乃奎斯特稳定判据

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完成这个设想需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N。并将它和开环 频率特性 GH ( j )相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线 s 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为乃奎斯特 路径。如下图所示，分为三部分：
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上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有 开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角 定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上 （原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系 统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。
作业：5-6,5-7,5-8
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三、乃奎斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：
具有开环0值极点系统，其开环传递函数为：
Gk ( s) k ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
G 可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， k (s)不解析， 若取乃氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足 柯西幅角定理。为了使乃氏路径不经过原点而仍然能包围整个s 右半平面，重构乃氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小 做右半圆。这时的乃氏路径由以下四部分组成：
-
k s 1
C (s )
A( )
12
( ) 180 tg 1
当 0时，A( ) 0， ( ) 180，P( ) K，Q( ) 0 当 时，A( ) 0， ( ) 90，P( ) 0，Q( ) 0
F ( s)
(s z )
i
n
(s p )
j j 1
i 1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
由(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
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F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指 定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ， f 称为 d s 在F(s)平面上的映射。 d 同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭 曲线 s，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 f （为 s的映射）。 [例]辅助方程为： ( s ) F
T1T2 s 2 (T1 T2 )s k 1 0
由劳斯—赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。
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[例7]设开环系统传递函数为： Gk ( s) ，试用乃氏 2 ( s 1)(s 2s 5) 判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1， -1j2，都在s左半平面， 所以 。乃氏图如 Pk 0 右。从图中可以看出： 乃氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环 系统在s右半极点数 为： k N Pk 2 0， 2 Z 所以闭环系统是不稳定 的。
乃奎斯特稳定判据
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主要内容
幅角定理 乃奎斯特稳定判据 乃氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ 型系统中的应用 在波德图上判别系统稳定性
乃奎斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定 的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途 径。
2
一、幅角定理： 设负反馈系统的开环传递函数为： k (s) G(s) H (s) ，其 G 中： (s )为前向通道传递函数，H (s )为反馈通道传递函数。 G 闭环传递函数为： ( s)
Ⅰ
R e j
j '
Re
''பைடு நூலகம்

Ⅲ

Ⅱ

2
~

2
下面讨论对于这种乃奎斯特路径的映射 Gk ( j ) ：
1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常规的乃氏图Gk ( j ) ，关于实轴对称；
s 2、第Ⅱ部分： R e j , R ,

的分母阶数比分子阶数高；
2
~

2
， k ( j ) 0 。假设Gk ( j ) G

0
Ⅰ

e j
s
① 正虚轴： 0 ② 右半平面上半径为无穷大的半圆： s R e j，R ，从
③ 负虚轴： 0
Ⅲ

Ⅱ
2
2
9
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = j 代入F(s)，令 从0→∞变化，得第一部分的映射；
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第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅 助方程为 F (s) 1 Gk (s)，Gk (s) 为开环频率特性。因此，有以下三 点是明显的： ①由Gk ( j ) 可求得F ( j ) ，而 Gk ( j )是开环频率特性。一般在Gk ( j j 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 s e 时， k (s) 0 ， G 即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分） 乃奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk ( j) 曲线向右移1；第Ⅱ部 分的映射对应 Gk (s) 0 ，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映 射的关于实轴的对称。 ②F(s)对原点的包围，相当于 Gk (s) 对(-1,j0)的包围；因此映射曲 线F(s)对原点的包围次数N与 Gk (s) 对(-1,j0)点的包围的次数一样。
② 以 s=R·j 代入F(s)，令R→∞， : ，得第二部分的映 e 2 2 射； ③ 以 s = j 代入F(s)，令从－∞→0 ，得第三部分的映射。 得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。 若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，系统 稳定；否则不稳定。
d s (1, j1)
s2 ，则s平面上 d s点（-1，j1），映射 s
s平面
F (s)平面
到F(s)平面上的点 d f 为（0，-j1）,见下图：


d f (0, j1)

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同样我们还可以发现以下事实：s平面上As BsCs Ds Es FsGs H s曲线 s 映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
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[结论] 用上述形式的乃氏路径，乃氏判据仍可应用于Ⅰ、Ⅱ型 系统。但零值极点不包括在右半开环极点的数目中。 [例8]设Ⅰ型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半 平面没有极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：显然这是1型系统。先根据 乃氏路径画出完整的映射曲线。 从图上看出：映射曲线顺时针包 围(-1,j0)一圈，逆时针包围(-1,j0) 一圈，所以N=1-1=0，而Pk 0 ， 故 Z k N Pk 0，闭环系统是稳 定的。
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k [例6]开环传递函数为： Gk ( s) ，试用乃氏判据判断 (T1s 1)(T2 s 1)
闭环系统的稳定性。
[解]：开环系统的乃氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Z k N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。 作为对比可求出闭环传 递函数为：
③F(s)的极点就是 Gk (s) 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是Gk (s)在右半平面的极点数。
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Gk ( j )
Ⅲ
F ( j )
Ⅱ
Ⅰ
F(s)与 Gk (s) 的关系图。
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根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取乃 奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳 定性。就是下面所述的乃奎斯特稳定判据。 [乃奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有Pk 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N， （N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数 为： k N Pk。若 Z k 0，则闭环系统稳定，否则不稳定。 Z
s平面
2
As
Bs
1
Cs
F (s)平面

Hs

Ds
s 顺时针

示意图
f 逆时针
Gs Fs
Es
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0）， 不包围其零点（-2）；曲线 f 包围原点，且逆时针运动。
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柯西幅角定理
s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 s包围s平 面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭 曲线s 移动一周时，在F(s)平面上相对应的封闭曲线f 将 以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为： N=z-p 若N为正，表示 f 顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示 f 顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示 f 逆时针运动，包围原点。
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① 正虚轴： 0
② 右半平面上半径为无穷大的半圆： s R e j，R ，从 2 2 ③ 负虚轴： 0 ④ 半径为无穷小的右半圆，
s R ' e j , R ' 0, '
'

0 Ⅳ 0
令Q( ) 0，解得 0和 ，对应P(0) K和P() 0
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[解]：开环系统乃氏图 k 是一个半径为 ，圆心 k 2 在 ( ,0) 的圆。显然， 2 k>=1时，包围(-1,j0)点， k<1时不包围(-1,j0)点。 由图中看出：当k>1时， 乃氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 而 Pk，则 1 Z k N Pk 0 闭环系统是稳定的。 当K=1时，乃氏曲线通过(－1，j0)点，属临界稳定状态。 当K<1时，乃氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，P = 1，所以 Z = N + P = 1，闭环系统不稳定。