高等量子力学习题
1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是()
()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e
i p
a a D -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ˆexp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,!
21
,++
+=-B A A B A B Be
e A
A
ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber
公式C
A B C B
A B
A e
e e e
e e e
2
12
1
==-+。
6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足
122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密
算符。
7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02
=A ，1=+++AA A A ，A A B +
=。试证明
B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。
8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a
ˆ的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1ˆ-=n n n a 。
9、 从谐振子对易关系[
]1,=+
a a 出发，证明a e ae e
a
a
a
a λλλ--=+
+。
10、 证明谐振子相干态可以表示为
0*a
a e
ααα-+=。
11、
谐振子的产生和湮灭算符用a 和+
a 表示，经线性变换得+
+=va ua b 和
++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任
何一个本征态，2
=∆⋅∆p x 。 12、
某量子体系的哈密顿量为，()
223
2
35++++=
a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++
+
a a aa
a a 。试求该体系的能量本征值。
13、
用+
a
ˆ和a ˆ表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
[]()
ˆ,0ˆ1ˆˆˆˆˆ,ˆ2
2
===+=++++
+a a
a a a a
a a
，
该单粒子态上的粒子数算符记为a a n ˆˆˆ+=。求n ˆ的本征值，并计算对易式[][
]?ˆ,ˆ?,ˆ,ˆ==+
a n a n
14、
用+
a
ˆ和a ˆ表示玻色子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 []1ˆˆˆˆˆ,ˆ=-=++
+
a a
a a a a
， 该单粒子态上的粒子数算符记为a a n
ˆˆˆ+
=。计算对易式[]
()[],...3,2,1?,ˆ,ˆ?,ˆ,ˆ===+k a n a n k
k 。
15、
设有两个独立的谐振子组成一个体系，用+
+
2211ˆ,ˆ,ˆ,ˆa a a a
分别表示两个谐振子的产生和湮灭算符，满足对易关系[][]
1ˆ,ˆ,1ˆ,ˆ2211==+
+a a a a
，用222111ˆˆˆˆˆˆa a n a a n +
+==和表示粒子数算符。在粒子数表象中，归一化本征态记为2121n n n n ⊗=。 令(
)
+
+
+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=2121,a a a a a a ()为泡利矩阵σσ,2
1a a J +=。
求：（1）用+
+2211ˆ,ˆ,ˆ,ˆa a a a 表示出?,,,=±J J J J z y x
（2）证明这样定义的算符的全部代数性质； （3）求出z J J ,2
的本征值和共同本征态。 16、
设J 为角动量，在z J J ,2表象中定义矩阵(
)jm e
jm d i j
m m λ
λ-=''，其中λ为实
数。当2
1
=j 时，求出这个矩阵的具体形式。 17、
在费米子体系中，场算符为()()
∑⋅=i
i i b r k i V
r ˆex p 1
ˆ
ψ
，其中算符i
b ˆ和+i b ˆ满足对易关系[]1ˆˆˆ
ˆˆ,ˆ=+=++
+
+i i i
i i
i b b b b b b 。单个费米子自由运动时的哈密顿量为
22
222ˆˆ∇-==m
m p H 。试推导N 个费米子组成的体系在二次量子化后的粒子数表象中的形式？
