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高等量子力学习题† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
6、 试证明幺正算符U 与复数共轭算符K 的乘积为反幺正算符。
7、 试证明自旋不为零的粒子的时间反演算符可表为K e T y S i π-=。
8、 试讨论由时间反演不变性引起的Kramers 简并。
† 角动量理论1、 角动量算符可以从两个方面来定义，一种是按矢量算符三个分量所满足的对易关系定义，另一种是按坐标系转动时，态函数的变换规律来定义，试证明这两种定义是等价的。
2、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
3、 定义角动量升降算符yx J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
4、 给出角量子数1=j 情况下，角动量平方算符及角动量各分量的矩阵表示。
5、 设总角动量算符21J J J +=，1J 、2J相应的角量子数分别为1j 和2j ，试讨论总角动量量子数j 的取值情况。
6、 利用已知的C-G 系数的对称性关系，证明以下三个关系式：11332222221133111122332233221111212)1(1212)1(1212)1(32313m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m j C j j C j j C j j C -+----+++-=++-=++-=7、 已知在3ˆs表象中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ1 s ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆ2i i s ，问在1ˆs 表象中2ˆs 的矩阵表示是怎样的？ 8、 已知∑>>>=113322112211|||m m m j m j m j m j m j Cjm ，其中m m j j jm m j ''|''δδ>=<，1111''1111|''m m j j m j m j δδ>=<，2222''2222|''m m j j m j m j δδ>=<。
答案：设：C1=x1+iy1,C2=x2+iy2则：P x=2(x1x2+y1y2) P y=2(x1y2-x2y1) P z=x12+y12-x22-y22P2=P x2+P y2+P z2=4(x1x2+y1y2)2+4(x1y2-x2y1)2+(x12+y12-x22-y22)2=4(x12x22+y12y22+x12y22+x22y12)+(x14-2x12x22-2x12y22-2x22y12-2y12y22-2x22y22+y14+x24+y24) =(x14+2x12x22+2x12y22+2x22y12+2y12y22+2x22y22+y14+x24+y24)=(x12+y12+x22+y22)2=(|C1|2+|C2|2)25、A∧B∧6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量和成立不等式：（对于两个态矢和，必有：|α〉|β〉（此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量（对任意复常数，我们有：λ（（这里用态来强调对任何ket 矢量都适用，于是（|〉（6）因：,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆∆=∆的模的平方等于。
7、证明：幺正算符的本征态互相正交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。
这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q -1。
9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。
海森堡图景,态矢依赖时间t 而基矢不含t,而对于海森堡图景而言，|t Sϕ〉（（|x 〉不含t ，于是时间依赖性完全转移到中去了。
|H ϕ〉|x,t H 〉10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量定义粒子数算符由此可知和分别是的本征值为（n+1）和（†|a n ∧〉|a n ∧〉N ∧相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为在N 表象中解此方程，展开：由得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。
练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。
34.134.2 按照正文中的对哈特利—福克方程（34.22）式中第二项的理解，这一项是处于k 态的电子同其余电子之间的库仑相互作用。
既然这样，()ρ即（34.20）式对j 的取和中，就不应含有j=k 的项，但是现在（34.22）式中并未将j=k 这一项去掉，这是为什么？（邱鸿广） 解：文中哈特利-福克方程（31.14）式在位置表象中的形式为()()()()()2''2''*'''2''*'22''=-⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-∑∑⎰∑∑⎰σϕλσϕσσϕσϕσσϕσϕσσr r r r d d V m k k k j j j j k j j k在式子中当k j =时，式子中的第二项和第三项相减就消去了。
所以（34.22）式中并未将k j =这一项去掉。
#练习34.3 在本小节位置表象的范围内，证明满足哈特利-福克方程的不同单粒子态)(σϕj 和)(ϕr k 是互相正交的。
（做题人：田军龙 审题人：丘鸿广）证明： τσϕσϕd k j )()(⎰*τd b b k j ⎰=k j b b =i b 是一套正交归一基矢量且k j ≠ ∴0==jk k j b b δ 当k j ≠∴ 0)()(=⎰*τσϕσϕd k j∴ )(σϕr j 和)(σϕr k 是互相正交的。
35.1 态函数的正交归一化条件是什么？（侯书进做。
韩丽芳审核） 解：归一化条件是()()() ll n n n n n n n n i l l n n n n n n n n n n ''''∑-=''''δδδδδψψ332211321321#35.2 （1）利用 ()() 1321321,-++ψ=ψ=l l l l l l l l n n n n n n n n n a a a N ε以及 ()()13213211+ψ+=ψl l l l l n n n n n n n n n a ε()()l l l l n n n n n n n n n N 321321ψ=ψ证明：(2)上式是否说明() l n n n n 321ψ是占有数算符l N ˆ的本征函数？如果是，说明理由：如果不是，那么lN ˆ的本征函数是什么？（侯书进做。
练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。
（完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得11112ψψψψψψ+=+=+=（） 只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7）00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2）上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-⇒)1( #练习 1.2 证明在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则必有21ψψ=。
（完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）证明 由题意可知，在内积空间中若()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则有(1ψ,)ϕ－(2ψ,)ϕ=0 (1)于是有()0,21=-ϕψψ (2)由于在内积空间中()()ϕψϕψ,,21=对任意ϕ成立，则可取21ψψϕ-=,则有()2121,ψψψψ--=0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有21=-ψψ（4） 即21ψψ=故命题成立，即必有21ψψ=. #练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。
（完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。
#练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()︒〈180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改为θ或θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4*43*32*21*1432,m l m l m l m l m l +++=空间是否仍为内积空间？（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为()()⎰⎰==baba dxx x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2**)()()(),()()()(),(或空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟 审核人：赵中亮）解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。
k ijk j i S i S S ε=],[2322212S SS S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。
在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 的表达式2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。
问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。
3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式<x|n>。
4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±试证明该系统的时间演化算符可表示为:U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。
5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。
练习 12.1. 一维谐振子受微扰21X H ε=的问题，使有严格解的，试仿照正文中的方法，在薛定谔绘景中用近似的方法讨论这一问题，并将结果与严格解比较。
（解答人：李泽超 核对人：熊凯） 解：由题意得：受微扰的一维谐振子的哈密顿量是：()1......................................................................10H H H += ()()2.......21212212220⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++AA A A AA X m P m H ωωω ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=-=+=+++A A m i P A A m X iP X m m A iP X m m A 222121 ωωωωωω()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=+==+++++ωεττωεεm AA AA A A A A A A m X H 23.........2221谐振子从0=t 时刻起其状态满足薛定谔方程：()()()4.......................................:,10H H H t H t ti +==∂∂其中ψψ0H 的含时本征矢量的展开为：()()()5...........................................21exp ∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=jj t a t j i j t ωψ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t m i t mt a m ωψ21exp微扰1H 的矩阵元为j H i ，具体的形式为：j AA AA A A A A i j H i +++=++++ τ利用算符A A 和+对本征矢量函数的；上升和下降的性质，得：()()()()()()6..................2121,2,,2j i j i j i i i i i i j H +-+++++-=δδδτ 采用微扰方法近似解薛定谔方程时，薛定谔方程可一化为下式： ()()()()7......................................exp 1t a j H t E E i t a t i j S jj i i ∑⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂将（6）式带入（7）式可得到在题意条件下的微扰方程的表达形式如下：()()()()()()()()()8..21121exp ,2,,2t a i i i i i t E E i t a t i j jj i j i j i j i i ∑+-+++++-⎪⎭⎫⎝⎛-=∂∂δδδτ经化简得：()()()()()()()()()()()()9...212exp 122exp 122t a i i t i t a i t a t i i i i t a dtdi i i i +-++-++--=⇒ωωτ将()t a i 的已知的低级的近似()()t a n i 代入方程的右边，即可以解出高一级的近似()()t a n i 1+。
对一个算符公式的修正
林琼桂;喀兴林
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2002(021)012
【摘要】指出近日出版的<高等量子力学>一书中给出的一个算符公式在其推导中存在漏洞,因而结果也不正确.讨论了正确的推导方法和修正的结果.
【总页数】3页(P14-16)
【作者】林琼桂;喀兴林
【作者单位】中山大学,物理系,广东,广州,510275;北京师范大学,物理系,北
京,100875
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
【相关文献】
1.非线性方程组的一个修正牛顿法公式 [J], 吴建春
2.对一个太阳总辐射计算公式的修正 [J], 刘雅莉
3.一个相对论性动量算符公式的再讨论 [J], 胡昆明
4.对一个动量算符公式的质疑 [J], 胡昆明
5.一个物理量算符公式 [J], 沈廷材
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第八章形式散射理论一、请写出克莱因-高登方程的方程式以及怎么理解“负能量”的问题。
上式即为克莱因-高登方程。
在相对论力学中，负能量的出现几乎是不可避免的。
在经典力学中，由于粒子的初始能量为正，运动过程又必须保持能量守恒，因此以后任何时刻，能量也必然为正，不会引起麻烦。
在量子力学中，负能量问题必须另外考虑。
因为若有负能级存在，而且按式(8.8)，k越大，E负得越大。
粒子从负的数值小的较高能级向负的数值大的较低能级跃迁，将不断放出能量。
于是体系将不会出现稳定态。
这个结果当然是不合理的。
二、分析一下克莱因-高登方程为什么会出现负概率问题的原因。
先分析一下克莱因-高登方程出现负概率问题的原因。
由于克菜因-高登方程是对时间的二阶微分方程，初始条件必须同时由决定。
而概率流守恒定律或连续性方程是ρ对时间的一阶微分方程，为使它和克莱因-高登方程一致，ρ必然依赖于时间的一阶微商。
而是任意的，于是就不可避免地出现负概率问题。
三、为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论，请简单分析。
为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论。
假定在真空状态下，所有负能态都已被电子填满。
因此根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为正的电子不可能跃迁到负能态中去。
这种被填满的负能态称为费米海，它只起一个背景的作用。
在负能态中的电子，它的能量和动量是不能观测的。
只有从费米海中移去一个或多个电子时，才会产生可观测的效应。
例如，由于某种外来作用，把负能态中的一个电子激发到正能态，从而使得负能态中出现一个空穴，于是这个空穴就类似于某种具有正能量的东西。
四、洛伦兹矩阵由哪些重要的性质。
(1)对每一个Γn(n=S，V，T，P，A)，均有(2)除Γs外，对每一个Γn，最少一个有Γm，使它满足利用性质(2)和(1)，得两边取迹.即除Γs外，所有其余的15个矩阵的阵迹均为零。
(3)对给定的Γa和Γb(a≠b)，总可以找到另一个Γn，但这个Γn不是Γns，使得式中，是一个常数，视a、b、n不同而可能取不同的值(4)γ5矩阵满足五、为以后将狄拉克方程写成更方便的协变形式，引入四维坐标的协变和抗变矢量，第σ分量的方程式是什么，以及应满足什么条件。
第一章1、简述量子力学基本原理。
答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。
QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄米算符(Aˆ)；2、物理量所能取的值是相应算符A ˆ的本征值；3、一个任意态总可以用算符A ˆ的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；而物理量A 在ψ中出现的几率与2i C 成正比。
原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ˆ和相应的正则动量算符i pˆ有如下对易关系：[]0ˆ,ˆ=j i x x ，[]0ˆ,ˆ=j i p p ，[]ij j i i p x δη=ˆ,ˆ 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给()()t H t ti ψψˆ=∂∂η在海森堡图景中，一个厄米算符()()t A H ˆ的运动规律由海森堡方程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ˆ,ˆ1ˆη= 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。
2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景.3、 已知.10,01⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成立不等式：（1）先证明一个引理----schwarz 不等式：对于两个态矢|α〉和|β〉，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ〈〉=-〈〉，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这里用态|〉来强调对任何ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易子,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆∆=∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反对易子},A B ∧∧⎧∆∆⎨⎩是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。
EX2.算符2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： CB AC A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCAABC BC A ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明：BC A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CABABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ）],[],[1B A nB B A n n -=证明：],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A重复这种递推过程（n-1）次，即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=#练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美）（1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111)(--=A a aA ；（2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；（4）⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--=A aaA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A(4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ故(⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********11)1()1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ#2.4 若线性算符A 有逆，{|μ>}（i=1,2,3,…，n ）是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。
证明在A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集，从而证明值域的维数与定义域相同。
证明：已知A 为可逆算符得 111==--A A AA{|μ>}（i=1,2,3,…，n ） 是A 的有限维的定义域中的一组完全集 >μ>=|Ψ|A 定义域 |μ>为n 维的假设值域|Ψ>不是一组完全集，那么值域中的每一个|Ψ>在定义域中有且只有一个|μ>所以的|Ψ>为数肯定小于n 。
又因为A 算符是可逆的，所以得 >μ>=|Ψ|A -1定义域|Ψ>维数小于n 的那么不论|μ>是否为完全集都应该小于或等于n 维的。
这样的话|μ>的维数与题目相矛盾 由此得之A 的值域中{A|μ>}也是一组完全集，而值域的维数与定义域相同。
练习 2.5 有逆算符A 的定义域是有限维的，若已知1=AB ,证明 1=BA 。
证明：（何建贤解答 项朋核对）已知A 是可逆算符，所以11=-AA 和11=-A A 又因为1=AB ，即1-=AA AB 两边同时右乘得 A AA ABA 1-= 两边同时左乘1-A 得 A AA A ABA A 111---= 所以得：1=AB #练习2.6 证明任何线性算符作用于零矢量ο上，必得零矢量。
证明：（高召习解答 孟祥海核对）设A 为任意线性算符，由线性算符的性质得：αϕαϕ)|A ()A(|>=>令0=α，由于>=>ϕααϕ||， 0|0>=ϕ 所以 )|(0|A >>=ϕA 令>>=φϕ||A ，所以0|00|0|>==>>=φφA#练习 2.7 （2.7）式与（2.8）式还各有一个用()[]i A B ,型多重对易式表示的式子，试把它们求出来。
（高召习解答 孟祥海核对）解：（1）由于]],,[[],[],[],[],[)2()1()0(A A B A B A B A B B A B ===显然，对于],[)1(A B 型多重对易式有],[]],,[[)1()(+=i i A B A A B ],[],[],[)1()1()1(+=-i A B A B A A A B即],[],[],[)1()1()1(A B A A B A A B i -+=+ （2）由于],[],[)()(i i A B B A -= （1）且1)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i ni n i ni nA B A i i n n A B A i n B A （2） 把（1）代入（2）得1)(11)(1],[!)!(!],[-=-=∑∑--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n i n i n i ni nA AB i i n n A A B i n B A #练习2.8 试用数学归纳法证明：（陈玉辉解答 项鹏核对）111],[],[-=-∑=i ni n nB B A B B A证明：用数学归纳法，当n=1时原式成为 ],[],[B A B A =原式显然成立；现设原式对n 成立，推出它对n+1也成立：1111)1(1)1()1()1(111)1(1111],[],[],[],[],[],[],[],[],[-+=-+-++-+-=-+-=-+∑∑∑=+=+=+=⋅=i n i n n n n i ni n ni ni n nn n n B B A B B B A B B B A B B B A B B A B B B B A B A B B B A B A这就证明了原式对n+1也成立，所以111],[],[-=-∑=i ni n nB B A B B A# 2.92.10 若算符A 有逆，证明A 的伴算符也有逆，而且 ()()+--+=11A A证明：取一任意ϕ()ϕϕϕϕB A B A ++===1可见对于任意ϕ，确有ψ存在，这个ψ就是ϕB 。
若21ψψ++=A A ,用C 作用在此式两边 21ψψ++=CA CA 但此式就是21ψψ=，所以()1-+A 存在，因此A 的伴算符也有逆。
又因A 有逆，即11=-AA则()*++--==ϕψψϕψϕA A AA 11由于*=ϕψψϕ 则()11=++-A A 又因+A 有逆，所以()()+--+=11A A#2.11 伴算符的定义式（2.24）或ψϕψϕ+=B B 可否改成对任意ψ有：ψψψψ+=B B ？（许中平 核对：田军龙）证明：取一任意ψ，都有()()ψψψψB B =式中的B 是右矢空间的算符，此式右边的()ψψB 的右矢ψ与左矢B ψ的内积，单用右矢空间的话说，就是右矢ψ与右矢ψ+B 的内积，在单一空间中，此式正是伴算符+B 的定义式，写成单一空间的形式就是：()()ψψψψ,,+=BB因此，ψϕψϕ+=BB可改成对任意ψ有：ψψψψ+=BB#练习 2.12本节提到的由0Aψψ=断定0A=的定理对于实空间（即数乘中的数是实数）是不成立的。
试在三维位行空间（内积定义为标量积yx⋅）中举出一个反例，证明此定理对实空间不成立。
（邱鸿广解答田军龙审核）证明：在实空间中只要算符A为一个把矢量逆时针旋转90度的变换矩阵。
则当它作用到任何一个位行空间矢量ψ上后再与原来的矢量ψ点积都为零。
但A 不为零。
所以不成立。
例:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111A#2.13 证明：若A,B 是厄米算符，则当且仅当A,B对易时，算符AB才是厄米算符。
（李泽超解答董廷旭核对）证明：充分性：A,B对易，则ABBA=; A , B为厄米算符，则++==BBAA,现任取一ψ，则：***++===ψψψψψψψψABBAABAB即：ψψAB是实数。
即：AB是厄米算符。
必要性：A , B为厄米算符，则++==BBAA,；AB为厄米算符：则()+++==ABABAB.现任取一ψ，则：()***+===ψψψψψψψψABBAABAB⇒0=-BAAB即：算符A与B对易。
#2.14 证明，有逆的等距算符是幺正算符。
（李泽超解答 董廷旭核对） 证明: 设算符A 是等距算符，则:1=+A A ……………………………(1) 由题意知算符A 有逆，则：11=-A A ………………………………...(2) 用1-A 右乘式（1）得：1-+=A A ……………………………………………………………(3) 由（3）式得A 为幺正算符。
#练习2.15 设H 是厄米算符，U 是幺正算符，A 是任意算符，问下列算符是厄米的还是幺正的？ （孟祥海解答 高召习核对）（1）1-UHU ， （2）HA A +， （3）iH e ， （4）iH iH +-11， （5）11+-U U i证明： （1）先证: 1-UHU 是否为厄米算符， 对任意矢量|ϕ>有：*1*1||||||||||>>=<=<>>=<>=<<-+++++-ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕUHU UHU U H U U H U UHU 即得证。
再证：1-UHU 是否为幺正算符， 由上可知，+++=UHU UHU )( 则++++=UHHU UHU UHU )(只有当1-=H H 时上式才为1，即只有当1-=H H 时1-UHU 为幺正算符。
（2）厄米性的证明：**||||||||>=<>>=<>=<<++ϕϕϕϕϕϕϕϕHA A A H A A H A HA A即得证。
