函数一致连续的若干方法

论函数的一致连续摘要：在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题提出和得不够，广大数学爱好者很难对其有全面清晰的认识.为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一致连续的条件、运算性质。

关键词：函数一致连续概念条件运算性质1.一致连续及其相关概念定义1设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上连续是指，某∈I，ε＞0，δ＞0，当某∈I且某-某＜δ时，有f（某）-f （某）＜ε.定义2设f（某）在区间I上有定义，称函数f（某）在区间I上一致连续是指，对ε＞0，δ＞0（其中δ与ε对应而与某，y无关），使得对区间I上任意两点某，y，只要某-y＜δ，就有f（某）-f（y）＜ε.定义3设f（某）在区间I有定义，称函数f（某）在区间I上不一致连续是指，至少一个ε＞0，对δ＞0，都可以找到某′，某″∈I，满足|某′-某″|＜δ，但|f（某′）-f（某″）|≥ε.评注1：比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知，连续性的δ不仅与ε有关，而且与某有关，即对于不同的某，一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每一点处都连续，函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关，与某无关，即对于不同的某，δ是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这一区间上的每一点处都连续，而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的，反之，在I上连续的函数在该I上不一定是一致连续的.评注2：一致连续的实质，就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差（就绝对值来说）可以任意小.用定义证明f（某）在I上一致连续，通常的方法是设法证明f（某）在I上满足Lipchitz条件|f（某′）-f（某″）|≤L|某′-某″|，某′，某″∈I，其中L为某一常数，此条件必成立.特别地，若（某）在I上是有界函数，则f（某）在I上Lipchitz条件成立.2.一致连续的条件及有关结论2.1一致连续的条件定理1（G•康托定理）若函数f（某）在区间［a，b］上连续，则它在这个区间上也是一致连续的.证明要证的是对于任意给定了的ε＞0，可以分区间［a，b］成有限多个小段，使得f（某）在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε，以下用反证法证之，若上述事实不成立，则至少对于某一个某＞0而言，区间［a，b］不能按上述要求分成有限多个小段.将［a，b］二等分为［a，c］、［c，b］，则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，把它记为［a，b］.再将［a，b］二等分为［a，b］、［c，b］，依同样的方法取定其一，记为［a，b］.如此继续下去，就得到一个闭区间套［a，b］，n=1，2，…，由区间套定理知，唯一的点c属于所有这些闭区间.因为c∈［a，b］，所以f（某）在点某=c连续，于是可找到δ＞0，使|某-c|＜δ（某∈［a，b］）时，|f（某）-f（c）|＜ε/2.注意到c==我们可取充分大的k，使|a-c|＜δ，|b-c|＜δ，从而对于［a，b］上任意点某，都有|某-c|＜δ，因此，对于［a，b］上的任意两点某，某都有|f（某）-f（某）|≤|f（某）-f（c）+f（c）-f（某）|＜+=ε.这表明［a，b］能按要求那样分为有限多个小段（其实在整个［a，b］上任意两点的函数值之差已小于ε了），这是和区间［a，b］的定义矛盾的，这个矛盾表明我们在开始时所作的反证假设是不正确的，从而定理的结论正确.评注3：定理1对开区间不成立.例如函数f（某）=在（0，1）的每一个点都连续，但在该区间并不一致连续.事实上，对于任意小的δ＞0，令某=δ，某=2δ，则|某-某|=δ，而|f（某）-f（某）|=-=，这时|某-某|可以任意小，但|f（某）-f（某）|可以任意大.函数f（某）=tan某在（-，）也有类似的情形.以上两例讨论的都是无界函数，而in在（0，1）内的每一点都连续，且显然在这个区间内有界，然而它也没有一致连续性，因为有任意小（因而也就彼此任意接近）的数某与某存在，使in=1，in=-1.定理2f（某）在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足（某-y）=0的任意两数列{某}、{y}，必有［f（某）-f（y）］=0.证明：必要性.若f（某）在I上一致连续，由一致连续性的定义，坌ε＞0，埚δ＞0，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|＜ε，即任两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，则必有|f（某）-f（y）|→0.充分性.用反证法，若两数列{某}、{y}，当n→∞时，|某-y|→0，|f（某）-f（y）|→0而f（某）在I上不一致连续，那么一定埚ε＞0，对坌δ＞0，存在某，y，当|某-y|＜δ时，|f（某）-f（y）|≥ε0，取δ→0，我们得到两数列{某}、{y}，当n→∞时，某-y→0，但|f（某）-f（y）|≥ε，这与假设［f（某）-f（y）］=0矛盾.评注4：定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的.例如，函数f（某）=in，在区间（0，1）上是连续的且有界，但在此区间上并非一致连续.事实上，当某≠0时，由基本初等函数在其有定义的区间上连续知，f（某）是连续的，同时，由于|f（某）|≤1，因而它也是有界的.现考虑（0，1）上的两串数列某=，某′=，则当0＜ε＜1时，不论δ＞0取得多么小，只要n充分大，总可以使|某-某′|=＜δ，但是|f（某）-f（某′）|=1＞ε，因而f（某）在（0，1）上并非一致连续.定理3设f（某）在有限区间I上有定义，那么f（某）在I上一致连续的充要条件是对任意柯西（Cauchy）列{某}I，{f（某）}R′也是Cauchy列.证明：必要性.因f（某）一致连续，即对ε＞0，δ＞0，对某′，某″∈I，只要|某′-某″|＜δ，就有|f（某′）-f（某″）|＜ε.设{某}I为Cauchy列，于是对上面的δ＞0，必N＞0，使当n，m＞N时，有|f（某）-f（某）|＜ε，即{f（某）}是Cauchy列.充分性.若不然，必ε＞0，某′，某″∈I，虽然某′-某″＜，但是|f（某′）-f（某″）|≥ε，由{某′}有界知，存在收剑子列{某′}，从而{某″}也收剑于同一点，显然某″，某″，某″，…，是Cauchy列，但是f（某″），f（某″），f（某″），…，不是Cauchy列，此为矛盾，故f（某）在I上一致连续.定理4设f（某）在有限区间（a，b）上连续，则f（某）在（a，b）上一致连续的充要条件是f（a+0）、f（b-0）存在且有限.证明：充分性.令F（某）=f（a+0）（某=a），f（某）（某∈（a，b）），f（b-0）（某=b），则F（某）∈C［a，b］，因此F（某）在［a，b］上一致连续，从而f（某）在（a，b）上一致连续.必要性.已知f（某）在（a，b）上一致连续，所以对于ε＞0，δ＞0，当某′，某″∈（a，b）且|某′-某″|＜δ时，|f（某′）-f （某″）|＜ε成立.对端点a，当某′，某″满足0＜某′-a＜，0＜某″-a＜时，就有|某′-某″|≤|某′-a|+|某″-a|＜δ，于是|f（某′）-f（某″）|＜ε.由Cauchy收敛准则，f（a+0）存在且有限，同理可证f（b-0）存在且有限.评注5：（1）当（a，b）为无穷区间，本例中条件是f（某）在（a，b）上一致连续条件充分但不必要.例如f（某）=某，Φ（某）=in某，某∈（-∞，+∞）及g（某）=，某∈（0，+∞）均为所给区间上的一致连续函数，但f（-∞）=-∞，f（+∞）=g（+∞）=+∞，Φ（+∞）和Φ（-∞）不存在.（2）定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如，研究下列函数在所示区间上的一致连续性.（i）f（某）=（0＜某＜π）;（ii）f（某）=eco（0＜某＜1）.解：（i）因为=1，=0，所以f（某）在（0，π）内一致连续.（ii）因为co某不存在，所以f（某）在（0，1）内不一致连续.（3）由定理知，若f（某）∈C（a，b），则f（某）可连续延拓到［a，b］上的充要条件是f（某）在（a，b）上一致连续.定理5f（某）在区间I上一致连续的充要条件是，对ε＞0及某，y∈I，总正数N，使|f（某）-f（y）|＞N|某-y|（1）.恒有|f（某）-f （y）|＜ε（2）.证明：因为f（某）在I上一致连续的定义等价于：对坌ε＞0，埚δ＞0，使得对于坌某，y∈I，如果|f（某）-f（y）|≥ε（3），就有|某-y|≥δ.而题设条件为对ε＞0，N＞0，对某，y∈I，当不等式（3）成立时，|f（某）-f（y）|≤N|某-y|（4）充分性.若题设中条件成立，则由（4）式得|某-y|≥|f（某）-f（y）|，再由（3）式得|某-y|≥，所以对给定的ε＞0，只要取δ=，当某，y∈I，且满足（3）时，就有|某-y|≥δ成立.必要性.若f（某）在I上一致连续，则对任给的ε＞0，存在δ＞0，使当某，y∈I，且满足不等式（3）时，就有不等式|某-y|≥δ成立，故整数k，使得kδ≤|某-y|≤（k+1）δ.（5）不妨设某＜y，将［某，y］分成k+1等分，记某-1（i=1，…，k+1）为其分点，由（5）式知|某-某|=||＜δ，故|f（某）-f（某）|＜ε，i=1，2，…，k+1，||≤|f（某）-f（某）|/kδ＜＜令N=［］+1，则当I中的点某，y使（3）式成立时，必有（4）式成立，从而（1）式成立时，有（2）式成立.评注6：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范，它在理论研究上具有一定的意义.2.2一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题.命题1：设Φ（某）与ψ（某）在区间I上一致连续，则αΦ（某）+βψ（某）在I上一致连续（α，β为任意常数）.命题2：设Φ（某），ψ（某）在有限区间I上一致连续，那么ψ（某）ψ（某）在I上也一致连续.命题3：设Φ（某），ψ（某）在无限区间I上一致连续且有界，那么Φ（某）ψ（某）在I上也一致连续.其中“有界”的条件不可少，例如f（某）=某在（-∞，+∞）上一致连续，但无界，而f（某）•f（某）=某在（-∞，+∞）上不一致连续.命题4设Φ（某）在区间I上一致连续且infF（某）＞0，那么在I 上也一致连续.最后应指出，一致连续函数的反函数，一般说来，不再一致连续，例如f（某）=在（0，+∞）上一致连续而它的反函数f（某）=某在（0，+∞）内不一致连续，但可以证明在有限区间上，结论为真.。

无穷区间上连续函数一致连续的判定众所周知，函数的连续性是建立在点上的。

即使几是函数在区间切连续性，也是建立在点上的。

因此函数的连续性是一个局部性的概念，而函数的一致连续性才反映了函数在 整个区间上的整休性质。

一般来说，只有闭区间〔a,b 〕上的连续函数才具有一致连续的性 质，(Cantol 定理)而对于其他类型的区间，函数在其上连续一般不能导致函数在其上一 致连续。

譬如函数()sinf x xπ=在区(0,1)内连续，但在(0,1)内却非一致连续，这样的例子可以举出很多。

因此，讨论连续函数的一致连续性也就成了“数学分析”中 一个很重要的问题。

显然在某个区间上连续的函数自然就可尽分为两大类:一类是非一 致连续的，另一类是一致连续的。

在多数“数学分析”教材中对有限区间上连续函数的 一致连续性讨论得较多，对无穷区间上连续函数的一致连续性的判定虽然也进行过一些 讨论，但大多是关于它的充分判别法，而对它的充分必要条件谈及甚少。

本文给出判定连续函数在无穷区间上一致连续的一个新的充分必要条件。

用它可以 判定一系列连续函数在无穷区问上一致连续的问题，有时比使用定义或其他充分条件要 方便得多，定理1:设函数f(x)在区间〔a ，∞)(a 为任意实数)上连续，则函数f(x)在区间〔a ，+ ∞)上一致连续的充分必要条件是在〔a ，+ ∞)上存在一个一致连续的函数g(x)，使得: lim (()())0x f x g x →+∞-=证 必要性:因为函数f(x)于〔a ，+ ∞)上一致连续，所以，就选g(x)=f(x), 即找到了一个于〔a ，+ ∞)上一致连续的函数g(x)，并且满足:lim (()())lim (()())0x x f x g x f x f x →+∞→+∞-=-=，充分性:由于在〔a ，+ ∞),)内存在一个一致连续的函数g(x)使得:lim (()())0x f x g x →+∞-=则对任意给定的正数ε，总存在一个常数M>0，使得对于适合不等式x>M 的一切x ， 总有()()6f xg x ε-<因为函数f(x)在〔a ，+∞)上连续，从而在有限区间〔a ，M 〕上连续，由康托 (Cantor)定理，函数f(x)必在〔a ，M 〕上一致连续，从而对上述ε>0，总存在1()0δε>，使得对于区间〔a ，M 〕内的任意两点: 12,x x 当121()x x δε-<时，总有21()()2f x f x ε-<()0,()0z g x d s εε∞>>∞又因函数在区间（a,+）上一致连续，从而对于给定的总存在一个时，使得对于(a,+)1212212,,(),x x x x x M x M δε-<>>内任意两点当且21()()6g x g x ε-<21222111222111()()()()()()()()()()()()()()6662f x f x f xg x g x g x g x f x f x g x g x g x g x f x εεεε-=-+-+-≤-+-+-<++=从而有21()()2f x f x ε-<即1212121122(,),(,),,,x a M x M x x M x x M δδεδεδδδεδδε∈∈+∞-<-<<-<<如果任意的取=min((),()),只要必有()()从而有212121()()()()()()()()()()22f x f x f x f M f M f x f x f M f M f x εεε-=-+-≤-+-<+=211221min((),()),()()x x f x f x δδεδεε-<=-<即只要就有不等式：综合上述:对于任意给定的ε>0，总存在一个δ>0，使得对于区间〔a,+ ∞)上 的任意两点1x ，2x .只要 21x x -<δ就有不等式:21()()f x f x ε-<根据函数一致连续的定义，f(x)在〔a ，+∞)_上一致连续。

函数一致连续性的判别一.函数一致连续性的定义1.函数一致连续性的概念定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。

例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

证 ：,0>∀ε由于'''')''()(x x a x f x f -=-，取δ=aε，则对任何),(,'''+∞-∞∈x x ，只要δ<-'''x x ，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

例2. 证明：函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。

证 ： （1）,0>∀ε由于'''2'''''''''''111)''()(x x a xx x x x x x f x f -≤-=-=-，取εδ2a =，则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ<-'''x x 时，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数xx f 1)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∃>∀>=∃δδε10,0210n ，取11'+=n x ，(]1,01'',11'∈=+=n x n x ，虽然有 ,1)1(11112'''δ<<+<-+=-nn n n n x x 但211)1()(0'''=>=-+<-εn n x x f ，故函数xx f 1)(=在区间(]1,0上非一致连续。

一、选题的目的和意义：在学习数学分析时，总是很难理解概念和公式的意义，常常只要求自己记住会用就行。

学习函数的连续性和一致连续性时也有同样的情况，然而我们研究本课题的目的就是通过所学的知识，将课堂知识转化为实用的报告，让自己学会分析，提高自己的综合能力，将充实的内容与完美的外在形式的有机结合，本文给出5种函数一致连续性的证明，同时讨论其的应用。

函数的一致连续性是数学分析中的一个重要的概念，它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的参数积分，函数项积分等概念有着密切的联系。

因此，找出函数一致连续的条件是数学分析中一个重要的内容。

然而，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵和条件有更全面的理解和认识。

二、国内外研究现状简述：连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，一致连续函数又是从连续函数的概念派生出来的。

而函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今，回顾函数概念的历史发展，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。

19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义。

十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。

这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。

牛顿于1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系。

国内是主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。

不同类型区间上函数一致连续性的判别法上海财经大学数学系 潘澍原摘要：本文对各种不同类型区间上函数一致连续性的判定方法进行了详尽的证明，并加以系统的总结，指出了函数的收敛性和导数有界性与函数的一致收敛性的紧密联系。

关键词：一致连续、区间、收敛、导数、有界函数的一致连续性一直是数学分析学习中的难点，学生在学习过程中常遇到一些困难，特别是在不同区间上函数一致连续性的判定方面，问题尤多。

笔者以此文加以总结分析，以期效用。

（一）闭区间定理1.（Cantor 定理）函数()f x 在[],a b 上一致连续的充分必要条件是()f x 在[],a b 上连续。

证明：必要性显然。

下证充分性。

证法Ⅰ：用Weirerstrass 定理反证。

可参见《数学分析》（上册）P112（复旦陈纪修等著，高等教育出版社出版） 证法Ⅱ：用有限覆盖定理。

[],∀∈x a b ，任取某一0δ>，做邻域,2δ⎛⎫ ⎪⎝⎭O x显然，开区间集[],|,2δ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭O x x a b 覆盖了[],a b 由有限覆盖定理，[],|,2δ⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭O x x a b 中的有限个开区间：1212,,,,222n n O x O x O x δδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…覆盖了[],a b ，即[],1,2δ=⎛⎫⊃ ⎪⎝⎭nii i O x a b []',",∀∈x x a b ,必有()001i N i n +∈≤≤使得00',2i i x O x δ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即000'2i i i x x δδ-<<今取12n =min ,222…δδδδ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ , 若'"δ-<x x则00"''"222iiii i i x x x x x x δδδδδ-≤-+-<+≤+=∵()f x 在点[]0,i x a b ∈上连续∴由Cauchy 收敛准则，0,ε∀>∃上述的()00,',",i i i x x O x δδ>∀∈有(')(")f x f x ε-<成立∴[]()0,0,',",'"x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-< 有(')(")f x f x ε-<成立 ∴()f x 在[],a b 上一致连续证毕注1.有限覆盖定理在分析中用途极广，是重要的工具，应尽量掌握其思想和一般的构造方法。

第三讲 连续与一致连续一、 知识结构1、 函数连续的概念和定义函数连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，并且函数)(x f 的图象是连续不断的，我们称函数)(x f 在区间I 上连续.(1) 函数)(x f 在点0x 连续的相关定义定义1 设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，如果)()(lim 00x f x f x x =→，则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =→.定义1′设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续.定义 2 设函数)(x f 定义在);(δ0x U +内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤00x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =+→.定义 3 设函数)(x f 定义在);(δ0x U -内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤x x 00时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点左连续. 记作)()(lim 0_x f x f x x =→.(2) 函数)(x f 在区间I 上连续定义 1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义1′固定),(0b a x ∈, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义 2 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续, 则我们称函数)(x f 在区间],(b a 连续.定义 3 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间),[b a 连续.定义 4 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续、点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间],[b a 上连续.2、 函数一致连续的概念和定义函数一致连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，函数)(x f 的图象是连续不断的，并且函数)(x f 的图象没有铅直的渐进线，我们称函数)(x f 在区间I 上一致连续.例如，函数xx f 1=)(在区间),(10内连续，但不一致连续. 定义1对),(0b a x ∈∀, 0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内一致连续.定义1′设函数)(x f y =在区间()b a ,上有定义，x x ''',是区间()b a ,内的任意一点, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ,则我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续.说明: 对给定的0>ε, 由于区间()b a ,内的点对x x ''',有无穷多个, 所以对每一对x x ''',均存在一个δ, 进而有无穷多个δ, 无穷多个δ中有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续. 无穷多个δ中没有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上不一致连续.定理 1 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一致连续.说明: 如果函数)(x f 在开区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在开区间()b a ,内不一定一致连续.3、 函数)(x f 的间断点（不连续点）定义1 如果)()(lim 00x f x f x x ≠→，我们称函数在点0x 间断.(1) 第一类间断点定义2 如果极限)(lim x f x x 0→存在，但不等于)(0x f ，我们称点0x 为函数的可去间断点.定义2 如果极限)(lim x f x x +→0与)(lim x f x x -→0都存在但不相等，我们称点0x 为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.(2) 第二类间断点非第一类间断点称为第二类间断点，即)(lim x f x x 0→不存在，或)(lim x f x x +→0不存在，或)(lim x f x x -→0不存在，具体情况如下：①∞=→)(lim 0x f x x ；②∞=→)(lim 0x f x x 趋向于两个以上的数；③∞=+→)(lim 0x f x x ；④)(lim x f x x +→0趋向于两个以上的数；⑤∞=-→)(lim 0x f x x ；⑥)(lim x f x x -→0趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=为无理数时，当为有理数时，，当x x x D 01)(定义域()+∞∞-,上的任意一点为第二类间断点. 因为⎩⎨⎧=→为无理数时当为有理数时当x x x D x x ,0,,1)(lim 0,所以)(lim 0x D x x →不存在. 再例如,对函数x 1sin,00=x 是函数的第二类间断点. 因为x x x 10sinlim +→不存在(x x sin lim +∞→不存在前面已证).连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上. 二、解证题方法 1、连续 例1(天津大学2006年)证明:函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续(用δε-语言证明).证明因为)(624212424322+-=--+--x x x x x x , 对0>∀ε, 存在{}118,min εδ=, 当δ<-4x 时, 有ε≤-≤+-=--+--184624212424322x x x x x x x )(, 所以函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续.例2 (天津大学2005年)证明: 函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续(用δε-语言证明).证明 因为0==→ππn x nx sin sin lim , R x ∈, 所以, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-n x 时，有επ<-0x sin . 又因x x f πsin )(≤, R x ∈, 所以ε<-0)(x f . 故函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续.例3 (复旦大学2002年)证明函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续. 证明 取n x n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为,)()(1=-=-nn nn n n y x x y y f x f 所以, 存在10=ε,对所有0>δ,当δ<-n n y x 时, 有,)()(1≥-=-nn n n n n y x x y y f x f 故函数x x f 1=)(在区间],(10上不一致连续.证法 2 取n x n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而1=-∞→)()(lim n n n y f x f ,所以函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续.例4(中北大学2005年)证明函数xx x x f 112sin )(++=在区间),(10内不一致连续, 在],[21与),[+∞2上均一致连续.证明 取πn x n 21=,221ππ+=n y n , ,,,321=n ,则),(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而224228=++++=-∞→∞→ππππn n y f x f n n n n lim )()(lim ,所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间),(10上不一致连续.由于函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[21上连续, 所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[21上一致连续.由于函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[12+A 上连续, 所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[12+A (2>A )上一致连续.因为0112=++=+∞→+∞→xx x x f x x sin lim )(lim ,对2>A ,当A x x >''',时,有ε<''-')()(x f x f . 进而函数xx x x f 112sin )(++=在区间),[+∞A (2>A )上一致连续.例5 (北京工业大学2005年)设)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数，试证明{})(),(max )(x g x f x F =为区间()b a ,上的连续函数.证明 因为{}[])()()()()(),(max )(x g x f x g x f x g x f x F -++==21， 所以只要证明)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数即可.对()b a x ,∈∀0,由于)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数, 所以,对>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,ε<-)()(0x g x g .又因ε20000<-+-≤---)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f ,所以)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,其值域为[])(),(b f a f ,证明)(x f 在],[b a 上连续.证明 因为函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,所以函数)(x f 在],[b a 上任意一点的极限都存在.如果函数)(x f 在],[b a 上不连续,则函数)(x f 在],[b a 上存在间断点0x ,如果a x =0,则00>-+)()(a f a f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(0+a f a f 上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果b x =0,则00<--)()(b f b f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(b f b f 0-上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果()b a x ,∈0，则不等式0000<--)()(x f x f 及0000>-+)()(x f x f 至少有一个成立,不妨设0000<--)()(x f x f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(000x f x f -上的值, 这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 故函数)(x f 在],[b a 上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程)()()(y f x f y x f =+的惟一不恒为零的连续函数是指数函数()+∞∞-∈=,,)(x a x f x,其中01>=)(f a .分析:要说明函数)(x f 是指数函数xa ,应证明①0>)(x f ;②[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数;③01>=)(f a .证明首先证明①>)(x f .因为222222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x f x f x x f x f )(,又因为0000≠==-⋅)()()()()(x f x f f x f x f (因为)(x f 在()+∞∞-,上不恒为零,所以存在()+∞∞-∈,0x ,使00≠)(x f ).所以0≠)(x f ,进而0>)(x f .其次证明[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数.a) 当0=c 时, 由)()()(0000f x f x f =≠得10=)(f 得10=)(f . b) 当nc =,n为正整数时,[]n n nx f x f x f x x f nx f )()()()(==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= . c) 当nmc =,m n ,为正整数时,mm m n x f n x f n x f n x n x f x n m f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,又因为nn n n x f n x f n x f n x n x f x n n f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,所以[]n x f n x f 1)(=⎪⎭⎫⎝⎛.进而()[]n mx f x n m f =⎪⎭⎫⎝⎛. d) 当nmc -=,m n ,为正整数时, ()[][]n m nm nm n m x f x f x f f x f x n m f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-)()()()(10, e) 当c 为无理数时,有有理数列{}n c ,使得c c n n =∞→lim .因函数)(x f 连续,所以[][][]c c c n n n x f x f x f x c f cx f n n n )(lim )()(lim )(lim )(====∞→∞→∞→. 最后证明01>=)(f a .因为0>)(x f ,所以01>=)(f a .例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调函数，定义)()(0+=x f x g .证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.分析：不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.要证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续，只要证明对任意一点R x ∈0，0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有ε<-≤)()(00x g x g .证明 不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.设0x 是区间()+∞∞-=,R 上的任意一点, 因为)0()(00+=x f x g ,即()00)(lim )0(0x g x f x f x x ==++→,所以,对0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有εδ<-+)()(00x g x f ,即εδε<-+<-)()(00x g x f .εδδ<-+=-+)()()()(0000x g x f x g x f ,又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数, 所以)()()(δ+≤+=00x f x f x g ,故ε<-)()(0x g x g .又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数,所以())()()(x g x f x f x g =+≤+=0000,进而ε<-)()(0x g x g .所以函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.例9(中北大学2005年)设函数()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=<-=,0,41ln 1,0,6,0,arcsin arctan )(23x x x ax x e x x xx ax x f ax 问:(1)a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续;(2) a 为何值时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.解 (1) 因为()()212203030113lim arcsin lim arcsin arctan lim -→→→--=-=----xax x x ax x x ax x x x()()()a xa xx ax xx ax x x x 616lim16lim13lim2320232023220-=--=--=--=-→-→-→---,41lim 41ln 1lim 2020x x ax x e x x ax x e ax x ax x ⋅--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++→→42212lim 212lim 2200+=+=-+=++→→a e a x a x ae ax x ax x ,所以,当64262=+=-a a 时,即1-=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续.(2)当66422≠-=+a a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.即2-=a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.例10设函数()2222220,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩,试讨论(,)f x y 在点()0,0的连续性、偏导数存在性、可微性. 解 （1）连续性 因为()()()()()22,0,0,0,0lim(,)lim sin 0(0,0)x y x y f x y x y f →→⎡⎤=+==⎢⎢⎣，所以(,)f x y 在点()0,0连续.（2）偏导数存在性 因为()()()()()xxx xf x f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim )0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sinlim 0,0,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆∆x x y x ，()()()()()yyy yf y f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim )0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sinlim 0,0,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=→∆∆y y y x ， 所以)0,0(x f 与)0,0(y f 均存在，且都等于零. （3）可微性 因为ρρdff -∆→0lim()()[]()()[]ρρdy f dx f f y x f y x 0,00,00,00,0lim+--∆+∆+=→()()ρρ001sin lim 22220+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+∆∆+∆→y x y x 01sin lim 1sinlim 0220=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆→→ρρρρρy x ， 所以()f df o ρ∆-=，进而函数(,)f x y 在点()0,0可微. 练习[1] (电子科技大学2005年)设函数)(x f 定义在()b a ,上,()b a c ,∈,又设)(x H 和)(x G 分别在),[],,(b c c a 上连续且在),(c a 和()b c ,内是)(x f 的原函数.令⎩⎨⎧<≤+<<=bx c C x G c x a x H x F ,)(,),()(0,其中选择0C 使)(x F 在c x =处连续,就下列情况,回答)(x F 是否是)(x f 在()b a ,上的原函数.(1))(x f 在c x =处连续;(2) c x =是)(x f 的第一类间断点; (3) c x =是)(x f 的第二类间断点. 解(1)当)(x f 在cx =处连续时,因为)()(lim )(lim )()(lim)(c f x f x F cx c F x F c F c x c x c x =='=--='→→→,所以)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数.(2)因为 c x =是)(x f 的第一类间断点,且)(x F 在c x =处连续, 所以)()(lim )(lim c f x f x f c x cx ≠==+→→或)(lim )(lim x f x f cx cx =+→→≠.当)()(lim )(lim c f x f x f cx c x ≠==+→→时,由)(lim )(lim )()(lim )(x f x F c x c F x F c F c x c x c x +++→→→+='=--='得,)()(lim )(c f x f c F cx ≠='+→+,所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.当)(lim )(lim x f x f cx cx =+→→≠时, )(c f 不存在,即)()(c f c F ≠'.所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.(3)不能判断.例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=--.,,,sin sin )(0001121x x xnx x nx x f n n 当21,=n 时,0=x 是)(x f 的第二类间断点,取⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,,,,sin )(0001x x xx x F n当2=n 时,)(sin lim )()(lim)(00100000f xx x F x F F x x ===--='→→,故)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数. 当1=n 时,)(sin lim )()(lim)(00100000f xx F x F F x x =≠=--='→→,故)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.[2] (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.证明 不妨设函数)(x f 是单调增函数,并且设()b a x ,∈0是函数)(x f 的间断点.因为())()(lim 0000x f x f x f x x ≤=--→,())()(lim 0000x f x f x f x x ≥=++→,并且函数在0x 不连续,所以不等式())(000x f x f ≤-,())(000x f x f ≥+至少有一个取>或<号,所以0x 是跳跃间断点,即区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.[3](上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:()10=R ,⎪⎩⎪⎨⎧==为无理数，互质x q p qpx qx R 0),(,)(1(1≤≤x 0), 证明)(x R 在区间],[10上的无理点处连续,而在区间],[10上的有理点处不连续.证明 设0x 是区间],[10上的任意一个有理点,则在区间()δδ+-00x x ,内一定存在无理点x '(根据无理数的稠密性),对我们只要取01>≥εq,使得ε≥=-'qx R x R 10)()(.所以)(x R 在区间],[10上的有理点处不连续. 设0x 是区间],[10上的任意一个无理点,我们只要证明: 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<≤-=-qx R x R x R 100)()()(即可.因为ε≥q1的q 值有有限个,不妨设为m x x x ,,, 21.令{}001x x x x k k mk ≠-=≤≤,min δ,当δ<-0x x 时，有ε<≤-=-qx R x R x R 100)()()(.即)(x R 在区间],[10上的无理点处连续.[4] (南京理工大学2004年)设函数)(x f 在],[b a 上连续,且在],[b a 上的任意有理点为0,证明函数)(x f 在],[b a 上恒为零.证明 设0x 为],[b a 上的任意一点,当0x 为有理点时,0=)(x f .当0x 为无理点时,存在有理数列{}].[b a x n ⊂,使0x x n n =∞→lim .故000===∞→∞→lim )(lim )(n n n x f x f ,进而函数)(x f 在],[b a 上恒为零.[5] (江苏大学2004年)设)(x f 在],[b a 上连续,又有{}].[b a x n ⊂,使得A x f n n =∞→)(lim ,证明:存在],[b a x ∈0,使得A x f =)(0.证明 因为{}].[b a x n ⊂，由致密性定理，{}n x 存在收敛的子列{}k n x ，使0x x k k n n =∞→lim .又因)(x f 在],[b a 上连续, 故A x f x f k k n n ==∞→)(lim )(0.[6]( 上海交通大学2003年)设定义在实数集R 上的函数)(x f 在10,=x两点处连续，且对任意的R x ∈有)()(x f x f =2，证明：)(x f 为常函数.证明 对0>∀x ，由)()(x f x f =2得，N n x f x f n∈=),()(21.因为121=∞→nx n lim ,并且在1=x 点处连续,所以)()(lim )(lim )(121f x f x f x f nn n ===∞→∞→.又)(x f 在0=x 点处连续,所以)()(lim )(100f x f f x ==+→.又因R x f x f x f ∈==),()()(12,所以)(x f 为常函数.[7](陕西师范大学2003年)设)(x f 在R 上有定义且恒不为零,)(0f '存在,且对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f =+,求)(),(x f x f '.解 因为)()()(00f x f x f =+,并且)(x f 在R 上恒不为零,所以10=)(f .由)(0f '存在,则)(x f 在点0连续.设对R x ∈∀0,因1000000--=--=-)()()()()()()(x x f x f x f x x f x f x f x f ,所以[]010100000=-=--=-→→)()()()(lim )()(lim f x f x x f x f x f x f x x x x ,故函数)(x f 在R 上连续.对任意的有理数x ,有[]xf x f )()(1=,对任意的无理数x ,存在有理数列{}n x ,使得x x n n =∞→lim .进而[][]xxn n n f f x f x f n )()(lim )(lim )(11===∞→∞→.所以[]xf x f )()(1=.所以[]{}[])(ln )()()(1111f f x f x f x x⋅='='-.[8](中北大学2005年)设)(x f 在R 上有定义,且0=-∞→)(lim x f x ,1=+∞→)(lim x f x ,在区间()10,上定义函数{}x t f t x g >=)(inf )(,证明:函数)(x g 右连续.证明 对()100,∈∀x ,{}00x t f t x g >=)(inf )(,所以对0>∀ε,存在()()+∞∞-∈,εt ,当0x t f >))((ε,有εε<-≤)()(00x g t .因为{}()εt x t f t x g ≤>=)(inf )(,所以ε<-)()(0x g x g ,())((,εt f x x 0∈，即函数)(x g 右连续.[9]（中北大学2005年）证明: (1)函数xx x x f 112sin )(++=在()10,内不一致连续，(2) 函数x x x x f 112sin )(++=在],[21与),[+∞2上均一致连续. 证明 (1)取πn x n 21=，221ππ+=n y n ,则()10,,∈n n y x .因为()022*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-∞→∞→∞→πππππππn n n n y x n n nn n lim lim lim , 而)()(lim n n n y f x f -∞→()122sin 2212222sin 2122lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=∞→πππππππππn n n n n n n , 所以函数x x f 1sin)(=在()10,内不一致连续. (2)因为x x x x f 112sin )(++=在],[21上连续,所以xx x x f 112sin )(++=在],[21上一致连续.因为01sin 12lim )(lim =⎪⎭⎫⎝⎛++=+∞→+∞→x x xx f x x ,所以,对0>∀ε,存在2>X ,当X x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f ，即xx x x f 112sin )(++=在),[+∞+1X 上连续（当),[,+∞+∈'''1X x x 时，显然有δ<''-'x x 时，ε<''-')()(x f x f ）.因为xx x x f 112sin )(++=在],[12+X 上连续,所以xx x x f 112sin )(++=在],[12+X 上一致连续. [10]（复旦大学2002年、汕头大学2003年、中北大学2005、浙江师范大学2003年）证明:函数xx f 1sin)(=在],(10内不一致连续. 证明 取πn x n 21=，221ππ+=n y n ,则],(,10∈n n y x .因为()022*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-∞→∞→∞→πππππππn n n n y x n n nn n lim lim lim ,而()1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∞→∞→πππn n y f x f n n n n sin sin lim )()(lim ,所以函数xx f 1sin )(=在],(10内不一致连续.。