(完整)高等量子力学习题汇总,推荐文档

第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。

(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。

二、理想测量的三个基本要求是什么。

(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。

(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。

(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。

三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。

标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。

在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。

标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。

那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。

四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。

量子Zeno效应是纯量子测量效应。

理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。

极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。

这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。

在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。

其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。

这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。

其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。

WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。

答案：设：C1=x1+iy1,C2=x2+iy2则：P x=2(x1x2+y1y2) P y=2(x1y2-x2y1) P z=x12+y12-x22-y22P2=P x2+P y2+P z2=4(x1x2+y1y2)2+4(x1y2-x2y1)2+(x12+y12-x22-y22)2=4(x12x22+y12y22+x12y22+x22y12)+(x14-2x12x22-2x12y22-2x22y12-2y12y22-2x22y22+y14+x24+y24) =(x14+2x12x22+2x12y22+2x22y12+2y12y22+2x22y22+y14+x24+y24)=(x12+y12+x22+y22)2=(|C1|2+|C2|2)25、A∧B∧6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量和成立不等式：（对于两个态矢和，必有：|α〉|β〉（此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量（对任意复常数，我们有：λ（（这里用态来强调对任何ket 矢量都适用，于是（|〉（6）因：,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆∆=∆的模的平方等于。

7、证明：幺正算符的本征态互相正交.8、试证明：若体系在算子变换Q 下保持不变，则必有[H,Q]=0。

这里H 为哈密顿算符，变换Q 不显含时间，且存在逆变换Q -1。

9、论述态矢,波函数与图景,表象的关系,并说明薛定谔图景和海森堡图景的区别.答案:态矢与图景有关而与表象无关,波函数作为态矢在基态上的投影却与表象有关和图景无关。

海森堡图景,态矢依赖时间t 而基矢不含t,而对于海森堡图景而言，|t Sϕ〉（（|x 〉不含t ，于是时间依赖性完全转移到中去了。

|H ϕ〉|x,t H 〉10、求证11、请写出一维谐振子的经典哈密顿量定义粒子数算符由此可知和分别是的本征值为（n+1）和（†|a n ∧〉|a n ∧〉N ∧相干态为最小不确定态，同时是的本征态，记为在N 表象中解此方程，展开：由得又有，所以由归一化条件得：15、简述：从经典力学过渡到量子力学的三种途径————薛定谔的表述形式，即波动力学，它重视描述粒子“波粒二重性”运动的波函数。

?2k ( 7 )
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
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对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
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1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
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?k1x

练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。

第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。

描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。

用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。

右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。

二、请简述线性算符的运算规则和性质。

(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。

(8)，表示算符A的函数。

三、幺正变换的基本性质有哪些。

幺正变换具有许多非常有意义的性质。

(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。

(2)幺正变换下算符方程的形式不变。

(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。

(4)幺正变换下算符的行列式不变。

(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。

(6)幺正变换下算符的迹不变。

(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。

(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。

1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。

六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。

七、请列举混合态密度算符的性质。

个人收集整理-ZQ1 / 1 k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=>>=+0|)(!1|n b n n ⎰=++-x x x x e e d ****2φφφφπφ高等量子力学第一章习题：两个态矢量＞和－＞形成完全集.在它们所构成地空间中定义如下三个算符：试证明它们满足如下对易和反对易关系： ij j i S S δ2},{2 =+ 并求出两个态矢量 ＞和－＞之间地翻转变换算符及算符 地表达式二能级系统地哈密顿算符一般可表达为：＝>< >< >< ><其中>和>分别表示二能级地状态，形成正交归一集.问：地厄密性对系数有何限制?求该系统地能量本征值及相应地本征态矢量(表示为>和>地线性叠加).文档收集自网络，仅用于个人学习已知一线性谐振子在其哈密顿表象中地本征态矢量为其中，基态>满足>,并且和与其坐标和动量算符地关系为试求态矢量>转换到坐标表象表达式<>.设某系统地哈密顿算符为: ()()() () －其中() , , 为任意时间地函数， , , －为()群地生成元，其满足下述对易关系: [ , －]－ , [ , ±]±±文档收集自网络，仅用于个人学习试证明该系统地时间演化算符可表示为:()[()][()][()－] , 并导出确定()地方程..文档收集自网络，仅用于个人学习 已知算符和地对易关系为[ , ],在 对角表象地本征态矢量为且基态满足>, 引入算符地本征态>> 试求归一化态矢量>在 对角表象地表示式,由基矢量组>构成地表象称作为相干态表象，试求态矢量>在相干态表象地波函数文档收集自网络，仅用于个人学习题地已知条件与题相同，并可利用题地结果，试证明：（）相干态表象地基矢量不具有正交性，并说明其原因.() 相干态表象地基矢组是完备地，完备性条件由下式给出式中，积分元由 给出，证明过程中可以利用地公式有:()不存在算符地本征右矢量. ）（||||21+><-+-><+= S ）（||||23-><--+><+= S ）（||||22-><+-+><-= i S ； >>=+0|)(!1|n b n n )(2b b x +=+μω)(2b b i p -=+μω⎰=><1||2z z zd π。

ψ
nxnynz
(x,
y,
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩0
8 abc ,
sin
nxπx a
sin
nyπ b
y
sin
nzπ c
z
, 0 < x < a,0 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
n = 1, 2,3,""
9. 粒子在一维 δ 势阱
V (x) = −γ δ (x) (γ > 0)
中运动，波函数为ψ (x) ，写出ψ ′(x) 的跃变条件。
8. 写出三维无限深势阱
V (x,
y, z)
=
⎧0 , 0 < x < a , 0 ⎩⎨∞ , 其余区域
<
y
<
b
,
0
<
z
<
c
1
量子力学复习题答案（安徽大学）
中粒子的能级和波函数。
解：能量本征值和本征波函数为
+ + Enxnynz
=
= 2π 2 2m
⎜⎛ ⎜⎝
n
2 x
a2
n
2 y
b2
n
2 z
⎟⎞
c 2 ⎟⎠
∑ ψ (x) = cnψ n (x) ， n
写出展开式系数 cn 的表达式。
解：
∫ cn = (ψ n (x) ,ψ (x)) =
ψ
* n
(
x)ψ
(
x)
dx
。
29.
一个电子运动的旋量波函数为

第一章1、简述量子力学基本原理。

答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。

QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄米算符(Aˆ)；2、物理量所能取的值是相应算符A ˆ的本征值；3、一个任意态总可以用算符A ˆ的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；而物理量A 在ψ中出现的几率与2i C 成正比。

原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ˆ和相应的正则动量算符i pˆ有如下对易关系：[]0ˆ,ˆ=j i x x ，[]0ˆ,ˆ=j i p p ，[]ij j i i p x δη=ˆ,ˆ 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给()()t H t ti ψψˆ=∂∂η在海森堡图景中，一个厄米算符()()t A H ˆ的运动规律由海森堡方程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ˆ,ˆ1ˆη= 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。

服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。

2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景.3、 已知.10,01⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成立不等式：（1）先证明一个引理----schwarz 不等式：对于两个态矢|α〉和|β〉，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个矢量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ〈〉=-〈〉，代入上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这里用态|〉来强调对任何ket 矢量都适用，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易子,,A B A B ∧∧∧∧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆∆=∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是一个反厄米算符，它的平方值恒为纯虚数，而反对易子},A B ∧∧⎧∆∆⎨⎩是厄米算符，它的平方值恒为实数，于是：的模的平方等于。

可编辑修改精选全文完整版一、在以下两种情况下计算粒子在一维阶跃势()⎩⎨⎧><=0000x V x x v （00>V ）上的反射率R 与折射率T ：00)2,)1V E V E <>解：（1）ψψμE H U H=+∇-=ˆ,2ˆ22 0V E >：令()022V E Ek -==μαμ， 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ ()()00222>=+x x dxx d ，ψαψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ()0,2>=x Ae x x i αψ 由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得 ααα+-=+=k k B k k A ,2 反射率()()222αα+-==k k B R透射率()241αα+=-=k k R T（2）0V E <，()E V -=02μβ 定态方程为 ()()00222<=+x x k dxx d ，ψψ()()00222>=-x x dxx d ，ψβψ 其解为 ()0,1<+=-x Be e x ikx ikx ψ ()0,2>=-x Ae x x βψ由边界条件 ()()0021ψψ=，()()00'21ψψ=‘可得()()()k i k i B k i A βββ+-=+=1112，反射率12==B R ，透射率01=-=R T二、质量为μ的粒子被约束在半径为r 的圆周上运动。

（1）设立路障 ，进一步限制粒子在00ϕϕ<<的一段圆弧上运动πϕϕϕϕϕ2,0,0{)(00<≤∞<≤=V求解粒子能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于情况（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率。

解 1、在路障内，定态Schroedinger 方程为)()(2222ϕψϕϕψE d d I =- （1） 其中2r I μ=，方程（1）的解为00)(ϕϕϕψϕϕ<<+=-ik ik Be Ae （2）其中22IEk =，由,0)0(=ψ得A B -=，代入（2）得 00sin )()(ϕϕϕϕψϕϕ<<=-=-k c e e A ik ik由,0)(0=ϕψ得0ϕπn k =， .,2,1,20222 ==n I n E ϕπ由归一化条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤==⇒=⎰πϕϕϕϕϕπϕϕϕψϕϕϕψϕ200sin 2)(21)(00002n c d2、设t =0时撤去路障，撤去路障后的定态波函数与定态能量为.,2,1,0,2,21)(22 ±±===m Im E e m im m ϕπϕψ 任意时刻的波函数为ϕπϕψim t E imm e eC t n 21),(-∑=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==∑πϕϕϕϕϕπϕϕπϕψϕ200sin 22)0,(0000mim m e C其中系数⎰⎰===-0000002sin1sin 1ϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕϕϕπϕπϕd C d e C im m粒子仍处于基态的几率为324πϕ=C 。

高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。

解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。

试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

⾼等量⼦⼒学习题⾼等量⼦⼒学习题1、对于⼀维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作⽤是()()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。

设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x ei pa a D -=??= exp 。

2、当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。

3、若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。

4、给定算符B A ,，证明[][][]....,,!21,+++=-B A A B A B Bee AAξξ。

5、给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。

证明Glauber公式CA B C BA BA ee e ee e e2121==-+。

6、设U 为⼳正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满⾜122=+B A 和[]0,=B A 。

试找出A 和B ，并证明U 可以表⽰为iH e U =，H 为厄密算符。

7、已知⼆阶矩阵A 和B 满⾜下列关系：02=A ，1=+++AA A A ，A A B +=。

试证明B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。

8、对于⼀维谐振⼦，求湮灭算符a的本征态，将其表⽰为谐振⼦各能量本征态n 的线性叠加。

已知1?-=n n n a 。

9、从谐振⼦对易关系[]1,=+a a 出发，证明a e ae eaaaa λλλ--=++。

10、证明谐振⼦相⼲态可以表⽰为0*aa eααα-+=。

11、谐振⼦的产⽣和湮灭算符⽤a 和+a 表⽰，经线性变换得++=va ua b 和++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满⾜关系122=-v u 。

试证明：对于算符b 的任何⼀个本征态，2=p x 。

12、某量⼦体系的哈密顿量为，()223235++++=a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡+++a a aaa a 。

高中量子力学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的基本原理之一是波粒二象性，以下哪个现象不是波粒二象性的体现？A. 光的干涉现象B. 光电效应C. 电子的衍射现象D. 牛顿运动定律2. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被准确测量，这是由以下哪个原理所描述的？A. 能量守恒原理B. 泡利不相容原理C. 测不准原理D. 相对性原理3. 量子力学中的波函数是用来描述什么？A. 粒子的电荷B. 粒子的动量C. 粒子在空间中的概率分布D. 粒子的质量4. 量子力学中，一个系统的状态可以用一个什么来描述？A. 波函数B. 动量C. 位置D. 能量5. 以下哪个是量子力学中的一个基本假设？A. 所有物体都遵循牛顿运动定律B. 粒子在没有观察时不具有确定的位置C. 所有物体都具有确定的动量和位置D. 能量守恒定律不适用于微观粒子6. 量子力学中的薛定谔方程是用来描述什么的？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的波函数随时间的变化D. 粒子的总能量7. 量子力学中的量子态叠加原理指的是什么？A. 粒子的动量和位置可以同时被准确测量B. 粒子可以同时处于多个状态的叠加C. 粒子的状态只能由一个确定的波函数描述D. 粒子的状态不能被准确预测8. 量子纠缠是量子力学中的一个现象，它描述了什么？A. 两个粒子之间的相互作用B. 两个粒子之间的空间关系C. 两个或多个粒子的量子态不能独立于彼此存在D. 两个粒子之间的动量守恒9. 量子力学中的泡利不相容原理指的是什么？A. 两个相同的费米子不能处于同一个量子态B. 两个相同的玻色子不能处于同一个量子态C. 两个不同的费米子可以处于同一个量子态D. 两个不同的玻色子不能处于同一个量子态10. 以下哪个实验支持了量子力学的波粒二象性？A. 双缝实验B. 光电效应实验C. 迈克尔逊-莫雷实验D. 万有引力实验二、简答题（每题5分，共30分）1. 请简述量子力学与经典力学的主要区别。

4、 试利用 D 函数的幺正性，给出ψ 5、 对于无穷小转角 δϕ ，求证：
jm
j (τ ' ) = ∑ Dm ψ jm ' (τ ) 的逆变换关系式。 'm (αβγ ) m'
-2-
2007-11
吉林大学物理学院理论物理中心
1 j Dm i (δϕ x −iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m + 1)δ m 'm+1 'm (δϕ ) = (1 − iδϕ z m)δ m 'm − 2 1 − i (δϕ x +iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m − 1)δ m 'm−1 2
试证明： | j 1 m1 >| j 2 m2 >=
∑C
jm
j3m3 j1m1 j2 m2
| jm >
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 E nlj ，试证明：无论这两个粒子是玻色 子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J 必为偶数。
† D 函数
1、 设坐标系 O − xyz 绕空间任意轴 n 转 dθ n 角， 到达 O − x' y ' z ' 。 在该转动下角动量算符 J 的本征函数ψ
称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式
G ˆ | jm >< jm | ( J ⋅ T ˆ ) | jm > < jm'| J 1 M ˆ < jm'| T1M | jm >= 2 j ( j + 1)=
7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在 | jm > 态上的平均值） ，磁矩算符为

练习31.1 证明)(b a 与)'(b a 的对易关系（31.4）和)(b a 与)'(b a +的对易关系（31.6）式。

0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε （31.4）0)()'()'()(=-++b a b a b a b a ε （31.6）（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）证明：将)'()(b a b a 和)()'(b a b a 分别作用在n 粒子基左矢νγβαb b b b n ....;上νγβανγβανγβαεbb b b bb n n n b b b bb b n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1(....';2)2)(1()'()(....;+++=+++= (1)νγβανγβαb b b b bb n n n b a b a b b b b n ....';2)2)(1()'()(....;+++= (2)由)2()1(ε-得：0)()'()'()(=-b a b a b a b a ε（2）将)'()(b a b a +与)()'(b a b a +分别作用在右矢νγβαb b b b n ....;上μγβανγαβνγβανγβανγβανγβαδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b b b n b a n b b b b n b a b a v n ....';)(........';)(....';)(....;)'(....';1)(1....;)'()(2-++-+-+-=++=+ （3）μγβανγαβνγβαμγβνβαγνγαβνγβανγβαδεεδδδεδεεδδb b b b b n b b b b b b n b b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b b b b n b b nb a b b b b n b a b a v n v n ....';)(........';)(....';)(]....;1)(........;1)(....;1)(....;1)([1)'(....;)()'(112-++-+-=--++--+--+--=--++ （4）由)4()3(ε-得：)'()()'()'()(b b b a b a b a b a -=-++δε □练习31.2 计算下列对易关系：)]()'()'()(),()([b a b a b a b a b a b a +++ )]()'()'()(),'()'([b a b a b a b a b a b a +++（解答：熊凯 ； 校对：李泽超）解：（1）令)()()(b a b a b N +=为处于b 态的占有数算符由（31.10）、（31.11）两式可得：)'()()](),([b b b a b a b N -=++δ （31.10） )'()()](),([b b b a b a b N --=δ （31.11）)'()]()'()'()([)'()'()()'()()'()'()]'(),([)]'(),()['()]'()'(),([)]'(),([=--=-+--=+==+++++++b b b a b a b a b a b b b a b a b b b a b a b a b a b N b a b N b a b a b a b N b N b N δδδ从上式可以看出当'b b =时中括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为零 因为：)()]'(),()[()()]'()'(),()()[()()]'()'(1),()(1)[()()]'()'(),()()[()()]()()'()'()'()'()()()[()()()()'()'()()()'()'()()()()]()'()'()(),()([22===++==-=-=++++++++++++++++++++++++b a b N b N b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a εεεε上式中第四步计算用到了（31.6）式∴ 0)]()'()'()(),()([=+++b a b a b a b a b a b a(2))}'()'()()()'()'(){'()}'()'()()'()()'()'()'({)}'()'()'()()()'()'()'({)]}(),'()['()()()'()](),'({[)]}()'(),'()[()()'()](),'({[)]()'()(),'([)]()'()'()(),'([)]()'()'()()(),'([)]()'()'()()()(),'([)]())'()'(1)((),'([)]())'()'()''()((),'([)]()'()'()(),'()'([b a b N b a b a b N b a b b b a b N b a b b b a b N b a b b b b b a b N b a b a b N b b b a b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b N b a b a b N b a b N b a b N b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b N b a b a b a b a b a b a b N b a b a b a b a b N b a b a b a b b b a b N b a b a b a b a b a b a +++++++++++++++++++++++++--=---=---=+=+===+=+=+=+-=εδδδεδδεεεεεεεεεδ从上式可以看出：当'b b =时括号为0，'b b ≠时δ函数为0，所以上式为0∴0)]()'()'()(),'()'([=+++b a b a b a b a b a b a□练习31.3 讨论全同粒子的自旋态，设自旋为1/2的粒子的单粒子z S 的本征矢量为>>βα||和，相应的本征值为2/2/ -+和；ββααa a a a ,,++和分别是α态和β态的产生和消灭算符。