心率为，直线mx+y-m=0恒过E的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•=0，+=2，+=2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．21.已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a=4，且，求证：．22.在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．23 设函数f（x）=|x-a|-2|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. D3. D4. C5. A6. D7. B8. C9. D10. C11. D12. B13. ±314. -15. [-6，2]16. 9317. 解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为CD∥AB，AD=CD=BC=2，AB=4，所以四边形ABCD是等腰梯形，可得AE=1，BE=3，DE=，BD=2，所以AB2=AD2+BD2，所以DB⊥AD．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DB⊥PD．因为AD∩PD=D，PD、AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD．因为BD⊂平面PBD，所以平面PAD⊥平面PDB．（Ⅱ）S△ECD==．因为三棱锥C-PDB的体积为，所以V C-PED=V P-ECD==，解得PD=3．在R△PDB中，BD=2，PD=3，所以PB==．18. 解：（Ⅰ）由得a2+c2=1-ac，在△ABC中，由余弦定理得cos B===-又因为B∈（0，π），所以B=．（Ⅱ）因为△ABC的周长为1+2，所以a+b+c=1+2，即a+c=2，所以（a+c）2=a2+c2+2ac=24．又因为a2+c2=1-ac，所以c=23，由（Ⅰ）知sin B=，所以△ABC的面积S△ABC==．19. 解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）．理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y．则×（2+8+10）+（y-70）×=，解得y=76≈74.17，显然74.17＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；考生的理由如下亦可：平均成绩=×（2×45+8×55+10×65+12×75+10×85+8×95）=73.8，（或=45×0.04+55×0.16+65×0.2+75×0.24+85×0.2+95×0.16=73.8）显然73.8＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）．合格不合格合计男生26430女生14620合计401050②K2==≈2.08＜2.7.6，故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．（Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为=，从合格的40名学生中抽取40×=4（人），记为a、b、c、d；从不合格的10名学生中抽取10×=1（人），记为x，则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，故恰好2人都合格的概率P==．20. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，mx+y-m=0可化为m（x-1）+y=0，所以直线mx+y-m=0恒过点（1，0），所以点F（1，0），可得c=1．因为离心率为，所以，解得a=2，由b2=a2-c2=3得，所以E的标准方程为．（Ⅱ）因为•=0，所以AC⊥BD．由+=2，+=2，得M，N分别是AC，BD的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AC的倾斜角的余弦值为，得直线AC的斜率为2，所以AC的方程：y=2（x-1），直线BD的方程：，联立，消去y，得19x2-32x+4=0．显然，△＞0，且，y1+y2=2（x1-1）+2（x2-1）=2（x1+x2）-4=，所以，，可得，同理可得，所以，所以，直线MN的方程：．令y=0，得，所以直线MN与x轴交点的坐标为．21. 解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-x=，当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由解得0＜x＜，由，解得x＞，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）证明：当a=4时，f（x）=ln x-x2，f′（x）=，则f（x）=ln x-x2在（0，1）上单调递增．设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），即ln x1-＜ln x2-，所以ln＜，可得＜．因为x∈（0，），所以0＜sin x＜cos x＜1，所以＜，即tan x＜．因为x∈（0，），所以2x∈（0，），所以cos2x∈（，1），-cos2x∈（-，-），所以＜．综上可得tan x＜＜，且tan x＞0，即．22. 解：（Ⅰ）由（t为参数），得x≠1．消去参数t，得l的普通方程为x-2y+1=0（x≠1）；将去分母得3ρ2+ρ2sin2θ=12，将y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到l的距离，当，即时，，此时，，所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为，该点坐标为．23. 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-1|-2|x+1|=当x＜-1时，解得x＜-3；当-1≤x≤1时，解得；当x＞1时，解得x＞1，综上，原不等式的解集为．（Ⅱ）当a≤-1时，∴f（x）max=f（-1）=-a-1=3，解得a=-4；当a＞-1时，∴f（x）max=f（-1）=a+1=3，解得a=2，∴a的值为-4或2．【解析】1. 解：∵U={-2，-1，1，2}，A={-1，2}，∴∁U A={-2，1}．故选：A．可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：由题意得z=4+3i，所以，因此在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．根据复数的四则运算及复平面内点的意义即可求解．本题考复数的概念与复数的运算．3. 解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确；对于C，2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25（元），所以选项C正确；对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误，故选：D．观察统计图可知，选项A正确，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确，2015年-2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25（元），所以选项C正确，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误．本题考查统计图的综合应用，是中档题．4. 解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，所以a5=a1+4d=5.6，即10.4+4d=5.6，解得d=-1.2，可得a2=a1+d=10.4-1.2=9.2；a3=a1+2d=10.4-1.2×2=8；a4=a1+3d=10.4-1.2×3=6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1=10.4，a5=5.6，利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率P==，故选：A．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，代入几何概型计算公式，即可求出答案几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．6. 解：由题得所以f（3）+f（6）=f（7）+f（6）=72-5+62-5=44+31=75，故选：D．本题考查程序框图．由题得所以f（3）+f（6）=f（7）+f（6）即可算出答案．本题考查程序框图的应用，函数求值，属于基础题．7. 解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，其体积可看作三个长方体的体积之和，则该吊柜的体积V=4×4×2+4×2×3+4×4×3=104，故选：B．由三视图还原原几何体，再由三个长方体的体积作和得答案．本题考查三视图、棱柱的体积计算，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8. 解：因为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）=log a x．因为在（-∞，+∞）上是减函数，所以解得，故选：C．先根据条件求出f（x）的解析式，再结合单调性即可求解本题考查对数函数的性质、函数的单调性．属于基础题9. 解：设双曲线E的焦距为2c，因为点M在双曲线右支上，所以|MF1|-|MF2|=2a，|MF1|=|MF2|+2a，则====≤=，当且仅当|MF2|=，即|MF2|=2a时取等号，所以=，解得a=．因为|AA1|≥|A2F2|，所以2a≥c-a可得3a≥c，所以1≤3，所以1＜≤3，即1＜2c≤3，即双曲线E的焦距的取值范围为（1，3]，故选：D．由双曲线的性质可得到|MF1|=|MF2|+2a，由的最大值为，然后运用基本不等式可得a的值，再由且|A1A2|≥|A2F2|．可得a，c的关系，注意双曲线的离心率的范围，求出焦距的范围．考查双曲线的性质，属于中档题．10. 解：由题意可知，令2x+=kπ，k∈Z，求得，可得函数f（x）的图象的对称轴为直线，故①正确；令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，可得函数f（x）的图象的对称中心为点，k∈Z，②不正确；在区间上，2x+∈（0，），函数f（x）单调性递减，故③正确；在区间上，2x+∈（，），函数f（x）没有单调性，故④错误，故选：C．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．11. 解：根据题意，不妨设点A在第一象限，过点A作准线的垂线，垂足为A1．由题意可得F（1，0），K（-1，0）．因为|AF|=|AA1|，所以=sin∠AKA1，若最小，则sin∠AKA1最小，即∠AKA1最小，由题知当AK与抛物线y2=4x相切时，∠AKA1最小．设直线AK的方程为y=k（x+1），则k＞0．与抛物线方程联立，得消去x得ky2-4y+4k=0，由△=16-16k2=0，得k=1，所以∠AKA1=，A点坐标为（1，2），所以|AF|=|AA1|=|A1K|=|KF|=2，此时四边形AFKA1是正方形，AB⊥x轴，所以|AK|=|BK|=2，|AK|+|BK|=4，故选：D．一般抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离，进而可得若最小时的情况，求出|AK|+|BK|的值．考查抛物线的性质，属于中档题．12. 解：根据题意，将-x代入x，得．由得f（x）=-mx-，函数f（x）=-mx-的图象恒过点（0，-）．设g（x）=ln x，当函数f（x）=-mx-的图象和g（x）=ln x的图象相切时，设切点坐标为（x0，y0），由g′（x）=，得切线斜率k=g′（x0）==，解得x0=．此时k==，则要使f（x）≥ln x，只需-m≥，解得m≤-，所以实数m的取值范围是，故选：B．根据题意，将-x代入x，得，与已知条件联立可得f（x）=-mx-，设g（x）=ln x，利用当函数f（x）=-mx-的图象和g（x）=ln x的图象相切时，只需-m≥，解之即可．本题考查函数的性质及导数在函数中的应用，考查函数与方程思想与等价转化思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．13. 解：由•=9得-12+2t2+3=9，解得t=±3．故答案为：±3．利用数量积的坐标运算建立关于t的方程，解出即可．本题考查平面向量数量积的应用，属于基础题．14. 解：因为cos（）=cos（α+-）=sin（α+）=-，所以cos（2α-）=2cos2（）-1=2×-1=-．故答案为：-．三角函数求值，常采用凑角法．观察已知中的角与所求函数值中的角之间的和、差、倍、半是否是特殊角，进而用三角恒等变换公式求解．本题考查三角函数诱导公式及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15. 解：根据题意，函数，其导数f′（x）=ln x+，则f′（1）=1；即切线的斜率k=f′（1）=1；又由f（1）=a，即切点的坐标为（1，a），所以函数f（x）在x=1处切线方程为y=x+a-1，圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，变形可得（x-1）2+（y+2）2=9，则C的圆心为（1，-2），半径r=3，则圆心到切线的距离d=，则切线被圆截得的弦长为，则有2≤≤6，解可得：-6≤a≤2，即a的取值范围为[-6，2]；故答案为：[-6，2]．根据题意，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，分析可得切线的方程，由直线与圆的位置关系分析可得切线被圆截得的弦长，据此可得2≤≤6，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查导数的几何意义及直线与圆的位置关系，注意求出切线的方程，属于基础题．16. 解：依题意，由a n2a n+1+a n a n+12=2n a n+2n a n+1，可得（a n a n+1-2n）（a n+a n+1）=0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n a n+1-2n=0，即a n a n+1=2n．∵a1=1，∴a2=2．∵当n≥2时，有a n-1a n=2n-1，则=2．∴数列{a n}的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列；偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列．∴a2k-1=1•2k-1=2k-1，令2k-1=n，得k=，则当n为奇数时，a n=；a2k=2•2k-1=2k，令2k=n，得k=，则当n为偶数时，a n=．综上所述，可得a n=．∴S10=a1+a2+…+a10=（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a10）=（1+2+...+24）+（2+22+ (25)=+=93．故答案为：；93．本题先将递推式进行因式分解，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n a n+1=2n．则有当n≥2时，有a n-1a n=2n-1，则=2．可得到数列{a n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，即可得到数列{a n}的通项公式，然后运用分组求和法求出S10的值．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，考查了分类讨论思想，转化思想，因式分解，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．17. （Ⅰ）先利用题中数据，在等腰梯形中计算，结合勾股定理，证明DB⊥AD，再利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；（Ⅱ）先利用V C-PED=V P-ECD计算得PD，再根据勾股定理计算PB，即可得解．本题考查空间几何体中直线与平面、平面与平面垂直的判定及锥体体积的计算，考查空间想象能力、数学运算核心素养．18. （Ⅰ）先去分母，再利用余弦定理，结合三角形内角的范围即可求得角B；（Ⅱ）利用周长求出a+c的值，再平方，结合已知求出ac的值，进而求得△ABC的面积．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．19. （Ⅰ）可以用平均数或中位数与75进行大小比较作出判断；（Ⅱ）根据频率分布直方图计算出合格与不合格人数，填写列联表，再根据公式计算，与附表中数值比较判断即可得出结论；（Ⅲ）先计算抽样比例，在合格与不合格学生中抽样，并设字母标记抽取的学生，利用列举法，写出所有基本事件及所求的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算即可．本题考查频率分布直方图、古典概型和独立性检验，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数据分析、数学运算核心素养．20. （Ⅰ）先求出直线方程所过定点，即得焦点坐标，再利用离心率公式，解得a，b，c的值即可得解；（Ⅱ）根据已知得，AC⊥BD，M，N分别是AC，BD的中点，再设出直线AC，BD的方程，与椭圆方程联立，分别求出点M，N坐标，然后写出直线MN的方程，令y=0，即可得解．本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查数学运算核心素养，属于中档题．21. （Ⅰ）先求导并写出函数f（x）的定义域，再分a＜0与a＞0及a=0三种情况讨论解不等式，即可得解；（Ⅱ）利用函数单调性结合正、余弦函数的值域，即可证明．本题考查导数在函数中的应用，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查数学运算核心素养，属于难题．22. （Ⅰ）先将直线l的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入，化简即可求解；（Ⅱ）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解．本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化、一元二次方程根与系数的关系，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想．23. （Ⅰ）利用零点分段法求解绝对值不等式即可求解；（Ⅱ）分a≤-1，a＞-1两种情况讨论，求得关于a的f（x）最大值的代数式，结合题意即可求解a的值．本题考查绝对值不等式的解法，考查考生的运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

2020年陕西西安高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为（ ）．A. B. C. D.3.函数的零点个数为（ ）．A. B. C. D.4.若实数，满足，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.5.在一次技能比赛中，共有人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（ ）．A.B.C.D.6.已知（为自然对数的底数），若，则函数是（）．A.定义域为的奇函数B.在上递减的奇函数C.定义域为的偶函数D.在上递增的偶函数7.已知点到抛物线（）的准线的距离为，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A.B.C.D.8.已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A.B.C.D.9.若为实数，则“”是“”成立的（ ）．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.函数的单调递增区间为（ ）．A.B.C.D.11.已知双曲线的左焦点为，过且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为(为双曲线的离心率)，则双曲线的渐近线方程为（ ）．A.B.C.D.12.陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在［，］，［，］，［，］，［，］的爱看人数比分别是，，，现用各年龄的中间值代表年龄段，如代表［，］，由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为，那么，年龄在［，的爱看人数比为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，且，则 ．14.在与之间插入个数，使这个数成等差数列，则插入的个数的和等于 ．15.从，，，，，中任意取三个数，则这三个数的和为偶数的概率为 ．16.金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是，则该工艺品共有 个面，表面积是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，边上的中线的长为．求角、的大小．求的面积．（1）（2）18.已知四棱锥中，底面四边形为平行四边形，为的中点，为上一点，且（如图）．证明：平面．当平面平面，，时，求三棱锥的体积．（1）（2）19.已知数列的前项和为，设．若，，且数列为等差数列，求数列的通项公式．若对任意，都成立，求当为偶数时的表达式．（1）（2）20.已知函数在区间上单调递减．求的最大值．若函数的图象在原点处的切线也与函数的图象相切，求的值．21.【答案】解析:集合，集合，则．故选．（1）（2）已知，，顺次是椭圆 （）的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆的离心率，且．.求椭圆的方程．若斜率的直线过点，直线与椭圆交于，两点，试判断：以为直径的圆是否经过点，并证明你的结论．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．求曲线的普通方程和极坐标方程．若直线与曲线有公共点，求的取值范围．（1）（2）23.已知函数．求不等式的解集．若存在，使成立，求的取值范围．D1.解析:，∴复数在复平面上对应的点的坐标为．故选．解析:∵，∴，令，则或，为增函数，令，则，为减函数，∴极小值，极大值，∴有个零点．故选：．解析:实数，满足，作二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域，如图所示，四边形所在区域，A 2.C 3.A 4.即可行域．目标函数变形为，为斜率为，随变化的一旋直线为直线在轴的截距，如图所示，直线经过可行域中点时最小，即最小，解方程组，解得点坐标为，则．故选．解析:如图茎叶图中，人得分为：，，，，，，，，，，，．中位数为：．∵平均数为：．∴ 方差为：B 5.，故方差为：，中位数为．故正确．解析:∵，∴，∴，∴，（），∴为奇函数，在上递减．故选．解析:抛物线（）变形为，准线方程为，点到距离为，则，即，解得，抛物线方程为，则抛物线焦点坐标为．故选．解析:如图，设，，B 6.C 7.B 8.∵，∴ ，又，∴﹐在中，，得：，∴，∴．故选：．解析:由，令函数，则，，则函数在上单调递减，上单调递增，当时，，当时，，当时，，∴时，，则是的充分条件，球B 9.当时，则即，解得，∵，∴不是的必要条件，综上所述，是的充分不必要条件．故选：．解析:函数，令，，，，，，所以函数单调递增区间为（）．故选．解析:如图双曲线C：，左焦点，由题意垂直于轴，，解得：，则，，则，A 10.D 11.由题意过，且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为，则，即，令，得，即，∵，∴渐近线为，故正确．解析:∵，，且过点，则，∴，∴，∴当时，．故选．解析:∵平面向量，且，∴，D 12.13.，即，解得．所以．解析:由题意可得，设，，则．故答案为：．解析:从，，，，，，这七个数中，随机抽取个不同的数，基本事件总数，这个数的和为偶数包含的基本事件个数 ，则这个数的和为偶数的概率．故答案为：．解析:由三视图还原几何体，14.15. ;16.（1）（2）（1）如图，可以将该半正多面体分为三层，上层个面，中层个层面，下层各层面，上下底各个面，共个面．设三视图中正八边形的边长为m.∴，∴，∴，∴原几何体的边长均有，∴，，故答案为；．解析:由，得．∴．∵，∴由得，∴，由此得．又，∴，即．由知，，则，在中，由余弦定理，得，解得，故．解析:取的中点，连接，，，连接，表（1），．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）∵四边形为平行四边形，，分别为，的中点，∴根据平行线分线段成比例定理得，又 ， 得，∴，又在平面内，不在平面内，∴平面．由题意，得，．．连接，(为的中点)，则，，且 ， ，∵平面平面，，在平面内，，∴平面，∵，得点到平面的距离就是 ，又 ，∴到平面的距离为，∴．解析:∵，，，∴，，设等差数列为的公差为，则．（1）．（2）．19.（2）（1）（2）（1）∴数列的通项公式为．对任意都成立，即，①当时，，②①②得．令，则，∴，故（为偶数）．解析:∵，∴，∵函数在区间上为减函数．∴即就是在上恒成立，当时，，则当即时，取最小值，∴，∴的最大值为．的定义域为，的定义域为，由，得．∴函数的图象在原点处的切线方程为，由，得，设函数的图象在处的切线为．则①，且过原点，，将，代入①，解得．∴．解析:由题意得：，，，，（1）．（2）．20.（1）．（2）以为直径的圆经过点；证明见解析．21.（2）∴即，设椭圆的半焦距为（），得方程组，解得，∴椭圆的方程为．方法一：以为直径的圆经过点，理由如下：∵椭圆，，直线的斜率，且过点，∴直线，由，消去，并整理得，直线与椭圆有两个交点．设，，则，，∵，以为直径的圆经过点．方法二：同方法一，得，，∴．设的中点为，则，，∴以为直径的圆经过点，∴．（1）普通方程为，极坐标方程为．22.（1）（2）（1）（2）解析:显然，参数，由得，代入并整理，得，将，代入，得，即．∴曲线的普通方程为，极坐标方程为．曲线的直角坐标方程为，曲线是以为圆心，半径为的圆．当时，直线与曲线没有公共点．当时，设直线的方程为．圆心到直线的距离为．由，得．∴，即的取值范围为．解析:∵，∴不等式等价于下列不等式组，①或②或③，由①得，得，由②得，得，由③得，得．∴不等式的解集为．在区间上，当时，，当时，，当时，，∴在区间上，，由存在使成立，得，得或．（2）．（1）．（2）．23.∴的取值范围为．。

2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2} 2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．757．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．568．（5分）已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝．14．（5分）若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝．15．（5分）函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n ＝；{a n}的前10项和S10＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E 的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．2020年陕西省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则∁U A＝（）A．{﹣2，1}B．{1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}【解答】解：∵U＝{﹣2，﹣1，1，2}，A＝{﹣1，2}，∴∁U A＝{﹣2，1}．故选：A．2．（5分）设z＝4﹣3i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由题意得z＝4﹣3i，所以＝，＝，因此在复平面内对应的点（）位于第一象限，故选：A．3．（5分）新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点、城乡居民收入大幅增长，居民生活发生了翻天覆地的变化．下面是1949年及2015年～2018年中国居民人均可支配收入（元）统计图．以下结论中不正确的是（）A．20l5年﹣2018年中国居民人均可支配收入与年份成正相关B．2018年中居民人均可支配收入超过了1949年的500倍C．2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均超过了24000元D．2015年﹣2018年中围居民人均可支配收入都超过了1949年的500倍【解答】解：对于A，观察统计图可知，选项A正确；对于B，2018年中国居民人均可支配收入是1949年的28228.05÷49.7≈568倍，所以选项B正确；对于C，2015年﹣2018年中国居民人均可支配收入平均数为（21966.19+23820.98+25973.79+28228.05）≈24997.25 （元），所以选项C正确；对于D，2015年中国居民人均可支24997.25配收入是1949年的21966.19÷49.7≈442倍，所以选项D错误，故选：D．4．（5分）《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱．问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（）A．乙分8两，丙分8两，丁分8两B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D．乙分9两，丙分8两，丁分7两【解答】解：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列{a n}，设公差为d，则a1＝10.4，a5＝5.6，所以a5＝a1+4d＝5.6，即10.4+4d＝5.6，解得d＝﹣1.2，可得a2＝a1+d＝10.4﹣1.2＝9.2；a3＝a1+2d＝10.4﹣1.2×2＝8；a4＝a1+3d＝10.4﹣1.2×3＝6.8，所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，故选：C．5．（5分）如图，△ABC和△DEF是两个全等的正三角形，它们各边的交点均为各边的三等分点．若从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得图形外侧的6个小三角形均全等，且为正三角形．设一个小三角形面积为S，则该图形的面积为12S，阴影部分的面积为6S，所以从该图形中随机取一点，则该点取自其中阴影部分的概率P＝＝，故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则f（3）+f（6）＝（）A．45B．35C．147D．75【解答】解：由题得所以f（3）+f（6）＝f（7）+f（6）＝72﹣5+62﹣5＝44+31＝75，故选：D．7．（5分）某人在卧室制作一个靠墙吊柜，其三视图如图所示．网格纸上小正方形的边长为1，则该吊柜的体积为（）A．128B．104C．80D．56【解答】解：根据三视图可得吊柜的立体图如图所示，其体积可看作三个长方体的体积之和，则该吊柜的体积V＝4×4×2+4×2×3+4×4×3＝104，故选：B．8．（5分）已知函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么a的取值范围是（）A．B．（0，1）C．D．【解答】解：因为函数y＝a x（a＞0，a≠1）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y ＝x对称，所以f（x）＝log a x．因为在（﹣∞，+∞）上是减函数，所以解得，故选：C．9．（5分）已知双曲线分别为E的左，右焦点，A1，A2分别为E的左，右顶点，且|A1A2|≥|A2F2|．点M在双曲线右支上，若的最大值为，则E的焦距的取值范围是（）A．B．[2，3]C．（1，2]D．（1，3]【解答】解：设双曲线E的焦距为2c，因为点M在双曲线右支上，所以|MF1|﹣|MF2|＝2a，|MF1|＝|MF2|+2a，则＝＝＝＝≤＝，当且仅当|MF2|＝，即|MF2|＝2a时取等号，所以＝，解得a＝．因为|AA1|≥|A2F2|，所以2a≥c﹣a可得3a≥c，所以1≤3，所以1＜≤3，即1＜2c≤3，即双曲线E的焦距的取值范围为（1，3]，故选：D．10．（5分）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y'＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（）①函数y'＝f（x）的图象关于直线对称；②函数y'＝f（x）的图象关于点对称；③函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递减；④函数y'＝f（x）的图象在区间上单调递增．A．①④B．②③C．①③D．②（④【解答】解：由题意可知，令2x+＝kπ，k∈Z，求得，可得函数f（x）的图象的对称轴为直线，故①正确；令2x+＝kπ+，k∈Z，求得x＝+，可得函数f（x）的图象的对称中心为点，k∈Z，②不正确；在区间上，2x+∈（0，），函数f（x）单调性递减，故③正确；在区间上，2x+∈（，），函数f（x）没有单调性，故④错误，故选：C．11．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，准线交x轴于K，若最小，则|AK|+|BK|＝（）A．4B．8C．D．【解答】解：根据题意，不妨设点A在第一象限，过点A作准线的垂线，垂足为A1．由题意可得F（1，0），K（﹣1，0）．因为|AF|＝|AA1|，所以＝sin∠AKA1，若最小，则sin∠AKA1最小，即∠AKA1最小，由题知当AK与抛物线y2＝4x相切时，∠AKA1最小．设直线AK的方程为y＝k（x+1），则k＞0．与抛物线方程联立，得消去x得ky2﹣4y+4k＝0，由△＝16﹣16k2＝0，得k＝1，所以∠AKA1＝，A点坐标为（1，2），所以|AF|＝|AA1|＝|A1K|＝|KF|＝2，此时四边形AFKA1是正方形，AB⊥x轴，所以|AK|＝|BK|＝2，|AK|+|BK|＝4，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R均有，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1，e]B．C．D．【解答】解：根据题意，将﹣x代入x，得．由得f（x）＝﹣mx﹣，函数f（x）＝﹣mx﹣的图象恒过点（0，﹣）．设g（x）＝lnx，当函数f（x）＝﹣mx﹣的图象和g（x）＝lnx的图象相切时，设切点坐标为（x0，y0），由g′（x）＝，得切线斜率k＝g′（x0）＝＝，解得x0＝．此时k＝＝，则要使f（x）≥lnx，只需﹣m≥，解得m≤﹣，所以实数m的取值范围是，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知＝（3，1），＝（﹣4，2t2+3），若•＝9，则t＝±3．【解答】解：由•＝9得﹣12+2t2+3＝9，解得t＝±3．故答案为：±3．14．（5分）若sin（α+）＝﹣，α∈（0，π），则cos（2α﹣）＝﹣．【解答】解：因为cos（）＝cos（α+﹣）＝sin（α+）＝﹣，所以cos（2α﹣）＝2cos2（）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故答案为：﹣．15．（5分）函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长的取值范围为[2，6]，则实数a的取值范围是[﹣6，2]．【解答】解：根据题意，函数，其导数f′（x）＝lnx+，则f′（1）＝1；即切线的斜率k＝f′（1）＝1；又由f（1）＝a，即切点的坐标为（1，a），所以函数f（x）在x＝1处切线方程为y＝x+a﹣1，圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，变形可得（x﹣1）2+（y+2）2＝9，则C的圆心为（1，﹣2），半径r＝3，则圆心到切线的距离d＝，则切线被圆截得的弦长为，则有2≤≤6，解可得：﹣6≤a≤2，即a的取值范围为[﹣6，2]；故答案为：[﹣6，2]．16．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，则a n＝；{a n}的前10项和S10＝93．【解答】解：依题意，由a n2a n+1+a n a n+12＝2n a n+2n a n+1，可得（a n a n+1﹣2n）（a n+a n+1）＝0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n a n+1﹣2n＝0，即a n a n+1＝2n．∵a1＝1，∴a2＝2．∵当n≥2时，有a n﹣1a n＝2n﹣1，则＝2．∴数列{a n}的奇数项是以1为首项、2为公比的等比数列；偶数项是以2为首项、2为公比的等比数列．∴a2k﹣1＝1•2k﹣1＝2k﹣1，令2k﹣1＝n，得k＝，则当n为奇数时，a n＝；a2k＝2•2k﹣1＝2k，令2k＝n，得k＝，则当n为偶数时，a n＝．综上所述，可得a n＝．∴S10＝a1+a2+…+a10＝（a1+a3+…+a9）+（a2+a4+…+a10）＝（1+2+...+24）+（2+22+ (25)＝+＝93．故答案为：；93．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4．（Ⅰ）求证：平面P AD⊥平面PBD；（Ⅱ）若三棱锥C﹣PBD的体积为，求PB的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E．因为CD∥AB，AD＝CD＝BC＝2，AB＝4，所以四边形ABCD是等腰梯形，可得AE＝1，BE＝3，DE＝，BD＝2，所以AB2＝AD2+BD2，所以DB⊥AD．又因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DB⊥PD．因为AD∩PD＝D，PD、AD⊂平面P AD，所以BD⊥平面P AD．因为BD⊂平面PBD，所以平面P AD⊥平面PDB．（Ⅱ）S△ECD＝＝．因为三棱锥C﹣PDB的体积为，所以V C﹣PED＝V P﹣ECD＝＝，解得PD＝3．在R△PDB中，BD＝2，PD＝3，所以PB＝＝．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由得a2+c2＝1﹣ac，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝﹣又因为B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为△ABC的周长为1+2，所以a+b+c＝1+2，即a+c＝2，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝24．又因为a2+c2＝1﹣ac，所以c＝23，由（Ⅰ）知sin B＝，所以△ABC的面积S△ABC＝＝．19．（12分）每年9月第三周是国家网络安全宣传周．某学校为调查本校学生对网络安全知识的了解情况，组织了《网络信息辨析测试》活动，并随机抽取50人的测试成绩绘制了频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）某学生的测试成绩是75分，你觉得该同学的测试成绩低不低？说明理由；（Ⅱ）将成绩在[60，100]内定义为“合格”；成绩在[0，60）内定义为“不合格”．①请将下面的2×2列联表补充完整：合格不合格合计男生26女生6合计②是否有90%的把认为网络安全知识的掌握情况与性别有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，对50人按是否合格，利用分层抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828 K2＝•n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）我觉得该同学的测试成绩不低（或不太低）．理由如下：根据频数分布表得，设测试成绩的中位数为y．则×（2+8+10）+（y﹣70）×＝，解得y＝76≈74.17，显然74.17＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）；考生的理由如下亦可：平均成绩＝×（2×45+8×55+10×65+12×75+10×85+8×95）＝73.8，（或＝45×0.04+55×0.16+65×0.2+75×0.24+85×0.2+95×0.16＝73.8）显然73.8＜75，故该同学的测试成绩不低（或不太低）．（Ⅱ）①填表如下：合格不合格合计男生26430女生14620合计401050②K2＝＝≈2.08＜2.7.6，故没有90%的把握认为网络安全知识的掌握情况与性别有关．（Ⅲ）从50人随机抽取5人的比例为＝，从合格的40名学生中抽取40×＝4（人），记为a、b、c、d；从不合格的10名学生中抽取10×＝1（人），记为x，则从5人中随机抽取2人的所有的基本事件如下：ab、ac、ad、ax、bc、bd、bx、cd、cx、dx，共有10种情况，其中抽取的2人恰好都合格的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd，共有6种情况，故恰好2人都合格的概率P＝＝．20．（12分）已知椭圆，离心率为，直线mx+y﹣m＝0恒过E 的一个焦点F．（Ⅰ）求E的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，四边形ABCD的顶点均在E上，AC，BD交于F，且•＝0，+＝2，+＝2，若直线AC的倾斜角的余弦值为，求直线MN与x轴交点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，mx+y﹣m＝0可化为m（x﹣1）+y＝0，所以直线mx+y﹣m＝0恒过点（1，0），所以点F（1，0），可得c＝1．因为离心率为，所以，解得a＝2，由b2＝a2﹣c2＝3得，所以E的标准方程为．（Ⅱ）因为•＝0，所以AC⊥BD．由+＝2，+＝2，得M，N分别是AC，BD的中点．设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线AC的倾斜角的余弦值为，得直线AC的斜率为2，所以AC的方程：y＝2（x﹣1），直线BD的方程：，联立，消去y，得19x2﹣32x+4＝0．显然，△＞0，且，y1+y2＝2（x1﹣1）+2（x2﹣1）＝2（x1+x2）﹣4＝，所以，，可得，同理可得，所以，所以，直线MN的方程：．令y＝0，得，所以直线MN与x轴交点的坐标为．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＝4，且，求证：．【解答】解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣x＝，当a＜0时，f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由解得0＜x＜，由，解得x＞，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．当a＝0时，f（x）在（0，+∞）单调递减；综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）证明：当a＝4时，f（x）＝lnx﹣x2，f′（x）＝，则f（x）＝lnx﹣x2在（0，1）上单调递增．设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），即lnx1﹣＜lnx2﹣，所以ln＜，可得＜．因为x∈（0，），所以0＜sin x＜cos x＜1，所以＜，即tan x＜．因为x∈（0，），所以2x∈（0，），所以cos2x∈（，1），﹣cos2x∈（﹣，﹣），所以＜．综上可得tan x＜＜，且tan x＞0，即．(二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标．【解答】解：（Ⅰ）由（t为参数），得x≠1．消去参数t，得l的普通方程为x﹣2y+1＝0（x≠1）；将去分母得3ρ2+ρ2sin2θ＝12，将y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2代入，得，所以曲线C的直角坐标方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到l的距离，当，即时，，此时，，所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为，该点坐标为．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）＝|x﹣a|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝当x＜﹣1时，解得x＜﹣3；当﹣1≤x≤1时，解得；当x＞1时，解得x＞1，综上，原不等式的解集为．（Ⅱ）当a≤﹣1时，∴f（x）max＝f（﹣1）＝﹣a﹣1＝3，解得a＝﹣4；当a＞﹣1时，∴f（x）max＝f（﹣1）＝a+1＝3，解得a＝2，∴a的值为﹣4或2．。

2020-2021学年陕西省高三（上）质检测评数学试卷（文科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={x|−x2+x<0}，则∁R A=()A.(−∞, 0)∪[1, +∞)B.[0, 1]C.[−1, 0]D.(−∞, −1)∪[0, +∞)2.已知复数z满足z(1−i)＝(1+ai)i3，且z为纯虚数．则实数a的值为（）A.−1B.−2C.D.3.2020年的高中学业水平测试结束后，某校统计了该校学业水平测试中的数学成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，则该校学业水平测试中的数学成绩的中位数估计为（）A.70B.71C.72D.734.在四边形ABCD中，AB // CD，且CD＝2AB，E，F分别为CD，BC的中点，若＝，＝，则＝（）A.-B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6.执行如图的程序框图，则输出的结果为（）A.120B.121C.143D.1457.2020年8月3日（农历六月十四）23时59分上演了“十五的月亮十四圆”的天文奇观．某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为（）A. B. C. D.8.已知椭圆E：的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|＝b，则E的离心率为（）A. B. C. D.9.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝na n，且S2+S4+S6+...+S60＝1860，则a1＝（）A.8B.6C.4D.210.已知函数f(x)＝2sinx⋅cosx+2cos2x−1，若函数f(x)的对称中心为(x0, 0)，且x0∈[−π, 2π]，则满足条件的所有x0的和是（）A.4πB.3πC.2πD.π11.已知正三棱锥A−BCD的底面是边长为6的正三角形，其外接球球O的表面积为64π，且点A到平面BCD的距离小于球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.设m∈R，若函数f(x)＝的值域是[e−1, +∞)，则函数g(x)＝e x−x+2−m的零点的个数是（）A.0B.1或2C.1D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数f(x)＝2sin(ωx+）(ω>0)的最小正周期为4π，则f(3π)＝________．14.已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值为________．15.已知双曲线E：的左焦点为F，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为点H，若|FH|＝2，且△FOH的面积为3（其中O为坐标原点），则E的标准方程为________．16.已知{a n}是正项等比数列，a32＝2a2a6，且a1+a3+a5+a7+a9＝，若[x]表示不超过x的最大整数（例如[2.9]＝2，[−3.1]＝−4），设b n＝[a n]，则数列{b n}的前n项和(n>10)为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+c＝2bcosC，且．(Ⅰ)求cosC；(Ⅱ)若a＝2，求△ABC的面积．18.某旅游景点努力打造一流旅游区，吸引更多的游客前来观光旅游，据统计，该景点2013年到2019年游客人数y与对应年份代号x的数据如表：(Ⅰ)若y关于x具有较强的线性相关关系，且回归方程为，且，求；(Ⅱ)若每位游客平均为景区带来200元收入，根据(Ⅰ)中结论，预测该景点旅游收入首次超过1.6亿元的年份．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC的中点，已知AB＝AA1＝BC＝2，AD＝．(Ⅰ)求证：平面AB1D⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)求三棱锥A1−AB1D的体积．20.已知抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作圆的两条切线l1，l2且l1⊥l2．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)过点F作直线l，与E交于A，B两点，若A，B到直线3x+4y+20＝0的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最小值．21.已知函数．(Ⅰ)若f(x)在[1, e]上是单调函数，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若m＝2，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程])22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l与曲线C交于A，B两点、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)若OA⊥OB，求．[选修4-5：不等式选讲])23.已知函数f(x)＝|x−1|+|mx+2|（其中m为常数）．（1）当m＝2时，解关于x的不等式f(x)>4；（2）若m＝1，且，求x的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年陕西省高三（上）质检测评数学试卷（文科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解答】∵集合A={x|−x2+x<0}={x|x<0或x>1}，∴∁R A=[0, 1]．2.【解答】z(1−i)＝(1+ai)i3＝a−i，所以z＝＝＝，由题意得，a+1＝0，即a＝−(1)故选：A．3.【解答】由频率分布直方图知，0.05+0.15+0.20＝0.40<0.5，所以数学成绩的中位数在[70, 80)内，设中位数为x，则0.40+(x−70)×0.030＝0.50，解得x＝73.3≈73．4.【解答】因为E，F分别为CD，BC的中点，＝，＝，所以＝＝＝，5.【解答】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为直五棱柱．如图所示所以S＝+＝19+2．6.【解答】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝3+5+7+...+23的值，S＝3+5+7+...+23＝＝143．7.【解答】某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，基本事件总数n＝＝21，其中恰好包括农历六月十四日晚上的基本事件个数m＝＝6，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为P＝＝＝．8.【解答】由题意椭圆E：的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|＝b，如图：而a+c＝2b，(a+c)2＝4b2，即，(a+c)2＝4a2−4c2，整理可得：5e2+2e−3＝0，e∈(0, 1)，解得e＝，9.【解答】∵S n＝na n，∴S n＝n(S n−S n−1)，n≥2，即(n−1)S n＝nS n−1，n≥2，即＝，n≥2，∴数列{}是每项均为S1的常数列，∴＝S1＝a1，即S n＝na1，又∵S2+S4+S6+...+S60＝1860，∴(2+4+6+...+60)a1＝a1＝1860，解得：a1＝2，10.【解答】f(x)＝2sinx⋅cosx+2cos2x−1＝sin2x+cos2x＝2sin(2x+），令2x+＝kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，∵x0∈[−π, 2π]，∴满足条件的所有x0的取值为，，，，，，∴（）+（）++++＝4π．11.【解答】因为外接球球O的表面积为64π，设其半径为r，则有4πr2＝64π，解得r＝4，设点A到平面BCD的距离为x，则有，解得x＝2或x＝6（舍），取BD的中点Q，则EQ // AB，所以异面直线AB与CE所成角为∠QEC或它的补角，AB＝，即AC＝AD＝4，所以EQ＝2，而CQ＝，故，所以CE2＝AC2+AE2−2AC⋅AEcos∠CAD＝，所以CE＝，所以，故异面直线AB与CE所成角的余弦值为．12.【解答】当x≥e时，f(x)＝x−lnx的导数为f′(x)＝1−＝>0，可得f(x)在[e, +∞)递增，可得f(x)≥e−1，当x<e时，f(x)＝m−x递减，可得f(x)>m−e，由f(x)的值域是[e−1, +∞)，可得m−e≥e−1，即m≥e−1，函数g(x)＝e x−x+2−m的零点个数，即为e x−x＝m−2的实根的个数．设ℎ(x)＝e x−x，则ℎ′(x)＝e x−1，当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，可得ℎ(x)在x＝0处取得极小值，且为最小值1，作出g(x)＝e x−x的图象，以及直线y＝m−2，由于m−2>1，可得它们有两个交点，则函数g(x)＝e x−x+2−m的零点的个数是2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解答】∵函数f(x)＝2sin(ωx+），(ω>0)的最小正周期为4π，∴＝4π，可得ω＝，可得：f(x)＝2sin（x+），∴f(3π)＝2sin（×3π+）＝2sin＝−2sin＝−(1)14.【解答】根据约束条件画出可行域，如图：由，解得A(3, 4)，直线z＝x+2y过点A(3, 4)时，目标函数在y轴上的截距取得最大值，此时z最大值11，即目标函数z＝x+2y的最大值为11，15.【解答】由双曲线的方程可得左焦点F(−c, 0)渐近线的方程为y＝±x，当直线HF与y＝x垂直时，|FH|＝2，＝b＝2，△FOH的面积为3，可得＝3，所以a＝3，则E的标准方程为：＝1，16.【解答】设数列{a n}的公比为q(q>0)，由题设可得，即为，解得，∴a n＝30×（）n−1，∵数列{a n}的前11项分别为30，15，15，，，，，，，，，易知当n≥11时，0<a n<1，∴数列{b n}的前10项分别为30，22，15，11，8，6，4，3，2，2，当n≥11时，b n＝0，∴当n>10时，数列{b n}的前n项和为30+22+15+11+8+6+4+3+2+2＝103，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【解答】（1）∵a+c＝2bcosC＝2b•，整理可得：b2＝ac+c2，又，∴2c2＝ac+c2，解得a＝c，∴cosC＝＝＝．（2）∵C∈(0∘, 180∘)，cosC＝，∴C＝45∘，又由(Ⅰ)可得a＝2，b＝2，∴S△ABC＝absinC＝＝2．18.【解答】（1），＝，则，解得；（2）由(Ⅰ)得，，再由200(5x+）>16000，解得x>11.32，∴预测该景点旅游收入2014年首次超过1.6亿元．19.【解答】（1）证明：∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，∵D为BC的中点，AB＝AA1＝BC＝2，AD＝．∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BC，∵BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面BCC1B1．（2）∵AB＝AA1＝BC＝2，AD＝．∴由(Ⅰ)得△ABC是等边三角形，∴D到平面AA1B1的距离d＝＝，＝＝2，∴三棱锥A1−AB1D的体积为：＝＝＝＝．20.【解答】（1）圆的圆心C(−2, 0)，半径r＝，抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点F（，0)设两条切线l1，l2且与圆C的切点分别为M，N，则|CM|＝|CN|＝r，则四边形CMFN为正方形，所以|CF|＝r＝3，即+2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2−4my−4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，线段AB的中点为Q，Q到直线3x+4y+20＝0的距离为d，则y1+y2＝4m，中点Q的坐标为(1+2m2, 2m)，由梯形的中位线定理可得d1+d2＝2d，则d＝＝＝≥，当m＝-时，d取得最小值，所以d1+d2的最小值为．21.【解答】（1）f(x)＝，(x>0)，f′(x)＝（−lnx−m)，令g(x)＝−lnx−m，(x>0)，则g′(x)＝--<0，g(x)在(0, +∞)递减，若f(x)在[1, e]上是单调函数，则f(x)在[1, e]递增或在[1, e]递减，即f′(x)≥0在[1, e]恒成立或f′(x)≤0在[1, e]恒成立，⇔g(1)≤0或g(e)≥0，即1−m≤0或−1−m≥0，解得m≥1或m≤−1，故m的取值范围是(−∞，−1]∪[1, +∞)；（2）m＝2时，要证f(x)＝<，即证ℎ(x)＝e x−lnx−2>0，(x>0)，ℎ′(x)＝e x−，ℎ″(x)＝e x+>0，故ℎ′(x)在(0, +∞)递增，x→0时，ℎ′(x)→−∞，x＝1时，ℎ′(1)＝e−1>0，故∃x0∈(0, 1)，使得ℎ′(x0)＝0，即＝，lnx0＝−ln（）＝−x0−ln2，故ℎ(x)在(0, x0)递减，在(x0, +∞)递增，故ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝−lnx0−2＝+x0+ln2−2>2−2+ln2>0，故ℎ(x)>0恒成立，故f(x)<．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【解答】（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．（2）设A(ρ1, θ1)，B(ρ2, θ2)，由于OA⊥OB，所以，所以，则＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23.【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−1|+|2x+2|＝|x−1|+2|x+1|，①当x<−1时，x−1<0且x+1<0，f(x)＝1−x−2(x+1)＝−1−3x>4，解得：x<−，②当−1≤x≤1时，x−1≤0且x+1≥0，f(x)＝−(x−1)+2(x+1)＝x+3>4，解得：x>1，（舍），③当x>1时，x−1>0且x+1>0，f(x)＝x−1+2(x+1)＝3x+1>4，解得：x>1，综上：不等式的解集是(−∞，-）∪(1, +∞)；m＝1时，f(x)＝|x−1|+|x+2|，a++7＝−(−a+）+7≤−2+7＝3，（当且仅当a＝−2时“＝”成立），故f(x)＝|x−1|+|x+2|≤3，①x<−2时，f(x)＝−x+1−x−2＝−2x−1≤3，解得：x≥−2，不合题意，②−2≤x≤1时，f(x)＝1−x+x+2＝3，符合题意，③x>1时，f(x)＝x−1+x+2≤3，解得：x≤1，不合题意，综上：不等式的解集是[−2, 1]．。

渭南市2020年高三教学质量检测(Ⅰ) 数学试题(文科) 2020-01-07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R , 集合A ={x |0<x <2}, B={－3,－1,1,3},则集合(C U A )∩B = A. {－3,－1} B. {－3,－1,3} C. {1,3} D. {－1, 1}2.已知i 为虚数单位,若11a bi i=+-,(a ,b ∈R), 则a +b =A. 1B.C.2D.23.向量a ,b 满足|a |=1,|b , 且(a +b )⊥(2a －b ),则向量a 与b 的夹角为A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°4.某中学有高中生3000人,初中生2000人,男、女生所占的比例如图所示.为了了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是 （高中生女70％）A. 12B. 15C. 20D. 21 5.函数ln ||y x x =的大致图像是6.给定间中的直线l 及平面α,条件”直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是”直线l 与平面α垂直”的 A. 充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件7.已知函数2()(1)23f x m x mx =--+是偶函数,则函数f (x )在(－∞,0)上 A. 是增函数 B. 不是单调函数 C. 是减函数 D. 不能确定 8.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(A >0,ω>0, |φ|<2π)与直线y =3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列,且x =6π是f (x )图像的一条对称轴,则下列区间中是函数f (x )的单调递减区间的是A. [23π,76π] B. [－3π,0] C. [－43π,－56π] D. [－56π,－3π]9.的双曲线22221x y a-=的右焦点为F , 直线l 过点F 且垂直于x 轴,若l 被抛物线22y px =截得的线段长为4, 则p =A.1B. 2C.12D.10.一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌: 黑桃: 3,5,Q ,K 红心: 7,8,Q 梅花: 3,8,J,Q 方块: 2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字(或字母),只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说: 我不知道这是张什么牌, 乙同学说:我也不知道这是张什么牌. 甲同学说: 现在我们知道了. 则这张牌是A. 梅花3B.方块7C. 红心7D. 黑桃Q11.曲线2ln y x x =-在x =1处的切线的倾斜角为α, 则cos(2α+2π)的值为 A.45 B. －45 C. 35 D. －3512.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说:”白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个数学问题”将军饮马”, 即将军在观望烽火之后从脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为22x y +≤1,若将军从点A (2,0)处出发,河岸线(河边)所在直线方程为x +y =3,假定将军只要达军营的在区域即回到军营,即”将军饮马”的最短总路程为A.1 －1 D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ,y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,则z =x +2y 的最大值为14. 已知函数|log |a y x =(a >0,a ≠1)与函数y =b (b >0)存在两个不同的交点,两交点的横坐标分别为x 1,x 2(x 1<x 2), 则2x 1+x 2的最小值为15.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A , 发现在北偏东45°的B 处有一货船正匀速直线行驶,此时AB 海里,半小时后,又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处,且cos θ=45,这时A ,C 两处的距离为10海里,则该货船的速度为 海里/小时.16. .在三棱锥P -ABC 中,平面P AB ⊥平面ABC , △ABC 是边长为6的等边三角形,△P AB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为三、解答题：共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(一)必考题: 共60分17. (本题满分12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为正方形,△P AD 为等边三角形,平面P AD ⊥平面PCD .(1)证明: 平面P AD ⊥平面ABCD .(2)若AB =2,Q 为线段PB 的中点,求三棱锥Q -PCD 的体积.18. (本题满分12分)在公差不为零的等差数列{a n }中,已知a 2=3, 且a 1, a 3, a 9成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n }的前n 项和S n , 记392n nb S =,求数列{b n }的前n 项和T n .19. (本题满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与”3亿人上冰雪”口号的提出.将冰雪这个冷项目迅速炒”热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程.为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占23,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.”对冰球是否有兴趣与性别有关”?,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20. (本题满分12分)已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的顶点到直线l 1: y =x.(1)求椭圆C 的标准方程(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且|OA +OB |=|AB |,求直线l 的方程. 21.设函数21()(1)2xf x x e x =-+. (1)求f (x )的单调区间.(2)当x >0时,不等式2()'()x k f x x x -<+恒成立,(其中'()f x 为f (x )的导函数).求整数k 的最大值. (二)选考题: 共10分.考生在第22,23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑. 22. (本题满分10分)在直角坐标系中xoy 中, 直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθθ=-.(1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)设直线l 交曲线C 1于O ,A 两点,交曲线C 2于O ,B 两点,求|AB |的长. 23. (本题满分10分)已知a >0,b >0,c >0, 函数f (x )=|a －x |+|x +b |+c . (1)当a =b =c =2时, 求不等式f (x )<10的解集; (2)若函数f (x )的最小值为1, 证明: a 2+b 2+c 2≥13.。

2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}14,23A x N x B x x =∈-≤≤=-≤≤，则A B =I （ ） A ．[]1,3- B ．[]2,4-C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,3【答案】C【解析】先化简集合A ，再求A B I 得解. 【详解】因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}0,1,2,3A B =I . 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．若112z i=+，则下列复数的虚部为-2的是（ ） A ．5z - B ．5z C ．z -D ．z【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，验证选项中复数的虚部得答案． 【详解】 ∵1121212(12)(12)5i iz i i i --===++-，∴512z i =-，满足题意， 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．某地有两个国家AAAA 级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误．．的是（ ）A ．甲景区月客流量的中位数为12950人B ．乙景区月客流量的中位数为12450人C ．甲景区月客流量的极差为3200人D ．乙景区月客流量的极差为3100人 【答案】D【解析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案. 【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人. 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人. 故选：D 【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.4．若x ，y 满足约束条件04x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且2z x y =+，则（ ）A ．z 的最大值为6B ．z 的最大值为8C ．z 的最小值为6D ．z 的最小值为8 【答案】C【解析】作出约束条件对应的可行域，然后利用平移直线法求解出对应的最值，注意根据截距判断最值是否存在. 【详解】作出约束条件表示的可行域如下图，因为04x y x y -=⎧⎨+=⎩，所以22x y =⎧⎨=⎩，所以()2,2A ，由图可知，当直线2z x y =+经过点()2,2A 时， 此时直线的截距最小，z 取得最小值6，z 无最大值.【点睛】本题考查根据约束条件求解目标函数的最值，难度较易.采用平移直线法求解线性目标函数的最值，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起.5．已知两个单位向量1e u r 、2e u u r 的夹角为60o，向量1252m e e =-u r u r u u r，则m =u r （ ）A ．BC ．D ．7【答案】A【解析】利用向量数量积的运算律计算出()221252m e e =-u r u r u u r 的值，即可计算出m u r 的值.【详解】()2222221212212252252042520cos 604m e e e e e e e e e e =-=-⋅+=-⋅+ou r u r u u r r u r u u r u u r r u r u u r u u r Q221251201141192=⨯-⨯⨯⨯+⨯=，因此，m =u r 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量模的计算，同时也考查了向量数量积的运算律，在计算平面向量模时，一般将模平方，利用平面向量数量积的运算律来计算，考查计算能力，属于基础题. 6．已知α，β是两个不同的平面，m ，l ，是两条不同的直线，且αβ⊥，m α⊂，l αβ=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若m l ⊥，则根据面面垂直的性质定理可得m β⊥；若m β⊥，则由l β⊂，可得m l ⊥. 故选：C 【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.7．某单位高峰期过后，员工可以从周二到周日任意选两天休息，则员工甲选的两天不相邻的概率为（ ） A ．13B ．12C ．35D ．23【解析】用列举法将所有情况列出，从中找出符合条件的种数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】员工甲从周二到周日任意选两天休息的所有情况有：（周二，周三）简记为（二，三），（后面也都这样表示）（二，四），（二，五），（二，六），（二，日），（三，四），（三，五），（三，六），（三，日），（四，五），（四，六），（四，日），（五，六），（五，日），（六，日），共15种，其中两天不相邻共10种， 则员工甲选的两天不相邻的概率为102153=， 故选：D . 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，比较基础．8．在等比数列{}n a 中121a a +=，4527a a +=，则{}n a 的前5项和为（ ） A ．29 B ．1194C ．30D ．1214【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意得出关于1a 和q 的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前5项和. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()121345111127a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩，解得1143a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因此，数列{}n a 的前5项和为()()5515113112141134a q S q --===--. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是求出等比数列的首项和公比，一般利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】利用对数函数的单调性比较c 与2的大小关系，再利用指数函数的单调性得出2a b >>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2xy =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，c b a <<.故选：A. 【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.10．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C【解析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．11．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C【解析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题. 12．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的每个顶点都在球的O 球面上，若球O 的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．16D ．18【答案】A【解析】计算出球O 的半径为R ，可得出R ，设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，=，然后利用基本不等式可得出该四棱柱侧面积的最大值. 【详解】设球O 的半径为R ，则2412R ππ=，得R =.设正四棱柱的底面边长为x ，高为h ，则正四棱柱的体对角线即为球O 的直径，2R ==22212x h +=，由基本不等式可得22122x h =+≥，xh ∴≤，当且仅当h =时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为44xh ≤⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．曲线324y x x x =--在点(1,2)处的切线的斜率为__________． 【答案】9【解析】求曲线在点(1,2)处的切线的斜率，就是求曲线在该点处的导数值． 【详解】∵324y x x x =--的导数为：21221y x x '=--， 将x ＝1代入，即可得斜率为：k ＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查导数的几何意义及基本运算，属于基础题．14．已知双曲线22:14x y C m -=则双曲线C 的实轴长为__________．【答案】2【解析】根据离心率公式得到答案. 【详解】∵=m 1=， 则实轴长为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查双曲线的离心率公式的应用，属于基础题．15．已知()f x 为偶函数，当04x ≤<时，()23xf x =-，当4x ≥时，()212f x x =-，则不等式()5f x >的解集为__________． 【答案】()()8,33,8--⋃【解析】求出不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式()5f x >在R 上的解集. 【详解】当04x ≤<时，令()235xf x =->，可得28x >，解得3x >，此时34x <<；当4x ≥时，令()2125f x x =->，解得8x <，此时48x ≤<. 所以，不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解为38x <<.由于函数()y f x =为偶函数，因此，不等式()5f x >的解集为()()8,33,8--⋃. 故答案为：()()8,33,8--⋃. 【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.16．在数列{}n a 中，13a =，且12221n n a a n n+---=+. （1）{}n a 的通项公式为__________；（2）在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为__________．【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）根据题意得知数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可求出n a ； （2）设()222102n a n n k k Z =-+=+∈，可得出()1021k n n =-，由21n -为奇数，可得出n 为10的倍数或21n -为5的奇数倍且n 为偶数，求出两种情况下n 值的个数，相加即可得出答案. 【详解】 （1）12221n n a a n n +---=+Q且1211a -=，所以，数列2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，()212121n a n n n-∴=+-=-，222n a n n ∴=-+； （2）被10整除且余数为2的整数可表示为()102k k Z +∈，令222102n a n n k =-+=+，可得()1021k n n =-，n N *∈Q ，且12019n ≤≤，则21n -为奇数，则n 为10的倍数，或者21n -为5的奇数倍且n 为偶数.当n 为10的倍数时，n 的取值有：10、20、30、L 、2010，共201个； 当21n -为5的奇数倍且n 为偶数时，n 的取值有：8、18、28、L 、2018，共202个.综上所述，在1a 、2a 、3a 、L 、2019a 这2019项中，被10除余2的项数为201202403+=.故答案为：222n n -+；403. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题17．a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；（2）若3a =，b =ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 3B =；（2）【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值； （2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积. 【详解】（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =， 又sin 0A >，所以sin 3sin cos BB B =，因为sin 0B >，所以1cos 3B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则21179233c c =+-⨯⨯⨯，整理得2280c c --=，0c >Q ，解得4c =. 因为1cos 3B =，所以222sin 1cos 3B B =-=， 所以ABC ∆的面积1sin 422S ac B ==. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.18．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时）并根据统计数据分为[1,1.5),[1.5,2),[2,2.5),[2.5,3),[3,3.5),[3.5,4)六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在[1,4]内），得到的频率分布直方图如图所示.（1）求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）为了分析出该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在[1.5,2)时间段内应抽出多少人？ 【答案】（1）0.5m =，平均值为2.4，中位数2.4 （2）4人【解析】（1）频率分布直方图中各组的频率之和为1，能求出m ．利用平均值及中位数计算公式即可得出平均值及中位数．（2）先求得[1.5,2)时间段的频率，由此能求出[1.5,2)时间段内的人数． 【详解】（1）由(0.20.420.30.1)0.51m ++++⨯=， 解得0.5m =.这100名居民运动时长的平均值为(0.2 1.250.4 1.750.5 2.750.3 3.250.1 3.75)0.5 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，由图可知中位数x 在[2,2.5)内，因为0.20.50.40.50.5(2)0.5x ⨯+⨯+-=， 解得 2.4x =.（2）由题知，[1.5,2)时间段的频率为0.40.50.2⨯=， 则应抽出200.24⨯=人. 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查数据处理能力、运算求解能力，考查平均数中位数公式，是基础题．19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F ，G 分别是棱1CC ，1AA 的中点，E ，M 分别为棱AB ，11A B 上一点，113B M MA =，且GM P 平面1B EF .（1）证明：E 为AB 的中点. （2）若四棱锥1F B MGE -的体积为32，求正方体1111ABCD A B C D -的表面积. 【答案】（1）见解析；（2）24【解析】（1）取11A B 的中点N ，连接AN ，可证GM AN P ，再由线面平行得到1AN B E P ，又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，即可得证.（2）设棱长为a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，由1113F B MGE B MGE V h S -=⋅⋅求出a 的值，即可求出表面积. 【详解】解：（1）证明：取11A B 的中点N ，连接AN因为113B M MA =，所以M 为1A N 的中点，又G 为1AA 的中点，所以GM AN P .因为GM P 平面1B EF ，GM ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A I 平面11B EF B E =. 所以1GM B E P ，即1AN B E P .又1B N AE P ，所以四边形1AEB N 为平行四边形，则1AE B N =，所以E 为AB 的中点.（2）设AB a =，则1A MG ∆，AGE ∆，1BEB ∆的面积分别为2a 16，28a ，24a ，易知F 到平面11ABB A 的距离为a ，所以11222321133331684162F B MGEB MGE a a a a V h S a a -⎛⎫==⋅⋅⨯---⨯== ⎪⎝⎭， 解得2a =，故所求正方体的表面积为2624a =. 【点睛】本题考查锥体的体积计算以及线面平行的性质，属于基础题.20．已知椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的焦距为（1）求Ω的方程；（2）若直线2y x =+与Ω相交于A 、B 两点，求以线段AB 为直径的圆的标准方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】（1）根据题意求出a 和b 的值，即可求出椭圆Ω的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆Ω的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点和AB ，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】（1）设椭圆Ω的焦距为()20c c >，则2c =，2b =所以cb =2228a b c =+=，所以Ω的方程为22182x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222182y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得251680x x ++=.由韦达定理得12165x x +=-，1285x x =，所以12825x x +=-，线段AB 的中点坐标为82,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.12AB x x =-===，所以，所求圆的标准方程为2282485525x y ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()e 2xf x ax a =--，()lng x x =.（1）讨论()f x 的单调性；（2）用{},max m n 表示m ，n 中的最大值，已知2a =，求函数()()(){}()max ,0h x f x g x x =>的零点的个数.【答案】（1）()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，在()()ln 2,a +∞上单调递增；（2）零点个数为1【解析】（1）求出定义域、导函数，对a 分类讨论，可得单调区间；（2）由当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =>，可知函数()h x 在()1,+∞上不存在零点，当1x =，分别计算函数值，可知1x =是()h x 的零点，由（1）知()h x 在()0,1上无零点. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，且()e 2xf x a '=-.当0a ≤时，()0f x '>对x ∈R 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增. 当0a >时，令()0f x '=，得()ln 2x a =，当()(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>. 所以()f x 在()(),ln 2a -∞上单调递减，在()()ln 2,a +∞上单调递增.（2）当()1,x ∈+∞时，()ln 0g x x =>，从而()()(){}()max ,0h x f x g x g x =>…，所以()h x 在()1,+∞上无零点.当1x =时，()1e 60f =-<，()10g =，所以1x =是()h x 的零点.当()0,1x ∈时，()ln 0g x x =<，所以()h x 在()0,1上的零点个数只需要考虑()f x 在()0,1上的零点个数.由（1）知，()e 42xf x x =--在()0,1上单调递减，所以()()010f x f <=-<，从而()h x 在()0,1上无零点 综上，()h x 的零点个数为1. 【点睛】本题考查含参函数的单调性，以及函数的零点问题，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x m y a n αα=⎧⎨=+⎩（0m >，0n >，α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求a ，m ，n 的值；（2）已知点P 的直角坐标为()0,1，l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +. 【答案】（1）4a m n ===；（2.【解析】（1）根据极坐标方程得到()22416x y +-=，根据参数方程得到答案. （2）将参数方程代入圆方程得到270t --=，根据韦达定理得到120t t +=>，1270t t =-<，计算12PA PB t t +=-得到答案.【详解】（1）由8sin ρθ=，得28sin ρρθ=，则228x y y +=，即()22416x y +-=.因为0m >，0n >，所以4a m n ===.（2）将21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()22416x y +-=，得270t --=.设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则120t t +=>，1270t t =-<. 所以12t t P PB A =-==+【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键. 23．已知函数()3124f x x x =+--. （1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围.【答案】（1）()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）1t ≤-或9t ≥.【解析】（1）分别计算1x <-，12x -≤≤，2x >三种情况，综合得到答案. （2）化简得到()23336f x x x x --=+--，利用绝对值三角不等式得到()29f x x --≤，解不等式289t t -≥计算得到答案.【详解】（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-； 当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤；当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >. 综上所述：不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .（2）()231242f x x x x x --=+----3132x x =+--3336x x =+--()33369x x ≤+--=，当2x ≥时等号成立.若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，即289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.。

2020届陕西省彬州市上学期高三第一次教学质量监测数学（文）科试题一、单选题1.如果集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，，根集合的交集的运算，可得，故选B。

【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念和准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.设，则的虚部是（）A. -1B.C.D. -2【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方与除法运算化简复数z，结合虚部的定义即可得出．【详解】，∴的虚部是-2故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角正弦公式可知同号，又，从而得到结果.【详解】由可得，即同号，又，∴故选：A【点睛】本题考查二倍角正弦公式，同角关系中的商数关系，属于基础题.4.在数列中，满足，，为的前项和，若，则的值为（）A. 126B. 256C. 255D. 254【答案】D【解析】【分析】由题意，数列满足，得到数列为等比数列，由求得数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式，即可求解。

【详解】由题意，数列满足，即，所以数列为等比数列，又由，，即，解得，所以，故选D。

【点睛】本题主要考查了等比数列的中项公式以及等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中根据题意，得出数列表示首项和公比的等比数列，准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。

5.已知函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，命题：总存在，有；命题：若函数在区间上有，则是的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.【详解】命题推不出命题q，所以充分性不具备；比如：，区间为，满足命题p，但，根据零点存在性定理可知，命题能推出命题p，所以必要性具备；故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.6.已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，可求得函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A、B；又由函数的图象可知，当时，求得，可排除D，即可得到答案。