高等量子力学习题
? 量子力学中的对称性
1、 试证明：若体系在线性变换Q
?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为体系的哈密顿算符，变换Q
?不显含时间，且存在逆变换1
?-Q 。进一步证明，若Q
?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z
e
的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n
转θd 角，在此转动下，态函数由
),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。试导出转动算符),(θd n U
的表达式，并
由此说明，若体系在转动),(θd n U
下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i
π
-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
? 角动量理论
1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按
坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。 2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符y
x J i J J ???±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数
m 的取值范围。
4、 给出角量子数
1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J
+=，1J 、2J
相应的角量子数分别为1j 和2j ，
试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：
1
13
3222
22
21
133111
12
2332
2332
2111
1212)1(1
212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=
7、 已知在3?s 表象中，???
? ??=01102?1 s ，????
??-=002?2i i s ，问在1?s 表象中2?s 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=1
13
32
2112211|||
m m m j m j m j m j m j C jm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，
1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
试证明：∑>>=>jm
m j m j m j jm C m j m j |||3
32
211221
1
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为nlj E ，试证明：无论这两个粒子是玻色子还是费米子，
当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数J 必为偶数。 ? D 函数
1、 设坐标系xyz O -绕空间任意轴n
转n d θ角，到达'''z y x O -。在该转动下角动量算符J 的本征
函数)(τψ
jm
变为)()'(τψτψθjm J n d i jm n e
?-=。试证)'(τψjm 是2
J 和'
?z J 的共同本征函数，这里'?z J 为J
在'z 轴上的投影。
2、 证明转动算符J n d i n e
?-θ可表为z y z n J i J i J i J n d i e
e
e
e
???γβαθ
---?-=，其中α、β、γ为欧拉角。
3、 证明d 函数>=<-jm e
jm d
y J i j mm ||')(?'
ββ
具有如下的对称性：
)()()()1()('''''ββββj m m j m m j m m m m j m m d d d d ---=-=--=
4、 试利用D 函数的幺正性，给出∑='
'')()
()'(m jm j
m m jm
D τψαβγτψ的逆变换关系式。 5、 对于无穷小转角δ?，求证：
1'1''')1()1()(2
1
)1()1()(2
1)1()(-+--++-+-+---=m m y x m m y x m
m z j
m m m m j j i i m m j j i i m i D δδ?δ?δδ?δ?δδ?δ?
6、 对于自旋为2/1和1的态函数，计算相应的D 函数的矩阵表示。
7、 证明两个D 函数的乘积满足如下关系
∑++++=j
j
m m m jm m j m j l l l j m j m D C C D D 2
1212122112132211222111μμμμμμμμ 8、 试利用上题结果及D 函数与球谐函数的关系，推导出三个球谐函数的积分公式：
3
32211321112233000321*
)
12(4)12)(12()()()(μμμμμμπΩθ?θ?θ?l l l l l l l l l C C l l l d Y Y Y +++=
?
9、 试证明
∑=m
lm lm Y Y I )()(2211*
?θ?θ是坐标系转动下的不变量，进而证明球谐函数加法定理：
∑+=
m
lm lm l Y Y l P )()(124)(cos 2211*
?θ?θπθ。 ? 不可约张量算符 1、 称按规律
∑==-'
'
'1)(?)()'(?)()(?)(m lm l m m lm n lm n T D T d n U T d n U ταβγτθτθ 变换的12+l
个算符),,1,)((?l l l m T lm
--= τ为l 阶不可约张量算符，试证明这个定义 与不可约张量算符的Racah 定义是等价的。
2、 设)(?)(?2
1221
1ττm l m
l T T 和分别为1l 阶和2l 阶不可约张量算符，求证由下式定义的算符)(?21ττLM T 为L 阶不可约张量算符：
∑=2
122112
211)(?)(?)(?212
1m m m l m l LM
m l m l LM T T C
T ττττ。
3、 微观粒子间的相互作用位能，一般包含张量力项12?)(S r V T ，其中12
?S 为张量算符，其表达式可写为 ∑--=-?=?-??=m
m
m m S Y S
r r S r r r S 2222
2
1212
2112?)(2)
(6)
())((3?
σσσσ 其中∑+---+---=μ
μμμμm m m m
S S C S ???21,12。试证明12?S 的这三个定义是等价的。
4、 设∑=mM
jm LM JM jmLM JM
T C J J
)()(?)(τψττψ，其中)(?τLM T 为不可约张量算符，)(τψjm 为角动量本征函数。试证如此定义的)(τψJ
JM 一定是角动量的本征函数。
5、 求约化矩阵元?||||'>= ，?||?||'>= j 6、 一阶不可约张量算符在角动量表象中的矩阵元可按以下公式计算 2 11)1(|)?(?|'|?|' +>?<>= 2 11)1(|)?(||?|'|?|' +>?><<>= 态上的平均值），磁矩算符为 )(0S g L g S L +=μμ，其中0μ为微观粒子的玻尔磁子。 8、 ? 多个角动量耦合 1、 试证明三个C-G 系数乘积的求和公式 ∑=12 3223 23113312122323 332212122211);(2312321m m m jm m j m j jm m j m j m j m j m j m j m j m j C j j jj j j U C C C 。 2、 试证明两个Racah 系数乘积的求和公式 ∑++++++-=23 312312321);();()1();(312313223123211231213j j j j j j j j j j jj j j U j j jj j j U j j jj j j U 3、 试计算矩阵元>?< 2121|)2(?)1(?|''j jmj T T j jmj L L 和><2 121|)1(?|''''j jmj T j j m j LM 4、 试证明一个角量子数为零的j -9符号可化简为 ? ?? ?? ?++-=?? ? ?? ?????+++243 43423224 3 344322)12)(12()1(0 342432j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j ? 二次量子化方法 1、 给定算符a a n a a ++ =?，，，且满足1},{=+a a ，02 2==+a a ，试证：1）n n ??2=；n ?的本征值只能取1和0。2）在n ?对角化表象中，给出a a ，+ 和n ?的矩阵表示。 2、 设0}?,{}?,?{1}?,?{===+++ a a a a a a ，，令a a n ???+=，证明 >->=>+->=+1||?1|1|?n n n a n n n a 3、 令αααa a n ???+ =，证明无论对玻色子还是费米子，均有 ααααααa a n a a n ?]?,?[?]?,?[-==+ + 其中α为量子态标记。 4、 考虑一玻色子体系，其哈密顿量具有如下形式 ∑∑≠=+=N N V T H ) (,121βαβααβαα 其中2 22αα?-=m T 为单粒子动能算符，|)(|βααβr r V V -=为两粒子相互作用能。选取 箱归一化的动量本征函数r p i p e L r ?-=2/3)(ψ作为单粒子波函数。试证明，哈密顿量H 在二次量子化表象中可写成如下形式 i k m l k k p p p p lmki i l p p k k a a a a p p L a a m p H ++-+∑∑-+=)(2123 2ν， 式中q d e q V p q p i ?-?=|)(|)(ν，第二项求和是在条件k i m l p p p p +=+限制下作出的。 5、 某费米子体系的每个单粒子能级都是二重简并的，属于单粒子能级με的两个简并态用 ν ν、标记，相应的产生、消灭算符记为ννννa a a a 、、、+ +。定义 +++=νννa a S ，ννννa a S S ==++)(， νννννa a a a n +++=? )(ννS S +是能级με上产生（消灭）一对粒子的算符，νn ?是能级上的粒子数算符。证明 μνννμδ)?1(],[n S S -=+， μνννμδ++=S S n 2],?[， μνννμδS S n 2],?[-=。 6、 证明由表达式 >>= ++0|)()(!!1|2 1212121 n n a a n n n n ， 和12)()(|0!!1 |122121n n a a n n n n <= < 定义的多粒子体系的基矢（对费米子和玻色子同样适用）满足对称化要求，即它是交换 算符ij P ?的本征态矢，相应的本征值对玻色子为+1，对费米子为-1。 7、 均匀外场ε中质量为m ，所带电荷为e -，频率为ω的一维谐振子体系。引入玻色子 算符 ,2/)??(?ωω m p i x m a += ωω m p i x m a 2/)??(?-=+， 试证明可将哈密顿量表成 )??()2 1??(?a a a a H +++=++λω ， 并将其对角化。式中ω ε λ m e 2 =。 ? 相对论量子力学 1、 已知μμ αα=+ ，μνμννμδαααα2=+，试在βα=4为对角的表象中建立μα的矩阵表示。 2、 对于自由电子，证明|)|/(p p e e =?σ是守恒量，并求出其本征值。 3、 试证明矢量算符 e e O ?-+=∑β∑β)1( 满足角动量算符的对易关系，而且与自由电子的哈密顿量对易。进而求出i O ?的本征值。 4、 中微子是自旋为1/2，静质量为0的基本粒子。试仿照建立自由电子Dirac 方程的方法，建立中微子的 相对论性波动方程。［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］ 5、 求狄拉克粒子在深为0V 、宽为a 的一维方势阱中的能级。 6、 设在0=t 时，电子的归一化态矢量为 /11)0,(pz e d c b a V x ?? ??? ? ? ??=ψ， 其中d c b a ,,,与t x , 无关，而且满足 1||||||||2222=+++d c b a 。 试求出电子处于态：0>E ，自旋向上；0>E ，自旋向下；0 向下的几率。 ? 路径积分方法 1、证明传播子)'',""(t r t r K 所满足的组合规则。 2、试在薛定谔图象下计算三维自由粒子的传播子。 3、试在薛定谔图象下计算一维谐振子的传播子，并推广到三维情况。 4、试利用路径积分的方法计算一维自由粒子的传播子［参见曾谨言《量子力学》（卷II ）］。 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 吉林大学2017~2018学年第一学期 《概率论与数理统计C 》试卷答案 2018年1月15日 一．填空题 （每小题3分，满分18分，将答案填在题中横线上） 1. 设事件 与事件 相互独立，且 ， ，则 = 3/7 . 2. 设随机变量 的概率分布为 若随机变量 ，则 0.3 . 3.已知随机变量 ，且 与 相互独立， ，则 . 4.设随机变量 在区间 内服从均匀分布，在条件 下，随机变量 在区间 内服从均匀分布，则 和 的联合概率密度为 ， ， ， 其他， . 5. 设 是相互独立同分布的随机变量， ， , ，则由切比雪夫不等式可知 1/4 , 其中8 1 18i i X X ==∑. 6. 设总体 ，一组样本值为 ，则参数 的置信水平为0.95的置信区间为 (-0.98,0.98) . (96.10.025=u ) 二．选择题（每小题3分，满分18分．每小题只有一个选项符合题 目要求，将正确选项前的字母填在题中括号内） 1. 设 为任意两个事件，且 ，则下列结论中正确的是( B ). (A) (B) (C) (D) 2.若要 成为随机变量 的概率密度，则 的可能取值区间是( A ). (A) 0,2π?????? (B) ,2ππ?????? (C) []0,π (D) 37,24ππ?????? 3.设 是二维随机变量，与 不等价的是 ( D ). (A) (B) (C) (D) X 和Y 相互独立 4.设随机变量 和 都服从标准正态分布 ，则下列结论中正确的是( C ). (A) 服从正态分布 (B) 服从 分布 (C) 和 都服从 分布 (D) 服从 分布 5.设总体 的均值为 ，方差为 ， 是来自总体 的样本，则下列 的无偏估计量中最有效的是（ D ）． (A) 12341111 6633X X X X +++ (B) 123111 333X X X ++ (C) 12343411 5555X X X X +-- (D) 12341111 4444 X X X X +++ 6.设总体 ， 是来自总体 的样本,若 未知，检验假设 为 ，则应取检验统计量为（ B ）． (A) (B) (C) (D) ( )2 21 1 μσn i i X =-∑ 量子力学习题答案 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 随机数学 （B） 标准化作业简答 吉林大学公共数学中心 2013.2 第一次作业 一、填空题 1．解：应填 29 . 分析：样本空间含基本事件总数2 10C ，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）…， （9,10），（10,1）共10个，故所求概率为 210102 9 C =. 2．应填0.6. 分析: ()()()1()1()()()P AB P A B P A B P A B P A P B P AB ==+=-+=--+, 故()1()0.6.P B P A =-= 3．应填1 3． 4. 应填172 5. 5．应填 23． 6 ． 二、选择题 1．（D ）．2.（C ）．3．（B ）．4.（C ）．5．（C ）．6.（A ）. 三、计算题 1．将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率1p ；（2）恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ；（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p ． 解：此题为古典概型，由公式直接计算概率. （1）1n N n P p N =. （2）2(1)m n m N n C N p N --=. （3）31 1 n n N p N N -= = .喀兴林高等量子力学习题6、7、8
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