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系统的稳定性nyquist判据以及bode判据

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系统的稳定性常见判据

系统的稳定性常见判据
n n n 1
s1,s2,…,sn：特征根
n 2 i j
因为
( s s1 )(s s2 )( s sn ) s ( si ) s
i 1
(
比较系数：
n a n 1 si , an i 1
i j i 1, j 2
s s )s
n
( 1)
① 确定P ② 作G(j)H(j)的Nyquist图
③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2
G( s ) H ( s ) K (Ta s 1)(Tb s 1) (T12 s 2 2T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
特征方程：
D( s) s 2n s s K 0
3 2 2 n 2 n
s3 s2
1
7500 7500K 0 0
0 0
即： D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0
由系统稳定的充要条件，有
34.6 34.6 7500 7500K s1 34.6 0 s 7500K

1
2
10.6
稳定
不稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例1
P=0
G( s) H ( s) K (T1 s 1)(T2 s 1)
不论K取任何正值，系统总是稳定的 开环为最小相位系统时，只有在三阶或
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1

用Nyquist判据判断系统稳定性

用Nyquist判据判断系统稳定性

用Nyquist判据判断系统稳定性Nyquist判据是一种经典的判断系统稳定性的方法，被广泛应用于控制工程和通信工程中。

该方法通过绘制系统的Nyquist图，判断系统的极点和零点在复平面上所处的位置，从而判断系统的稳定性。

本文将介绍Nyquist判据的基本原理、具体操作步骤以及注意事项，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。

一、Nyquist判据的基本原理在控制系统中，我们通常将系统的传递函数写成如下形式：G(s) = N(s) / D(s)其中，N(s)和D(s)分别为系统的分子和分母多项式，s为复变量。

我们知道，当系统传递函数G(s)的阶数为n时，该函数在复平面上有n个极点和/或零点。

Nyquist判据的基本思想是：绘制系统的Nyquist图，即将系统的G(s)函数沿着复平面上的一个可变的圈线进行连续变形，并记录圈线变形前和变形后所经过的原点和极点个数及情况。

通过比较圈线变形前后绕圆点的圈数，就可以判断系统的稳定性。

具体地说，Nyquist判据有以下两个重要的结论：1.当系统的Nyquist图绕复平面上的所有极点时，如果围绕极点的圈数全都是负数，则该系统是稳定的；相反，如果存在围绕极点的圈数为正数，则该系统是不稳定的。

这两个结论形象地表现了系统稳定性与Nyquist图绕复平面上点的情况之间的关系，为我们判断系统稳定性提供了有力的理论支持。

在具体应用Nyquist判据时，我们可以按照以下步骤进行：1.绘制系统的G(s)函数的Nyquist图。

2.确定系统的极点和零点在复平面上的位置，并标记在Nyquist图中。

3.确定绘制Nyquist图时的路径，通常采用右半平面或左半平面的路径。

对于一些特殊系统，比如共轭复极点或共轭复零点，我们需要构造一些特殊路径。

4.通过沿着路径将Nyquist图绘制出来，并标记绕圆点的圈数。

一般情况下，我们可以按照路径的方向来计算围绕圆点的圈数。

5.根据Nyquist图绕极点和零点的情况，结合Nyquist判据的两个结论，判断系统的稳定性。

第5章 系统的稳定性

第5章 系统的稳定性

s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。

第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案

第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案

Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。

重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。

本章难点Nyquist 判据及其应用。

§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。

（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。

与输入量种类、性质无关。

②系统不稳定必伴有反馈作用。

（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。

将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。

即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。

2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。

系统的稳定性nyquist判据以及bode判据46页PPT

系统的稳定性nyquist判据以及bode判据46页PPT

1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周稳定性nyquist判据以及bode判据
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比

10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据

10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据
开环稳定时
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n

2

2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im

-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )

2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。

Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据

机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)

机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)

（5.2.3）
武科大城市学院
机电学部
比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
武科大城市学院
机电学部
从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
武科大城市学院
机电学部
第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
武科大城市学院
机电学部
5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้

11系统的稳定性分析Bode稳定判据

11系统的稳定性分析Bode稳定判据

1. 相角裕度γ
在频率特性上对应于幅值A(ω)＝1(即L(ω)=0)的角频 率称为剪切频率(截止频率)，以ωc表示，在剪切频 率处，相频特性距－180°线的相位差γ叫做相角裕 度。即
(c ) (180) 180 (c )
下图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定，而 且还有相当的稳定储备，它可以在ωc的频率下，允 许相角再增加（迟后）γ度才达到临界稳定状态。
-180°线。
一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系
幅相曲线（-1，j0）点左侧
A
的负实轴
j
-1
BC D 0
0
对数幅频特性L(ω)>0（即零 分贝线以上的区域）
对数相频特性-180°线
L( )(dB)
0
截止 频率
c
()()
相位交 0
A B cD
界频率 -180
-270
一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系
7.7 控制系统的相对稳定性
根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。 但是要使一个实际控制系统能够稳定可靠的工作，刚 好满足稳定性条件是不够的，还必须留有余地。
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度。
7.7 控制系统的相对稳定性
➢相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的 极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线 G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系统的稳定程 度越高；反之，G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越近，则闭 环系统的稳定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿过(－1, j0) 点，则闭环系统处于临界稳定状态。 ➢稳定裕度：衡量闭环稳定系统稳定程度的指标，常 用的有相角裕度γ和幅值裕度 Kg。

机械工程控制基础--系统的稳定性概述

机械工程控制基础--系统的稳定性概述

57 5
2
33 5
51010 5
10
33
5 2 510 33 5
13834
184 3310 184 33
510
10
劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
(3) 劳斯判据特殊情况处理
例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半平面的极点数。
由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性
不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及 性能的问题
频域稳定判据 —
Nyquist 判据 对数稳定判据
由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性
可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题
机械工程控制基础
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
Ai e it
0
充分性： i 0 i 1, 2, , n
i 1
i 0 i 1, 2, , n
n
t
k(t ) Aieit 0
i 1
系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，
或所有闭环特征根均位于左半s平面。
机械工程控制基础
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
避免直接求解特征根，讨论特征根的分布 D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0 (an 0)
列劳斯表
s5 1 12 35
s4 3 20 25
16
s3 3
80 3
s2 5
25
s1 0
0
s0
312 20 3
16 3
335 3
25
80 3
机械工程控制基础

控制工程基础考卷带答案复习资料

控制工程基础考卷带答案复习资料

1．对控制系统的基本要求一般可归结为_________稳定性，准确性，快速性____、____________、___________。

2．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是瞬态响应分量，另一个是____________响应分量。

3．在闭环控制系统中，通过检测元件将输出量转变成与给定信号进行比较的信号，这个信号称为_________________。

4．若前向通道的传递函数为G(s)，反馈通道的传递函数为H(s)，则闭环传递函数为__________________。

5 函数f(t)=的拉氏变换式是_________________ 。

6 开环对数频率特性的低频段﹑中频段﹑高频段分别表征了系统的稳定性，动态特性，抗干扰能力﹑﹑。

7．Bode 图中对数相频特性图上的－180°线对应于奈奎斯特图中的___________。

8．已知单位反馈系统的开环传递函数为：20()(0.51)(0.041)G s s s =++求出系统在单位阶跃输入时的稳态误差为。

9．闭环系统稳定的充要条件是所有的闭环极点均位于s 平面的______半平面。

10．设单位反馈控制系统的开环传递函数为10()1G s s =+，当系统作用有x i (t ) = 2cos(2t - 45︒)输入信号时，求系统的稳态输出为_____________________。

11．已知传递函数为2()kG s s=，则其对数幅频特性L （ω）在零分贝点处的频率数值为_________ 。

12 在系统开环对数频率特性曲线上，低频段部分主要由环节和决定。

13．惯性环节的传递函数11+Ts ，它的幅频特性的数学式是__________,它的相频特性的数学式是____________________。

14．已知系统的单位阶跃响应为()1t to x t te e --=+-，则系统的脉冲脉冲响应为__________。

经典控制Bode稳定判据

经典控制Bode稳定判据
5· 4 Bode（伯德）稳定判 据
•Nyquist稳定判据是利用开环频率特性G(K)的极 坐标图(Nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。 •如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即 Bode图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。 •这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据 或Bode判据，它实质上是Nyquist判据的引申。
• 正穿越 • 负穿越
• 半次正穿越
• 半次负穿越
二、穿越的概念(Bode)
• 在开环对数幅频特性为正值的频率范围内， 沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自下 而上穿过-1800线为正穿越； • 沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自上 而下穿过-1800线为负穿越。 • 若对数相频特性曲线自-1800线开始向上， 为半次正穿越； • 对数相频特性曲线自-1800线开始向下，为 半次负穿越。
5.5系统的相对稳定性
相对稳定性——稳定裕量
Im
G0 ( j g )
幅值裕量 相角裕量
c • -1
Im
kg
-1 g
c •
•
Re
g
•
Re
kg
G 0 ( j g )
幅值穿越频率 相位穿越频率
c
g
G0 ( jc ) 1
( j g ) 1800Βιβλιοθήκη 一、相位裕度• 定义
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
• Bode图与Nyquist图的对应关系： • （1）Nyquist图上的单位园 — Bode图 幅频特性上的0dB线 • （2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图 相频特性上的-1800线
2个重要频率
• Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数 幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输 入与输出幅值相等时的频率（开环输入与 输出的量纲相同），称为剪切频率或幅值 穿越频率、幅值交界频率，记为ω c。 • Nyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对 数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为 相位穿越频率或相位交界频率，记为ω g。

常用的频域稳定判据

常用的频域稳定判据

常用的频域稳定判据
频域稳定判据是用来判断线性时不变系统在频域中是否稳定的方法。

常用的频域稳定判据有以下几种：
1. Nyquist判据：对于开环传递函数G(s)，判断闭环系统是否稳定的方法是通过绘制Nyquist曲线。

当Nyquist曲线不经过点(-1,0)时，系统稳定；当Nyquist曲线经过点(-1,0)时，系统不稳定。

2. Bode判据：对于开环传递函数G(s)，通过绘制Bode图来判断系统稳定性。

Bode图是将传递函数G(s)的振幅与相位分别绘制在对数频率和对数振幅的坐标系上。

在Bode图中，当相位曲线超过-180°时，系统不稳定。

3. Nyquist稳定判据：对于开环传递函数G(s)，通过计算开环传递函数G(s)的极点和零点，可以使用Nyquist稳定判据来判断系统稳定性。

Nyquist稳定判据是通过计算开环传递函数的闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数来判断系统稳定性。

若闭合轨迹绕点(-1,0)的圈数等于开环传递函数G(s)的极点个数减去零点个数，则系统稳定。

4. Routh-Hurwitz判据：对于开环传递函数G(s)，通过构造Routh-Hurwitz矩阵来判断系统稳定性。

Routh-Hurwitz矩阵是由开环传递函数的特征多项式构成的矩阵，通过判断所有主元的符号是否为正来确定系统的稳定性。

若所有主元的符号都为正，则系统稳定。

这些是常用的频域稳定判据，可以根据具体情况选择适合的方法来判断系统稳定性。

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L)
正幅值裕度
L)
负幅值裕度
c

Kg
故在BodeK图g 中，相角裕度
c
表现为 L(ω)=0dB处的相
角Φ(ωc)与-180度水平线
)
之)间的角度差。
-

g
正相位裕度
-
g
负相位裕度

L) Im
正幅值裕度
负相位裕度
c


1
Kg
Re
-1

Re
G(j)
)
不能超过2。
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
激光外科手 术控制系统 的Bode图

0
0
I II
Kg相同但稳定程度不同的两 条开环Nyquist曲线
它们具有相同的幅值裕度，但
Re 系统I的稳定性不如系统II的稳
定性。因此需要增加稳定性的 性能指标，即相位裕度
2. 相位裕度
定义为π加上Nyquist曲线上幅值为1这一点的相角 ，此 时ω=ωc 称为幅值穿越频率。
c
(c )
闭环系统稳定的充要条件是，当 从0变到
﹢∞时，在[GH]平面上系统的开环频率特性逆 时针包围（-1，j0）点N 圈 ,
计算Z=P-2N，若Z=0 说明闭环特征根不在复平 面右半侧，则系统稳定
若Z≠0，说明闭环系统有Z个特征根在复平面右 半侧，系统不稳定。
例：已知系统开环传递函数
G(s)H (s)
A(0) 20,(0) 0
A() 0,() 270
系统是否稳定？ P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为-1圈 N=-1
Z=P-2N =2 系统有两个 特征根在复平面右半侧
s
Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据
3
s
第 三 节 乃 奎 斯 特 稳 定 判 据
20
(s 1)(2s 1)(5s 1)
应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性
解：G( j)H ( j)
20
( j 1)( j2 1)( j5 1)
A()
20
(1 2 )(1 42 )(1 252 )
() arctg arctg 2 arctg5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s
N=0 P=1 Z=P-2N=1 闭环系统有1个右 半平面的特征根
具有单位反馈的非最小相位系统 G(s) K /(Ts 1)
试分析闭环系统的稳定性。
P=? N=?
右半侧极点数为1 P=1 逆时针绕（-1，j0） 圈数与K有关
j Im
解：（1）绘制奈氏曲线
G( j) K /( jT 1) K 1 jT 1 T 2 2
Kg

1
G( j g )H ( j g )
ω=ωg 称为相位穿越频率。 Kg含义：如果系统的开环传递函数增益增大到原来 的Kg倍，则系统处于临界稳定状态。
Im
正幅值裕度
1
Kg
1
正 -1
相

位
裕
度
G(j)
Im 稳定系统
负1 相位1裕度
Kg

Re
-1

G(j)
1
Kg
负幅值裕度
Im
(-1,j0)
半正负穿越 若对数相频特性曲线自－180°线向上，为半 次正穿越；反之，为半次负穿越。
当开环传递函数包括积分环节时，在对数相频特性上要补画
0 0 这一段频率变化范围的相角变化曲线。 G( j0 )H ( j0 ) 90o
例如
G(s)H (s)
K
s 2 (Ts 1)
面上系统的开环频率特性逆时针包围（-1，j0 ）点N 圈 , 1）若N=P，则该闭环系统稳定 2）若N≠P, 则该闭环系统不稳定，闭环系统在 复平面右侧的根的个数由Z=P-N来确定。
Gs H(s)
2
(s 1)(2s 1)
G j H ( j)
2

2
arctan arctan 2
N 1 N 1 N N N 0
Z P 2N 0
闭环系统稳定 。
已知P=1 ，在L(ω)≥0时 相频曲线有一次从负到正 穿越-π线
N 1/ 2
Z P 2N 0
闭环系统稳定 。
已知P=2, 在L(ω)≥0的范 围内,
N 2 N 1
N N N 2 11
G j H ( j)
2

2
arctan arctan 2
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否 稳定？
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
闭环系统，当 从-∞变到﹢∞时，在[GH]平
相位裕度的含义为：如果系统幅值穿越频率ωc信号的相位
迟后再增大 度，则系统处于临界稳定状态，这个迟后 角称为相位裕度。
Im
正幅值裕度
1
Kg
1
正 -1
相

位
裕
度
G(j)
Im
负相位(裕度c )

Re
-1

G(j)
1
Kg
负幅值裕度
由于 L(c ) 20 lg A(c ) 20 lg1 0
试用Nyquist判据判定系统的稳定性。
解 系统的开环幅相曲线如图所示。
Im
(-1,j0)
从Nyquist曲线上看到，曲线顺时 针包围(-1,j0)点一圈， 即N= -1， 而开环传递函数在s右半平面的极 点数P=0，因此闭环特征方程正 Re 实部根的个数
M P 2N 2
故系统不稳定。
Im
(-) (+) (-1,j0)
CB
A
Re
)


-
(-)
(+)
N N N 11 0
s
正负穿越的概念
正负穿越
在系统频率特性的Bode图上，在开环对数 频率特性为正值的频率范围内，沿着ω增加 的方向，对数相频特性曲线自下而上穿越－ 180°线称为正穿越；反之，沿着ω增加的 方向，对数相频特性曲线自上而下穿越－ 180°线为负穿越。
频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即
Z P 2N
若Z=0，则闭环系统稳定， 则闭环系统不稳定
Z 0 Z为闭环特征方程正实部根的个数。
例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳 定性判据, 判断系统的稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
K
0

0

Re

K>1曲线包围 （-1，j0）一圈 N=1 P=N K<1,曲线不包围 （-1，j0），N=0 P≠N,系统不稳定 K=1曲线穿过（-1，j0）系统临界稳定。
G j H ( jw)
2
jw( jw 1)(2 jw 1)
稳定吗？
补画一条半径为无穷大，逆时针方向绕行 90o 的
不稳定系统
1
Kg
负幅值裕度
-

g
1
0 1 正相位裕度
Kg
L)
负幅值裕度
Kg c
)
-
g
负相位裕度

s
第
四
节
【应用点评】影响系统稳定性的主要因素
系
统
的 相
1 影响因素
对
稳
定
性
系统开
由Nyquist稳定判据或对Bode
环增益
稳定判据可知，降低系统开环
增益，可增加系统的幅值裕度
N N 1 , Z P 2N 2
系统闭环不稳定。
1/T
0

1 0
0 0
0 180
Bode图上的稳定性判据可定义为 一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数
为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
闭环系统不稳定。
用在 (,1) 区间，奈氏曲线的正、负穿越 的次数来确定 N
N N N
()
()
() 1
若轨迹终止于（-1，j0） 左侧负轴上，则为半次 穿越
1 () 2
() 1
s
s
Nyquist曲线
例
一个单位反馈系统，开环传递函数为
G(s) K s2 (Ts 1)
( j 1)(2 j 1) 1 2 1 42
系统是否稳定？
P=? N=?
右半侧极点数为0 P=0
逆时针绕（-1，j0） 圈数为0圈 N=0 P=N 系统稳定 Z=P-N =0 系统没有特 征根在复平面右半侧
sNyquist稳定判据
Nyquist稳定判据 定义P为开环传递函数在复平面右侧的极点个数。
和相位裕度，从而提高系统的
相对稳定性。这是提高相对稳
定性的最简便方法。
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
【应用点评】影响系统稳定性的主要因素
2
影响因素
积分
由系统的相对稳定性要求
环节
可知，I型系统的稳定性好
，Ⅱ型系统稳定性较差，