函数的一致连续性

第5讲 函数一致连续概念和康托尔定理【点评】函数的“一致连续性”(或“均匀连续性”)是初学者学习微积分的难点。

在一元函数微积分中，讲函数的一致连续概念和康托尔定理是为了证明闭区间上连续函数的可积性。

除数学专业外，其它专业用的微积分教科书中，很少有教科书讲到这些内容，因为这些教科书中都是让学生记住“闭区间上连续函数是可积的”这个结论，而没有给出这个结论的证明。

读者已经知道，函数)(x f 在点0x 是连续的，用“δε-”的话说，就是满足条件：“任意给定正数ε，都有正数0(,)x δδε=，使当||x δ∆≤时，00()()f x x f x ε+∆-≤” 这里的),(0εδδx =(*)不仅与ε有关，而且一般说与点0x 也有关。

例如函数)0(1)(+∞<<=x xx f (见右图) 它在每一点),0(0+∞∈x 都是连续的。

事实上，不妨认为02x x ≥，则||211)()(0200000x x x xx x x x x x f x f -≤-=-=- 因此，对于任意给定的正数ε，只要取正数⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εδ2,2min 20xx ，则当0||x x δ-≤时，就有εεδ=⋅≤<-≤-222||2)()(220200200x x x x x x x f x f可见，对于给定的正数ε，0x 越靠近原点O ，能使000()()()f x f x x x x εδδ-≤-≤≤+成立的正数),(0x εδδ=就应当越小；而且不可能有一个与),0(0+∞∈x 无关的正数)(εδδ=，对所有的),0(0+∞∈x 都能成立000()()()f x f x x x x εδδ-≤-≤≤+这就是说，满足连续条件的那个正数),(0x εδδ=，关于所有的),0(0+∞∈x 的“步调”是不一致的，或者说函数()1f x x =在区间),0(+∞内的连续性是不均匀的．．．．。

函数在区间上的“一致连续性”是近代微积分中的重要概念之一，也是初学者学习微积分的难点之一。

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州121000中国）摘要:在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。

本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。

首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。

其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打卜'了坚实的基础。

再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。

最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。

使人们能够对它们有个全面的了解。

关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。

Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable people to have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答1． 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。

2． 试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在[],a b 上也一致连续。

3． 证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。

4． 证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。

(2) 函数2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。

5． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。

6． 求证下列函数在指定区间上一致连续：(1) ()1f x x=， ()0a x <≤<+∞； 2) ()f x = ()0x ≥。

证 (1) 0ε∀>，取2a δε=， 则当212x x a ε-<时， 有12122121211x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ∀≥。

即得()1f x x=在[),a +∞上一致连续。

(2) 设210x x >≥， 则有=≤即有。

于是， 对0ε∀>， 30δε∃=>， 对12,0x x ∀≥， 当21x x δ-<时， 有ε≤<即得()f x 在0x ≥上一致连续。

7． 求证下列函数在指定区间上不一致连续。

(1) ()()1sin01f x x x=<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

证 (1) 取'12nx n π=，''122n x n ππ=+， ()1,2,n =，则有()'''lim 0n n n x x →∞-=。

而 ()()()'''lim lim11n n n n f x f x →∞→∞-==。

一致连续性的判定摘要：一致连续的问题在数学分析中经常遇到。

此论文主要讨论了一致连续性的几种常用的判定方法。

论文分为四个部分，逐层对一致连续的判定进行研究。

第一部分是用定义判定，定义最原本，是所有判定方法的源头，它有两种表述，表述一判定一致连续较为方便，表述二判定不一致连续较为方便。

第二部分用Cantor 定理判定，这比较快，在满足条件的情况下用起来方便。

第三部分是利用函数的周期性判定，这也就给出了不是周期函数的判定方法。

第四部分运用导函数有界来判定，这便把导数与连续贯穿起来了关键词：函数 连续 一致连续函数的连续性是指函数在0x x =处的函数值是否等于函数在0x 的函数的处的极限值，而函数的一致连续性主要是指在函数连续的基础上，研究由自变量的微小变化，而引起的函数值的变化值的上确界是否是零，因此一致连续性比连续要强，连续函数顾名思义，是一条连绵不断的曲线，一致连续的函数不仅仅只满足连绵不断了，那么什么样的函数才是一致连续的呢，从而能否判定一个函数是否一致连续成为人们重视的课题。

下面我们就针对一致连续的判定做一个简要的总结。

一、利用定义判定一致连续性的一种定义是：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0存在δ=δ（ε）>0使得对任何'x ,I x ∈",只要|"'x x -|<δ,就有|)"()'(x f x f -|<ε,则称函数f 在区间上一致连续I 。

定义适用范围广，但用起来不太方便。

但从这里可以立即推出若在)(x f [)上满足+∞,1Lipthitz 条件|)"()'(x f x f -|≤L |'x －"x |。

0,",'>∈∀L I x x 其中为某一常数，则必一致连续。

一致连续还有一种另一种表述。

即下面的定理：设I 为有限区间，)(x f 在I 上有定义，试证：f(x)是在I 上一致连续充分必要条件是f 把Cauthy 序列（即当{x n}为Cauthy 序列时，|)(x f |亦为Cauthy 序列。

连续函数的一致连续性与利普希茨连续性的区别连续函数是一种在数学分析中广泛研究的函数类型。

在研究连续函数时，我们常常需要探讨它们的一致连续性和利普希茨连续性。

尽管这两种连续性概念都与函数的连续性相关，但它们在定义上和性质上存在一些区别。

本文将深入探讨连续函数的一致连续性和利普希茨连续性的区别和联系。

一、连续函数的定义连续函数是指在函数定义域内，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε成立。

换句话说，对于每一个函数值f(x0)，无论x0的取值如何，其邻域内总存在一个邻近点x，使得函数值f(x)的邻域也在ε的范围内。

二、连续函数的一致连续性连续函数的一致连续性是指对于函数定义域内的任意给定ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，对于函数上的所有点x和y，都有|f(x)-f(y)|<ε成立。

从这个定义可以看出，一致连续性要求函数在整个定义域上都具有相同的连续性，不受函数值和邻域的影响。

三、利普希茨连续性的定义利普希茨连续函数是指在函数定义域内，存在一个常数K>0，使得对于任意的x和y，有|f(x)-f(y)|≤K|x-y|成立。

不同于一致连续性，利普希茨连续性对于函数在不同点上的连续性要求不同，但限定了一个常数K来保证其连续性。

四、连续函数的一致连续性与利普希茨连续性的区别和联系1. 区别：- 定义方式：一致连续性要求对于任意ε>0，找到一个δ>0，使得对于所有的点对(x,y)，当|x-y|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε成立；而利普希茨连续性通过引入常数K，限制了函数值之差与自变量之差的关系：|f(x)-f(y)|≤K|x-y|。

- 条件限制：一致连续性对函数的整个定义域都要求连续，而利普希茨连续性只需要在函数定义域内存在一个常数K，使得不等式成立。

2. 联系：- 一致连续性是利普希茨连续性的特殊情况。

浅谈函数的一致连续性（渤海大学数理学院辽宁锦州 121000 中国）摘要：在数学分析中一致连续函数具有很重要的地位，其定义在数学分析中也算是一个难点。

本文主要从一致连续函数的直观理解深入到纯分析的论证，只从一致连续函数本身的性质入手。

首先，本文用大量篇幅给出了函数一致连续性的证明并做作比较系统的归纳，把函数一致连续性的证明方法归纳为四个部分：运用区间套定理，致密性定理，覆盖定理以及归结原则四种方法证明了一致连续性定理。

其次，本文比较完整的给出了一致连续性函数的判定方法及性质，为我们对一致连续性函数的应用打下了坚实的基础。

再次，本文系统、详尽地叙述了一致连续性函数与连续函数的关系，解决了连续函数与一致连续相互转化的问题。

最后，介绍了一致连续性函数的描述及其延拓问题。

使人们能够对它们有个全面的了解。

关键词：一致连续，一致连续性定理，一致连续性性质，连续函数，一致连续性判定。

Abstract: In the mathematical analysis of uniformly continuous function is a very important position, its definition in the mathematical analysis is also a difficulty. This article mainly from the consistent continuous function intuitive understanding of deep into the pure analysis argument, only from the start with the nature of uniformly continuous function itself. First of all, this paper devotes a lot of space gives the proof of uniform continuity of a function and artificial system are summarized, the proof of uniform continuity of a function methods into four parts: the use of nested interval theorem, compact theorem, covering theorem as well as this principle four methods proved uniform continuity theorem. Secondly, this paper gives a uniformly continuous function determination methods and properties, for us to the uniformly continuity of function application to lay a solid foundation. Again, in this paper, a detailed description of the system of uniform continuity of a function and relation of continuous function, solve the continuous function and the uniform continuity of mutual transformation problem. Finally, introduced the uniform continuity of a function is described and its extension. To enable peopleto have a comprehensive understanding of their.Key words: Uniform continuity, uniform continuity theorem, uniform continuity properties, continuous function, uniform continuity judgment.引言数学分析立足于研究有限维空间的函数分析，它研究了各式各样的函数，其中最重要的一类函数叫做一致连续性函数，它是数学分析乃至整个数学领域的重要部分。

一致连续几何解释-回复一致连续(Uniform Continuity)是函数连续性的一种性质。

在数学中，连续函数是指函数在定义域内没有跳跃或断裂的情况下保持无限接近的特性。

与普通连续性不同，一致连续性强调了在整个定义域上的一致性，而不仅仅是在某一点上的连续性。

本文将详细介绍一致连续的几何解释，从直观的角度理解这一概念，并给出一些例子来帮助我们更好地理解。

一致连续可以通过几何解释来理解。

我们首先回顾一下连续函数的定义。

对于一个函数f: A→B，其中A和B是实数集合，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当x-y <δ时，有f(x)-f(y) <ε成立，则称函数f在点x处连续。

在直观上，连续函数可以被视为没有断裂或者跳跃的函数。

无论在什么地方，函数图像都可以用一条光滑的曲线来表示，而不出现任何的间断或者间隙。

在一致连续的情况下，我们需要关注函数的整个定义域，而不仅仅侧重于某一点。

对于函数f: A→B而言，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当x-y <δ时，不论x和y在A上如何取值，都有f(x)-f(y) <ε成立，则称函数f在A上一致连续。

几何上，一致连续函数没有突然的跳跃或者断裂，同时保持了整个函数图像的平滑性。

如果我们将函数的定义域A转化为坐标轴上的一段线段或者曲线，那么一致连续函数就可以看作这段线段或者曲线上没有任何断裂或者跳跃的函数。

为了更好地理解，我们来看一个例子。

考虑函数f(x) = x^2在区间[0,2]上的连续性和一致连续性。

首先，函数f(x) = x^2是连续函数。

在[0,2]内选择任意两个点x和y，如果x-y <δ，我们可以找到一个相应的ε>0，使得当f(x)-f(y) <ε。

这是因为函数的图像是一条光滑的曲线，不存在突然的跳跃或者断裂。

然而，函数f(x) = x^2在[0,2]上并不是一致连续的。

函数的连续性与一致连续性舒雄伟数学与信息科学学院数学与应用数学专业07128011指导教师：汪天飞副教授【摘要】连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，一致连续函数又是从连续函数的概念派生出来的。

在学习数学分析时,总容易把函数连续性与一致连续性混淆，仅能浅层次理解其概念不能深入学习。

因此，本文为了解决类似问题，并受一致连续性定理和数学分析教材几个习题的启发，对此加以推导证明，解释了学习时经常出现的几个重要问题，归纳总结出连续函数与一致连续函数的几种判定方法，使得对连续函数与一致连续函数的内涵有了更全面的理解。

【关键词】连续一致连续判定方法0．引言连续函数对揭示自然界连续变化的现象有很重要的作用，如气温连续上升或下降，压力的连续减少，距离的连续增加等等，它们数学抽象都是连续函数。

学习连续函数，可以通过局部估计函数值，对有界性，取极值，介值等的学习都有很大帮助。

从连续性派生的一致连续性，更是函数性质从其局部到其整体上的拓展，使研究的函数性质更深入全面。

1．研究的背景和意义在学习数学分析时，总是很难理解概念和公式的意义，常常只要求自己记住会用就行。

学习函数的连续性和一致连续性时也有同样的情况，不理解为什么会用极限刻画连续性，函数的极限与连续性有何关系，以及函数的一致连续性是如何由连续性派生，一致连续性定理在其它区间是否适用等问题，都成为我们学习连续函数和一致连续函数的障碍，本文解决了学习中几个常见重要问题，对函数连续性的掌握更深入全面，把函数连续性和一致连续性的关系作了深刻剖析，给出了连续性和一致连续性的几个判定方法，有助于本章相关内容的掌握。

２．函数连续性与一致连续性的概念从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图像是一条连绵不断的曲线，一致连续函数的图像可以说是一条一致连续的曲线，不会产生陡然上升或者陡然下降的情况。

当然我们不能满足这种直观的认识，下面我们给出连续函数和一致连续函数的精确定义，从而方便研究两者之间的关系。

函数一致连续的判别方法及其应用摘要函数一致连续性是数学分析的重要概念，一般教材只给出一致连续的概念及Cantor 定理，没有做更深入的研究。

本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，从充要等条件出发进行深入的分析和系统的总结。

关键词：一致连续积分导数Cantor定理基本初等函数AbstractThe uniform continuity of function is an important concept of mathematical analysis. General textbooks only show the concept of uniform continuity and the Cantor theory, without a more in-depth study. This thesis comprehensively summarize the conditions to judge the uniform continuity of functions, combined with specific examples of these methods to be applied, and made a more complete discussion of the uniform continuity of the basic elementary functions, with in-depth analysis and summary, starting from the necessary and sufficient conditions.Keywords:uniform continuity integral derivative Cantor theorem Basic elementary function目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言 (1)第二章一致连续的充要条件 (2)第三章一致连续的充分条件 (10)第四章函数一致连续的应用 (16)4.1 应用一：基本初等函数的一致连续性的应用 (16)4.2 应用二：反函数的一致连续性的应用 (18)4.3 函数的四则运算的一致连续性 (21)总结 (24)致谢 (25)参考文献 (26)第一章引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍，重要而又抽象的数学概念之一，它体现在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。

对函数一致连续性的讨论Discussion of the uniform continuityof the function函数的一致连续性概念是数学分析中的一个重要概念，但是由于它没有像连续函数、可导函数那样直观的几何意义，所以对一致连续概念只是从字面上掌握了其抽象定义，对其实质则很难透彻理解．本文从一致连续的定义、几何意义两个方面进行了详细阐述，希望能加深对一致连续性概念的理解．1、对定义的理解首先给出连续与一致连续的概念【1】：定义1 函数()f x 在区间I 上连续是指：0x I "?，0e ">，0d $>，当x I "?： 0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．定义2 函数()f x 在区间I 上一致连续是指：0e ">，0d $>，当12x x I "?、： 12x x d -<时，有12()()f x f x e -<．（1）由定义可知，在区间I 上一致连续的函数一定是连续的．事实上，由一致连续性定义将1x 固定，令2x 变化，即知函数()f x 在1x 连续，又1x 是区间I 的任意一点，从而函数()f x 在I 连续．但反之则不成立，即在区间I 上连续的函数不一定一致连续．（2）比较两个定义可知：函数连续定义中的d 不仅与e 有关，还与0x 有关，即对于不同的0x ，d 一般是不同的，这表明只要函数在区间内每一点都连续，函数就在该区间连续；而一致连续定义中的d 只与e 有关，与0x 的选取无关，即对于不同的0x ，d 是相同的，这表明函数在区间上的一致连续性，不仅要求函数在这个区间的每一点都连续，而且要求在每点的连续要具有“一致性”，即对不同的0x ，能找到共同的d ，使得当0x x d -<时，有0()()f x f x e -<．而所谓共同的d ，就是所有d 的最小值，当最小值不存在时，函数就非一致连续．（3）函数一致连续的实质就是，当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上函数值的差的绝对值可以任意小，即12x x I "?、，当12x x d -<时，有12()()f x f x e-<【5】．（4）要注意函数一致连续的否定叙述一致连续的否定叙述就是非一致连续，即设函数()f x 在区间I 有定义，若00e $>，0d ">，12,x x I $?：12x x d -<，有()120()f x f x e -?，则称函数()f x 区间I 上非一致连续．总的来说，函数的连续性反映了函数的局部性质，而函数的一致连续性反映了函数在整个区间上的整体性质，两者之间既有区别又有联系。

连续和一致连续的定义
在实数集上，一个函数的连续性通常由以下两个概念来描述。

1. 连续性：设函数f定义在实数集R上，对于任意实数a，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近f(a)，则称函数f在点a处连续。

换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立。

2. 一致连续性：设函数f定义在实数集R上，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得对于任意实数x和y，只要|x-y|<δ，就有|f(x)-f(y)|<ε成立，则称函数f在实数集上一致连续。

其中，连续性描述了函数在每个点上的连续性，而一致连续性描述了函数在整个定义域上的连续性。

与连续性相比，一致连续性要求函数的变化不能有剧烈的波动，即函数在整个定义域上的变化都应该相对平滑。