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1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUPx f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUPx x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f S U P x f x f S U P x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列nx '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管nx x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()Mx x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f .令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()MK K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()Mx x x f x f >''-'''-'时恒有()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()Mx x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀，都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
1 函数一致连续性[1]设()x f 在定义在区间I 上的函数，若对任给0>ε，存在()0>=εδδ，使得对任意的1x 、I x ∈2，只要δ<-21x x ，就有()()ε<-21x f x f ，则称函数()x f 在区间I 上一致连续.1.1 函数一致连续的相关定理与证明定理1.1[2] 若()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续的充要条件是()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2，只要 021δ<-x x ，就有()()221ε<-x f x f ,故可得出()()221,02121εδ≤-<-∈x f x f SUP x x Ix x .因为当00δδ<<时，有()()()()εεδδ<≤-≤-<-<-∈∈221,21,021212121x f x f SUP x f x f SUP x x x x Ix x Ix x .故可得()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ.②充分性由于()()0lim 21,02121=-<-+∈→x f x f SUP x x Ix x δδ,所以0,00>∃>∀δε，对任意的1x ，I x ∈2只要021δ<-x x ，就有()()εδ<-<-∈21,02121x f x f SUP x x Ix x .故取00δδ≤<，当1x ，I x ∈2，021δ<-x x 时，可以得到()()()()()()εδδ<-≤-≤-<-<-∈∈21,21,21021212121x f x f SUP x f x f SUP x f x f x x x x Ix x Ix x ,所以()x f 在区间I 上一致连续.定理1.2[2] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是在I 上任意两个数列n x '，n x ''，只要使0lim =''-'∞→n nn x x ，就有()()0lim =''-'∞→n n n x f x f 证明 ①必要性因为()x f 在区间I 上一致连续,所以由定义知 0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f .对于任意数列n x '，n x ''，因为0lim =''-'∞→n n n x x ，故对上述N n N N >∀>∈∃+,0,δ有δ<''-'n nx x . 故可得()()ε<''-'x f x f ，即()()0lim =''-'∞→n n n x f x f .②充分性（反证法）假设()x f 在区间I 上不一致连续，则存在某00>ε，对任意0>δ，都存在相应的两点I x x ∈''',，尽管δ<''-'x x ，但有()()0ε≥''-'x f x f .令n1=δ（n 为正整数），相应的两点记为I x x n n∈''',，尽管n x x 1<''-'，但有()()0ε≥''-'n nx f x f . 当n 取遍所有正整数时，得数列{}nx '与{}n x ''，且有0lim =''-'∞→n n n x x 但是 ()()0lim ≠''-'∞→n n n x f x f ,这与条件矛盾，所以假设不成立.因此可得()x f 在区间I 上一致连续.定理1.3[3] 设函数()x f 在区间I 上可导，其导函数()x f '在区间I 上有界，则()x f 在I 上一致连续.证明 因为()x f '在区间I 上有界，则I x M ∈∀>∃,0有()M x f ≤'.对0>∀ε,=∃δδε<''-'∈'''∀x x I x x M ，,,,就有()()()εεξ=⋅<''-''=''-'MM x x f x f x f ,所以()x f 在I 上一致连续.定理 1.4[3] 函数()x f 在区间I 上一致连续的充要条件是对任意给出的0>ε，,0,,>∃∈'''∀M I x x 使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有有()()ε<''-'x f x f .证明 ①必要性（反证法）函数()x f 在区间I 上一致连续,所以0,0>∃>∀δε，对任意的x '，I x ∈''只要δ<''-'x x ，就有()()ε<''-'x f x f 即()()ε≥''-'x f x f 必有δ≥''-'x x .取δε2=M ，当()()M x x x f x f >''-'''-'时有()()ε≥''-'x f x f . 令()()x f x f ''-'=α，则存在1>K 使得()εαεK K <<-1. 令1-=K αβ，则αβε≤≤.不妨设()()()x x x f x f ''<'''<',因为()()()()x f x f x f x f ''=+''≤+'<'αβ，且由连续函数的介值性知(]x x x '''∈∃,1使得()()β+'=x f x f 1同理：(]x x x ''∈∃,12使得()()β+=12x f x f .如此可得k k x x x x <<<<-110 ，规定x x x x k ''='=,0且对每一个i ，()()εβ≥=--1i i x f x f .因为由一致连续的定义知δ≥--1i i x x ,所以()()M K K x x x f x f =≤=≤''-'''-'δεδβδβ2与条件矛盾，假设不成立.即,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .②充分性,0,,0>∃∈'''∀>∀M I x x ，ε使得当()()M x x x f x f >''-'''-'时恒有 ()()ε<''-'x f x f .取Mεδ=，若设()()ε≥''-'x f x f 必有()()M x x x f x f ≤''-'''-'即()()Mx f x f x x 1≥''-'''-' .故()()()()δε=≥''-'''-'''-'=''-'Mx f x f x f x f x x x x 1.故有只要δ<''-'x x ，就有 ()()ε<''-'x f x f 即()x f 在I 上一致连续.1.2有限区间上的函数一致连续性定理1.5[1] 函数()x f 在[]b a ,上连续，则函数()x f 在[]b a ,上一致连续.证明（应用有限覆盖定理）由f 在[]b a ,上的连续性，任给0>ε，对[]b a x ,∈∀， 都存在0>x δ，使得当()x x U x δ;∈'时有()()2ε<-'x f x f .考虑开区间集合[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x U H x ,2,δ，显然H 是[]b a ,的一个开覆盖。
第三讲 连续与一致连续一、 知识结构1、 函数连续的概念和定义函数连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，并且函数)(x f 的图象是连续不断的，我们称函数)(x f 在区间I 上连续.(1) 函数)(x f 在点0x 连续的相关定义定义1 设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，如果)()(lim 00x f x f x x =→，则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =→.定义1′设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续.定义2 设函数)(x f 定义在);(δ0x U +内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤00x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =+→.定义 3 设函数)(x f 定义在);(δ0x U -内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤x x 00时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点左连续. 记作)()(lim 0_x f x f x x =→.(2) 函数)(x f 在区间I 上连续定义1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义1′固定),(0b a x ∈, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义 2 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续, 则我们称函数)(x f 在区间],(b a 连续.定义3 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间),[b a 连续.定义4 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续、点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间],[b a 上连续.2、 函数一致连续的概念和定义函数一致连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，函数)(x f 的图象是连续不断的，并且函数)(x f 的图象没有铅直的渐进线，我们称函数)(x f 在区间I 上一致连续.例如，函数xx f 1=)(在区间),(10内连续，但不一致连续.定义1对),(0b a x ∈∀, 0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内一致连续.定义1′设函数)(x f y =在区间()b a ,上有定义，x x ''',是区间()b a ,内的任意一点, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ,则我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续.说明: 对给定的0>ε, 由于区间()b a ,内的点对x x ''',有无穷多个, 所以对每一对x x ''',均存在一个δ, 进而有无穷多个δ, 无穷多个δ中有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续. 无穷多个δ中没有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上不一致连续.定理 1 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一致连续.说明: 如果函数)(x f 在开区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在开区间()b a ,内不一定一致连续.3、 函数)(x f 的间断点（不连续点）定义1 如果)()(lim 00x f x f x x ≠→，我们称函数在点0x 间断.(1) 第一类间断点定义2 如果极限)(lim x f x x 0→存在，但不等于)(0x f ，我们称点0x 为函数的可去间断点.定义2 如果极限)(lim x f x x +→0与)(lim x f x x -→0都存在但不相等，我们称点0x 为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. (2) 第二类间断点非第一类间断点称为第二类间断点，即)(li m x f x x 0→不存在，或)(lim x f x x +→0不存在，或)(lim x f x x -→0不存在，具体情况如下：①∞=→)(lim 0x f x x ；②∞=→)(lim 0x f x x 趋向于两个以上的数；③∞=+→)(lim 0x f x x ；④)(lim x f x x +→0趋向于两个以上的数；⑤∞=-→)(lim 0x f x x ；⑥)(lim x f x x -→0趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=为无理数时，当为有理数时，，当x x x D 01)(定义域()+∞∞-,上的任意一点为第二类间断点. 因为⎩⎨⎧=→为无理数时当为有理数时当x x x D x x ,0,,1)(lim 0,所以)(lim 0x D x x →不存在. 再例如,对函数x1sin,00=x 是函数的第二类间断点. 因为xx x 10sinlim +→不存在(x x sin lim +∞→不存在前面已证).连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上. 二、解证题方法 1、连续 例1(天津大学2006年)证明: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续(用δε-语言证明). 证明因为)(624212424322+-=--+--x x x x x x , 对0>∀ε, 存在{}118,min εδ=, 当δ<-4x 时, 有ε≤-≤+-=--+--184624212424322x x x x x x x )(, 所以函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续. 例2 (天津大学2005年)证明: 函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,s i n)(0π在n x =处连续(用δε-语言证明).证明 因为0==→ππn x nx s i n s i n lim , R x ∈, 所以, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-n x 时，有επ<-0x s i n . 又因x x f πs i n )(≤,R x ∈, 所以ε<-0)(x f . 故函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续.例3 (复旦大学2002年)证明函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续.证明 取nx n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为,)()(1=-=-nn n n n n y x x y y f x f 所以, 存在10=ε,对所有0>δ,当δ<-n n y x 时, 有,)()(1≥-=-nn n n n n y x x y y f x f 故函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续.证法2 取nx n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而1=-∞→)()(lim n n n y f x f ,所以函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续.例4(中北大学2005年)证明函数xxx x f 112sin)(++=在区间),(10内不一致连续, 在],[21与),[+∞2上均一致连续.证明 取πn x n 21=,221ππ+=n y n , ,,,321=n ,则),(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而224228=++++=-∞→∞→ππππn n y f x f n n n n lim)()(lim ,所以函数x xx x f 112sin)(++=在区间),(10上不一致连续.由于函数xx xx f 112s i n )(++=在区间],[21上连续, 所以函数xx xx f 112s i n )(++=在区间],[21上一致连续. 由于函数xx x x f 112s i n )(++=在区间],[12+A 上连续, 所以函数xxx x f 112s i n)(++=在区间],[12+A (2>A )上一致连续.因为0112=++=+∞→+∞→xxx x f x x sinlim )(lim ,对2>A ,当A x x >''',时,有ε<''-')()(x f x f . 进而函数x x xx f 112s i n )(++=在区间),[+∞A (2>A )上一致连续.例5 (北京工业大学2005年)设)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数，试证明{})(),(max )(x g x f x F =为区间()b a ,上的连续函数.证明 因为{}[])()()()()(),(max)(x g x f x g x f x g x f x F -++==21，所以只要证明)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数即可.对()b a x ,∈∀0,由于)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数, 所以,对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,ε<-)()(0x g x g .又因ε20000<-+-≤---)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f ,所以)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,其值域为[])(),(b f a f ,证明)(x f 在],[b a 上连续.证明 因为函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,所以函数)(x f 在],[b a 上任意一点的极限都存在.如果函数)(x f 在],[b a 上不连续,则函数)(x f 在],[b a 上存在间断点0x ,如果a x =0,则00>-+)()(a f a f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(0+a f a f 上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果b x =0,则00<--)()(b f b f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(b f b f 0-上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果()b a x ,∈0，则不等式0000<--)()(x f x f 及0000>-+)()(x f x f 至少有一个成立,不妨设0000<--)()(x f x f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(000x f x f -上的值, 这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 故函数)(x f 在],[b a 上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程)()()(y f x f y x f =+的惟一不恒为零的连续函数是指数函数()+∞∞-∈=,,)(x a x f x,其中01>=)(f a .分析:要说明函数)(x f 是指数函数x a ,应证明①0>)(x f ;②[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数;③01>=)(f a .证明首先证明①>)(x f .因为222222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x f x f x x f x f )(,又因为0000≠==-⋅)()()()()(x f x f f x f x f (因为)(x f 在()+∞∞-,上不恒为零,所以存在()+∞∞-∈,0x ,使00≠)(x f ).所以0≠)(x f ,进而0>)(x f .其次证明[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数.a) 当0=c 时, 由)()()(0000f x f x f =≠得10=)(f 得10=)(f . b)当nc =,n 为正整数时,[]nnn x f x f x f x x f nx f )()()()(==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=.c) 当nm c =,m n ,为正整数时,mmmn x f n x f n x f n x n x f x n m f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛,又因为nnnn x f n x f n x f n x n x f x n n f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛,所以[]n x f n x f 1)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛.进而()[]n mx f x n m f =⎪⎭⎫⎝⎛.d) 当nm c -=,m n ,为正整数时,()[][]n mn mnmn mx f x f x f f x f x n m f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎪⎭⎫⎝⎛-)()()()(10, e) 当c 为无理数时,有有理数列{}n c ,使得c c n n =∞→lim .因函数)(x f 连续,所以[][][]c c c n n n x f x f x f x c f cx f n n n )(lim )()(lim )(lim )(====∞→∞→∞→. 最后证明01>=)(f a .因为0>)(x f ,所以01>=)(f a .例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调函数，定义)()(0+=x f x g .证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.分析：不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.要证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续，只要证明对任意一点Rx ∈0，0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有ε<-≤)()(00x g x g .证明 不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.设0x 是区间()+∞∞-=,R 上的任意一点, 因为)0()(00+=x f x g ,即()00)(lim )0(0x g x f x f x x ==++→,所以,对0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有εδ<-+)()(00x g x f ,即εδε<-+<-)()(00x g x f .εδδ<-+=-+)()()()(0000x g x f x g x f ,又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数, 所以)()()(δ+≤+=00x f x f x g ,故ε<-)()(0x g x g .又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数,所以())()()(x g x f x f x g =+≤+=0000,进而ε<-)()(0x g x g .所以函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.例9(中北大学2005年)设函数()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=<-=,0,41ln 1,0,6,0,arcsin arctan )(23x x x ax x e x x xx ax x f ax 问:(1)a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续;(2) a 为何值时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.解 (1) 因为()()2122033113limarcsin lim arcsin arctan lim -→→→--=-=----xaxxx axxx axx x x()()()a xa xx ax xx axx x x 616lim16lim13lim232023202322-=--=--=--=-→-→-→---,41lim41ln 1lim 22x x ax x ex x ax x e axx axx ⋅--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++→→42212lim212lim220+=+=-+=++→→a ea xa x aeaxx axx ,所以,当64262=+=-a a 时,即1-=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续.(2)当66422≠-=+a a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.即2-=a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.例10设函数()222222sin0,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩,试讨论(,)f x y 在点()0,0的连续性、偏导数存在性、可微性. 解 （1）连续性 因为()()()()()22,0,0,0,0lim(,)lim sin0(0,0)x y x y f x y x y f →→⎡⎤=+==⎢⎢⎣，所以(,)f x y 在点()0,0连续.（2）偏导数存在性 因为()()()()()xxx xf x f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim)0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sinlim0,0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=→∆∆x x y x ， ()()()()()yyy yf y f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim)0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sin lim0,0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=→∆∆y y y x ， 所以)0,0(x f 与)0,0(y f 均存在，且都等于零. （3）可微性 因为 ρρdff -∆→0lim()()[]()()[]ρρdyf dx f f y x f y x 0,00,00,00,0lim+--∆+∆+=→()()ρρ001sin lim22220+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+∆∆+∆→y x y x01sin lim 1sin lim 0220=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆→→ρρρρρy x ， 所以()f df o ρ∆-=，进而函数(,)f x y 在点()0,0可微. 练习[1] (电子科技大学2005年)设函数)(x f 定义在()b a ,上,()b a c ,∈,又设)(x H 和)(x G 分别在),[],,(b c c a 上连续且在),(c a 和()b c ,内是)(x f 的原函数.令⎩⎨⎧<≤+<<=bx c C x G c x a x H x F ,)(,),()(0,其中选择0C 使)(x F 在c x =处连续,就下列情况,回答)(x F 是否是)(x f 在()b a ,上的原函数.(1))(x f 在c x =处连续;(2) c x =是)(x f 的第一类间断点;(3) c x =是)(x f 的第二类间断点. 解(1)当)(x f 在c x =处连续时,因为)()(l i m)(l i m )()(li m )(c f x f x F cx c F x F c F c x c x c x =='=--='→→→,所以)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数.(2)因为 c x =是)(x f 的第一类间断点,且)(x F 在c x =处连续, 所以)()(lim )(lim c f x f x f cx c x ≠==+→→或)(lim )(lim x f x f cx cx =+→→≠.当)()(lim )(lim c f x f x f cx cx ≠==+→→时,由)(lim )(lim )()(lim)(x f x F cx c F x F c F cx cx cx +++→→→+='=--='得,)()(lim )(c f x f c F cx ≠='+→+,所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.当)(lim )(lim x f x f cx cx =+→→≠时, )(c f 不存在,即)()(c f c F ≠'.所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.(3)不能判断.例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=--.,,,sin sin )(0001121x x xnx xnxx f n n 当21,=n 时,0=x 是)(x f 的第二类间断点,取⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,,,,sin )(0001x x xx x F n当2=n 时,)(sinlim )()(lim)(0010000f xx x F x F F x x ===--='→→,故)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数. 当1=n 时,)(sinlim )()(lim)(0010000f xx F x F F x x =≠=--='→→,故)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.[2] (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.证明 不妨设函数)(x f 是单调增函数,并且设()b a x ,∈0是函数)(x f 的间断点.因为())()(li m 0000x f x f x f x x ≤=--→,())()(lim 0000x f x f x f x x ≥=++→,并且函数在0x 不连续,所以不等式())(000x f x f ≤-,())(000x f x f ≥+至少有一个取>或<号,所以0x 是跳跃间断点,即区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.[3](上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:()10=R ,⎪⎩⎪⎨⎧==为无理数，互质x q p qpx qx R 0),(,)(1(1≤≤x 0), 证明)(x R 在区间],[10上的无理点处连续,而在区间],[10上的有理点处不连续.证明 设0x 是区间],[10上的任意一个有理点,则在区间()δδ+-00x x ,内一定存在无理点x '(根据无理数的稠密性),对我们只要取01>≥εq,使得ε≥=-'qx R x R 10)()(.所以)(x R 在区间],[10上的有理点处不连续.设0x 是区间],[10上的任意一个无理点,我们只要证明: 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<≤-=-qx R x R x R 100)()()(即可.因为ε≥q1的q 值有有限个,不妨设为m x x x ,,, 21.令{}001x x x x k k mk ≠-=≤≤,min δ,当δ<-0x x 时，有ε<≤-=-qx R x R x R 100)()()(.即)(x R 在区间],[10上的无理点处连续.[4] (南京理工大学2004年)设函数)(x f 在],[b a 上连续,且在],[b a 上的任意有理点为0,证明函数)(x f 在],[b a 上恒为零.证明 设0x 为],[b a 上的任意一点,当0x 为有理点时,0=)(x f .当0x 为无理点时,存在有理数列{}].[b a x n ⊂,使0x x n n =∞→lim .故000===∞→∞→lim )(lim )(n n n x f x f ,进而函数)(x f 在],[b a 上恒为零.[5] (江苏大学2004年)设)(x f 在],[b a 上连续,又有{}].[b a x n ⊂,使得A x f n n =∞→)(lim ,证明:存在],[b a x ∈0,使得A x f =)(0.证明 因为{}].[b a x n ⊂，由致密性定理，{}n x 存在收敛的子列{}knx ，使0x x k k n n =∞→lim .又因)(x f 在],[b a 上连续, 故A x f x f k k n n ==∞→)(lim )(0.[6]( 上海交通大学2003年)设定义在实数集R 上的函数)(x f 在10,=x 两点处连续，且对任意的R x ∈有)()(x f x f =2，证明：)(x f 为常函数.证明 对0>∀x ，由)()(x f x f =2得，N n x f x f n∈=),()(21.因为121=∞→nx n lim ,并且在1=x 点处连续,所以)()(l i m)(li m)(121f x f x f x f nn n ===∞→∞→.又)(x f 在0=x 点处连续,所以)()(lim )(100f x f f x ==+→.又因R x f x f x f ∈==),()()(12,所以)(x f 为常函数.[7](陕西师范大学2003年)设)(x f 在R 上有定义且恒不为零,)(0f '存在,且对任意的y x ,都有)()()(y f x f y x f =+,求)(),(x f x f '.解 因为)()()(00f x f x f =+,并且)(x f 在R 上恒不为零,所以10=)(f .由)(0f '存在,则)(x f 在点0连续.设对R x ∈∀0,因1000000--=--=-)()()()()()()(x x f x f x f x x f x f x f x f ,所以[]010100000=-=--=-→→)()()()(lim)()(lim f x f x x f xf x f x f x x x x ,故函数)(x f 在R 上连续.对任意的有理数x ,有[]xf x f )()(1=,对任意的无理数x ,存在有理数列{}n x ,使得x x n n =∞→lim .进而[][]xx n n n f f x f x f n)()(lim )(lim )(11===∞→∞→.所以[]xf x f )()(1=.所以[]{}[])(ln )()()(1111f f x f x f x x⋅='='-.[8](中北大学2005年)设)(x f 在R 上有定义,且0=-∞→)(lim x f x ,1=+∞→)(lim x f x ,在区间()10,上定义函数{}x t f t x g >=)(i n f )(,证明:函数)(x g 右连续.证明 对()100,∈∀x ,{}00x t f t x g >=)(inf )(,所以对0>∀ε,存在()()+∞∞-∈,εt ,当0x t f >))((ε,有εε<-≤)()(00x g t .因为{}()εt x t f t x g ≤>=)(inf )(,所以ε<-)()(0x g x g ,())((,εt f x x 0∈，即函数)(x g 右连续.[9]（中北大学2005年）证明: (1)函数xxx x f 112sin)(++=在()10,内不一致连续，(2) 函数xxx x f 112sin)(++=在],[21与),[+∞2上均一致连续.证明 (1)取πn x n 21=，221ππ+=n y n ,则()10,,∈n n y x .因为()022*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-∞→∞→∞→πππππππn n n n y x n n n n n l i m l i m l i m , 而)()(lim n n n y f x f -∞→()122sin 2212222sin 2122lim=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=∞→πππππππππn n n n n n n , 所以函数xx f 1sin)(=在()10,内不一致连续.(2)因为xxx x f 112sin)(++=在],[21上连续,所以xxx x f 112sin)(++=在],[21上一致连续.因为01s i n 12l i m )(l i m =⎪⎭⎫⎝⎛++=+∞→+∞→x x xx f x x ,所以,对0>∀ε,存在2>X ,当X x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f ，即xxx x f 112si n )(++=在),[+∞+1X 上连续（当),[,+∞+∈'''1X x x 时，显然有δ<''-'x x 时，ε<''-')()(x f x f ）.因为xx xx f 112s i n )(++=在],[12+X 上连续,所以xx xx f 112s i n)(++=在],[12+X 上一致连续. [10]（复旦大学2002年、汕头大学2003年、中北大学2005、浙江师范大学2003年）证明:函数xx f 1sin )(=在],(10内不一致连续.证明 取πn x n 21=，221ππ+=n y n ,则],(,10∈n n y x .因为()022*******=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=-∞→∞→∞→πππππππn n n n y x n n n n n lim lim lim ,而()1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∞→∞→πππn n y f x f n n n n sin sin lim )()(lim ,所以函数xx f 1s i n )(=在],(10内不一致连续.。
函数的一致连续性及其应用本文以函数的连续性为基础，一致连续性的定义为出发点，重点深入分析函数的一致连续性.教材一般只给出定义来判断函数是否一致连续，这对一些函数来说是比较复杂且难以解决的.因此本文主要对一元函数在各种区间上讨论函数的一致连续性的判断条件和方法，以及一些性质和应用，能够在教材的基础上更加全面地了解函数的一致连续性.1.2预备知识为了便于理解,现将本文涉及的一些相关定义和定理罗列如下.定义1.2.1[1]设函数在某上有定义，若，（1-1）则称函数在点连续，若函数在区间上的每一点都连续，则称在上连续.定义1.2.2[2]若函数在区间上有定义，称（1-2）为在区间上的连续模.定义1.3.1[1]设为定义在区间上的函数.若对任给的，存在，使得对任何，只要，就有，（1-3）则称函数在区间上一致连续.注：函数在区间上一致连续表明无论两点，在中处于什么位置，只要它们的距离小于，而这只与有关，就可以使.这个定义是教材中最常用的定义，根据定义还能扩展推理得到更多判断函数一致连续的条件和方法，这些本文后面会逐渐说明.由此，还可以得到函数在区间不一致连续的定义：，对，存在，使得当时，有.（1-4）引理1.2.1[3]有限区间上的一致连续函数必有界.引理1.2.2[1]设区间的右端点为，区间的左端点也为，若分别在和上一致连续，则在上也一致连续.2函数一致连续性的判断条件（1）引理2.1[1]函数在上一致连续的充要条件为：对任何数列，若，（2-1）则.（2-2）类似用归结原则来判断函数的连续性，这里通过数列来判断函数的一致连续性，但是直接用来证明函数的一致连续可能会很麻烦，因为这要验证任意的数列，因此一般用来证明函数的不一致连续比较方便，而这又与数列有关，可适用于含有三角函数和幂函数的函数.例2.1证明函数在上不一致连续.证：令，（2-3）则.（2-4）但是，（2-5）在上不一致连续.例2.2判断函数在上的一致连续性.解：令，（2-6）则.（2-7）而，（2-8）在上的不一致连续.从这两个简单的例子可以知道应用（1）中的结论是非常方便快捷的，如果用定义来判断函数的一致连续性还需要进行推理化简得到定义的形式，甚至有时候根本无法化简.由此可知定义无法满足解决函数一致连续性的需求，还需总结更多的判断函数一致连续性的条件和方法.（2）函数在上一致连续的充要条件为【2】：.证：若在上一致连续，则对当时，有，所以，（2-9）从而当时，有，（2-10）所以.（2-11）若，则对，有，（2-12）所以，（2-13）因此当时，有，（2-14）在上一致连续.这里可以通过连续模的极限来判断函数的一致连续性,其实也是从定义出发，观察函数的图像的陡峭程度来进行描述，但是这个往往用得比较少.（1）和（2）适用于函数所在定义域的所有区间，而在一些特殊区间还要进行如下讨论.（3）一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续【1】.这个定理也叫康托尔定理，其实从函数一致连续的定义可以知道如果一个函数在区间上一致连续，那么它肯定在上连续.这个定理直接就将闭区间上的函数的连续性和一致连续性联系起来，说明了只有在闭区间上的连续函数才必定一致连续.但是如果不在闭区间上时，那么通过分析这个定理可以知道要判断在有限开区间上的函数是否一致连续，还需要分析函数在区间端点连续性.所以可以得到以下结论：（4）函数在上一致连续的充要条件为：在上连续，存在且有限.证：在上一致连续，在上连续，且对，当时，有.当时，由柯西收敛准则知存在且有限.同理当时，知存在且有限.构造函数（2-15）则在上连续，根据（3）中一致连续定理知在上一致连续，在上也一致连续，在上一致连续.例2.3证明在上一致连续.证：由在上连续，知，（2-16）在上一致连续.这些只是在函数一致连续性有限区间上的讨论，还可以类似进一步在无限区间中展开讨论.（5）若函数在上连续，，存在且有限，则函数在上一致连续.但是反之是不成立的，比如在上是一致连续的，但是是不存在的.所以在无限区间上的时候要注意这个问题.通过以上讨论,也可以用类似方法判断连续函数在，，，，，上的一致连续性,具体内容不再一一重复.总之，（3）-（5）判断函数一致连续性的条件是函数在区间上连续并且在区间端点的极限要存在，都应用到了函数的连续性，这也说明了一致连续和连续有着非常密切的关系.从而根据（3）-（5）还能得到以下结论：（6）若函数在区间上单调有界且连续，则在上一致连续.证明：由在区间上单调有界，则对，存在，而且连续，根据（3）-（5）的结论可知在上一致连续.2.4判断是否一致，是否连续？解：对，有，（2-17）在上连续，又因为，（2-18）在上一致连续.3函数一致连续性的判断方法3.1函数一致连续性在一般区间的判断方法（1）定义法.一般根据函数一致连续性的定义都能判断一个函数是否一致连续，很多证明方法都是从定义出发的，这也是最常用的方法，而根据函数一致连续性的定义，还能将其扩展得到以下结论：若函数在区间上满足利普希茨条件：.（3-1）其中是是常数，则在上一致连续.证：对则当时，有，（3-2）所以在上一致连续．由证明过程可知函数化成利普希茨条件的形式其实是对函数一致连续性定义的直接应用，这将定义具体化，提供了解题思路.例3.1设，证明在上一致连续．证：对，有.取，那么根据（1）就知在上一致连续.（2）导函数有界法.根据导函数有界，可以间接地得到（1）中的结论.有时候一个函数太复杂，有时候无法将题目直接化简成（1）中利普希茨条件的形式，也就是说用定义无法简单地证明这个函数一致连续.这时可以从导函数入手.当导函数比较简单时，只要知道这个函数的导函数有界，就能判断这个函数是否一致连续.也就得到以下结论：若函数在区间上可导，且在上有界，则在上一致连续.证明：因为在上有界，所以，使，（3-3）又因为在可导，由拉格朗日中值定理，知对，有，（3-4）所以.（3-5）所以根据（1）可知在一致连续．3.2函数一致连续性的比较判别法（1）定理3.2.1【4】函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.这个方法是通过构造一个函数，通过两个函数的比较以及所构造的函数是否一致连续来判断原函数是否一致连续.它比较灵活，表面看好像大多函数都能通过这个方法判断一致连续性，特别是一些复杂的函数，但是前提是要知道所构造函数的一致连续性并且两个函数比较之后的极限要存在，而通常基本初等函数的一致连续性是比较好判断的.因此如果题目中的函数含有基本初等函数，则可以考虑这种方法.函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）函数，若，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）函数，若，，其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.例3.2.1证明函数在上一致连续.证明：令，（3-6）则，（3-7）取,则有.（3-8）在上一致连续，在上一致连续.3.3函数一致连续性的比值判别法（1）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3）,其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.证明：根据洛必达法则,知，（3-9）设在上一致连续，则对当时，有，（3-10）因为，（3-11）所以对，使，（3-12）由柯西微分中值定理知，，使，（3-12）所以，（3-13）所以对，有，（3-14）从而有，（3-15）所以，（3-16），有，（3-17）因此，在上一致连续.在上连续，在上一致连续.在上一致连续.同理还可证明若在上一致连续，则在上一致连续.如果一个函数是无穷大量并且可导，那么可以通过构造一个已知一致连续性的无穷大量的可导的函数，通过两个导函数的比值关系，其实也是这两个函数的比值，将两者的一致连续性联系起来，这样就能判断了，这与比较判别法类似，都是构造函数，只是条件不一样.由（1）知函数在不同的区间上时，还可以类似得到以下的结论：（2）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（3）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（4）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（5）设函数，且函数满足1）；2）可导，且；3），其中是常数，且，则函数具有相同的一致连续性.（6）设函数，且函数满足1），；2）可导，且；3），其中是非零常数，则函数具有相同的一致连续性.3.3确定上的函数是否一致和连续？解：在上不一致连续.令，（3-18）则.（3-19）又因为在上连续，且，（3-20）而在上不一致连续，在上不一致连续.无论是在有限区间还是无限区间，比较判别法和比值判别方法都可以适用.4函数一致连续性的性质函数的连续性满足四则运算，一致连续性也如此.（1）若函数在上一致连续，则在上一致连续.证明：在上一致连续，对，当时，有，（4-1）又在上一致连续，当时，有，（4-2）故对，取，则对，当时，有，在上一致连续.（2）若函数在上一致连续，则，在上一致连续.（3）若函数在上一致连续且有界，则在上一致连续.（4）若函数在上一致连续，函数在上一致连续且，则在上一致连续.例4.1设函数在上一致连续，证明在上也一致连续.证：在上一致连续，令，则在上连续，在上一致连续.又在上有界，在上一致连续，在上一致连续.因此在上一致连续.5两种函数的一致连续性5.1周期函数的一致连续性如果函数的周期为，在上有定义且连续，则函数在上一致连续.证：在上连续，在上连续.根据一致连续性定理知在上一致连续，对，当时，有.令，当时，存在正整数，使，（5-1）,（5-2）所以.（5-3）故在上一致连续.这个针对周期函数的一致连续性，将连续和一致连续的关系连在一起.有些函数是周期函数，如三角函数等，但是如果直接用定义或者其他方法来证明它是一致连续的，有时候很难化简得到结果或是无从下手，此时就可以通过连续性来判断一致连续性，从而得到结论．例5.1.1证明函数在上一致连续．证：是以为周期的周期函数，并且在上连续，根据周期性知在上连续，因此在上一致连续．例5.1.2证明在上一致连续.证：因为，（5-4）的周期为，即是周期函数.由上题知，（5-5）在上连续，所以在上连续，故在上一致连续.5.2幂函数的一致连续性（1）函数在上是一致连续的.证：当时，根据例4.1的证明过程知在上一致连续；当时，知，（5-6）根据一致连续性的定义，对当时，有，（5-7）所以在上一致连续.（2）对任意的，函数在上一致连续,在上不一致连续，也就是在上不一致连续.证明：在上连续，在上一致连续.,当时，根据拉格朗日中值定理知，存在介于之间，使，（5-8），使，（5-9）所以，（5-10）则有.（5-11）在上不一致连续，在上不一致连续.例2.2中可以直接用（2）的结论来说明在上是不一致连续的.。
函数一致连续判定的充分性条件及其应用依函数连续与一致连续的定义和关系，结合实例总结出函数连续与一致连续的区别，对函数一致连续性的判定方法做了归纳。
分类给出了函数一致连续的若干充分条件及充要条件，以使一致连续性的判定方法更加直观及便于应用。
第一章关键词：连续，一致连续性，充分性条件，判定，应用第二章引言本文选题于经典分析数学中关于函数连续及一致连续的判定与应用问题，主要目的是探讨一致连续函数判定的充分性条件以及在分析领域中的应用。
函数的一致连续性是数学分析中的重要内容，也是学习起来比较困难的一个内容，是函数的一个重要特征，标志着一个连续函数的变化速度有没有“突变”。
函数)(xf在该区间上的每一点都连续，它反映的f在某区间连续，是指)(x是函数)f在该区间内一点附近的局部性质。
函数的一致连续性则是比连续更(x强的一种性质，它不仅要求函数)f在该区间内的每一点保持连续，还要求它(x在该区间所有点邻近有大体均匀的变化趋势，强调的是函数在给定区间内的整体性质，刻画了函数在区间上变化的相对均匀性，有助于研究函数)f的整体变(x化趋势。
第三章 由函数的连续引出一致连续函数的一致连续是从连续的概念派生出来的，要比函数连续的条件更严苛，但是在数学分析教科书中，往往只给出一致连续的定义以及利用定义证明函数在某区间上一致连续的方法。
为了更加便于对函数一致连续的理解，首先从函数在某区间上连续的定义出发，引出一致连续的概念，然后从局部性和整体性两个方面分析给出连续与一致连续的区别。
2.1 函数的连续性2.1.1 函数连续的概念当函数)(x f 的自变量x 变化很微小时，所引起的)(x f 的变化也很小，此时一个连续量)(x f 随着另一个连续量x 连续地变化，可以用极限给出严格的描述：定义1（函数在点0x 连续)[1] 设)(x f 在包含0x 的某个邻域内有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在点0x 处是连续的。
函数一致连续的若干方法函数的一致连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在整个定义域上的连续性质。
简单来说，如果一个函数在整个定义域上都连续，我们就称这个函数是一致连续的。
一致连续性是一种比普通连续性更强的性质，它保证了函数的连续性在整个定义域上都保持一致，没有局部的不连续点。
要理解一致连续性，我们先回顾一下连续性的定义。
在数学中，函数f(x)在点x=a处是连续的，意味着满足以下三个条件：1.函数f(x)在点x=a处有定义；2. 函数f(x)在点x=a处有极限，即lim(x -> a) f(x)存在；3. 函数f(x)在点x=a的极限值等于函数f(x)在点x=a处的函数值，即lim(x -> a) f(x) = f(a)。
而函数f(x)在整个定义域上连续，则需要对每一个点x=a都满足上述三个条件。
但是，连续性并不保证函数在定义域上的每个点都有相同的性质。
因此，我们引入了一致连续性的概念。
函数f(x)在定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x-y，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε，其中x和y是定义域上的任意两个点。
接下来，介绍几种常用的方法来证明函数的一致连续性。
1. 利用函数的Lipschitz常数：如果存在一个正数K，对于定义域上的任意两个点x和y，满足，f(x) - f(y)，≤ K，x - y，则函数f(x)是一致连续的。
这里的K称为Lipschitz常数。
证明时可以通过计算函数的导数或者构造辅助函数来得到Lipschitz常数。
2.利用连续性和有界性：如果函数f(x)在定义域上连续，并且有界，即存在一个正数M，使得对于任意的x，f(x)，≤M，那么函数f(x)是一致连续的。
这个方法相对简单，通过连续性可以找到一个正数δ，在这个δ范围内，函数值的变化受到有界性的限制。
3. 利用Cauchy收敛准则：如果函数f(x)在定义域上满足Cauchy收敛准则的条件，即对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当，x - y，< δ时，有，f(x) - f(y)，< ε，那么函数f(x)是一致连续的。
函数f (x)一致连续的条件及应用（数学与应用数学2003级 张志华 指导教师 刘敏思）内容摘要：本文比较全面的总结了判断函数的一致连续性的条件，并结合具体例子对这些方法加以应用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，还将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去．关 键 词：一致连续 拟可导函数 基本初等函数 二元函数Abstract ：This paper is more completely to summarize the methods of judging uniform continuity of functions, and apply them to analyze some examples, moreover, we discuss uniform continuity of fundamental primary functions in detail, and extend these methods to the case of functions of two variables.Key words: uniform continuity perederivatable functions fundamental primary functions functions of two variables 1．引言函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，弄清函数的一致连续性的概念和熟练掌握判断函数一致连续的方法是学好这一理论的关键．一般的数学分析教材中只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的.G 康托定理，内容篇幅较少，不够全面和深入；虽然有些论文对函数一致连续性的判断作了一些拓展和补充，但是显得不够系统和应用得不够广泛．因此，对一般数学分析教材中这一部分内容并结合一部分论文资料，作一个比较系统和全面的总结，并作适当的拓展，如将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，无疑这一工作是十分必要和具有现实意义的． 2．预备知识2.1一致连续和非一致连续的定义一致连续：设()f x 为定义在区间I 上的函数.若对任给的0ε>，存在()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<,则称 函数()f x 在区间I 上一致连续.非一致连续：存在00ε>，对任何正数δ（无论δ多么小），总存在两点 ,x x I '''∈，尽管x x δ'''-<，但有'''0()()f x f x ε-≥.则称函数()f x 在区间I 上非一致连续.2.2 .G 康托定理.G 康托定理[1]：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上一致连续.这个定理的证明可应用实数连续性命题中有限覆盖定理或致密性定理来证明．但是.G 康托定理只能用来判断有限闭区间上函数的一致连续性，应用不是十分广泛．下面再介绍几种比较常见的判断函数一致连续性的方法． 2.3 几种常见的判断函数一致连续性的方法方法1：利用李普希茨条件若()f x 在区间I 上满足李普希茨条件，即任给,x y I ∈，有()()f x f y kx y -<-（其中k为常数），则()f x 在区间I 上一致连续.方法2：有限开区间上一致连续的判别法若()f x 在有限开区间(,)a b 上连续，且(0)f a +与(0)f b -都存在且有限⇔函数()f x 在(,)a b 上一致连续.类似的有：有限半开半闭区间上一致连续的判别法若()f x 在区间(,]a b （或[,)a b ）上连续，且(0)f a +（或(0)f b -）存在且有限⇔函数()f x 在(,]a b （或[,)a b ）上一致连续.方法3：无穷区间上一致连续的判别法若()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x A →-∞=及lim ()x f x B →+∞=极限存在，则()f x 在(,)-∞+∞上一致连续.类似的还有：若()f x 在[,)a +∞(或(,]b -∞)上连续，且lim ()x f x →+∞(或lim ()x f x →-∞)极限存在，则()f x 在[,)a +∞(或(,]b -∞)上一致连续.若()f x 在 (,)a +∞(或(,)b -∞)上连续，且lim ()x f x →+∞及lim ()x af x +→(或lim ()x f x →-∞及lim ()x b f x -→)极限存在，则()f x 在(,)a +∞(或(,)b -∞)上一致连续.3. 方法的归纳和应用 3.1方法的归纳及方法的应用方法1：用连续模数来刻画一致连续性若()f x 在区间I 上有定义,则称''''''''',()sup ()()x x f x x If x f x δωδ-<∈=-为函数()f x 的连续模数.定理[5]若()f x 在区间I 上有定义,则()f x 在I 上一致连续的充要条件是0lim ()0f δωδ+→=.推论 若()f x 在区间I 上连续,若''''''''',()sup ()()()x x f x x If x f xg δωδδ-<∈=-≤且0lim ()0g δδ+→=,则()f x 在I 上一致连续.由上述定理易得到一致连续的视察法:()f ωδ的值只与()f x 的图象最陡的地方有关.若()f x 的图象在某处无限变陡,使得()0f ωδ→,则()f x 非一致连续;若()f x 在某处最陡,但0δ+→时,此处的变差'''()()0f x f x -→,则()f x 一致连续.例1 1()f x x =在(0,)(0)c c >上是非一致连续的,但在[,)(0)c c +∞>上一致连续. 分析：1()(0)f x x x=>，在0x =处，图形无限变陡.0,()f δωδ∀>=+∞.0δ+→时()0f ωδ→/.因此，f 在任何区间(0,)(0)c c >上都是非一致连续的.但在区间 [,)c +∞上，1()f x x =在点c 处最陡，且11()0(0)f c c ωδδδ+=-→→+. 可见，1()f x x=在[,)c +∞上一致连续. 方法2：利用一致连续函数的四则运算性质来判断一致连续(1)若(),()f x g x 都在区间I 上一致连续,则()()f x g x ±也在I 上一致连续.(2)若(),()f x g x 都在有限区间I 上一致连续,则()()f x g x 也在I 上一致连续.若(),()f x g x 都在区间I (含无穷区间)上一致连续且有界,则()()f x g x 也在I 上一致连续.(3)若()f x 在区间I 上一致连续,且有正的下确界(或负的上确界),则1()f x 也 在I 上一致连续.(4)若()f x 在区间I 上一致连续 ,则()f x α也在I 上一致连续(其中α为任意常数). 例2 若()f x 在有限区间I 上一致连续, ()g x 在区间I 上非一致连续.问: ()()f x g x ±在I 上的一致连续性.分析：假设()()f x g x +在I 上一致连续，又()f x 是有限区间I 的一致连续函数， 由一致连续函数的四则运算性质知()[()()]()g x f x g x f x =+-在I 上一致连续，这与条件矛盾. 所以，()()f x g x +在I 上非一致连续．同理有()()f x g x -在I 上非一致连续.方法3：复合函数的一致连续性设函数()f x 在区间I 上一致连续, ()g x 在区间U 上一致连续,且()g U I ⊂,则复合函数(())f g x 在区间U 上一致连续.方法4[1]：利用两区间之并设()f x 定义在[,]a c 上，若()f x 在[,]a b 和[,]b c 上都连续，则()f x 在[,]a c 上一致连续. 上述结论可进一步推广为：设区间1I 的右端点为1c I ∈,区间2I 的左端点也为2c I ∈(12,I I 可为有限或无限区间).若()f x 在1I 和2I 上都一致连续,则()f x 在12I I I = 上一致连续.例3 讨论()f x =[0,)+∞上的一致连续性.分析：()f x 在[0,)+∞上连续，设0a >，当0x a ≤≤时，设12120,0,x a x a x x δ≤≤≤≤-<， 则≤<121212,[0,]0()sup()()x x f x x a f x f x δωδ-<∈≤=-≤且lim 0δ+→=，所以()f x =[0,]a 上一致连续.当x a >时，=≤且0lim 0δ+→=.所以()f x =[,)a +∞上一致连续.综上所述，()f x =[0,)+∞上一致连续.方法5：利用数列(1)函数 ()f x 在I 上一致连续⇔对区间I 上任意两个数列{},{}n n x y ,当lim 0n n n x y →∞-=时,有lim ()()0n n n f x f y →∞-=.函数()f x 在I 上非一致连续⇔区间I 上存在两个数列{},{}n n x y ,当lim 0n n n x y →∞-=时,但lim ()()0n n n f x f y →∞-≠.例4 2()sin f x x =在(,)-∞+∞内非一致连续.分析：可取'''n n x x =='''0()n n x x n -→→∞.而'''()()2n n f x f x -=，故2()sin f x x =在(,)-∞+∞内非一致连续.(2)[5]函数()f x 在有界实数集E 上一致连续⇔函数()f x 将E 中的柯西列变成1R 中的柯西列.方法6：利用渐近线设()f x 在[,)a +∞上连续,且lim [()()]0x f x cx d →+∞-+=(,c d 为常数).即x →+∞时,()f x 有渐近线y cx d =+，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.上述结论可进一步推广为[6]:设()f x 在[,)a +∞上连续,()g x 在[,)a +∞上一致连续,即x →+∞时,且lim [()()]x f x g x A →+∞-=，则 ()f x 在[,)a +∞上一致连续.例5 1()ln()f x x e x=+在[1,)+∞上一致连续.分析：由于1ln()11lim1,lim[ln()]x x x e x k b x e x x x e→∞→∞+===+-=，故1()ln()f x x e x =+在该区间有渐近线1y x e=+，所以 ()f x 在[1,)+∞上一致连续. 方法7：利用导数若()f x 在区间I 上存在有界导函数,即0,M x I ∃>∀∈,有()f x M '≤，则()f x 在I 上一致连续.下面还有一个应用得更加广泛的结论[6]:若()f x 在[,)a +∞上连续,在(,)a +∞内处处可导,且lim ()x f x A →+∞'=存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续.例6()f x =(,)-∞+∞上一致连续.分析：由于''()()1f x f x =≤，故()f x =在(,)-∞+∞上一致连续.方法8：利用积分设函数()f x 在区间[,)a +∞上局部可积，且()f x 在区间 [,)a +∞上有界,则()()d x aF x f s s =⎰在[,)a +∞上一致连续.方法9：引进拟可导函数来说明一致连续性定义1(凸函数)[4]设函数()f x 在区间I 上有定义,若,y ,01x I λ∀∈≤≤,有[(1)]()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≤+-(或[(1)]()(1)()f x y f x f y λλλλ+-≥+-),则称()f x 为定义在区间I 上的下凸(或上凸)函数,上,下凸函数统称为凸函数.注：下面的定义，引理，定理和推论均见[4].定义2(拟可导函数) 若函数()f x 在00()U x 有定义,且极限000()()22limh h h f x f x h→+--存在, 则称函数()f x 在0x 拟可导,记为0000()()22()limh h h f x f x Df x h→+--=. 引理1 凸函数在任意开区间（有限或无穷）I 上连续. 引理2 若()f x 在区间I 上连续，且对12,x x I ∀∈，有1212()()()22f x f x x xf ++≥，则函数()f x 为下凸函数.定理 若()f x 在开区间I （有限或无穷）上单调，且()Df x 在I 内处处存在，有界，则()f x 在I 上一致连续.推论1 若()f x 是开区间I （有限或无穷）上的凸函数，且拟导数存在，有界，则()f x 在I 上一致连续.推论2 若()f x 在开区间I （有限或无穷）上满足条件： ①12,x x I ∀∈，有1212()()()22f x f x x xf ++≥；②x I ∀∈，()f x -和()f x +都存在； ③在I 上处处拟可导，且拟导数有界， 则()f x 在I 上一致连续. 3.2几个重要应用应用之一：周期函数的一致连续性[2][6]设()f x 是(,)-∞+∞上以T 为周期的函数，则()f x 在(,)-∞+∞上连续⇔()f x 在(,)-∞+∞上一致连续.应用之二：基本初等函数的一致连续性(1)（幂函数）()f x x α=在[0,)+∞上，当01α<≤时一致连续，当1α>时不一致连续.(2)（指数函数）()xf x e =在R 上非一致连续.(3)（对数函数）()ln f x x =在(0,1]上非一致连续，在[1,)+∞上一致连续.(4)（三角函数）sin y x =和cos y x =均在R 上一致连续,tan y x =和cot y x =均在其定义域上非一致连续.(5)（反三角函数）sin y arc x =和cos y arc x =均在[1,1]-上一致连续,arctan y x =和cot y arc x =均在(,)-∞+∞上一致连续.(6)（有理函数）101101...()()()...n n nm m mx x p x R x q x x x αααβββ--+++==+++，其中,n m 为非负整数，01,,...n ααα，01,,...,m βββ均为常数，且00α≠，00β≠.当1n m ≤+时，()R x 在[,)a +∞上一致连续；当1n m >+时，()R x 在[,)a +∞上非一致连续.（其中max{;()0}a x q x >=）. 4. 二元函数的一致连续性前面我们已经对一元函数的一致连续性已作了详细的叙述，下面我们将一元函数的一致连续性的一些结论推广到二元函数中去.定理1 若函数()f P 在有界闭区域D 上连续，则()f P 在D 上一致连续. 定理2 函数()f P 在有界开区域D 上一致连续⇔()f P 在D 上连续，且00,lim ()P P P DP D f P →∈∀∈∂存在.（记D ∂为D 的边界）定理3 函数(,)f x y 在2R 上连续，且lim (,)r f x y →+∞存在，其中r =则(,)f x y 在2R 上一致连续.定理4 函数(,)f x y 在区域D 上满足：(,)(1,2)i i x y D i ∀∈=，都有1122111222(,)(,)f x y f x y k x y k x y -≤-+-（12,k k 为正常数）， 则(,)f x y 在D 上一致连续.定理5 函数(,)f x y 在凸区域D 内存在有界偏导数，则(,)f x y 在D 上一致连续. 定理6 函数()f P 在区域D 上一致连续⇔对{},{}n n P Q D ∀∈，lim (,)0n n n P Q ρ→+∞=，恒有lim ()()0n n n f P f Q →+∞-=.定理7 函数(,)f x y 在有界区域E 上一致连续 函数(,)f x y 将E 中的柯西列变成1R 中的柯西列.总之，一元函数的一致连续性大多可以推广到二元函数上去，但形式上要注意区别，例如定理5中的条件要求为凸区域． 5. 结束语文章比较全面的总结了各种判断函数的一致连续性的条件，并结合实例对这些方法加以运用，而且对基本初等函数的一致连续性作了较为完整的讨论，并将一元函数的一致连续性推广到二元函数上去，这些都具有一定的意义．然而必须指出：关于函数一致连续性的判断，是由函数所满足的条件及所定义的范围决定的，本文还不能解决所有的判断函数一致连续的问题，还可以进行更加深入的讨论和研究．参考文献：[1]华东师范大学数学系．数学分析(第三版)上册[M]．北京：高等教育数出版社, 2001：79~82，171~172．[2]徐森林，薛春华．数学分析(第一册) [M]．北京： 清华大学出版社, 2005：140~145． [3]刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义(上册) [M]．北京：高等教育出版社, 2003[4]邱德华，李水田. 函数一致连续的几个充分条件[J]．大学数学，2006, 22(3)：136~138． [5]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育数出版社，2001：93~103,106~108．[6]钱吉林．数学分析题解精粹[M]．武汉：崇文书局，2003：122~124． [7]菲赫金哥尔茨．微积分教程[M]．北京：人民教育出版社，1959[8]Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis(Third Edition). China Machine Press, 2004：90~93．。
