关于函数一致连续性证明的几个方法

函数的一致连续性是数学分析中的重要概念和难点之一 . 大多数学分析教材对这方面的讨论较少 . 学生对一致连续性证明的掌握往往不够 . 单从定义出发证明函数的一致连续性又较困难 . 因此 , 本文给 出了几个证明函数一致连续的方法 , 并举例说明其应用 , 以供读者参考 . ) > 0 , 使得对任何 x′ 定义 设 f ( x ) 为定义在区间 I 上的函数 , 若对任给的 ε> 0 , 存在 δ= δ(ε , x″ ) - f ( x″ ) | <ε, 则称函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续 . ∈I , 只要| x′ - x″ | < δ, 就有| f ( x′
n →∞
) - f ( x n″ ) | <ε, 即 lim [ f ( x n′ ) - f ( x n″ ) ] = 0 , 与已知矛盾 . 意 n > N , 有| x n′ - x n″ | < δ, 所以| f ( x n′
n →∞
所以 f ( x ) 在区间 I 上非一致连续 . ( x ) 在区间 I 上有界 , 则 f ( x ) 在区间 I 上一致 定理 5 设函数 f ( x ) 在区间 I 上可导 , 其导数 f ′ 连续 . ( x ) 在区间 I 上有界 , 则存在正数 M , 对任意 x ∈I , 有 | f ( x′ ) | ≤M . 对任给的 ε> 证明 因为 f ′ ε ε ) - f ( x″ ) | = | f′ ( c) | ・ 0 , 取 δ= > 0 , 对任何 x′ , x″ ∈I . 只要| x′ - x″ | < δ, | f ( x′ | x′ - x″ | ≤M ・ =
) | <ε, 取 δ= mix{ 1 、 δ δ ) , | x′ ) - f ( x″ ) | <ε, - f ( x″ , x″ ∈[ a , + ∞ - x″ | < δ时 , 有| f ( x ′ 1、 2 } , 则当 x ′
所以 f ( x ) 在 I 上一致连续 .
) 上连续 , 且 lim f ( x ) = A , 则函数 f ( x ) 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 . 定理 3 若函数 f ( x ) 在 [ a , + ∞
x →+ ∞
) 上一致连续 . f ( x) 在[ a , + ∞
证明 因为 lim [ g ( x ) - f ( x ) ] = 0 , 则对任给的ε> 0 , 存在正数 M ≥a , 当 x > M 时 , 有| g ( x ) x →+ ∞
f ( x) | <
ε ) 上一致连续 , 则对上述 ε> 0 , 存在 δ . 又因为 g ( x ) 在 [ a , + ∞ - x″ | <δ 1 > 0 , 只要 | x′ 1 ,就 3
) - f ( x″ ) | < ε, 取正数 δ ≤ δ 要| x′ - x″ | <δ , x″ ∈I , | x′ - x″ | < δ时 , 0 , 就有 SU P | f ( x′ 0 , 当 x′
| x′ - x″ | <δ
) - f ( x″ ) | ≤ SU P | f ( x′ ) - f ( x″ ) | ≤ SU P | f ( x′ ) - f ( x″ ) | <ε | f ( x′ . 所以 f ( x ) 在区间 I 上一
δ> 0 , 对任何 x′ ) - f ( x″ ) | <ε , x″ ∈[ a , M + 1 ] , | x′ - x″ | < δ, 有 | f ( x′ . 于是对任何 x′ , x″ ∈[ a , ) δ ( ) ( ) ε ( ) ) + ∞ , 只要| x′ - x″ | < 或 x′ , x″ > M , 就有| f x′ - f x″| < , 所以 f x 在 [ a , + ∞ 上一致连续 . 定理 4 函数 f ( x ) 在区间 I 上非一致连续的充要条件是在 I 上存在两个数列 x n′ , x n″ , 使 lim ( x n′
n →∞
) = 0 , 但当 n →∞ ) - f ( x n″ ) ] Ξ 0. - x n″ 时 , [ f ( x n′
1 证明 ( 1) 必要性 :因 f ( x ) 在区间 I 上非一致连续 , 则存在ε > 0 , 存在数列 x n′ 、 x n″ 0 > 0 ,取δ n =
n
∈I . 当| x n′ - x n″ | <
( 1. 西安联合大学 数学系 ,陕西 西安 710065 ; 2. 陕西省烟草专卖局 ,陕西 西安 710062)
摘 要 :本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论 ,并举例说明其应用 . 这对证明函数的一 致连续性具有一定的指导作用 . 关键词 : 函数 ; 一致连续 ; 定理 中图分类号 :O 174 文献标识码 :A
1
x′ + 2 x″ +2 x″ +2 x ′ x″ x ′ x″ | | + ・ 2| cos |・ | sin | ≤ x′ + 1 x″ +1 x″ +1 2 2
+
1
1
-
1
| x″ - x′ | 1 )・ + (1 + 2 ( x′ + 1) ( x″ + 1) x″ +1
|
1
x′ x″
-
1
|
) 上的一致连续性 . 例2 讨论函数 f ( x ) = ( x + 2) e x 在 [ 1 , + ∞ 解 方法 1 利用定理 2 . ( x ) = 1 , g′ ( x ) 在[1 , + ∞ ) 上有界 , 所以 g ( x ) 在 [ 1 , + ∞ ) 上一致连续 . 设 g ( x ) = x + 3 , 因 g′ ) 上连续 , 且有 lim [ g ( x ) - f ( x ) ] = lim [ ( x + 3 ) - ( x + 2 ) e x ] 函数 f ( x ) = ( x + 2) e x 在 [ 1 , + ∞ x →+ ∞ x →+ ∞ ) 上一致连续 . = lim [ x ( 1 - e x ) + ( 3 - 2e x ) ] = 0 . 则 f ( x ) = ( x + 2) e x 在 [ 1 , + ∞
| x′ - x″ | <δ
x′ , x″ ∈I
( 2) 充分性 :由 lim
δ→ 0
+
| x′ - x″ | <δ
x′ , x″ ∈I
x′ , x″ ∈I
) - f ( x″ ) | = 0 知 , 对任意 ε> 0 , 存在 δ SU P | f ( x′ , x″ ∈I , 只 0 > 0 , 对任何 x′
M M
ε, 其中 c 在 x′ 与 x″ 之间 . 所以 f ( x ) 在区间 I 上一致连续 .
x +2 1 ) 上一致连续 . 例1 设 f ( x) = sin , 证明 f ( x ) 在 [ 1 , + ∞ x +1 x 证明 方法 1 利用定理 1 . ) , | x′ 对任何 x′ , x″ ∈[ 1 , + ∞ - x″ | < δ, ) - f ( x″ )| ≤ | f ( x′ | x′ +2 1 x″ +2 1 x″ +2 1 x″ +2 1 sin sin | + | sin sin | ≤ x′ +1 x ′ x″ +1 x′ x″ +1 x′ x″ +- 05 ) ,男 ,陕西西安人 ,西安联合大学数学系副教授 . 作者简介 : 冉凯 ( 1963 —
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) - g ( x″ ) | < 有| g ( x′
西安联合大学学报
第5卷
ε . 因 此 对 任 何 x′ , x″∈[ a , , + ∞) , x′ , x″> M , | x′- x″ | < δ, 有 3 ) - f ( x″ )| ≤ ) - g ( x′ ) | + | g ( x′ ) - g ( x″ ) | + | g ( x″ ) - f ( x″ ) | <ε, 而 f ( x ) 在闭区间 [ a , | f ( x′ | f ( x′ ) M + 1 ]上一致连续 , 即对上述 ε> 0 , 存在 δ , x″ ∈[ a , M + 1 ] , | x′ - x″ | <δ 2 > 0 , 只要 x′ 2 . 就有 | f ( x ′
) - f 定理 1 若 f ( x ) 在区间 I 上有定义 , 则 f ( x ) 在 I 上一致连续的充要条件是 lim+ SU P | f ( x′
δ→ 0
| x′ - x″ | <δ
x′ , x″ ∈I
( x″ ) | = 0.
证明 ( 1) 必要性 :因 f ( x ) 在区间 I 上一致连续 , 则对任给的ε> 0 , 存在 δ , x″ ∈I , 0 > 0 , 对任何 x ′ ε ε ) - f ( x″ )| < ) - f ( x″ ) | ≤ , 故当 0 < δ < δ 只要| x′ - x″ | <δ , 从而 SU P | f ( x′ 0 , 就有| f ( x ′ 0 时, x′ , x″ ∈I 2 2 δ
2002 年第 4 期 第 5 卷 ( 总 17 期)
西安联合大学学报 Journal of Xi’ an United University
Vol. 5 No. 4 Oct . 2002
文章编号 :10082777X ( 2002) 0420071203
Ξ
关于函数一致连续性证明的几个方法
冉 凯1 ,畅文蔷2
2
7 7 ≤ | x′ - x″ | ≤ δ. 4 4
则
δ→ 0
) - f ( x″ )| =0, lim SU P | f ( x′
| x′ - x″ | <δ
x′ , x″ ∈I
x +2 1 ) 上一致连续 . 所以 f ( x ) = sin 在 [ 1 , + ∞ x +1 x 方法 2 利用定理 3 . x +2 1 x +2 1 x +2 1 ) 上连续 , 且 lim 因为 f ( x ) = sin 在 [ 1 , + ∞ sin = 0 , 所以 f ( x ) = sin 在 x →+ ∞ x + 1 x +1 x x x +1 x ) 上一致连续 . [1 , + ∞
第4期
冉 凯等 : 关于函数一致连续性证明的几个方法
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方法 3 利用定理 5 . 1 1 x +2 1 1 1 ( x) = ) 上 , | f′ ( x) | ≤ f′ sin - 2 cos , 在 [1 + ∞ | sin | + x x x ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 x ( x + 1) x +2 1 1 1 2 7 ( x) 在[1 , + ∞ ) 上有界 , 所以 f ( x ) 在 | cos | ≤ + + 2 = ,即 f ′ 2 x x ( x + 1) 4 ( x + 1) 2 x ( x + 1) x ( x + 1) ) 上一致连续 . [1 , + ∞
| x′ - x″ | <δ
x′ , x″ ∈I
| x′ - x″ | <δ
x′ , x″ ∈I
致连续 .
) 上连续 , g ( x ) 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且 lim [ g ( x ) - f ( x ) ] = 0 , 则 定理 2 设 f ( x ) 在[ a , + ∞
| x′ - x″ | <
x′ , x″ ∈I | x′ - x″ | <δ
) - f ( x″ ) | ≤ SU P | f ( x′ ) - f ( x″ ) | ≤ <ε SU P | f ( x′ . 所以 x′ , x″ ∈I 2
| x′ - x″ | <δ
+ δ→ 0
ε
) - f ( x″ ) | = 0. lim SU P | f ( x′
x →+ ∞
) 证明 因为 lim f ( x ) = A , 则对任给的 ε> 0 , 存在正数 M > a , 只要 x′ , x″ > M , 就有 | f ( x′
x →+ ∞
) | <ε f ( x″ . 又因为 f ( x ) 在 [ a , M + 1 ]上连续 , 则 f ( x ) 在 [ a , M + 1 ] 上一致连续 , 即对上述 ε> 0 , 存在
). 0 ( n →∞
1
n
) - f ( x n″ )| ≥ ε ) = 0 时 , [ f ( x n′ ) - f ( x n″ )]Ξ 时 , 有| f ( x n′ - x n″ 0 , 即当 lim ( x n′
n →∞
( 2) 充分性 : 若 f ( x ) 在区间 I 上一致连续 , 则对任给的 ε > 0 , 存在 δ > 0 , 对任意 x′ , x″ ∈I , 只要 ) - f ( x″ ) | <ε ) = 0 , 则对上述 δ> 0 , 存在 N ∈ | x′ - x″ | < δ, 就有| f ( x′ . 又因为 lim ( x n′ - x n″ / N , 对任