奈奎斯特稳定性判据概要

奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。

该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。

下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。

奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。

该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。

在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。

传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。

传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。

对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。

根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。

这可以通过两个主要步骤来实现。

首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。

开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。

我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。

其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。

奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。

具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。

通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。

奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。

二、控制系统的频域稳定性判据

3. n阶系统 n阶系统稳定的充要条件是当ω由0→∞时， 特征矢量D(jω)的相角变化量为 Δ Arg[D(jω)]= n² 90 °
奈奎斯特稳定判据
三、奈奎斯特判据（奈氏判据） 1. 0型系统（开环没有串联积分的系统）

⑴开环是稳定的系统
如果已知开环系统是稳定的，那么当ω由0→∞时， 若矢量F(j ω)的相角变化量为0，也就是F(j ω)的轨迹不包 围原点，那么闭环系统的特征方程式DB(s)的根全部在s 左半平面，系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。 这样，系统稳定问题转化为找出ω由0→∞时，矢量 F(j ω)的相角变化量问题。
奈奎斯特稳定判据

四、伯德图上的稳定性判据 奈氏判据除了可以表示在极坐标图上， 还可以表示在伯德图上。
w + w=+ w=0 -1 P=0 w
0
180

-
+
四、伯德图上的稳定性判据

由图可知，幅相曲线不包围（-1，j0）点。 此结果也可以根据ω增加时，幅相曲线自下 向上（幅角减小）和自上向下（幅角增加） 穿越实轴区间（-∞，-1）的次数决定。
如果把自上向下的穿越称为正穿越，正穿越次 数用N+表示。把自下向上的穿越称为负穿越，负 穿越次数用N-表示，则R可以用N+和N-之差确定， 即 R= N+- N-

由图可知， N+=1， N-=1，故R=0。
四、伯德图上的稳定性判据
1.Bode图与Nyquist图的对应关系 a. Nyquist图的单位圆 | G(j )H(j ) | 1 对应 Bode图的横轴 20lg | G(j )H(j ) | 0 b. | G(j )H(j ) | 1 单位圆外 对应 20lg| G(j )H(j ) | 0 横轴以上区域

4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
则
0
lim G ( j ) H ( j )
lim G( j ) H ( j ) 0
0
lim G ( j ) H ( j )

2

3 lim G ( j ) H ( j ) 2
奈氏曲线与实轴的交点：将频率特性化为代数 形式： 令

为了分析系统稳定性，通常要确定奈氏曲线的 下列特征： ① 0 的映射； ② 的映射； ③奈氏曲线与实轴的交点； 根据这些映射点画出 对应的奈氏曲线， 然后根据奈氏曲线关于实轴的对称性,画出 的奈氏曲线 0 。 ④奈氏路径中小半圆的映射。
小半圆上的点可以表示为:
G( j ) H ( j ) K (T1 T2 ) (1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 j K ( 2T1T2 1)
[(1 2T1T2 ) 2 2 (T1 T2 ) 2 ]
Im G( j ) H ( j ) V ( ) 0
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下பைடு நூலகம்将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。

在控制系统应用中，由
F (s) 1 G (s)H (s)
很容易确定
的P数。因此，如果， F (s )
的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数
很容易确定。
开环传递函数与闭环传递函数的关系：
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
14
R(s)
C(s) G (s )
G (s)
B1 ( s ) A1 ( s )
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
3
奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 闭环传递函数
C (s) R (s) G (s)
R(s) G (s )
C(s)
H(s )
1 H ( s )G ( s )
图5-4-1 闭环系统 结构图
1 H ( s )G ( s ) 0
例如：考虑下列开环传递函数：
06-7-20 控制系统系统的稳定性分析 6
G (s)H (s)
6 ( s 1)( s 2 )
其特征方程为：
6
F (s) 1 G (s)H (s) 1
( s 1)( s 2 )

( s 1 . 5 j 2 . 4 )( s 1 . 5 j 2 . 4 ) ( s 1)( s 2 )
控制系统系统的稳定性分析 11
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F ( s ) 平面上，
相应的封闭曲线不包围
F (s)
平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。