奈奎斯特稳定判据及应用
奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。
奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H
Stabilization）在20世纪20年代提出的。该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。
在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。
根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。这可以通过两个主要步骤来实现。
首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。
其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过 s 轴上方的点连接而得到的曲线。具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：
- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过 -1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过 -1+j0；
- 如果系统的开环频率响应曲线通过 -1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过 -1+j0；
- 如果系统开环频率响应曲线经过 -1+j0，并绕过了虚轴上的 n 个点，则奈奎斯特曲线将通过 -1+j0并绕过虚轴上的 n 个点。
通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。下面我将介绍几个常见的应用场景：
奈奎斯特判据
5.4 频域稳定判据
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半s 平面。第3章中介绍的劳斯稳定判据，是利用闭环特征方程的系数来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环频率特性G (j
ω) 来判断闭环系统的稳定性。
频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。
1．辅助函数
对于图5-33所示的控制系统结构图，其开环传递函
数为
G (s ) =G 0(s ) H (s ) =
相应的闭环传递函数为 M (s ) （5-59）
N (s ) Φ(s ) =N (s ) G 0(s ) G 0(s ) G 0(s ) == （5-60） N (s ) +M (s )
1+G (s ) 1+N (s )
式中，M (s ) 为开环传递函数的分子多项式，m 阶；N (s ) 为开环传递函数的分母多项式，n 阶，n ≥m 。由式(5-59)、式(5-60)可见，N (s ) +M (s ) 和N (s ) 分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比构成辅助函数
F (s ) =M (s ) +N (s ) =1+G (s ) （5-61） N (s )
实际系统传递函数G (s ) 分母阶数n 总是大于或等于分子阶数m ，因此辅助函数的分子、分母同阶，即其零点数与极点数相等。设−z 1，−z 2，…，−z n 和−p 1，−p
2，…，−p n 分别为其零、极点，则辅助函数F (s ) 可表示为
- 1 - 乃奎斯特稳定判据的探讨
作为一个重要的数学定理，乃奎斯特稳定判据是极其重要的，它具有广泛的应用环境，包括线性系统、非线性系统和用于控制设计中的稳定性分析等。它可以被用来判断系统稳定性以及控制设计的有效性，被认为是对系统判断稳定性的有效工具。
乃奎斯特稳定判据的定义是：对于一个给定的系统，如果它的输入和输出之间的差异限制在一个比较小的范围内，那么系统就是稳定的。乃奎斯特稳定判据的使用是以系统的输入与输出的范围的增长率和收敛率相关联的，而它们之间的比值叫做乃奎斯特比。
乃奎斯特稳定判据可以用有限数量的参数来表示，它可以被直观地用于非线性系统。它的优势在于，它不仅可以用来表示系统的稳定性，还可以用来表示系统的基本功能特征，如系统范围、收敛性等。
虽然乃奎斯特稳定判据具有很多优点，但它也有一些缺点。首先，乃奎斯特稳定判据的基本概念简单，但是它的实际应用往往相当复杂，因为它要求系统的输入和输出必须相互之间有一定的关系，才能够证明系统的稳定性。第二，乃奎斯特稳定判据的应用受制于参数的变化，而参数的变化往往会导致系统的稳定性发生变化，所以在实际应用中，需要对参数进行合理的调整，以确保系统能够稳定性运行。
此外，乃奎斯特稳定判据的应用还受到参数的精准度限制。比如，在实际应用中，很难获得非常精确的参数，这会限制乃奎斯特稳定判据的应用，而且也可能导致系统出现不稳定的现象。
乃奎斯特稳定判据是一个重要的概念，它可以被用来判断系统的 - 2 - 稳定性，被认为是系统稳定性分析的有效工具。但是它也有一些缺点，如参数准确度、参数变化等，所以在实际应用中，需要对参数进行合理调整，确保系统的稳定性。
《奈奎斯特稳定判据 第一节》导学案
教学目标 ①能理解根据幅角原理构建辅助函数的方法；
②能够理解奈奎斯特路径的组成；
③掌握奈奎斯特路径与奈奎斯特路径与GH(s),F(s)的映射关系
④理解奈奎斯特稳定判据，并掌握其在0型系统和含有积分环节的系统上的应用。
1、2、3是重点，1、3，4是难点
课前学习资料 1.《自动控制原理》教材5.4节，P169-175及相应的PPT
2.《奈奎斯特稳定判据1》视频
3.《奈奎斯特稳定判据2》视频
通过超星学习通平台发放学习资料，要求学生提前24小时提交课前学习任务反馈
课前学习任务单 1.认真观看这两个视频，《奈奎斯特稳定判据1》，《奈奎斯特稳定判据2》
学习视频的时候有不懂的地方可以随时暂停、反复观看，直到你认为自己全部理解 了视频的内容。
2.看完第一个视频，回答两个简单问题：①如何利用幅角原理将开环的频率特性几何特征与闭环稳定性建立联系？②奈奎斯特路径与GH(s),F(s)的映射关如何？③奈奎斯特稳定判据如何判断系统稳定性？
3.看完第二个视频，回答几个简单问题：④当应用于含积分环节的系统时，奈奎斯特路径做了什么调整？为什么要做这样的调整？⑤如何在奈奎斯特曲线上从0+找到0？
学生在课前24小时通过超星学习通提交作业（可以是PDF格式，也可以是Word格式）供教师评阅，了解学习情况。
