练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i
a 展开的（6.1）式中，证明若ψ
是归一化的，则
1=∑*i
i
i c
c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟）
证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式
∑=i
i i
c a
ψ, ψi i a c =
可得
1===∑∑*
ψψψψ
i i
i i i
i a a c c
即A 取各值的概率是归一化的。 #
练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变.
(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美）
(1)证明：在定态中i E i H i = , 3,2,1=i 则
()t E i i i i t
-=ψ
所以
i A i e i A e A t E i t E i i i ==-
ψψ.
即所有物理量的平均值不随时间变化.
(2)两个定态的叠加不一定是定态.例如
()()()t E i t E i e
x v e
x u t x 21,
--+=ψ
当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. #
6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：
)
(]),([)()](,[X f X i P X f P f P
i P f X ∂∂
=∂∂
=
（解答：玉辉 核对：项朋）
证明：（1）
)
()()()()()()()()](,[P f P
i P i P f P i P f P f P i P
i P f P f P i X P f P Xf P f X ∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=-= ψψ
ψψψ
ψψ
ψψ
所以 )()](,[P f P
i P f X ∂∂
=
（2）
)
()
()())(())(()()())(()()(]),([X f X
i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ∂∂=∂∂
--∂∂--∂∂-=∂∂
--∂∂-=-= ψψψψψ
ψψ
ψψ
所以 )(]),([X f X
i P X f ∂∂
=
#
练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P
i P X f X ∂∂
= 解：不正确。
因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 #
练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=⋅=⋅L X ,L P （2）[]0=⋅P X L,
（3）()()P X X P P X P X L ⋅-⋅⋅-= i 22
2
2
证明： （1）∑∑∑∑===
⋅ijk
k j i ijk k j jk
ijk
i
i
i
i
i P X P P X P L P εε
L P
由于⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==其他情况,,,,,,,032121313213122311231ijk ijk ijk
ε且k j i P X P ，，是相互对易的，
所以0＝∑=
⋅ijk
k j i ijk
P X P ε
L P
∑∑∑∑===⋅ijk
k j i ijk k j jk
ijk i
i i
i i P X X P X X L X εεL X ，同上面的过程可以得到
0=⋅L X
（2）先计算：
[][]l l k j jk
ijk l jk
l
l l k j ijk i P X P X P X P X L ,,P X ,∑∑∑∑=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅εε
由于[]
ij j i i P X δ =,。将上式展开可以得到：[]0=⋅P X ,i L ，再利用相同的道理可以推出：
[]0=⋅P X L,
（3）证明：
23
23
22
23
21
23
23
22
22
22
21
22
23
21
22
21
21
2
1
2
3222123222122p x p x p x p x p x p x p x p x p x p p p x x x P X ++++++++=++++=)
)((
)
())((3
2332233113333222
2221122331122111211x p x x p p x x p p x x p p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x X P P X ++++++++=
)(33221122p x p x p x i P X i ++=
1
21221121221212131311331311313132
3233223233232322
p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L +--++--++--=
利用公式ij j i i p x δ =],[
23322113322113322112323323322222222212112113
322113
2
3322221211232322222121222=+++---=+++-+-+-=++++++---=++-)()
()()()(())((p x p x p x i p x i p x i p x i p x p x p x i p x x p x p x x p x p x x p x p x p x p x i x p x x p x x p x p x p x p x P
X i X P P X P X L
即得证！
#
