高三教学质量检测(一)数学文(附答案)

2024—2025学年度上学期普通高中高三第一次联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}260M xx x =+−=∣，{}20,N x ax a =+=∈R ∣，且N M ⊆，则a 的取值不可以是（ ）．A ．2B ．23C ．0D ．1−【答案】A【详解】依题意，{3,2}M −，由N M ⊆，得N =∅或{3}N −或{2}N =， 当N =∅时，0a =；当{3}N −时，23a =；当{2}N =时，1a =−， 因此a 的取值不可以是2. 故选：A.2．已知向量()cos ,sin a θθ= ，()2,1b =−，若a b ⊥，则sin cos sin 3cos θθθθ++的值为（ ）A ．13B ．35C ．45D ．23【答案】B【详解】由题设2cos sin 0tan 2θθθ−=⇒=， 而sin cos tan 1213sin 3cos tan 3235θθθθθθ+++===+++.故选：B3．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．3726【答案】B【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，满足342n n S n T n +=+， 所以111131143711213S T ×+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+， 故选：B4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A ．44 B ．46 C ．48 D ．54【答案】B【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3313A 18××=； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有33A 种排法，则有3321A 12××=； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有22A 种排法，则有22222A 16×××=； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为18121646++=种. 解法二：间接法：甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有33A 种排法，共有3333A 3332154××=××××=种不同的情况；但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有22A 种排法，故共有2222A 22218××=×××=种不同的情况；从而该5名同学可能的名次排情况种数为54846−=种. 故选：B.5．已知直线1:0l x y C ++=与直线2:0l Ax By C ++=均过点()1,1，则原点到直线2l 距离的最大值为（ ） AB ．1 CD ．12【答案】A【详解】因为两直线交于()1,1，则110C ++=，即2C =−， 且0A B C ++=，则2A B +=；由原点到直线2l的距离d=，易知2222(1)11A A A −+=−+≥，则d ≤ 当且仅当1A =时，d 1B =. 即两直线重合时，原点到直线2l 的距离最大. 故选：A.6．已知双曲线22:13x C y −=的右焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅= ，则直线AB 的斜率为（ ）ABC ．D ．【答案】D【详解】易知()2,0F ，当直线AB的斜率为零时，得((221FA FB ⋅=×= ，不合题意；当直线AB 的斜率不为零时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立222,1,3x my x y =+ −=得()223410m y my −++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，由3FA FB ⋅=得()()()21212122213x x y y m y y −−+=+=， 而12213y y m =−，即22133m m +=−，解得m=k = 故选：D7．已知函数()331f x x x =++，若关于x 的方程()()sin cos 2f x f m x ++=有实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． −B ．[]1,1−C ．[]0,1D ．【答案】D【详解】令()()313g x f x x x −+，则()2330g x x ′=+>恒成立，则()g x 在R 上单调递增，且()g x 是奇函数.由()()sin cos 2f x f m x ++=，得()()sin 1cos 1f x f m x −=−+− ，即()()sin cos g x g m x =−−，从而sin cos x m x =−−，即πsin cos 4m x x x=−−+∈ 故选：D【点睛】方法点睛：设()()313g x f x x x −+，可得函数()g x 为奇函数，利用导函数分析函数()g x 的单调性，把()()sin cos 2f x f m x ++=转化成sin cos m x x =−−，再求m 的取值范围. 8．如图，在三棱锥A BCD −中，45ABC ∠=°，点P 在平面BCD 内，过P 作PQ AB ⊥于Q ，当PQ 与面BCD PQ 与平面ABC 所成角的余弦值是（ ）A B C D 【答案】A【详解】过点Q 作AB 的垂面QEF ，交平面ABC 于直线EF ，即,,AB QE AB QF AB EF ⊥⊥⊥， 再过AB 作平面BCD 的垂面ABM ，即平面ABM ⊥平面BCD ， 过O 作QG BM ⊥，垂足为G ，如图所示，设BM EF P = ，则此点即为PQ 与平面BCD 所成角最大时，对应的P 点， 理由如下：因为PQ AB ⊥恒成立，所以P ∈平面QEF ，又因为P ∈平面BCD ，平面QEF 平面BCD EF =，所以P EF ∈，过点Q 作QG BM ⊥，因为平面ABM ⊥平面BCD ，平面ABM ∩平面BCD BM =， 且QG ⊂平面ABM ，所以QG ⊥平面BCD ，所以PQ 与平面BCD 所成角即为QPB ∠，所以sin QGQPB PQ ∠=，因为QG 为定值，所以当PQ 最小时，sin QPB ∠最大，即QPB ∠最大， 又因为EF ⊂平面BCD ，所以QG EF ⊥，因为,AB EF AB QG Q ⊥=，,AB QG ⊂平面ABM ，所以⊥EF 平面ABM ， 则当P 为BM 与EF 交点时，EF PQ ⊥，此时PQ 取得最小值， 所以，当BM EF P = 时，PQ 与平面BCD 所成角最大，即为QPB ∠，所以sin QPB ∠P 作PH QE ⊥，垂足为H ，连接BH ，因为AB ⊥平面QEF ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面QEF ， 又因为QEF 平面ABC QE =，PH ⊂平面QEF ，所以PH ⊥平面ABC ， 所以EQP ∠即为PQ 与平面ABC 所成角，在直角QPE △中，cos PQEQP QE∠=，因为45ABC ∠= ，且AB QE ⊥，所以BQE △为等腰直角三角形，所以QB QE =， 又因为tan PQQBP OB∠=，所以tan cos QBP EQP ∠=∠，因为sin QPB ∠tan QPB ∠因为π2QBP QPB ∠+∠=，所以1tan tan QBP QPB ∠==∠. 故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（ ）A ．1212z z z z =B ．1212z z z z +=+C ．若12=z z ，则2212z z = D ．1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=−++，所以12z z，所以1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =−，2i z c d =−， 则12()()z z a c b d i +=+−+，12()()i z z a c b d +=+−+， 所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =−但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =−=−，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=−++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅−−+2(i)(i)()()i z a b c d ac bd ad bc =−−=−−+， 所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确. 故选：ABD.10．已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ）A ．若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B ．若1(,)3X B n ，则()4219D X n +=C ．若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D ．当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误；对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误； 对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC11．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =−+−，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B ．若对于三点,,A BC ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上” C ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是8−D ．若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y −+=上，则(),d P M 的最小值是4 【答案】AD【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =−+−=，故A 选项正确； 对于B 选项：设点AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2()33,C x y则()()121313,,d A B d A C x x y x y y +=−+−+−，()2323,d B C x x y y =−+−显然，当点A 在线段BC 上时，121323x x x x x x −+−=−，121323y y y y y y −+−=−，∴()()(),,,d A B d A C d B C +=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y −+−+−+−=+++=+=−+−显然此时点A不在线段BC 上，故B 选项不正确； 对于CD 选项：∵当0,0a b >>a b ≥+≥ ∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y −+=交圆于M ， 如图：设(),M a b ，则2OM bk a==−∴M设点PP (xx 0,yy 0)，则(0,d P M x =又∵当0ab =，a b +≥①当00x +=时，由00442x y =+=()0,4d P M x =+①当00y =时，由00288x y =−=()0,8d P M x =+−又∵48<−∴(),d P M的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确. 故选：AD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知12,34a b a b ≤−≤≤+≤则93a b +的取值范围为 ．【答案】[]21,30【详解】假设()()93a b a b a b λµ+=−++，则93λµλµ+=−+=，解得36λµ= = ， 因为12a b ≤−≤，所以()336a b ≤−≤； 又因为34a b ≤+≤，所以()18624a b ≤+≤；由上两同向不等式相加得：()()213630a b a b ≤−++≤， 整理得：219330a b ≤+≤ 故答案为：[]21,3013．已知函数()cos 2sin 2sin f x x x x ωωω=−（0ω>）在()0,2π上有最小值没有最大值，则ω的取值范围是 .【答案】11,63【详解】()()()cos 22sin 2sin cos 2cos3f x x x x x x x x ωωωωωωω=−−=+=， 当()0,2πx ∈时，()30,6πx ωω∈，若()f x 在()0,2π上有最小值没有最大值， 则π6π2πω<≤，所以1163ω<≤. 故答案为：11,6314．函数2e 12()e 21x x xh x −=++，不等式()22(2)2h ax h ax −+≤对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是 【答案】[]2,0−【详解】因为2e 122()e ee 2121x x xx x x h x −−=+=−+++， 所以22222()()e e e e 221212121x x x x xxx x x h x h x −−−⋅+−=+−++−=+=++++， 令()()1f x h x =−，则()()0f x f x +−=，可得()f x 为奇函数， 又因为()()222ln 41ln 4()e e e e e 121e 21222x x x x xx x x x x xf x −−′ ′′=+−=+−=+− + +++， 1e 2e x x +≥，当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立；ln 4ln 4ln 2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x ′>，可得()f x 在R 上为增函数，因为()2222(2)2(2)(2)0(2)(2)h ax h ax f ax f ax f ax f ax −+≤⇔−+≤⇔−≤−，所以2220ax ax +−≤在R 上恒成立， 当0a =时，显然成立；当0a ≠，需满足2Δ480a a a < +≤，解得20a −≤<， 综上，[]2,0a ∈−， 故答案为：[]2,0−．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A 、B ，C 的对边，且()2sin 2sin a A b c B =−+()2sin c b C −. (1)求A 的大小；(2)求cos 2cos B C +的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2) 【详解】（1）由题及正弦定理得：22(2)(2)a b c b c b c =−+−，即222bc b c a =+−，则2221cos 22b c a Abc +−==，∵π0,2A ∈，∴π3A =； （2）由ABC 为锐角三角形知，π022ππ032C C<<<−<，故ππ62C <<，则π3πcos 2cos cos 2cos cos 323B C C C C C C+=−++=+， 有ππ5π236C <+<π3C<+<故cos cos B C +的取值范围为. 16.（本小题15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =−+，1(0)n n n b a a λλ+=−>，且{}n b 为等比数列. (1)求λ的值； (2)记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】(1)2 (2)2【详解】（1）因为(1)2n n n a =−+，则11a =，25a =，37a =，417a =. 又1n n n b a a λ+=−，则1215b a a λλ=−=−，23275b a a λλ=−=−，343177b a a λλ=−=−. 因为{bb nn }为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ−=−−， 整理得220λλ−−=，解得1λ=−或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++ =−=−+−−+11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=−×−+−×−−=−×−.则113(1)13(1)n n nn b b ++−×−==−−×−，故{bb nn }为等比数列，所以2λ=符合题意. （2）223(1)nn b n n ⋅=−×−⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n =−×−+−+−+−−−+33(12)(1)2n n n =−×+++=−+ ；当n 为奇数时，221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=−+=−++++=+. 综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k ∗∗ +=−∈ =−+=∈ ， 因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=， 故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i−+⋅−++=×++ ， 整理得23100i i +−=，解得2i =或5i =−（舍），所以2i =. 17.（本小题15分）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E F ､分别是棱,AB AD 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)是否存在一点G ，使得1BC ∥面EFG ？若存在，指出点G 位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；(2)若直线EF 与平面CFG ，求三棱锥1G EBC −的体积； (3)求三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值. 【答案】(1)存在点G 为1DD 的中点，证明见解析 (2)13； (3)4−【详解】（1）存在一点G ，当点G 为1DD 的中点，使得1BC ∥面EFG ， 连接1AD ，如图所示：点,F G 分别是1,AD DD 的中点，FG ∴∥1AD ，又AB ∥11D C ，且11AB D C =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，1∴AD ∥1,BC FG ∴∥1BC ，又1BC ⊄ 平面EFG ，且FG ⊂平面1,EFG BC ∴∥平面EFG .（2）以D 点为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,AC AB B C ，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,(2,1,0),(1,0,0)A B C B D E F ， 设()0,0,G t (02)t ≤≤，(0,2,),(1,2,0)CG t CF =−=− ，(1,1,0)EF =−−，设平面CFG 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2020n CG y tz n CF x y ⋅=−+=⋅=−= ，取1y =得2(2,1,)n t = ，因为直线EF 与平面CFG，所以cos ,n EF n EFn EF⋅==1t =（负值舍去）， G 为1DD 中点，取1CC 中点H ，则////GH CD AB ，因此GH 在平面GEB 内，且GEB HEB S S = ，所以1111111112113323G EBC C GEB C HEB E BHC BHC V V V V S EB −−−−====⋅=××××= ； （3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),AB AC BD ==−=−−因为111440,440,AB BD AC BD ⋅=−+=⋅=−=所以111,AB BD AC BD ⊥⊥即111,AB BD AC BD ⊥⊥因为1AB ⊂平面1,AB C AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，所以1BD ⊥平面1AB C ，又因为1ABCB B B ==，所以1BD 与平面1ACB 的交点是1ACB 的外心，所以三棱锥1B ACG −的外接球的球心在1BD 上， 设外接球球心为1O ，设()[]112,2,2,0,1BO BD λλλλλ==−−∈，则1O 的坐标为()22,22,2λλλ−−，设()[]()0,0,0,2G m m ∈， 则11O G O A =所以2484m mλ+=+，设[]848,16m t +=∈，则84t m −=， 则22841664648411616t t t t t t tλ−+ −++ +−，而811116t t +−≥=，当且仅当816t t =，即t =[]8,16t ∈，所以11,2λ ∈ ，三棱锥1B ACG −的外接球的半径1r O A ====，因为11,2λ ∈−，所以218124833λ −+∈−，所以r ∈− ， 三棱锥1B ACG −的外接球半径的最小值为4. 18.（本小题17分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>经过点(M −，其右焦点为FF (cc ,0)，下顶点为B ，直线BF 与椭圆C交于另一点D ，且3BF FD =．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线1l ，垂足为A ，过点A 的直线与C 交于P ，Q 两点，直线OP 与1l 交于点H ．直线OQ 与1l 交于点G ，设APH 的面积为1S ，AQG 的面积为2S ，试探究1212S S S S +是否存在最小值．若存在，求出此时直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22184x y +=(2))2y x + 【详解】（1）设()00,D x y ，由(),0F c ，()0,B b −，得(),BF c b = ，()00,FDx c y =−，由3BF FD = ，得()()00,3,c b x c y =−，043x c =，013y b =， 所以2222161991c b a b +=，得2212c a =，所以222212b ac a =−=，将(M −代入椭圆C 的方程得22421a b+=，即22441a a +=，则28a =，所以22142b a ==，故椭圆的方程为22184x y +=.（2）由题意可知()2,0A −，直线PQ 的斜率存在且不为0，设直线PQ 的方程为()2y k x =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则()221842x y y k x += =+，得()2222128880k x k x k +++−=， 因为点A 在椭圆内，则直线PQ 与椭圆必有两交点，则2122812k x x k +=−+，21228812k x x k −+=+， ()121224412k y y k x x k +=++=+，()()()2221212121224222412k y y k x x k x x x x k =++=+++=− +， 又OP 的方程为11y y x x =，与直线2x =−联立可得1122,y H x−−， 又OQ OP 的方程为22y y x x =，与直线2x =−联立可得2222,y G x−−， 所以111111121222y y S x x x x =×−×+=×+，22222222122y y S x x x x =×−×+=×则()()121212221212112212221122y k y k S S x x S S S S y x y x y y −−+=+=+=+++， 当21k ≥时，()()21212220y k y k k x x −−=≥， 所以()222121212121212122222222212121212121212122222222y y y k y k S S y k y k y y y y y y k k S S y y y y y y y y y y y y y y +−− +−−+++=+=−=−=−−， 又12121y y y y k +=−，22121124k y y k +=−， 所以()222212122221212122111242222y y y y k k k k y y y y y y k k k k ++++ −−=−−−+=−， 所以121222S S k S S k+=+≥22k =时取等号，当201k <<时，()()21212220y k y k k x x −−=<， 所以221212121212222222121212121222222y k y k S S y k y k y y y y k S S y y y y y y y y −− +−−−−=+=−=−， 又知()1212k y y y y −+=， 则1212121236S S y yS S y y +−====>， 综上可知，当22k =时，1212SS S S +存在最小值此时直线PQ 的方程为)2y x +.19.（本小题17分）设()h x ′为()h x 的导函数，若()h x ′在区间D 上单调递减，则称()h x 为D 上的“凸函数”．已知函数()2sin f x x ax ax =−++．(1)若()f x 为π0,2上的“凸函数”，求a 的取值范围；(2)证明：当1a =−时，()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点． 【答案】(1)1,2−∞−(2)证明见解析【详解】（1）由()2sin f x x ax ax =−++，则()cos 2f x x ax a ′=−++. 由题意可知，()f x 为π0,2上的“凸函数”，则ff ′(xx )在区间π0,2上单调递减，设()()x f x ϕ′=，则()sin 2x x a ϕ′=+，所以sin 20x a +≤在π0,2恒成立， 则2sin a x ≤−在π0,2恒成立，又当π2x =时，函数sin y x =−取最小值，且最小值为1−， 所以有21a ≤−，解得12a ≤−，即a 的取值范围为1,2−∞−.（2）当1a =−时，由2(1)sin(1)(1)(1)f x x x x +=−+−+−+得 22()sin(1)(21)(1)3ln(2)2g x x x x x x x x =−+−++−++++++sin(1)ln(2)x x =−+++. 令()(1)sin ln(1),1H x g x x x x =−=−++>−，其中(0)0H =， 则1()cos 1H x x x ′=−++，其中(0)0H ′=. ①当10x −<<时，则011x <+<，11cos 1x x >≥+， 所以1()cos 01H x x x ′=−+>+，则()H x 在(1,0)−单调递增， 则()(0)0H x H <=恒成立，即()H x 在(1,0)−无零点； ②当π02x <<时，令1()()cos 1G x H x x x ′==−++，其中(0)0G =， 由21()sin (1)G x x x ′=−+在π0,2单调递增， 又ππ(0)10,sin 22G G=−=′′，故存在0π0,2x∈，使得0()0G x ′=，故当00x x <<时，()0G x ′<，()G x 在()00,x 单调递减； 当0π2x x <<时，()0G x ′>，()G x 在0π,2x单调递增； 由ππ11(0)0,cos 0ππ221122G G==−+=>++， 故存在1π0,2x∈ ，使1()0G x =，即1()0H x ′=，故当10x x <<时，()0H x ′<，()H x 在()10,x 单调递减； 当1π2x x <<时，()0H x ′>，()H x 在1π,2x单调递增； 又πππ(0)0,sin ln 11ln e 0222H H==−++<−+=，故当π0,2x ∈ 时，()0H x <，即()H x 在π0,2无零点；③当π22x ≤<时，由1cos 0,01x x −≥>+，则()0H x ′>， 故故()H x 在π,22单调递增，πππsin ln 10222H=−++<，且(2)sin 2ln 3110H =−+>−+=，故由零点存在性定理可知()H x 在π,22有且仅有一个零点；④当2x ≥时，()sin ln(1)1ln 30H x x x =−++≥−+>， 故()H x 在[)2,+∞无零点；综上所述，()H x 有且仅有两个零点，其中(0)0H =，而另一个零点在π,22内.由()(1)H x g x =−，即将()H x 图象向左移1个单位可得()g x 的图象. 故()g x 也有两个零点，一个零点为1−，另一个零点在π1,12 −内.故()()()213ln 22g x f x x x x =++++++有且仅有两个零点，命题得证.。

2023学年顺德区普通高中教学质量检测（一）高三数学参考答案2023．11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】因为全集{||4|5}{1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U x Z x =∈-≤=-，所以{1,0,2,4,6}U C A =-，故答案选C ．2．D 【解析】因为z 是纯虚数，故设(0)z bi b R b =∈≠且，又因为22(2)84(48)z i b b i +-=-+-是纯虚数，所以240b -=且480b -≠，解得：2b =-，所以2z i =-，故答案选D ．3．C 【解析】因为()f x ax b '=+，所以(1)f a b '=+．因为函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y +-=垂直，所以(1)1f '=，即1a b +=，所以21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时等号成立，故答案选C ．4．A 【解析】因为1126AE AC AB =+ ，所以2221114366AE AC AB AB AC =++⋅ 1119934366=⨯+⨯+⨯3=，所以||AE = ，故答案选A ．5．B 【解析】联立22226406280x y x x y y ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩，解得：13x y =-⎧⎨=⎩或62x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆M 的半径为：5=，所以M 的面积为25π，故答案选B ．6．A 【解析】由题意可知(F，准线l的方程为：x =)b A a ，)b B a-，因为ABF ∆是正三角形，ABF ∆的高为焦点(F 到准线l 的距离，即ABF ∆的边长为4，所以||4AB =，所以4a =，即3b a =，所以双曲线Γ的离心率ce a ====3=，故答案选A ．7．A 【解析】因为4tan 23α=，所以22tan 41tan 3αα=-，解得1tan 2α=或者tan 2α=-，因为(,)2παπ∈，所以tan 2α=-，所以3cos()4sin()4αππα+=-cos()4sin()4ππαπα+--cos(4sin()4παπα--=-1tan(4πα=--1tan tan 1αα+=--13=-，故答案选A ．8．D 【解析】由(1)2f x +-为奇函数得：(1)(1)4f x f x ++-+=，即()(2)4f x f x +-=，又因为(1)=(3)f x f x +-，所以(2)=(2)f x f x +-，所以()(2)4f x f x ++=，所以(+2)(4f x f x ++）=4，两式相减得：()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期4T =，所以(2023)(3)f f =，因为(1)2f x +-为奇函数，所以(01)2=0f +-，即(1)=2f ，在(1)(3)0f x f x +--=中，令0x =得：(3)(1)2f f ==，所以(2023)(3)2f f ==，故答案选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABC 【解析】甲机床次品数据的平均数为0102041x ++++==甲，方差为2221[(02)(22)(42)]10 1.6D =-+-++=- 甲；乙机床次品数据的平均数为111310y +++== 乙，方差为2221[(11)(31)(11)]0.810D =-+-++-= 乙．比较发现乙机床次品数据的平均数较小而且方差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好，故答案ABC 正确，D 错误．10．AD 【解析】因为3214416S S S =-=，4324432S S S =-=，故A 正确；因为32322122()0a a S S S S -=---=，故B 错误；因为1144(2)n n n S S S n +-=+≥，即1144(2)n n n S S S n +-=-≥，所以112122(2)2(2)0n n n n S S S S S S +--=-==-= ，所以120n n S S +-=，即12n n S S +=，又因为21824S S ==，所以{}n S 是以2为公比的等比数列，所以11422n n n S -+=⨯=，所以4,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩，故D 正确．11．AC 【解析】在同一坐标系中作出函数2log s t =，3log s t =，5log s t =的图象，从图中可以看出，当,,x y z 均在区间(0,1)时，有01z y x <<<<，当,,x y z 均在区间(1)+∞，时，有1x y z <<<，故A 正确，B 错误；由于224log log x x =，所以有2345log log log y x z ==，作出函数4log s t =，3log s t =，5log s t =的图象，类似地可以得出C 正确，D 不正确，故答案选AC .12．BD 【解析】建立如图坐标系，则(0,0,2)A 、(1,0,0)B 、(1,0,0)C -、3,0)D ，因为BP BC BA λμ=+ ，所以(21,0,)P λμ--+．当21=λ时，(,0,)P μ-为动点，CDP ∆的面积不是定值，故A 错误；当0=μ时，(12,0,0)P λ-，()3122+-=λDP ，又因为10≤≤λ，所以 2]DP ∈，，故B 正确；当21=μ时，1(22P λ-，所以1(22BP λ=- ，1(2,2DP λ=- ，0=⋅DP BP ，所以21(2)202λ-+=无解，所以不存在这样的点，故C 错误；当12=+μλ时，(0,0,)P ，即P 在y 轴上，只有P 与原点重合时，DP ⊥平面ABC ，故D 正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．81【解析】把甲乙看成一个同学，则不同选择的种数是4381=．14．【解析】设圆台12O O 的高为h ，球心O 到圆台上底面的距离为a ，球O 的半径为R ，因为球O 的表面积为40π，所以2440R ππ=，R =．因为球O 的球心在圆台12O O 的轴12O O 上，所以有22222()8a R h a R⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：h =1(28143ππ++⨯．15．1523(,]44【解析】因为()sin 1f x x x ωω=+-2sin()1(0)3x πωω=+->，令3x t πω+=，则()2sin 1f t t =-，因为2(0,)3x π∈，21(,)33t πωπ+∈，令()0f t =得：1sin 2t =，由题意可知函数()f t 在区间21(,)33πωπ+上有且仅有3个零点，所以213172566πωππ≤+<，所以152344ω<≤．16．《孙子算经》，《夏侯阳算经》【解析】如下表．评分说明：第一名和第五名要同时答对且顺序正确才能得分。

2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（答案在最后）2024.11本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足3i1z -=，则z =（）A.2 B.1C.D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得z =，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.【详解】因为i1z-=+，所以i 1i z --==-，所以1z =.故选：B2.已知集合{}Z |13A x x =∈-<，{}03B xx =≤≤∣，则A B = （）A.{}0,1,2,3 B.{}1,0,1,2- C.{}03xx ≤≤∣ D.{24}xx -<<∣【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由13x -<，即313x -<-<，解得24-<<x ，所以{}{}{}Z |13Z |241,0,1,2,3A x x x x =∈-<=∈-<<=-，又{}03B xx =≤≤∣，所以{}0,1,2,3A B = .故选：A3.“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】由21a >可得0a >，由2log 1b >可得2b >，由24a b +>可得2a b +>，所以由“21a >，2log 1b >”推得出“24a b +>”，故充分性成立；由“24a b +>”推不出“21a >，2log 1b >”，如0a =，3b =，满足24a b +>，但是21a =，故必要性不成立；所以“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的充分不必要条件.故选：A4.已知单位向量a，b 满足1a b += ，则下列说法正确的是（）A.,150a b =B.3a b -= C.向量a b +在向量a上的投影向量为2a D.12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，即可求出,a b ，从而判断A ，再根据a b -=判断B ，根据投影向量的定义判断C ，计算12b a b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ ，即可判断D.【详解】单位向量a，b 满足1a b += ，则()22221a ba ab b ++⋅==+ ，所以12a b ⋅=-r r ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，又0,180a b ≤≤ ，所以,120a b = ，故A 错误；a b -====，故B 错误；因为()2211122a b a a b a ⎛⎫+⋅=+⋅=+-= ⎪⎝⎭ ，所以向量a b + 在向量a 上的投影向量为()212a a b a a a+⋅⋅=，故C 错误；因为221111102222b a b b a b ⎛⎫⋅+=⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ，故D 正确.故选：D5.函数()cos2cos f x x x =-是（）A.偶函数，且最小值为－2B.偶函数，且最大值为2C.周期函数，且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.非周期函数，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A ，B ；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C ，D.【详解】()cos2cos f x x x =-定义域为R ，关于原点对称，()()()()cos 2cos cos 2cos f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，又()2cos2cos 2cos cos 1f x x x x x =-=--，令cos x t =，11t -≤≤，()221f t t t =--，当14t =时，即1cos 4x =，()f x 有最小值，最小值为98-，当1t =-时，即cos 1x =-时，()f x 有最大值，最大值为2，故A 错误，故B 正确；因为()()()()2πcos22πcos 2πcos 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=，所以()f x 为周期函数，因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，01t <<，()221f t t t =--，()f t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，10t -<<，()221f t t t =--，()f t 在()1,0-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先减后增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；故C ，D 错误，故选：B.6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现302555+=，2553025=，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）A.815B.35C.13D.0【答案】C 【解析】【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.【详解】因为()2281981+==，所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A ，则()1526C 51C 153P A ===.故选：C7.已知函数()()21,1,ax x af x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[]1,1- D.[)1,0-【答案】D 【解析】【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R ，求实数a 的取值范围.【详解】若0a <，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递增，所以()2,1y a∈-∞-；此时，函数()21y x =-在[],1a 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；因为函数()f x 的值域为R ，所以210a -≥，结合0a <得10a -≤<.若0a =，则()()21,01,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为[)0,+∞；若01a <<，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a ->）；在[],1a 上，函数()21y x =-单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；所以函数()f x 的值域不可能为R ；若1a ≥，则函数在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a -≤）；在[),a +∞上，函数()21y x =-单调递增，())21,y a ⎡∈-+∞⎣，此时函数()f x 的值域不可能为R .综上可知：当10a -≤<时，函数()f x 的值域为R .故选：D8.记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，已知()12n n n a T a -=，若10011000n a <，则n 的最小值是（）A.999B.1000C.1001D.1002【答案】C 【解析】【分析】由数列的前项积满足()12n n n a T a -=，可求得{}n T 是等差数列，并求得n T 的通项，进而得到{}n a 的通项，再由10011000n a <，即可求得正整数n 的最小值.【详解】∵n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，()12n n n a T a -=，∴当1n =时，()11112T T T -=，113a T ==2n ≥时，1nn n T a T -=，又()12n n n a T a -=，∴11122211n nn nn n n n n n T T T T a T a T T T -----=-==，即12n n T T --=，∴{}n T 是首项为3，公差为2的等差数列，且32(1)21n T n n =+-=+.由()2n n n T a T -=，得21221n n n T n a T n +==--若10011000n a <，则211001211000n n +<-，∴2001,2n >所以，正整数n 的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：1216,,,x x x ；乙组数据为：121639,39,,39x x x --- ，若甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则下列说法一定正确的是（）A.乙组数据的平均数为39m -B.乙组数据的极差为3aC.乙组数据的第60百分位数为39b -D.乙组数据的标准差为n【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：1216,,,x x x ，则乙组数据从小到大排列为：121639,39,,39x x x --- ，因为甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则161a x x =-，又1660%9.6⨯=，所以10b x =，所以乙组数据的平均数为39m -，故A 正确；乙组数据的极差为()()161161393933a x x x x ----==，故B 正确；乙组数据的第60百分位数为109393b x -=-，故C 正确；乙组数据的标准差为3n ，故D 错误.故选：ABC10.在三棱台111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是等腰梯形且与底面垂直，111A C =，1AA =，3AC BC ==，AB =）A.1A A BC ⊥B.11119A ABC B A B C V V --=C.1112A ABC B A CC V V --= D.三棱台111ABC A B C -的体积为136【答案】ABD 【解析】【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A 的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC 的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D 的真假.【详解】如图：对于A ：在ABC V 中，3AC BC ==,AB =，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥.由平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11ACC A ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以1BC A A ⊥，故A 正确；对于B ：因为111A C =，3AC =，且111A B C △∽ABC V ，所以11119A B C ABC S S =.又三棱锥1A ABC -和111B A B C -的高相同，所以11119A ABC B A B C V V --=，故B 正确；对于C ：因为113AC A C =，所以1113A AC A C C S S = ，所以1113B A AC B A C C V V --=，即1113A ABC B A CC V V --=，故C 错误；对于D ：因为三棱台的高为1，所以三棱台111ABC A B C -的体积为：119133226V ⎛=⋅++= ⎝，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()()22f x f x +-=，()1g x -为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.()()()0123f f f ++= B.()()4g x g x +=C.()()4f x f x += D.1322g g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】对A ：令1x =，则()()112f f +=⇒()11f =；令0x =，则()()022f f +=.所以()()()0123f f f ++=，故A 正确；对B ：因为()()22f x f x +-=，两边求导，得()()20g x g x --=即()()2g x g x =-；因数()1g x -为偶函数，所以()()11g x g x -+=--⇒()()24g x g x -=-+，所以()()4g x g x =-+，故()()4g x g x +=成立，故B 正确；对C ：因为()()4g x g x +=，所以()()124f x c f x c ++=+⇒()()4f x f x c +=+，c 未必为0，故C 错误；对D ：因为()()2g x g x =-，令12x =，则1322g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：若()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()g x f x '=，则：（1）若()f x 为奇函数，则()g x 为偶函数；若()f x 为偶函数，则()g x 为奇函数.反之也成立.（2）若()f x 为周期函数，则()g x 也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3cos 4sin 5αα+=，则tan α=_____________．【答案】43【解析】【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得sin cos αα，，进而可得解.【详解】联立223cos 4sin 5cos sin 1αααα+=⎧⎨+=⎩，得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此sin 4tan cos 3ααα==．故答案为：4313.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知及1AF B ∆是等边三角形即可求得：23AF c =,13AF =，利用椭圆定义列方程可得：21233AF AF a +=+=a =，问题得解．【详解】如图，依据题意作出图形，由题可得：122F F c =，又1AF B ∆为等边三角形，由椭圆的对称性可得：126AF F π∠=，又12AB F F ⊥计算可得：2233AF c =,1433AF c =由椭圆定义可得：2133233AF AF a +=+=整理得：3c a =所以33c e a ==【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题．14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.【答案】134【解析】【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，对A 、B 、C 取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，若A 、B 、C 都没有取到，则有34A 24=种不同的取法；若A 、B 、C 取到一个，则有112324C A A 72=种不同的取法；若A 、B 、C 取到两个，则有()21113244C A A C 36+=种不同的取法；若A 、B 、C 取到三个，则有12C 2=种不同的取法；综上可得一共有2472362134+++=种不同的取法.故答案为：134四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin B C A ⋅=，2a =.（1）求ABC V 的面积S ；（2）若2212b c +=，求A .【答案】（1）2（2）π4【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到sin 2b C a ⋅==，从而得到2sin C b=，再由面积公式计算可得；（2）由余弦定理得到cos 4bc A =，从而得到2cos bc A a =，再由正弦定理将边化角，即可求出tan A ，从而得解.【小问1详解】因为sin sin sin B C A ⋅=，2a =，由正弦定理可得sin 2b C a ⋅==，所以2sin C b=，所以112sin 2222ABC S ab C b b==⨯⨯= ；【小问2详解】因为2222cos a b c bc A =+-，又2212b c +=，2a =，所以4122cos bc A =-，所以cos 4bc A =，则2cos bc A a =，由正弦定理可得2sin sin co s s in A B C A =，又sin sin sin B C A ⋅=，所以2sin cos sin A A A =，显然sin 0A >，所以cos sin A A =，则tan 1A =，又()0,πA ∈，所以π4A =.16.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，且2AB =，PA PB ⊥.四棱锥P ABCD -的体积为43.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，即可得到1PO =，设P 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积公式求出1h =，即可得到⊥PO 平面ABCD ，从而得证；（2）取CD 的中点，连接OE ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接OP ，因为2AB =，PA PB ⊥，所以112PO AB ==，又四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以224ABCD S ==，设P 到平面ABCD 的距离为h ，则1144333AB P ABCD CD V hS h -==⨯⨯=，所以1h =，所以PO h =，即⊥PO 平面ABCD ，又PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD；【小问2详解】取CD 的中点，连接OE ，则//OE BC ，即OE AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则0,0,1，()1,2,0C ，()1,2,0D -，所以()2,0,0DC = ，()1,2,1PC =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2020n DC x n PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取()0,1,2n = ，又平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面PAB 与平面PCD 夹角为θ，则cos 5m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为5.17.已知函数()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>.（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，且120x x +>，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0y =（2）答案见解析（3）()1,+∞【解析】【分析】（1）求出()0f ，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得()()()12e exxf x a=--'，再分1a =、1a >、01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）由()00f =，可得()f x 必有一个零点为0，再结合（2）讨论可得.【小问1详解】因为()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>，所以()00f =，()()22e21e 2xx f x a a '=-++，则()00f '=，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()()()2e 21e 2210xx f x a ax a a =-++++>的定义域为R ，且()()()()22e21e 22e e 1xx x x f x a a a '=--+=-+，当1a =时，()()22e 10x f x '=-≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；当1a >时，则当ln x a >或0x <时()0f x '>，当0ln x a <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，则当0x >或ln x a <时()0f x '>，当ln 0a x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减；综上可得，当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减.【小问3详解】因为()00f =，()f x 必有一个零点为0，由（1）可得，当1a =时()f x 只有一个零点，不符合题意；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，显然()()ln 00f a f <=，当()ln 21x a >+⎡⎤⎣⎦时()e 21x a >+，则()e 210xa -+>，e 0x>，20ax >，所以()()()2e21e 221e 21e 2210xx x xf x a ax a a ax a ⎡⎤=-++++=-++++>⎣⎦，所以()f x 在()ln ,a +∞上存在一个零点，此时()f x 有两个零点1x ，2x （不妨令12x x <），且10x =，()2ln ,x a ∈+∞，即20x >，满足120x x +>；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，所以()f x 在()0,∞+不存在零点，且一个零点为0，则另一零点不可能大于0，此时不满足120x x +>，故舍去；综上可得实数a 的取值范围为()1,+∞.18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为12；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为13，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为()1,2X X =，求X 的分布列.【答案】（1）542（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可；（2）设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出135P =，从而得到()315P X ==和()225P X ==，得到分布列.【小问1详解】7人中随机选择2人，共有27C 21=种情况，其中含甲的情况有16C 6=种，6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为31121321⨯=，和同级的玩家对抗并获胜的概率为31321242⨯=，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为135214242+=；【小问2详解】设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，考虑1P ，需考虑甲直接从a 号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，故121122P P =+①，考虑2P ，则甲从b 号门进行密室①，且从密室①走出密室，故2113P P =②，联立①②，可得135P =，所以()1315P X P ===，故()322155P X ==-=，故分布列如下：X12P352519.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a n =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11,12,11k n n k k k n a b b k a n a -+=-⎧=⎨+-<<-⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，求证：()11n k n b a b -≥-⋅；（ii ）求1n S nii b -=∑.【答案】（1）121n n a -=+（2）（i ）证明见解析；（ii ）114399n n ⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据数列的前n 项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式.（2）先利用等差数列的前n 项和公式求12121k k i i b --=+∑，因为1n S ni i b -=∑()11141n nk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑，再利用错位相减法求和.【小问1详解】当1n =时，11213=+-a a ⇒12a =.当2n ≥时，23n n S a n =+-，1124n n S a n --=+-，两式相减得：1221n n n a a a -=-+⇒121n n a a -=-⇒()1121n n a a --=-.所以{}1n a -是以111a -=为首项，以2为公比的等比数列，所以112n n a --=⇒121n n a -=+.当1n =时，上式也成立.所以数列{}n a 的通项公式为：121n n a -=+【小问2详解】由题意：111,22,22k n k kn k n b b k n ---⎧==⎨+<<⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，1n b k =+，112k k a --=，()111221222k k k n b k k k k ---=+--⨯=⨯-.因为()11n k n b a b ---⋅()112212k k k k k --=⨯--+⋅()112k k k -=-⋅-，因为2k ≥，所以()()1122120k k k k k k --⋅-≥--=-≥，所以：()11n k n b a b -≥-⋅.（ii ）因为()111222112nni n n i S n n n -=-=+=+=+--∑，所以21n n S n -=-.()()()()11121121212221222k k k k k i i b k k k -----=+--=-++⨯∑()141k k -=-，所以1n S ni i b -=∑()11141nnk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑设01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅ ，则()12141424144n nn T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ 两式相减得：01134444n n n T n --=+++-⋅ 11433n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，所以114399n n n T ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.即1n S ni i b -=∑114399n n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：（1）当122k k n -<<时，数列{}n b 是首项为2k k +，公差为2k 的等差数列，项数为：1122121k k k ----=-.（2）当数列是“等差⨯等比”形式时，其前n 项和用“错位相减法”求和.。

渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。