k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S
S S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰
=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：
1、 两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符：
试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2
=+ 并求出两个态矢量 |+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符 的表达式
2、 二能级系统的哈密顿算符一般可表达为：
H ＝a|1><1| + b|2><2| + c|1><2| + d|2><1|
其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。
问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。
3、 已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为
其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为
试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式。
4、 设某系统的哈密顿算符为: H(t)=a 1(t)J ++a 2(t) J 0+a 3(t) J －
其中a i (t),i=1 , 2 , 3为任意时间t 的函数，J + , J 0 , J －为SU(1,1)群的生成元，其满足下述对易关系: [J + , J －]=－2 J 0 , [J 0 , J ±]=±J ±
试证明该系统的时间演化算符可表示为:
U(t,0)=exp[C 1(t)J +]exp[C 2(t)J 0]exp[C 3(t)J －] , 并导出确定C i (t)的方程.。
5、 已知算符b 和b +的对易关系为[b , b +]=1,在 b + b 对角表象的本征态矢量为
且基态满足b|0>=0, 引入算符b 的本征态b|z>=z|z>
试求归一化态矢量|z>在b + b 对角表象的表示式,由基矢量组|z>构成的表象称作为相干态表象，试求态矢量|n>在相干态表象的波函数
6、 题的已知条件与题5相同，并可利用题5的结果，试证明：
（i ）相干态表象的基矢量不具有正交性，并说明其原因。
(ii) 相干态表象的基矢组是完备的，完备性条件由下式给出
式中，积分元由z=x+iy d 2z=dxdy 给出，证明过程中可以利用的公式有:
）（||||2
1+><-+-><+= S ）（||||23-><--+><+= S ）（||||2
2-><+-+><-= i S ； >
>=+0|)(!1
|n b n n )(2b b x +=+μω
)
(2b b i p -=+
μω⎰=><1
||2z z z
d π
(iii)不存在算符b+的本征右矢量。
