高三第一次教学质量检测数学试题(理科)

面积为 1，求 ．
23．已知函数 f x 2 x 1 x 1 ．
(1)解不等式 f x 4 2x ；
试卷第 3页，共 4页
(2)设
f
x
的最小值为
M
，正数
a
，b
满足 a
b
M
，求证：
a
1 2
2
b
1 2
2
9 2
．
试卷第 4页，共 4页
1．B
参考答案：
【分析】由复数的除法，计算得 z 和 z ，再由复数模的计算公式，计算 z 3i .
A．
(n
1)π 2
xn
(n
1)π 2
B． xn1 xn π
C． xn xn1 (2n 1)π
D．{| xn (n 1)π |} 为递减数列
二、填空题
13．已知函数 f x ax3 a 2 x2 ex ex 为偶函数，则实数 a 的值为
．
14．已知向量 a
，b
满足
a
2，
8．已知向量 a ， b ， c 满足
a
b
c
3，且 a b
2
c
3
0 ，则 cos
a b,b
（
）
A． 2 2 3
B． 1 3
C．
1 3
D． 2 2 3
9． sin40 tan10 3 （ ）
A． 1
B． 1 2
C．
1 2
D．1
10．已知
a
3
24
，
b
π ， c log3 4 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（
0 ，
N
x
|

合肥市高三第一次教学质量检测理数试题—附答案合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) (考试时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则( ). A. B. C. D.2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则( ). A. B. C. D. 3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自xx年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是xx-xx年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( ).A.这五年，xx年出口额最少B.这五年，出口总额比进口总额多C.这五年，出口增速前四年逐年下降D.这五年，xx年进口增速最快4.下列不等关系，正确的是( ). A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，，，则的值等于( ). A.21 B.1 C.-42 D.0 6.若执行右图的程序框图，则输出的值等于( ). A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数的图象大致为( ). 8.若函数的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为，则下列说法正确的是( ). A.的图象关于对称 B.在上有2个零点 C.在区间上单调递减 D.在上的值域为 9.已知双曲线()的左右焦点分别为，圆与双曲线的渐近线相切，是圆与双曲线的一个交点.若，则双曲线的离心率等于( ). A. B.2 C. D. 10.射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( ). (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001) A. B. C. D. 11.已知正方体，过对角线作平面交棱于点E，交棱于点F，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为( ). A.①④B.②③C. ①②④D. ①②③④ 12.已知函数，则函数的零点个数为( ) (是自然对数的底数). A.6 B.5 C.4 D.3 第Ⅱ卷 (90分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量(1，1)，，且∥，则的值等于 . 14.直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于 . 15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传 ___新时代 ___社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有种. 16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切(，且)，则球的体积等于，球的表面积等于 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分) 在中，内角所对的边分别为，若，. (1)求；(2)若边的中线长为，求的面积. 18.(本小题满分12分) “大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数 40 40 20 该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)：(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X 的分布列与数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱中，平面平面，，. (1)证明：；(2)设，，求二面角的余弦值. 20.(本小题满分12分) 设椭圆()的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论. 21.(本小题满分12分) 已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；(2)设方程()有两个实数根，，求证：. 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为. (1)求曲线的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于点，点的坐标为(3，1)，求. 23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()，不等式的解集为. (1)求的值；(2)若，，，且，求的最大值. 合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)在中，，且，∴，∴，又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. ………………………………5分 (2)在中，，由余弦定理得，∴，∵，∴. 在中，，，，∴的面积. ………………………………12分 18.(本小题满分12分) (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 (2)可能取值为0，1，2，3. 则，，，，∴的分布列为 0 1 2 3 ∴. ……………………………12分或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分19.(本小题满分12分) (1)连结. ∵，四边形为菱形，∴. ∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. 又∵，∴平面，∴. ∵，∴平面，而平面，∴. …………………………5分 (2)取的中点为，连结. ∵，四边形为菱形，，∴，. 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图. 设，，，，∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，). 由(1)知，平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，∴. ∵，，∴. 令，得，即 . ∴，∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 20.(本小题满分12分) (1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，. 设圆的半径为，则，∴，解得，∴，∴椭圆的方程为. ……………………………5分 (2)∵关于原点对称，，∴. 设，. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由直线和椭圆方程联立得，即，∴. ∵，，∴，∴，，∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切. 当直线的斜率不存在时，依题意得，. 由得，∴，结合得，∴直线到原点O的距离都是，∴直线与圆也相切. 同理可得，直线与圆也相切. ∴直线、与圆相切. …………………………12分 21.(本小题满分12分) (1)由，得，∴函数的零点. ，，. 曲线在处的切线方程为. ，，∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 (2). 当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 由(1)知，当或时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 易知，在上单调递增，而，∴对恒成立，∴当时，. 由得.记. 不妨设，则，∴. 要证，只要证，即证. 又∵，∴只要证，即. ∵，即证. 令. 当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数. ∴，∴，∴. (12)分 22.(本小题满分10分) (1)曲线的方程，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 (2)把直线代入曲线得，得，. ∵，设为方程的两个实数根，则，，∴为异号，又∵点(3，1)在直线上，∴. …………………………10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)∵，∴的解集为，∴，解得，即. …………………………5分 (2)∵，∴. 又∵，，，∴，当且仅当，结合解得，，时，等号成立，∴的最大值为32. …………………………10分模板,内容仅供参考。

高三毕业班数学（理）第一次质量检查注意事项：准考证号码填写说明：准考证号码共九位，每位都体现不同的分类，具体如下：7 0 0 0答题卡上科目栏内必须填涂考试科目一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡上) 1．设集合B A B N x x x A ⋃=∈≤<-=则},3,2{},,21{等于 A ．{1，2，3} B ．{0，1，2，3}C ．{2}D ．{-1，0，1，2，3}2．集合{|1}P x y x ==-,集合{|1}Q y y x ==-,则P 与Q 的关系是A.P=QB.PQ C .P ≠⊂Q D.P ∩Q=∅3．若函数f(x)＝2log (a ax x 32+-)在区间[2,+∞)上递增,则实数a 的范围是 A.(-∞,4] B.(-4,4]C.(-4,2)D.(-∞,-4)∪[2,+∞)4．若一系列函数的解析式相同,值域也相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么解析式为2x y =,值域为{1,4}的“同族函数”共有A.4个B.8个C.9个D.16个5．函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10, 导函数为()f x '，则f(1)＋(1)f '的值为A. －2B.2C .6D. 86设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1所示，则导函数y ＝f '(x)可能为级别代号科类代号教学班代号行政班代号行政班座号xyOAxyOB xyOC yODxxyO图17．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝A ．2B ．3C ．4D ．58．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y ＝3sin2x 的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位 9．设)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-=+则的值是A ．223 B ．1813 C ．2213 D ．6110．定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[1,1]-； （2）当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值；（3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当322()2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <．上述命题中正确的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）11．设函数⎪⎩⎪⎨⎧--=1)21()1(log )(2x x x f )2()2(<≥x x 若3)(0>x f 则0x 的取值范围是12．当0<x<1时，2212)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系是___________ 13．如果奇函数y=f(x) (x ≠0)，当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x -1，则使f(x -1)<0的x 的取值范围是14．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ . 15. 设函数)0)(x 3cos()x (f π<ϕ<ϕ+=，若)x (f )x (f /+是奇函数，则ϕ=_________三、解答题(共6题,共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．（本小题13分）设}015{2≥--=ax x x A ，}02{2<+-=b ax x x B ，}65{<≤=⋂x x B A ，求B A ⋃ 17．（本小题13分）设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.求函数f(x)的最大值和最小正周期。

安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。

若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。

2021届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷(带解析)2021届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测理科数学试卷（带解析）一、选择题 1.已知复数A．表示复数的共轭复数，则 D．6（）B．5 C．【答案】B．【解析】试题分析：考点：1．共轭复数的概念；2．复数模长的计算． 2.设集合A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A．【解析】试题分析：①当时，若，则“．综上得“”是“”是“”的充分条件；②”的充分不必要条件．则“”是“”的（），故选B．或考点：1．充分条件和必要条件的判断；2．一元二次不等式的解法；3．集合的包含关系． 3.过坐标原点O作单位圆使得（A．点B．点C．点的两条互相垂直的半径），则以下说法正确的是（），若在该圆上存在一点，一定在单位圆内一定在单位圆上一定在单位圆外时，点在单位圆上D．当且仅当【答案】B．【解析】试题分析：使用特殊值方法求解．设在单位圆上，故选B．．在圆上，考点：1．平面向量基本定理；2．点和圆的位置关系． 4.过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（） A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：，又．考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）． 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】试题分析：由三视图还原该几何体得它是一个直四棱柱等的等腰梯形，棱平面（如图），，其中为全梯形的高，，故选C．考点：1．几何体的三视图；2．几何体表面积的计算． 6.已知函数A．B．，则一定在函数图象上的点是（）C．D．【答案】C．【解析】试题分析：根据的解析式，求出断四个选项是否在图象上．为奇函数，考点：函数的奇偶性．，判断函数的奇偶性，由函数．的奇偶性去判在图象上．故选C．7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C．【解析】试题分析：由程序框图运算得的输出值为7，故选C．考点：算法初步与程序框图． 8.在中，已知，，则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形【答案】B．【解析】试题分析：由已知及正弦定理，得，，得．三角形，故选B．考点：综合应用正余弦定理及三角恒等变换判断三角形的形状．，．由为等腰直角9.已知满足时，的最大值为1，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D．【解析】试题分析：由线性规划将图画出，由的最大值为 1，找出的最大值时图上的点，进而求得在处有最大值．与矛盾，故不能用均值不等式求最值．设时，的最小值．由图象知，当且仅当，即．由对勾函数性质得，考点：线性规划参数最值问题．有最小值，．10.对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”．已知函数A．B．C．是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（） D．【答案】D．【解析】试题分析：由已知得当时，，由；当数”；当时，，则．，得时，显然是“可构造三角形函．综上所述：，故选D．考点：函数的性质（有界性、最大值和最小值）．二、填空题 1.若随机变量【答案】0．8413．【解析】试题分析：由题意可知正态分布密度函数的图象关于．考点：正态分布密度函数的图象及其性质． 2.已知数列满足且，则．对称，得，且，则__________．【答案】2021．【解析】试题分析：由题意可知．考点：等差数列、等比数列通项公式的求法．3.某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有种．是以为首项，2为公比的等比数列，【答案】144．【解析】试题分析：由题意可知满足条件的不同安排方法分两类：一类是并排坐在第二排，有种；一类是并排坐在第三排，有种，故共有种．考点：有限制条件的排列组合问题． 4.若展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中项的系数为_____________．【答案】－15．【解析】试题分析：，得展开式的各项系数绝对值之和与．设．令考点：二项式定理的应用． 5.已知直线：出下列命题：①当时，中直线的斜率为；（为给定的正常数，为参数，）构成的集合为，给展开式中含的项为第，得展开式的各项系数和相等，令项，则．，含项的系数为②中所有直线均经过一个定点；③当④当时，存在某个定点，该定点到中的所有直线的距离均相等；时，中的两条平行直线间的距离的最小值为；⑤中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．【答案】③④．【解析】试题分析：且把直线圆既满足直线的方程代入椭圆的切线．①当时，点在圆时，的方程，也满足椭圆的方程可得直线的方程，为椭①错；②为椭圆切线不经过定点，②错；③当上，圆心到圆上的距离相等，∴③正确；④当时，为椭圆切线，当中两直线分别与椭圆相切于的短轴两端点时，它们间的距离为，∴④正确；⑤为椭圆切线，不可覆盖整个平面．综上所述：③④正确．考点：1．椭圆的几何性质；2．直线和椭圆的位置关系．三、解答题 1.已知（1）（2）【答案】（1）【解析】试题分析：（1）利用两角和与差的余弦公式将已知式开化简，即可求得的值，再利用平方关系求的值，最后将拆成展；．；（2）．求：，利用两角和与差的正弦公式求得的值，可先求出的值，再利用商关系将的值．的值；（2）利用平方关系，由（1）中中的正切化为正余弦，将，的值，代将入即可求得试题解析：（1）即，注意到2分，故，从而． 7分5分（2）． 12分（或者，，==）．，，=考点：1．三角恒等变换；2．两角和与差的三角函数公式；3．三角函数基本关系式． 2.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF 中，，是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．（1）求证：；的余弦值．（2）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是，试求【答案】（1）详见试题解析；（2）【解析】．试题分析：（1）证明线线垂直，可转化为证明线面垂直．要证，只要证平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性质定理知，只要证．在等腰梯形ABCD中，由已知条件及平面几何相关知识易得；（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即为直线DE与平面ACEF 所成的角．在中由锐角三角函数可求得的长，再在中由锐角三角函数即可求得的余弦值．试题解析：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，． 3分平面，故平面，且平面平面． 6分，平面，而平面（2）连结交于，再连结EM，FM，易知四边形平面平面，故DM⊥平面．于是，角． 9分为菱形，∴DM⊥AC，注意到即为直线DE与平面ACEF所成的设AD=DC=BC=,则MD=中，，，．依题意，，∵，，在=AM，四边形AMEF为平行四边形，． 12分，考点：1．空间垂直关系的证明；2．空间角的计算． 3.已知函数（1）若函数的极小值是在，求处取得极小值．；上单调递（2）若函数的极小值不小于，问：是否存在实数，使得函数减？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）【解析】试题分析：（1）对列出方程组实数k，使得函数．由得解这个方程组，可得在求导，得的值，从而求得；（2）存在实数，满足题意．，结合已知条件可以的解析式；（2）假设存在=0两根为，由，解得，则，上单调递减．设，的递减区间为的递减区间为在．由条件有有这个条件组可求得，即可求得的值．的值．利用函数上单调递减，列出不等式组试题解析：（1），由知，解得 4分． 6分上单调递减．设，．的递减区间为，由=0两根为，检验可知，满足题意．（2）假设存在实数，使得函数，则解得，．由的递减区间为由条件有，解得 10分函数在上单调递减．由．∴存在实数，满足题意． 12分考点：1．导数与函数的极值；2．导数与函数的单调性；3．含参数的探索性问题的解法． 4.已知椭圆，如图．的右焦点为，设左顶点为A，上顶点为B且（1）求椭圆的方程；（2）若，过的直线交椭圆于两点，试确定；（2）的取值范围．．【答案】（1）椭圆的方程为【解析】的取值范围为试题分析：（1）首先写出，，，由运算，可得方程，又由椭圆中关系得及向量数量积的坐标，解这个方程组得的值，从，此时，，而得椭圆的标准方程；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，＝；若直线斜率存在，设，代入椭圆方程消去得关于的一元二次的取值方程，利用韦达定理，把范围．试题解析：（1）由已知，∵，∴表示成斜率的函数，求此函数的值域，即得，，解得，，∴，此时，则由，∴椭圆，，得：． 4分＝；．（2）①若直线斜率不存在，则②若直线斜率存在，设，∴，，，则由，∴消去得：＝，∴．．∵，∴，∴综上，的取值范围为． 13分考点：1．椭圆的标准非常及其几何性质；2．直线和椭圆的位置关系；3．利用向量的数量积运算解决椭圆中的取值范围问题．5.某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用表示编号为的样品首轮同时被抽到的概率．（1）求的值；的和．；（2）所有的的和为10．（2）求所有的【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，从而可求得的值；（2）采用分类讨论思想，分别求满足①当时，②当时，③当时的的值，最后求和即得所有的的和．试题解析：（1）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故＝． 4分（2）①当②当③当∴所有的时，时，时，＝＝的和为＝＝，而这样的有有=36个；＝，而这样的＝，而这样的×36＋=15个；有=54个．×15＋×54＝10． 13分考点：1．分层抽样的基本思想；2．古典概型的概率计算． 6.已知函数，记函数（1）求；（2）求证：＜（3）设为数列；的前项和，求证：＜．来，（＞0，图象与三条直线，以点为切点作函数图象的切线所围成的区域面积为．【答案】（1）【解析】试题分析：（1）先对；（2）详见试题分析；（3）详见试题分析．求导，根据切点坐标及导数的几何意义，求出切线的斜率，计算图象与三条直线写出切线的方程，最后利用定积分所围成的区域面积，可求得数列（≥0），求导可得递减，故，从而证得当＞0时，，∴=＜＜的通项公式；（2）构造函数，从而函数成立，故（≥0）单调＜，由放缩法得＜；（3）由（2）：＜，再结合裂项相消法即可证明来＜．试题解析：（1）易知即（2）构造函数，∴（≥0），则，（≥0）单调递减，而∴当＞0时，＜＜．成立，∴知＜，∴，等号在，∴=，切点为，则方程为=，即函数时取得，（3）＜＜＜，∴当时，=＜；当＜．时，方法二：（1）（2）同方法一；（3）由（2）知＜，（），，又综上所述：对一切，都有＜．，，∴考点：1．导数的几何意义；2．定积分的计算；3．利用导数证明不等式；4．利用放缩法和裂项相消法证明不等式．感谢您的阅读，祝您生活愉快。

合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ).A.2i -B.2iC.2D.2-2.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤<C.{}2x x ≤D.{}21x x -≤<3.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.74.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，25760a a a +-=，则11S 的值为( ).A.11B.12C.20D.225.已知偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，则对实数a b ，，“a b >”是“()()f a f b >”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α内的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( ).A.若a b ⊥，则m n ⊥B.若m n ⊥，则a b ⊥C.若//m n ，则//a bD.若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面8.若6ax⎛⎝展开式的常数项为60，则a 的值为( ).A.4B.4±C.2D.2±9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A.10B.43C.83D.16310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A.45B.1925C.2350D.4110011.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ).12.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值范围是( ).A.[)3-+∞，B.()3+∞，C.[)e -+∞，D.()e +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩，则2z x y =-的取值范围为 .14.若非零向量 a b ，满足()2a a b ⊥+，则a b b+= .15.在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是 .16.在平面直角坐标系xOy 中，点n A (()122nnn n +-⋅，)(*n N ∈)，记21221n n n A A A -+∆的面积为n S ，则1nii S==∑ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知函数()cos 2sin 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()13f α=，求cos2α.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===， 2AD AB PD PB ====.(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ； (Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.BDPCEA19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附： 5.8≈.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.20.(本小题满分12分)设椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 1x f x e x =-+(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭4，，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若()22f x x +>，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12，求a 的值.合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭ 16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 三、解答题：17.(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为T π=. …………………………5分(Ⅱ)由()13f α=可得，1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin 2632x π⎛⎫<+=< ⎪⎝⎭，∴2 62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴22cos 26πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴126cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥.∵2AD AB ==，BD =∴30ADB ABD ∠=∠=，∴90ADC ∠=，∴//BM AD . 又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD .又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M =，∴平面BEM ∥平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分(Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.则D (0，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，，BDP C E M A则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()3DC =，()0DP =，∴300x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.令y =13x z =-=-，，∴()213n =--，∴121212cos 13n n n n n n⋅===⋅，设二面角C PD B --的大小为θ，则cos θ=………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； …………………………5分 (Ⅱ)由题意得，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)；…………………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c 知， b c a ==，， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b +=.易求得()2A，，∴点(22，在椭圆上，∴222212b b+=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C的方程为22163x y +=.…………………………5分(Ⅱ)当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =，由(Ⅰ)知，MN，，()()2 2 2 2 0OM ON OM ON ==-⋅=，，，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，， m =，即()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122 OM x y ON x y ==，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++，()()()22222121222264112121m kmk x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k mk m m k k k m k k k k +--+++----====+++，∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+.令()11x h x e x =-+，则()()2101x h x e x '=+>+， ∴函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==. 可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.…………………………5分 (Ⅱ)∵()()()ln 1xg x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(Ⅰ)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x .可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减；当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+. 令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211xx x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴()()max 01x ϕϕ==.∴函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S =. ………………………10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10 1>22x x x +>⎧⎨+-⎩或10 122x x x +<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>，∴实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. ………………………5分(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，， ，，，，易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴1112a -=，解得2a =. ………………………10分。

（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）

高三数学试题第一次教学质量检查〔理〕〔考试时间是是：120分钟；满分是：150分〕参考公式： 柱体体积公式：,V Sh =其中S 为底面面积、h 为高；锥体体积公式：1,3V Sh =其中S 为底面面积、h 为高； 球的外表积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径．第一卷〔选择题 一共50分〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．1．集合{}R x x x A ∈≤=,2||　，{}z x x x B ∈≤=,2　，那么A B =〔 〕A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{}0,2D ．{}2,1,02．化简cos15cos45cos75sin 45︒︒-︒︒的值是A ．12B ．2C ．-12D ．-23．抛物线28x y =的焦点到准线的间隔 是〔 〕A ．1B ．2C ．4D ．84．设等差数列{}n a 满足5a = 11， 12a = -3，{}n a 的前n 项和n S 的最大值为M ，那么lg M =〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．15．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-+0062062y y x y x ，那么目的函数y x z +=的最大值是 〔 〕A ．3B ．4C ．6D ．86．用c b a ,,表示三条不同的直线，γ表示平面，给出以下命题： ①假设;//,//,//c a c b b a 则 ②假设;,,c a c b b a ⊥⊥⊥则 ③假设;////,//b a b a ，则γγ ④假设.//,,b a b a 则γγ⊥⊥ 其中正确命题序号是 〔 〕A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．假如函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间〔1，4〕上为减函数，在),6(+∞上为增函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．5≤aB ．75≤≤aC ．7≥aD ．75≥≤a a 或8．假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的 体积是 〔 〕 A ．2 B ．1C ．32D ．31 9．设1F 、2F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点， 假设双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅= 〔O 为坐标原点〕且1||PF λ=2||PF 那么λ的值是〔 〕 A ．2B ．21 C ．3 D ．31侧视图俯视图〔第8题图〕10．定义区间],[],,(),,[),,(d c d c d c d c 的长度均为()d c d c ->实数b a >，那么满足111≥-+-bx a x 的x 构成的区间的长度之和为 〔 〕A ．1B ．b a -C ．b a +D ．2第二卷〔非选择题 一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．设函数2()(0)f x ax c a =+≠，假设100()()f x dx f x =⎰， 其中001x <<，那么0x =________．12．假设函数())cos()(0)f x x x φφφπ=+-+<<为奇函数，那么φ=__________．13．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线232y x =的焦点一样．那么双曲线的方程为 ．14．各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，那么这个球的外表积是 ． 15．假设函数),,(z y x f 满足),,(),,(),,(b a c f a c b f c b a f ==，那么称函数),,(z y x f 为轮换对称函数，如abc c b a f =),,(是轮换对称函数，下面命题正确的选项是 ①函数z y x z y x f +-=22),,(不是轮换对称函数．②函数)()()(),,(222y x z x z y z y x z y x f -+-+-=是轮换对称函数．③假设函数),,(z y x f 和函数),,(z y x g 都是轮换对称函数，那么函数(,,)(,,)f x y z g x y z -也是轮换对称函数．④假设A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角， 那么2(,,)2cos cos()cos f A B C C A B C =+⋅--为轮换对称函数．三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 16．〔此题满分是13分〕在锐角ABC ∆中，A B C 、、三内角所对的边分别为c b a 、、．设(cos ,),(cos ,),m A sinA n A sinA a ==-=12m n ⋅=-且[〔Ⅰ〕假设3=b ，求ABC ∆的面积； 〔Ⅱ〕求c b +的最大值．17．〔此题满分是13分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足n S a n n 2=+． 〔Ⅰ〕证明：数列{}2-n a 为等比数列，并求出n a ； 〔Ⅱ〕设)2)(2(--=n n a n b ，求{}n b 的最大项．18．〔此题满分是13分〕如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD //BC //FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝31AD 〔Ⅰ〕求异面直线BF 与DE 所成角的余弦值； 〔Ⅱ〕在线段CE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为FEM36假设存在，试确定点M 的位置；假设不存在，请说明理由．19．〔此题满分是13分〕某食品厂进展蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的本钱20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元〔t 为常数，且)52≤≤t ，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元〔4025≤≤x 〕，根据场调查，销售量q 与xe 成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．〔Ⅰ〕求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；〔Ⅱ〕假设5=t ，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．20．〔此题满分是14分〕点A 〔2，0〕，B 22:(2)36x y ++=．P 为B 上的动点，线段BP 上的点M 满足|MP |＝|MA |．〔Ⅰ〕求点M 的轨迹C 的方程;〔Ⅱ〕过点B 〔-2，0〕的直线l 与轨迹C 交于S 、T 两点，且2SB BT =，求直线l 的方程．21．〔此题满分是14分〕设函数)(x f =xe 〔e 为自然对数的底数〕，2()g x x x =-，记()()()h x f x g x =+．〔Ⅰ〕()h x '为()h x 的导函数，判断函数()y h x '=的单调性，并加以证明； 〔Ⅱ〕假设函数|()|1y h x a =--=0有两个零点，务实数a 的取值范围．参考答案一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕 1-5 DACCC 6-10 CBBAD二、填空题〔每一小题4分，一共20分〕11．π 12．6π13．2211648x y -= 14．16π 15．①②③④ 三、解答题〔一共6小题，一共80分〕 16．〔13分〕解法一：〔Ⅰ〕12m n ⋅=-由得221cos 2A sin A -=- ………………1分即1cos 2,2A =-02A π<<02A π<< ∴223A π=,3A π=………………3分由2222cos a b c bc A =+-得2320c c -+= 21或=∴c………………5分1c =时， cos 0,1B c <∴=舍去， 2=∴c1132sin 223S b c sinA π∴=⋅⋅=⨯⨯⨯=．……………8分〔Ⅱ〕222222cos 7a b c bc A b c bc =+-∴+-= ……………9分28)(7)2(373)(222≤+∴++≤+=+c b c b bc c b ……………11分72≤+c b 当且仅当时c b =取等号……………12分()max b c ∴+=……………13分解法二：由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A ==sin 3＝3，…………9分又B ＋C ＝π－A ＝23π，∴b ＋c ＝3sin B ＋3sin C ＝3sin B ＋3sin 〔23π－B 〕＝〔B ＋6π〕，………………11分当B ＋6π=2π时, 即3B π= 时，b ＋c 的最大值是 ………………13分17．〔13分〕〔Ⅰ〕证明：由1221111===+a a s a 得………………1分由)1(2211+=+=+++n s a n s a n n n n 可得，两式相减得221=-+n n a a………………3分112(2)2n n a a +∴-=-………………5分{}2-∴n a 是首项为121-=-a ，公比为21的等比数列……………6分11112(1)(),2()22n n n n a a ---=-=-故．………………7分 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知11)21()2()21()1()2(--⋅-=⋅-⋅-=n n n n n b ………8分由11121243032222n n n n n n n n n n nb b n +-----+--=-==≥≤得………………11分由01<-+n n b b 得3>n ，所以⋅⋅⋅>>⋅⋅⋅>>=<<n b b b b b b 54321故{}n b 的最大项为4143==b b ． ………………13分18．〔13分〕解法一：建立如下图的直角坐标系，不妨设AB ＝１那么(1,0,0),(1,1,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,1,1)B C D F E………………2分〔Ⅰ〕)1,2,0(),1,0,1(-=-=DE BF1010521||||,cos =⋅=⋅>=<DE BF DE BF DE BF ………………5分∴异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为1010． ………………6分〔Ⅱ〕设平面CDE 的一个法向量为),,(z y x n =)1,2,0(),0,2,1(-=-=DE CDDE n CD n ⊥⊥∴,由得⎩⎨⎧=+-=+-0202z y y x 令12(2,1,2)y x z n ===∴=得 ………………9分 设存在点M ),,(111z y x 满足条件，由1111,1,,(1,1,)CM CE y z M λλλλλ==-==-得:x),1,1(λλ-=∴AM直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为63,36,cos =><∴n AM 21,36||||||＝得λ=⋅n AM n AM ………………12分 故当点M 为CE 中点时，直线AM 与面CDE 所成角的正弦值为36．………13分 解法二：〔Ⅰ〕不妨设AB ＝１，EF BC 且EF BC BCEF =∴四边形是平行四边形，∴∠CED 异面直线BF 与DE 所成角………………3分CE =BF =2,ED =DC =5,25510cos 10225CED CED +-∆∠==在中，所以，异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为1010………………6分〔Ⅱ〕与解法一同． 19．〔13分〕解：〔Ⅰ〕设日销量3030,100,100x k kq k e e e==∴=则 ………………2分∴日销量30100xe q e =30100(20)(2540)xe x t y x e--∴=≤≤． ………………7分〔Ⅱ〕当5=t 时，x e x e y )25(10030-= ………………8分30100(26)xe x y e -'= ………………10分026y x '≥≤由得，0y '≤≥由得x 26[][]252626y ∴在，上单调递增，在，40上单调递减.4max 100,26e y x ==∴时当．………………12分当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．…………13分212y y =-∴，………………10分代入〔*〕得22222222222040059(59)25259t t y y t t y t ⎧-=⇒=⎪⎪++⎨-⎪-=⎪+⎩2222280025(59)591,33t t t t t ∴=++=∴=±即………13分故直线l的方程为：2)y x =+． ………………14分法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)2(+=x k y ，代入15922=+y x 得0453636)95(2222=-+++k x k x k………………8分l 过焦点，0∴∆>显然成立设),(),,(2211y x T y x s2SB BT =，),2(2)0,,2(2211y x y x +=---∴ 6221-=+∴x x …………………………①………9分且212221223659364559k x x k k x x k ⎧+=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪+⎨-⎪⋅=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪+⎩②③………………10分由①②解得22122230181830,5959k k x x k k ---==++代入③……………12分整理得：3,32±=∴=k k……………………13分l ∴的方程为)2(3+±=x y……………………14分21．解：〔Ⅰ〕2()()()xh x f x g x e x x =+=+-， ∴()21xh x e x '=+-， 令()()F x h x '=，那么()20xF x e '=+>，∴()F x 在(,)-∞+∞上单调递增，即()h x '在(,)-∞+∞上单调递增．…………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()h x '在(,)-∞+∞上单调递增，而(0)0h '=， ∴()0h x '=有唯一解0x =，…………8分,(),()x h x h x '的变化情况如下表所示：………………10分又∵函数|()|1y h x a =--有两个零点，∴方程|()|10h x a --=有两个根，即方程()1h x a =±有两个根………12分而11a a +>-，min min 1(())(0)11(())(0)1a h x h a h x h ∴-<==+>==且， 解得02a <<．所以，假设函数|()|1y h x a =--有两个零点，实数a 的取值范围是〔0，2〕………14分。

高三第一次调研考试数学试题〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共60分〕注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上。

3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集B C A B A I I ⋂===则集合集合},4,1{},5,4,3,1{},6,5,4,3,2,1{等于 〔 〕A ．{1，4}B ．{2，6}C ．{3，5}D ．{2，3，5，6}2．圆0144:0882:222221=---+=-+++y x y x C y x y x C 与圆的位置关系是〔 〕A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含3．已知函数)1),41((,),(,log )(22f F y x y x F x x f 则+==等于 〔 〕A ．－1B ．5C ．－8D ．3 4．假设b a b a 在则),7,4(),3,2(-==方向上的投影为〔 〕A ．13B ．513 C ．565 D ．655．在△ABC 中，A=60°，AB=2，且△ABC 的面积23=∆ABC S ，则边BC 的长为〔 〕A ．3B ．3C ．7D ．76．在同一坐标系内，函数aax y a x y a1)0(-=≠=和的图象可能是 〔 〕7．已知ααπαππαcos sin ,43)7tan(),23,2(+-=-∈则的值为 〔 〕A ．51±B ．51-C ．51D ．57-8．已知S n 是等比数列685,16,2,}{S a a n a n 等项和的前=-=等于 〔 〕A ．821 B ．－821 C ．817 D ．－817 9．已知点),(y x 构成的平面区域如下图，)(为常数m y mx z +=在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为 〔 〕A ．207-B ．207 C ．21 D ．21207或 10．已知直线l 的倾斜角为π43，直线l 1经过点l l a B A 与且1),1,(),2,3(-垂直，直线l 2：b a l by x +=++平行，与直线1012等于 〔 〕A ．－4B ．－2C ．0D ．211．假设},31)(|{,2)2(,4)1(,)(<++==-=-t x f x P f f x f 设且上的增函数是R }4)(|{-<=x f x Q ，假设“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是〔 〕A ．1-≤tB ．1->tC ．3≥tD ．3>t12．给出以下四个结论：①当a 为任意实数时，直线012)1(=++--a y x a 恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是y x 342=；②已知双曲线的右焦点为〔5，0〕，一条渐近线方程为02=-y x ，则双曲线的标准方程是120522=-y x ；③抛物线 a y a ax y 41)0(2-=≠=的准线方程为；④已知双曲线1422=+my x ，其离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是〔－12，0〕。

福建省漳州市2018-2019学年高三毕业班第一次教学质量检查测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由集合，求出的补集，最后和集合求交集即可.【详解】，因为，所以，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记定义即可求解，属于基础题型.2.设复数，的共轭复数为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简，再由复数的模求解即可.【详解】因为，则，所以，所以. 故选C【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，需要熟记复数的运算法则以及复数的几何意义，属于基础题型.3.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，，焦点在轴负半轴上，准线方程为．考点：抛物线的性质．4.已知角的终边过点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由三角函数的定义表示出，再由，得到关于的方程，解方程即可求出结果.【详解】因为角的终边过点，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义列方程求解，即可得参数的值，但要注意范围，属于基础题型.5.若满足约束条件，则的最大值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，再将化为，求直线截距的最小值，即可得到目标函数的最大值。

【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域，由化为，由图像易知，直线经过直线与直线的交点时，截距最小，即最大；由解得，即.故选C【点睛】本题主要考查简单的线性规划，需要根据约束条件，作出对应的平面区域，再将目标函数转化为直线方程，从而可将求目标函数范围的问题转化为求直线截距范围的问题，属于基础题型.6.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由辅助角公式化简，再根据三角函数图像的平移变化求得，最后根据三角函数对称轴方程即可求得解。

最新高三年级第一次调研考试数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y =，2{log 1}B x x =≤，则A B =I （ ） A ．{31}x x -≤≤ B ．{01}x x <≤ C ．{32}x x -≤≤ D ．{2}x x ≤ 【答案】B【解析】{31}A x x =-≤≤，∴{02}B x x =<≤，A B =I {01}x x <≤．2．设i 为虚数单位，复数z 满足i 34i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】34i43i iz +==-，故选D ． 3．已知平面向量a ，b 满足2=a ，1=b ，a 与b 的夹角为120o ，且()(2)λ+⊥-a b a b ，则实数λ的值为（ ）A ．7-B ．3-C ．2D ．3 【答案】D【解析】∵()(2)λ+⊥-a b a b ，∴22()(2)2(21)λλλ+⋅-=-+-⋅a b a b a b a b ， 8(21)930λλλ=---=-=， ∴3λ=．4．若变量,x y 满足约束条件220,330,0.x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．3-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C5．公差为1的等差数列{}n a 中，136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．65 B ．80 C ．85 D ．170 【答案】C【解析】∵2316a a a =⋅，∴2111(2)(5)a d a a d +=⋅+， ∴2111(2)(5)a a a +=⋅+，即14a =．∴101094101852S ⨯=⨯+⨯=． 6．若函数()2sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图像过点(,1)6π，则该函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．12x π=B ．512x π=C ．6x π=D ．3x π=【答案】D【解析】∵()2sin()163f ππϕ=+=，∴1sin()32πϕ+=．∵2πϕ<，5636πππϕ-<+<，∴36ππϕ+=，∴6πϕ=-，()2sin(2)6f x x π=-∵()23f π=，故选D ．7．261(2)()x x x+-的展开式中常数项为（ ）A ．40-B ．25-C ．25D ．55 【答案】B【解析】61()x x-的通项662166(1)(1)r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令622r -=-，得4r =；令620r -=，得3r =．∴常数项为443366(1)2(1)25C C -+⋅-=-．8．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A ．42 B ．25 C ．6 D ．43【答案】D【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分，如图，最长的边为43PC =．9．4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（ ） A ．49 B ．427 C ．964 D ．364【答案】A【解析】∵23434439C A P ==． CD AB P10．点S 、A 、B 、C的同一球面上，点S 到平面ABC 的距离为12，AB BC CA === 则点S 与ABC ∆中心的距离为（ ）ABC ．1D ．12【答案】B【解析】设球心为O ,ABC ∆中心为1O ，ABC ∆外接圆半径13r ==， 依题意，1OO ⊥平面ABC ，∴11OO ==．作21SO OO ⊥，垂足为2O ，则1212O O =， ∴2O 为1OO的中点，∴1SO SO R ==．11．过点(0,2)b 的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，则双曲线C 的离心率为取值范围是（ ） A ．(1,2] B ．(2,)+∞ C ．(1,2) D．【答案】A【解析】直线l 的方程为2by x b a=+， ∵双曲线C 的右支上的点到直线l 的距离恒大于b ，直线l 和直线by x a =b ≥，∴2()14b a+≤，∴2223c a a -≤，∴12e <≤． 12．函数2()ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0,1)B ．(,1)-∞C ．21(,)e e +-∞D ．21(0,)ee + 【答案】A【解析】2()ln 0f x x ax x =-+=，得2ln 1x a x x =+， 令2ln 1()x g x x x =+，则 24212ln 1()x x xx g x x x⋅-'=-312ln x x x --=， 令()12ln h x x x =--，则2()10h x x'=--<，∴()12ln h x x x =--在(0,)+∞上为单调减函数，∵(1)0h =，∴(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， ∴(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<， ∴()g x 在1x =处取得极大值，也是最大值， ∵(1)1g =，∴1a <．O 2AC BSOO 1∵1x e=时，2()0g x e e =-+<， x →+∞时，()0g x >，∴0a >， 综上，(0,1)a ∈．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分13．已知(),()f x g x 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且()()3xf xg x +=，则(1)f 的值为______． 【答案】43【解析】∵()(),()()f x f x g x g x -=--=，∵()()3xf xg x +=，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，∴(1)(1)31(1)(1)3f g f g +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，∴1343(1)23f -==． 14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为______． （参考数据：sin150.2588=o ，sin 7.50.1305=o ）【答案】24【解析】由程序框图可知：15．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于______． 【答案】45【解析】直线AB 的方程为2p y x =-，由222(0)p y x y px p ⎧=-⎪⎨⎪=>⎩，得2220y py p --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)x y ，则1202y y y p +==，00322p x y p =+=，∴弦AB 的垂直平分线方程为3()2y p x p -=--，∵弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，∴322p p -=，∴45p =．16．数列{}n a 满足221211,,(2)2,.n n n n n a n a n a a n ---⎧ <⎪=≥⎨≥⎪⎩，若{}n a 为等比数列，则1a 的取值范围是______． 【答案】9[,)2+∞【解析】当212a <时，2224a ==，∵2243a =<，∴2339a ==．∵2394a =<，∴24416a ==．若{}n a 为等比数列，则2324a a a =，即29416=⨯，显然不成立，∴14a ≥．当212a =时，2128a a ==， ∵2283a =<，∴2339a ==．若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即2849=⨯，显然不成立，∴14a ≠．当212a >时，212a a =． ①当2123a <时，2339a ==，若{}n a 为等比数列，则2213a a a =，即211(2)9a a =，194a =与14a >矛盾，故192a ≥． ②当2123a ≥时，312a a =，满足2213a a a =．∴1a 的取值范围是9[,)2+∞．三、解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，60C =o，D 是BC 上一点，31,20,21AB BD AD ===．（1）求cos B 的值；（2）求sin BAC ∠的值和边BC 的长．DBCA【解析】（1）在ABD ∆中，31,20,21AB BD AD ===，根据余弦定理，有222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅222312021232312031+-==⨯⨯．222cos 2AB BD AD B AB BD+-=⋅（2）∵0B π<<，∴223123sin 1()3131B =-=．∴sin sin[180(600)]sin(60)BAC B B ∠=-+=+o o osin 60cos cos60sin B B =+o o3231123353312=⨯+⨯=． 在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin BC ABBAC C =∠∠, ∴35331sin 6235sin 32AB BAC BC C ⨯∠===∠．18．（本小题满分12分）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X （单位：米）的频率分布直方图如下：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响 （1）求未来三年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率（结果用分数表示）；（2）该河流对沿河A 企业影响如下：当[23,27)X ∈时，不会造成影响；当[27,31)X ∈时，损失10000元；当[31,35)X ∈时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案： 方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元； 方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元； 方案三：不采取措施；试比较哪种方案较好，并请说理由．【解析】（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为：031213333127()()()44432P C C =+=． ∴在未来3年，至多有1年河流水位[27,31)X ∈的概率为2732． （2）由题意可知(2327)0.74P X ≤<=，(2731)0.25P X ≤<=，(3135)0.01P X ≤<=，用123,,X X X 分别表示采取方案1,2,3的损失，由题意知13800X =，X 的分布列如下：20.012600⨯=．X 的分布列如下：30.013100⨯=．因为采取方案2的平均损失最小，所以采取方案2较好． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=o ，PA PB ⊥，2PC =． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若PA PB =，求二面角A PC D --的余弦值.【解析】（1）取AB 中点O ，连接AC 、CO 、PO ， ∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴2AB BC ==． ∵60ABC ∠=o ，∴ABC ∆是等边三角形． ∴CO AB ⊥，OC =∵PA PB ⊥，∴112PO AB ==．∵2PC =，∴222OP OC PC +=．∴CO PO ⊥． ∵AB PO O =I ，∴CO ⊥平面PAB ．∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）∵22222211OP OA PA +=+==，∴PO AO ⊥． 由（1）知，平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面∴直线,,OC OB OP 两两垂直．∴以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),2,0),(0,0,1)O A B C D P --．∴(0,1,1),1),(0,2,0)AP PC DC ==-=u u u r u u u r u u u r． 设平面APC 的法向量为(,,)x y z =，由00AP PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，得00y z z +=⎧⎪-=，取1x =，得(1,=m ， PADCBD设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，由00PC DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n，得020z y -==⎪⎩，取1x =，得=n ，∴cos ,7⋅<>==⋅m n m n m n ，由图可知二面角A PC D --为锐二面角， ∴二面角A PC D --．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，直线0x y ++=与椭圆E 仅有一个公共点（1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 被圆22:3O x y +=截得的弦长为3，且与椭圆E 交于,A B 两点，求ABO ∆面积的最大值． 【解析】（1）∵2c e a ===，∴222a b =．∴故E 方程可化为222212x y b b +=，由2222012x y x y bb ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，得223620x b ++-=，∴2212(62)0b ∆=--=，解得21b =． ∴椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）记O 到直线l 的距离为d ，由垂径定理可得223()32d +=，解得d =当直线l 与y 轴平行，由题意可得直线l的方程为x =±．由22212x x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4y =±，∴2AB =．∴128ABO S AB d ∆=⋅=． 当直线l 与y 轴不平行，设直线l 的方程为y kx m =+，∴d ==223(1)4m k =+．由2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2221()2102k x kmx m +++-=． ∴222222151(2)4()(1)4220222k km k m k m ∆=-+-=-+=+>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++．∴221212(1)[()4]AB k x x x x =++-2222(22)(51)(21)k k k ++=+424210122441k k k k ++=++24212522441k k k -=+++， 令2122t k =-，则12t ≥-． 2555269922293332444t t t AB t t t t t t=+=+≤+=+++++⋅，当且仅当32t =时，等号成立， ∵2652>，∴当32t =时，即1k =±时，max 12632()232ABO S h ∆=⨯⋅=．∵303282<，∴1k =±时，max 32()2ABO S ∆=．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)xf x x e =+和函数2()()(1)xg x e a x =--（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()g x 的极值点的个数，并说明理由； （3）若函数()g x 存在极值为22a ，求a 的值.【解析】（1）()(2)xf x x e '=+，令()0f x '>，解得2x >-．∴()f x 的单调增区间为(2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-．（2）()(1)[(1)2)(1)[()2)xg x x x e a x f x a '=-+-=--，当(,1)x ∈-∞-，()(1)0xf x x e =+≤．①当0a e <<时，由（1）知，()f x 在(1,)-+∞单调增，且(1)20,(1)2220f a f a e a --<-=->， ∴∃唯一的0(1,1)x ∈-，使得0()0f x =．当0(,)x x ∈-∞时，()20f x a -<，故()0g x '>．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时写清题号 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F ．（1）证明：,,,C E F D 四点共圆；（2）若D 为BC 的中点，且3AF =，1FD =，求AE 的长．【解析】（1）连结EF 、BE ，则ABE AFE ∠=∠， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AE BE ⊥． ∵AB BC ⊥，∴ABE C ∠=∠， ∴AFE C ∠=∠，即180EFD C ∠+∠=o， ∴,,,C E F D 四点共圆．（2）∵AB BC ⊥，AB 是⊙O 的直径，∴BC 是 O 的切线，24DB DF DA =⋅=，即2BD =．∴AB ==∵D 为BC 的中点，∴4BC =，AC ==∵,,,C E F D 四点共圆，∴AE AC ⋅=∴12=,即7AE =．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)απ<<，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>-．（1）写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11OA OB+的值． 【解析】（1）由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，得当2πα=时，直线为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=；当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=⋅，又0απ<<，∴直线l 是过原点且倾斜角为α的直线， ∴直线l 的极坐标方程为θα=和θαπ=+综上所述，直线l 的极坐标方程为θα=和(0)θαπαπ=+<<．由1cos pρθ=-，得cos p ρρθ-=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴222()x y x p +=+，整理得22()2py p x =+．（2）设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩，11cos p ρθ=-，即1cos p OA θ=-, 由1cos p θαπρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩，21cos p ρθ=+，即1cos p OB θ=+, ∴111cos 1cos 2OA OB p p pθθ-++=+=． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集； （2）若函数()f x 的最小值为5，求a 的值． 【解析】（1）当1a =时，不等式()8f x x ≥+ 可化为138x x x ++-≥+，∴1228x x x <-⎧⎨-≥+⎩，或1348x x -≤<⎧⎨≥+⎩，或3228x x x ≥⎧⎨-≥+⎩，解得2x ≤-，或10x ≥，∴原不等式的解集为(,2][10,)-∞-+∞U ．（2）∵()3f x x a x =++-()(3)3x a x a ≥+--=+，令35a +=，解得2a =，或8a =-．。

卜人入州八九几市潮王学校2021----2021高中毕业班第一次教学质量检测理科数学参考答案一、选择题：每一小题5分，一共50分〔1〕D..〔2〕B〔3〕A三角函数的性质、简易逻辑、坐标平面内两直线垂直的充要条件、根本不等式，容易题.〔4〕B〔5〕A〔6〕B〔7〕C..〔8〕B..〔9〕C..〔10〕A..二、填空题：每一小题5分，一共25分〔11〕40..〔12〕2.程序框图知识、考察学生运算及对规律的概括才能，中等题.-.中等题.〔13〕2-.中等题.〔14〕2〔15〕②③④.较难题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〔16〕中等题. 解：〔Ⅰ〕1(sin cos ,)2m n x x +=+∵，1()()(sin cos )cos 2f x m n n x x x =+⋅=+-∴21sin cos cos 2x x x =+-)4x π=+.令3222242k x k πππππ+≤+≤+，得588k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，所以函数()f x 的单调递减区间是5[,]88k k ππππ++()k Z ∈．……………6分 〔Ⅱ〕由()1)42f A A π=+=得sin(2)4A π+=.又A ∵为ABC ∆的内角，3244A ππ+=∴，4A π=.12S =△ABC ∵，1b =，11sin 22ABC S bc A ∆==∴，c =2222cos 1a b c bc A =+-=∵，1a =∴………………………………12分〔17〕放回抽样的概率和不放回抽样的分布列与期望，考察学生应用知识的才能，中等题. 解：〔Ⅰ〕采取放回抽样方式，每次摸出一球，从中摸出两球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，假设第一次摸到白球，那么第二次摸到黑球；假设第一次摸到黑球，那么第二次摸到白球.因此它的概率11113322111155551225C C C C P C C C C =⋅+⋅=……………………5分〔Ⅱ〕设摸得白球的个数为ξ，那么ξ=0，1，2.因为23253(0)10C P C ξ===，1123253(1)5C C P C ξ⋅===，22251(2)10C P C ξ===， 所以，ξ的分布列为：3314012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=∴，即摸得白球个数的均值为45.………………………12分 〔18〕中等题.解法一：〔Ⅰ〕如图：在ABC ∆中，由,E F 分别是AC 和BC 边的中点，得//EF AB ，……10分又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴//AB 平面DEF .…………4分〔Ⅱ〕,AD CD BD CD ⊥⊥∵，∴ADB ∠是二面角A DC B --的平面角，AD BD ⊥∴，得AD ⊥平面BCD .取CD 的中点M ，连接EM ，那么//EM AD ，∴EM ⊥平面BCD ，过M 作MN DF ⊥于点N ，连接EN ，那么根据三垂线定理知EN DF ⊥，∴MNE ∠就是二面角E DF C --的平面角.在Rt EMN ∆中，1EM =，32MN =，∴23tan 3MNE ∠=，21cos 7MNE ∠=.………8分 〔Ⅲ〕在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥，证明如下： 在线段BC 上取点P ，使13BP BC =，过P 作PQ CD ⊥与点Q ，连AQ ，那么PQ ⊥平面ACD ，//PQ BD ，于是有12333DQ DC ==，在Rt ADQ ∆中，2AD =∵，30DAQ ∠=∴；又∵ADE ∆是正三角形，∴AQ DE ⊥，∴AP DE ⊥.………13分法二：〔Ⅰ〕同解法一.〔Ⅱ〕以点D 为坐标原点，直线,,DB DC DA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，那么(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(0,23,0)C ，(0,3,1)E ，(1,3,0)F .显然平面CDF 的一个法向量为(0,0,2)DA =，设平面EDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，那么DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1y =-得，(3,1,3)n =-.21cos ,7||||DA n DA n DA n ⋅<>==，所以二面角E DF C --的余弦值为217. 〔Ⅲ〕设(,,0)P x y ，由320AP DE y ⋅=-=，得233y =.又(2,,0)BP x y =-，(2,23,0)BC =-，//BP BC ，323x y +=∴；将233y =代入上式，得43x =，13BP BC =∴，所以在线段BC 上存在点P ，使AP DE ⊥.〔19〕中等题. 解：〔Ⅰ〕52252b b d -==-∵，()()222217n b b n n n =+-⨯=-≤∴，20122877335b b b ⨯+===∴.……………………3分〔Ⅱ〕1148c c ==∵，3418c q c ==∴，2q =.……………6分 当7n ≤时，1122...n n n S b c b c b c =+++21113252(21)2n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-①232123252(21)2n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-②①- ②，得23112(2222)(21)2n nn S n --=++++⋅⋅⋅+--14(21)1(21)221n n n --=+---3(23)2n n =--- (23)23(7)n n S n n =-+≤∴………………………………10分由761411579S S ==，知，1376141157919902011S S S =+=+=<，14722141128222011S S ==⨯=>，所以满足2011n S >的n 的最小值为14.………………12分〔20〕较难题.解：〔Ⅰ〕由题设知12(,0),(,0)F c F c -，〔其中c是椭圆的半焦距，c =.由于2120AF F F ⋅=，所以212AF F F ⊥，所以点A 的坐标为2(,)c a，故1AF 所在直线方程为0x acy c -+=，所以坐标原点O 到直线1AF21c a ==-.又1OF c ||=，所以2131c c a =-，解得：2a =，故所求椭圆方程为22142x y +=.…………………………………6分 另解：作1OB AF ⊥，垂足为B ，∵212AF F F ⊥，易知121OBF AF F ∆∆∽，21113AF OB AF OF ==∴，123AF AF =∴；又22b AF a =，21222b AF a AF a a =-=-，2232b b a a a-=∴，2224a b ==∴.故所求椭圆的方程为22142x y +=. 〔Ⅱ〕易知，直线l 的斜率存在，设为k ，那么其方程为(1)y k x =+，那么有(0,)M k .设11(,)Q x y ，由于,,Q F M 三点一共线，且2MQ QF ||=||，所以1111(,)2(1,)x y k x y -=±+,解得112x y k =-⎧⎨=-⎩或者11233x k y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.又Q 在椭圆C 上，故22(2)()142k --+=或者222()()33142k -+=，解得0k =或者4k =±，所以所求直线l 的斜率为0或者4±.………………13分〔21〕难题.解：〔Ⅰ〕由题意，0x >，22111()x g x x x x-'=-+=，∴当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，所以，()g x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故()(1)1g x g ==极小值.…………4分(Ⅱ)()()2ln mf xg x mx x x -=--∵，222[()()]mx x m f x g x x -+'-=∴，由于()()f x g x -在[1,)+∞内为单调增函数，所以220mx x m -+≥在[1,)+∞上恒成立，即221xm x ≥+在[1,)+∞上恒成立，故max 22()11x m x ≥=+，所以m 的取值范围是[1,)+∞.…………8分〔Ⅲ〕构造函数2()()()()2ln m e F x f x g x h x mx x x x=--=---， 当0m ≤时，由[]1,x e ∈得，0m mx x -≤，22ln 0ex x--<，所以在[]1,e 上不存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->.…………………………………………10分当0m >时，22222222()m e mx x m eF x m x x x x -++'=+-+=，因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[1,)+∞上恒成立，故()F x 在[]1,e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，所以要在[]1,e 上存在一个0x ，使得()0F x >，必须且只需40m me e-->，解得241e m e >-，故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-.…………………13分 另法:〔Ⅲ〕当1x =时，(1)(1)(1)fgh -<.当(1,]x e ∈时，由()()()f x g x h x ->，得222ln 1e x x m x +>-，令222ln ()1e x xG x x +=-，那么2222(22)ln (242)()0(1)x x x ex G x x --+--'=<-，所以()G x 在(1,]e 上递减，min24()()1eG x G e e ==-.综上，要在[]1,e 上存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->，必须且只需241em e >-.。

卜人入州八九几市潮王学校湘西自治州2021届高三教学质量统一检测试卷数学〔理工农医类〕本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部，一共6页.时量120分钟.总分值是150分.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1．设集合{}{}1,012>=>-=x x B x x A ，那么B A ⋂等于A ．}1|{>x xB ．}0|{>x xC ．}1|{-<x x D ．}11|{-<>x x x 或２.:“,R x ∈∀x 2cos ≤x 2cos 〞的否认为A ．,R x ∈∀x 2cos x 2cos >B ．,R x ∈∃x 2cos x 2cos > C ．,R x ∈∀x 2cos <x 2cos D ．,R x ∈∃x 2cos ≤x 2cos３．向量b a x c x b a //),3,(),,2(),2,1(若-==-=，那么||c 等于A ．10B ．10C ．5D ．5４.设计一个计算131197531⨯⨯⨯⨯⨯⨯的算法，图1给出了程序的一局部.在以下选项里面，在横线①上不．能填入的数是 A ．13 B ．5.13C ．14D ．5.14５.图2A ．π++36B ．18C ．π++3218D ．6．实数),(,2|1|)3()1(,22y x P y x y x y x 则点满足条件++=-+-的运动轨迹是A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆7.8)2(x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为A ．1-B ．0C ．1D ．28．记实数n x x x ,,21中的最小数为},,m in{21n x x x ，设函数=)(x f)0}(sin 1,sin 1min{>-+ωωωx x ，假设()f x 的最小正周期为1，那么ω的值是A ．21 B ．1C ．2π D ．π二、填空题：本大题一一共7小题，每一小题5分，一共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9．i 是虚数单位，复数31ii+-=_______________. 10．等差数列{}n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，那么此数列前20项的和等于．11.根据HY 道路交通平安法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml 〔不含80〕之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml 〔含80〕以上时，属醉酒驾车．据法制晚报报道，2011年2月15日至2 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车一共28800人，如图3是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进展检测所得结果的频率分布直方图，那么属于醉酒驾车的人数约为______________．12．如图4，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2x y =图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，那么该点落入E 中的概率为___________.13．如图5，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P.假设PB=1，PD=3那么BCAD的酒精含量频率 组距20 30 40 50 60 70 80 90 100(mg/100ml)图3图4值是.14．设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C上到直线l 间隔为71010的点的个数为______________．15．M 是曲线x a x x y )1(21ln 2-++=上的任一点，假设曲线在M 点处的切线的倾斜角是均不小于4π的锐角，那么实数a 的取值范围是______________.三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 16．〔本小题总分值是12分〕a、b、c分别是ABC ∆的三个内角A、B、C所对的边，假设ABC ∆面积,60,2,23︒===∆A c S ABC 求a 、b 的值. 17．〔本小题总分值是12分〕某休闲会馆拟举行“五一〞庆贺活动，每位交30元的入场费，可参加一次抽奖活动.抽奖活动规那么是：从一个装有分值分别为6,5,4,3,2,1的六个一样小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：假设抽得两球的分值之和为12分，那么获得价值为m 元的礼品；假设抽得两球的分值之和为11分或者10分，那么获得价值为100元的礼品；假设抽得两球的分值之和低于10分，那么不获奖. 〔1〕求每位会员获奖的概率；〔2〕假设这次活动会馆既不赔钱也不HY(支出费用只考虑礼品支出费，其它支出费不计)，那么m 应为多少元？18．〔本小题总分值是12分〕如图6，正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，2=AB ，1=AF ，M 是线段EF 的中点.图5(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)在线段AC 上是否存在一点P ，使直线PF 与AD 所成角为︒60？证明你的结论.19．〔本小题总分值是13分〕如图7，定点(1,0)E -，(1,0)F ，动点A 满足4=AE，线段AF 的垂直平分线交AE 于点M. 〔1〕求点M 的轨迹1C 的方程； 〔2〕抛物线2C ：24y x =与1C 在第一象限交于点P ，直线PF 交抛物线于另一个点Q ，求抛物线的POQ 弧上的点R 到直线PQ 的间隔的最大值.20．〔本小题总分值是13分〕数列{a n }满足,021=a a a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m 〔1〕求a 3，a 5； 〔2〕设n c ＝(a n+1－a n )1-n q(q ≠0，*∈N n )，求数列{}n c 的前n 项和n S .21．〔本小题总分值是13分〕函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数．〔1〕假设()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间；〔2〕假设()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a的取值范围．湘西自治州2021届高三教学质量统一检测试卷数学〔理工农医类〕参考答案一、选择题M F EDCBA图6图71---4ABDA5----8CABD 二、填空题9．i 21+10.1801320131314.２15.(,2]-∞三、解答题16、解：23sin 21==∆A bc S ABC，2360sin 221=︒⋅∴b ，得1=b……6分由360cos 21221cos 222222=︒⋅⨯⨯-+=-+=A bc c b a得32=a，∴3=a ∴3=a ，1=b ………12分17、解：〔1〕两次抽取的球的分值构成的有序数对一共有36对，其中分值之和为12的有1对，分值之和为11的有两对，分值之和为10的有3对，所以每位会员获奖的概率为6136321=++=p ．…………………………………………4分〔2〕设每位抽奖后，休闲会馆的获利的元数为随机变量ξ，那么ξ的可能取值为m -30、70-、30．…………………………5分,65)30()70(1)30(=-=--=-==m P P P ξξξ…………………8分那么会馆获利的期望为365803065)70(365)30(361m m E -=⨯+-⨯+-⋅=ξ．假设这次活动会馆既不赔钱也不HY ，那么ξE =0，即036580=-m，所以，580m=.…………………………………………11分答：〔1〕每位会员获奖的概率为61；〔2〕m 应为580元．……………12分18、解:方法一：(1)记AC 与BD 的交点为O ,连接OE , ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，QPA BCDEFM ∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM ∥OE ………4分∵⊂OE 平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM∥平面BDE .……………6分〔2〕设CP t =〔02t ≤≤〕,作PQ AB ⊥于Q ，那么PQ ∥AD ， ∵PQ AB ⊥，PQ AF ⊥，ABAF A =，∴PQ ⊥平面ABF ， QF ⊂平面ABF ，∴PQ QF ⊥.在Rt PQF ∆中，60FPQ ∠=︒，2PF PQ =.………………9分∵PAQ ∆为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF ， ∴),2(2221)2(2t t -⋅=+-1t ∴=或者3t =(舍去)． ∴点P 是AC 的中点.…………………………12分方法二：〔1〕建立如下列图的空间直角坐标系.设NBD AC = ，连接NE ，那么点N 、E 的坐标分别是〔)0,22,22、(0,0,1),∴NE =()1,22,22--,又点A 、M的坐标分别是〔022，，〕、〔)1,22,22，∴AM =〔)1,22,22--∴NE =AM 且NE 与AM 不一共线，∴NE ∥AM.……………………………4分又∵⊂NE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF .…………6分〔2〕设(,,0)P t t (02)t ≤≤，得(2,2,1)PF t t =--，∴(0,2,0)DA =，…8分又∵PF 和AD 所成的角是60︒.21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒∴t t t ，解得22=t 或者223=t 〔舍去〕，即点P 是AC 的中点.…………………12分19.〔1〕依题意有｜ME|+｜MF|＝｜ME|+｜MA| ＝｜AE|＝4>｜EF|＝2∴点M 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆。

卜人入州八九几市潮王学校2021嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷〔理〕考生注意：2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定的指定正确位置或者写在试卷上之答案一律无效．3．本套试卷一共有23道试题，总分值是150分，考试时间是是120分钟．一．填空题〔本大题总分值是56分〕本大题一一共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写上结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分． 1．假设C z ∈，且i z i 2)1(=⋅-，那么=z ____________．2．在等差数列}{n a 中，35=a ，26-=a ，那么}{n a 的前10项和=10S ___________．3．函数xx x f 11)(=〔0≥x 〕的反函数=-)(1x f___________________．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点)1,2(A ，),5(y B ，假设AB OA ⊥，那么=y _____．6．集合}3||{<=x x A ，}023{2>+-=x x x B ，那么集合A x x ∈{且}B A x ∉=___________________．7．假设某校老、中、青老师的人数分别为80、160、240，现要用分层抽样的方法抽取容量为60的样本参加普通话测试，那么应抽取的中年老师的人数为_____________．8．假设双曲线122=-ky x 的焦点到渐近线的间隔为22， 那么实数k 的值是____________．9．书架上有3本不同的数学书，2本不同的语文书，2本不同的英语书，将它们任意地排成一排，那么左边3本都是数学书的概率为________〔结果用分数表示〕． 10．如下列图的算法框图，假设输出S 的值是90， 那么在判断框〔1〕处应填写上的条件是___________． 11．三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，那么它们的体积1V ，2V ，3V 满足的等量关系是_______________________．12．函数xx x f cos )(2-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，那么满足⎪⎭⎫⎝⎛>3)(πf x f 的x 的取值范围是____________________．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+by a x〔0>>b a〕被围于由4条直线a x ±=，b y ±=所围成的 矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，假设OB n OA m OP ⋅+⋅=〔m 、R n ∈〕，那么m 、n 满足的一个等式是_______________． 14．将正奇数排成以下列图所示的三角形数表：3，57，9，11 13，15，17，19……其中第i 行第j 个数记为ij a 〔i 、*N j ∈〕，例如1542=a ，假设2011=ij a ，那么=+j i ____． 二．选择题〔本大题总分值是20分〕本大题一一共有4题，每一小题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分． 15．假设集合}4,3,2,1{=P，},50{R x x x Q ∈<<=，那么“P x ∈〞是“Q x ∈〞的〔〕A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．假设n m <，q p <，且0))((<--n p m p ，0))((<--n q m q ，那么〔〕A ．q n p m <<<B ．n q m p <<<C ．n q p m<<<D ．q n m p <<<17．设b a <<0，那么函数)(||b x a x y --=的图像大致形状是〔〕A ．18414922=+y x 的公一共点个数为〔〕 A ．0B ．1C ．2D ．需根据a ，b 的取值来确定三．解答题〔本大题总分值是74分〕本大题一一共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．〔此题总分值是12分〕此题一共有2个小题，第1小题总分值是5分，第2小题总分值是7分． 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，41==AA AC ，︒=∠90ABC ．〔1〕求三棱柱111C B A ABC -的外表积S ；〔2〕求异面直线B A 1与AC 所成角的大小〔结果用反三角函数表示〕．20．〔此题总分值是14分〕此题一共有2个小题，第1小题总分值是6分，第2小题总分值是8分． 函数2cos 32cos 2sin )(2x x x x f +=．〔1〕求方程0)(=x f 的解集；〔2〕假设△ABC 的三边a ，b ，c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，求角x 的取值范围及此时函ABCA 1B 1C 1数)(x f 的值域．21．〔此题总分值是14分〕此题一共有2个小题，第1小题总分值是6分，第2小题总分值是8分．双曲线C 的方程为1422=-y x ，点)2,(m m A 和点)2,(n n B -〔其中m 和n 均为正数〕是双曲线C 的两条渐近线上的的两个动点，双曲线C 上的点P 满足PB AP ⋅=λ〔其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,21λ〕． 〔1〕用λ的解析式表示mn ； 〔2〕求△AOB 〔O 为坐标原点〕面积的取值范围．22．〔此题总分值是16分〕此题一共有3个小题，第1小题总分值是4分，第2小题总分值是6分，第3小题总分值是6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数〞为nx x x n+++ 21〔*Nn ∈〕．数列}{n a 前n 项的“倒平均数〞为421+n ，记1+=n a c n n 〔*N n ∈〕．〔1〕比较n c 与1+n c 的大小； 〔2〕设函数x x x f 4)(2+-=，对〔1〕中的数列}{n c ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立？假设存在，求出最大的实数λ；假设不存在，说明理由．〔3〕设数列}{n b 满足11=b ，b b =2〔R b ∈且0≠b 〕，21---=n n n b b b 〔*Nn ∈且3≥n 〕，且}{n b 是周期为3的周期数列，设n T 为}{n b 前n 项的“倒平均数〞，求n n T ∞→lim ．23．〔此题总分值是18分〕此题一共有3个小题，第1小题总分值是4分，第2小题总分值是6分，第3小题总分值是8分． 函数b ax ax x g ++-=12)(2〔0>a 〕在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=． 〔1〕求a 、b 的值； 〔2〕假设不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上有解，务实数k 的取值范围；〔3〕假设()03|12|2|12|=--⋅+-k k f xx 有三个不同的实数解，务实数k 的取值范围． 2021嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷〔理〕参考答案与评分HY一．填空题1．i +-1；2．5；3．1+x 〔1-≥x 〕；4．1-；5．5-；6．}21{≤≤x x ；7．20； 8．8；9．351；10．8≤k ，或者8=k ，或者9<k 等；11．33323132V V V ⋅=⋅+；12．⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡--2,33,2ππππ ；13．2122=+n m ；14．61． 二．选择题15．A ；16．C ；17．B ；18．C ． 三．解答题19．〔1〕在△ABC 中，因为2=AB ，4=AC ，︒=∠90ABC ，所以32=BC ．…………〔1分〕3221=⋅⋅=∆BC AB S ABC．………………〔1分〕 所以侧S S SABC +=∆21)(2AA AC BC AB S ABC ⋅+++=∆4)4322(34⋅+++=31224+=．…………〔3分〕〔2〕连结1BC ，因为AC ∥11C A ，所以11C BA ∠就是异面直线B A 1与AC 所成的角〔或者其补角〕．…………〔1分〕在△11BC A 中，521=B A ，721=BC ，411=C A ，…………〔1分〕由余弦定理，1052cos 111212112111=⋅⋅-+=∠C A B A BC C A B A C BA ，…………〔3分〕所以105arccos11=∠C BA ．…………〔1分〕 ABCA 1B 1C 1即异面直线B A 1与AC 所成角的大小为105arccos．……〔1分〕 20．〔1〕解法一：由0)(=x f ，得02cos 32sin 2cos =⎪⎭⎫⎝⎛+x x x ，……〔1分〕由02cos =x ，得22ππ+=k x ，ππ+=k x 2〔Z k ∈〕．……〔2分〕 由02cos 32sin =+x x ，得32tan -=x，32ππ-=k x ，322ππ-=k x 〔Z k ∈〕．…………〔2分〕 所以方程0)(=x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=+=Z k k x k x x ,3222ππππ或．……〔1分〕 解法二：233sin )1(cos 23sin 21)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x x f ，……〔2分〕由0)(=x f ，得233sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，…………〔1分〕 3)1(3πππkk x --=+，Zk ∈，…………〔2分〕所以方程0)(=x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈---=Z k k x x k ,33)1(πππ．…………〔1分〕〔2〕由余弦定理，B ac c a bcos 2222-+=，ac ac c a ac b c a B 22cos 22222-+=-+=21≥，…………〔2分〕所以3π≤<B ，…………〔1分〕由题意，B x=，所以⎥⎦⎤⎝⎛∈3,0πx ．……〔1分〕233sin )1(cos 23sin 21)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x x f ，⎥⎦⎤⎝⎛∈+32,33πππx ，……〔2分〕 所以此时函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+123,3．…………〔2分〕21．〔1〕由，)2,(m mA ，)2,(n nB -〔0>m ，0>n 〕，设),(y x P由PB AP ⋅=λ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=λλλλ1221nm y n m x ，故P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++λλλλ1)(2,1n m n m ，…〔3分〕将P 点的坐标代入1422=-y x ，化简得，λλ4)1(2+=mn ．…………〔3分〕〔2〕解法一：设θ2=∠AOB ，那么2tan =θ，所以542sin =θ．……〔1分〕 又m OA 5||=，n OB 5||=，所以mn OB OA S AOB 22sin ||||21=⋅⋅⋅=∆θ 1121)1(212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅=λλλλ，…………〔3分〕 记1121)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλλS ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,21λ，那么)(λS 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21λ上是减函数，在]3,1[∈λ上是增函数．…………〔2分〕 所以，当1=λ时，)(λS 取最小值2，当3=λ时，)(λS 取最大值38． 所以△AOB 面积的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡38,2．…………〔2分〕解法二：因为)2,(m m A ，)2,(n n B -〔0>m ，0>n 〕，所以 mn n n m m n n m m S AOB22221121001221=--=-=∆1121)1(212+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅=λλλλ，…〔4分〕 记1121)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλλS ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,21λ，那么)(λS 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21λ上是减函数，在]3,1[∈λ上是增函数．…………〔2分〕 所以，当1=λ时，)(λS 取最小值2，当3=λ时，)(λS 取最大值38． 所以△AOB 面积的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡38,2．…………〔2分〕22．〔1〕设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意得421+=n S n n ，所以n n S n 422+=，……〔1分〕当1=n时，611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式．所以24+=n a n 〔*N n ∈〕．……〔1分〕 所以124124+-=++=n n n c n，……〔1分〕 0)2)(1(222121>++=+-+=-+n n n n c c n n ，因此1+<n n c c ．……〔1分〕 〔2〕假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立，即n c x x ≤+-42对任意*N n ∈恒成立，……〔2分〕由〔1〕知数列}{n c 是递增数列，所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，〔2分〕 解得1≤x或者3≥x ．……〔1分〕所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立．…〔1分〕〔3〕由11=b ，b b =2，得|1|3-=b b ，……〔1分〕①假设1≥b ，那么13-=b b ，1||234=-=b b b ，|2|5b b -=，因为}{n b 周期为3，故b b b ==25，所以b b =-|2|，所以b b =-2，b b -=-2〔舍〕，故1=b ． 此时，}{n b 为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．……〔1分〕 ②假设1<b，那么b b -=13，|21|||234b b b b -=-=，因为}{n b 周期为3，故114==b b ，所以1|21|=-b ，即121=-b或者121-=-b ，解得0=b 或者1=b ，均不合题意．…〔1分〕设数列}{n b 的前n 项和为n S ，那么对*N n ∈，有⎪⎩⎪⎨⎧-=--===.23,12,13,2,3,2k n k k n k k n k S n ……〔1分〕即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,312,13,322,3,32k n n k n n k n n S n 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,123,13,223,3,23k n n n k n n n k n T n 因此23lim =∞→n n T ．〔2分〕23．〔1〕a b x a x g -++-=1)1()(2，……〔1分〕因为0>a，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．〔3分〕 〔2〕由可得21)(-+=xx x f ，……〔1分〕 所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+，…………〔1分〕化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+2122112，令xt 21=，那么122+-≤t t k，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21t ，故1)(max =t h ，…………〔3分〕所以k 的取值范围是]1,(-∞．…………〔1分〕〔3〕原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k x x，……〔1分〕令t x=-|12|，那么),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或者101<<t ，12=t ．……〔3分〕 记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，那么⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ① 或者⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k ②…………〔2分〕解不等组①，得0>k，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+．………………〔2分〕。

隆化县存瑞中学2021届高三数学上学期第一次质检试题理创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，那么A∩B=〔〕A. B. C. D.2.假设复数z满足z〔1+i〕=2i〔i为虚数单位〕，那么|z|=〔〕A. 1B. 2C.D.3.假设函数y=a x+b-1〔a＞0且a≠1〕的图象经过第二、三、四象限，那么一定有〔〕A. ,且B. ,且C. ,且D. ,且4.“x＜0”是“ln〔x+1〕＜0”的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.满足条件a=4，b=5，A=45°的△ABC的个数是〔〕A. 1B. 2C. 无数个D.不存在6.函数f〔x〕=cos2x+6cos〔-x〕的最大值为〔〕A. 4B. 5C. 6D. 77.等差数列的前n项为，且，，那么使得取最小值时的n为( )A. 1B. 6C. 7D. 6或者78.函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，f〔1〕=5，且f〔x+4〕= - f〔x〕，那么f〔2021〕+f〔2021〕的值是〔〕A. 0B.C. 2D. 59.函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔x∈R〕的局部图象如下图，假如，且f〔x1〕=f〔x2〕，那么f〔x1+x2〕=〔〕A. B. C. D.10.如图，正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，假设=λ+μ，那么λ+μ=〔〕A. 2B.C.D.11.函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，|φ|＜〕的最小正周期为π，假设其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，那么函数f〔x〕的图象〔〕A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称12.定义在R上的偶函数f〔x〕，其导函数为f′〔x〕；当x≥0时，恒有f′〔x〕+f〔-x〕≤0，假设g〔x〕=x2f〔x〕，那么不等式g〔x〕＜g〔1-2x〕的解集为〔〕A. B.C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.数列{a n}的前n项和为S n=n2+3n+5，那么a n=______．14.向量=〔2，sinθ〕，=〔1，cosθ〕，假设∥，那么的值是______．15.以下说法：①正切函数y=tan x在定义域内是增函数；②函数是奇函数；③是函数的一条对称轴方程；④扇形的周长为8cm，面积为4cm2，那么扇形的圆心角为2rad；其中正确的选项是______ ．〔写出所有正确答案的序号〕16.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，假设E，F分别是线段DC和BC上的动点，那么的取值范围是______．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分〕17.(10分)设()；.〔1〕假设是的充分不必要条件，务实数的取值范围；〔2〕假设，且为假，为真，务实数的取值范围.18.〔12分〕{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．〔1〕求{a n}的通项公式；〔2〕设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．19. 〔12分〕在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+ac ．〔Ⅰ〕求∠B 的大小； 〔Ⅱ〕求cos A +cos C 的最大值．20.(12分).函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当时，求g (x )的值域．21.(12分)数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n-n=2〔a n-2〕，〔n∈N*〕〔1〕证明：数列{a n-1}为等比数列．〔2〕假设b n=a n•log2〔a n-1〕，数列{b n}的前项和为T n，求T n．22.〔12分〕函数为实数．假设函数在处的切线与直线平行，务实数的值；假设，求函数在区间上的值域；假设函数在区间上是增函数，求的取值范围．高三数学〔理〕答案和解析1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】A 10.【答案】D 11.【答案】C 12.【答案】A13.【答案】． 14.【答案】15.【答案】②③④ 16.【答案】[-4，6]17.【答案】解：〔1〕由得：假设q是p的充分不必要条件，那么即,所以所以，实数的取值范围是〔2〕当时，因为为假，为真，所以一真一假。