吉林大学高等量子力学习题答案

第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。

(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。

二、理想测量的三个基本要求是什么。

(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。

(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。

(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。

三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。

标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。

在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。

标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。

那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。

四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。

量子Zeno效应是纯量子测量效应。

理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。

极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。

这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。

在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。

其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。

这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。

其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。

吉 林 大 学1993年招收硕士研究生入学考试试题（含答案）考试科目：量子力学一 .设n是粒子数算符a a Nˆˆˆ+=的本征函数，相应之本征值为()0≥n ，算符+aˆ和a ˆ满足对易关系1ˆˆˆˆ=-++a a a a 。

证明：n aˆ（其中1≥n ）和n a +ˆ也是N ˆ的本征函数其相应的本征值分别为()1-n 和()1+n 。

解：用粒子数算符Nˆ作用到na ˆ上，即()()n a n n a n N an a n a a a n a a a n a a a n a Nˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ-=-=-=-==+++上式表明n aˆ是N ˆ的本征态，相应的本征值为()1-n 。

同样，用粒子数算符N ˆ作用到n a +ˆ上，即()()n a n n a n N an a n a a a n a a a n a a a n a N++++++++++++=-=+=+==ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ上式表明n a +ˆ也是Nˆ的本征态，相应的本征值为()1+n 。

二. （类似2000年第二题）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x ax V x x V ,00 ,0.0中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-===x B x kxA x x αψψψexp sin 0321其中，E m V E m k 2 ;)(20=+=α在a x=处，利用波函数及其一阶导数连续的条件()()()()a a a a '3'232ψψψψ== 得到()()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin于是有αk ka -=tan此即能量满足的超越方程。

第七章形式散射理论一、T矩阵的方程式以及怎么用T矩阵求跃迁率。

完成式(7.10)的积分并令t0→-∞后得当r≠s时按照上述方式定义的矩阵T称为跃迁矩阵。

式(7.12)表示，一旦求出T矩阵，就可以给出跃迁概率。

由式(7.12)得到，从s态到r态的跃迁速率为二、什么是S矩阵，应满足什么条件。

为了使散射理论的公式具有更明显的对称性，在量子力学和量子场论中用得更多的是散射矩阵，或称S矩阵。

下面将看到：S矩阵和T矩阵一对应，实质上是完全一样的，不过是换了一种对称更明显的表述方式。

由于是完备系，可以将展开，有式(7.56)的右端不包含分立的束缚态，因为这些态都和正交。

由散射态的正交归一条件得矩阵S称为散射矩阵或简称S矩阵。

三、S矩阵具有下述性质有哪些。

1.S矩阵具有幺正性，满足2.S矩阵和演化算符的关系式(7.75)表示，S矩阵对应的算符等于体系从t→-∞开始，经散射后，演化到t→+∞的演化算符。

算符S称为幺正散射算符。

它的矩阵元S rq表示若体系在t→-∞时处在无微扰的本征态ψq，则经过散射和相互作用后，在t→+∞时体系处在ψr态的概率振幅。

S矩阵与体系的性质、体系的哈密顿算符有关，因为演化算符U决定于体系的哈密顿算符H。

3.S矩阵的转动不变性和分波法4.S矩阵的幺正性和光学定理5.S矩阵的时间反演对称性四、请写出戴逊(Dyson)方程以及玻恩级数的方程式。

式(7.43)称为戴逊(Dyson)方程。

它既可以用算符的形式写出，也可以用态的形式给出。

由式(7.20)，进行反复迭代后有波函数的戴逊方程式(7.44)是玻恩级数，它一直可以做到任意级。

它的一级近似就是玻恩一级近似。

练习28.1 证明: ()[]()t G t G -=-++00证明: 根据公式(28.4)()()()00H t t ie t t it t G '--±'±='-θ可知()()00tH ie t it G-+-=θ()()()00H t i e t i t G ---+=-θ则()[]()()000tH i tH i e t ie t i t G θθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-++()()()t G e t i H t i-==---00θ #28.2证明下列二式成立：()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't t VG ''t t G 't t G 't t G 00()()()()⎰∞∞-±±±±--+-=-''dt 't ''t VG ''t t G 't t G 't t G 00证明：因为：()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i()()()⎰∞+∞---±±π=-dE e E G 21't t G 't t E i00又因为：()()()()E VG E G E G E G 00±±±±+=即有()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G dE e E VG E G 21't t G dE e E VG E G 21dE e E G 21dE e E VG E G E G 21dE e E G 21't t G '00't t E i00't t E i 0't t E i 0't t E i00't t E i00--+-=π+-=π+π=+π=π=-±∞+∞-±±∞+∞---±±±∞+∞---±±∞+∞---±∞+∞---±±±∞+∞---±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为()()()()()()()E VG E G E G E VG E G E G E G 0000±±±±±±±+=+=同理可证得()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '00--+-=-±+∞∞-±±±⎰综上所述()()()()()()()()''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G ''dt t ''t VG ''t t G 't t G 't t G '0'00--+-=---+-=-±∞+∞-±±±±+∞∞-±±±⎰⎰两式成立。

展开系数

cp


x x dx
* p 2
expikx exp ikx A * dx p x 2 i A exp2ikx 2 exp 2ikx dx * p x 4 A * 2 k x 2 0 x 2 k x dx p x 2 4
所以，有
0 0 满足的本征方程为 设H
1 0 0
0 1 0
0 c1 c1 0 c2 E c2 c 1 c3 3
ˆ 是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即 由于 H
0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 1 1 b 0 0 0
0 1 0 b 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 0
1 ˆH ˆ b 0 B 0
吉
林 大
学
2000 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
一.
x A sin 2 kx 的状态
上，求其动量
ˆ 的取值几率分布及平均值。 ˆ 与动能 T p
d ˆ i ; p dx ˆ2 p ˆ T 2m
解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为
E1 E 2 E 3
ˆ 不能惟一确定 其中， E 2 E3 ，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符 H
E 2 , E3 的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。
当 E1

27.1练习 27.2 （1）根据（27.9）式，证明完全性关系：1==⎰⎰p p d p k k k（2） 在θϕp 表象和θϕk 表象中，有p k k p p θθϕ==证明当时有： p p k k '='3证：（1） 由（27.9）式可知在位置x 表象中，有：px i ep xπ21=，p r ek x kx i2121==π，p k 21=，p k =显然有： p k21= ， p d k d =∴p pd p k k d k2121⎰⎰=p p d p⎰= （完全性） 1= 得证。

（2）由题意可知在θϕp 表象和θϕk 表象中，有：p k 23=， p k '='23∴p p p p k k'='='32323 得证# 27.3练习 27.4 由（27.34）式推出（27.35）式。

解：（27.34）式：i i i p i k V k i H E i H E i+±-=±-±)()(εψε两边除以εi H E i ±-得：i i i p k V i H E k iεψ±-+=±1，得证。

#练习 27.5 由（27.30）式证明散射态矢量的正交归一性：)(k k k k P P -'='=±±'δψψ解：已知：算符εi H E V i ±-=0，k V V P=±ψ。

∴±±±-+=P i p V i H E k iψεψ01k V i H E k iε±-+=01k V i H E i )11(0ε±-+= 显然得：k V i H E i P '-+=+±')11(0εψ=±±'PP ψψk V i H E i '-++)11(0εk V i H E i )11(0ε±-+ k k V i H E V i H E i '±-+-+=+)11)(11(00εε k k V V i H E i H E i H E i H E i i i i'±-±+--+-=+)1)(1(0000εεεε（ 1=+V V）k k H E H E i i'+-++-=])()1([220220εε（ 1>>iE）k k'=# 27.6 27.7练习 27.8 讨论（27.30）式中±i P ψ的时间反演态，证明：i iP P T -±=ψψ0证明：已知：k V V P=±ψ，p k23=则得：±±±-+=P i p V i H E k iψεψ01k V i H E k iε±-+=01i i i P V i H E Pε±-+=02323等价∝)(i P F（F 为函数） i i P TP T-=-010 ，∴ )()(*iiP F P F T-=显然得：)(0232300i i i P P V i H E P T T iεψ±-+=±iP i i i P V i H E P -=--+-=ψε0233 即：i iP P T -±=ψψ0 得证。

第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。

描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。

用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。

右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。

二、请简述线性算符的运算规则和性质。

(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。

(8)，表示算符A的函数。

三、幺正变换的基本性质有哪些。

幺正变换具有许多非常有意义的性质。

(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。

(2)幺正变换下算符方程的形式不变。

(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。

(4)幺正变换下算符的行列式不变。

(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。

(6)幺正变换下算符的迹不变。

(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。

(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。

1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。

六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。

七、请列举混合态密度算符的性质。

Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2

4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)

k
2
2
(
x)

0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )

1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1

2
[ r
(
r2
ik
) r

r
(
r2
ik
r )]er

k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2

i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为

2
2
d2 dx2

(x) U (x) (x)

E (x)
在各区域的具体形式为：
x0

1.1
(1)对于氢原子，En
=
-
e2 2an2
, E1
=
-
e2 2a
, E2
=
e2 -
8a
1
8
E1的几率为 9，E2的几率为 9
1 æ e2 ö 8 æ e2 ö 3e2
\
E
=
9
´
çç è
-
2a
÷÷ ø
+
9
´
çç è
-
8a
÷÷ ø
=
18a
i
i
i
i
( ) ( ) ( ) - Ht
1 - Ht
1 - Ht
å Ck ( j + k ) j + k, j + k = ( j + 1)åCk j + k, j + k
k
k
å Ck (k -1) j + k, j + k = 0
k
\ Ck (k - 1) = 0,即C1 ¹ 0，Ck = 0(k ¹ 1)
\V+ jj = c j + 1, j + 1
7
2.1
11
3æ
11
1 1ö 6
11
，22
=-
3
çç è
2 1,-1, , 22
+ 1,0, ,22
÷÷ + ø
3
´
2 1,0, ,22
1 综上所述，j1 = 1, j2 = 2 时，耦合表象基矢对非耦合表象基矢的展开式为：
33
11
， = 1,1, ,
22
22
31 6 11 3 1 1 ， = 1,0, , + 1,1, ,-

第八章形式散射理论一、请写出克莱因-高登方程的方程式以及怎么理解“负能量”的问题。

上式即为克莱因-高登方程。

在相对论力学中，负能量的出现几乎是不可避免的。

在经典力学中，由于粒子的初始能量为正，运动过程又必须保持能量守恒，因此以后任何时刻，能量也必然为正，不会引起麻烦。

在量子力学中，负能量问题必须另外考虑。

因为若有负能级存在，而且按式(8.8)，k越大，E负得越大。

粒子从负的数值小的较高能级向负的数值大的较低能级跃迁，将不断放出能量。

于是体系将不会出现稳定态。

这个结果当然是不合理的。

二、分析一下克莱因-高登方程为什么会出现负概率问题的原因。

先分析一下克莱因-高登方程出现负概率问题的原因。

由于克菜因-高登方程是对时间的二阶微分方程，初始条件必须同时由决定。

而概率流守恒定律或连续性方程是ρ对时间的一阶微分方程，为使它和克莱因-高登方程一致，ρ必然依赖于时间的一阶微商。

而是任意的，于是就不可避免地出现负概率问题。

三、为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论，请简单分析。

为了克服跃迁到负能态的困难，狄拉克提出“空穴”理论。

假定在真空状态下，所有负能态都已被电子填满。

因此根据泡利不相容原理，在真空中运动的能量为正的电子不可能跃迁到负能态中去。

这种被填满的负能态称为费米海，它只起一个背景的作用。

在负能态中的电子，它的能量和动量是不能观测的。

只有从费米海中移去一个或多个电子时，才会产生可观测的效应。

例如，由于某种外来作用，把负能态中的一个电子激发到正能态，从而使得负能态中出现一个空穴，于是这个空穴就类似于某种具有正能量的东西。

四、洛伦兹矩阵由哪些重要的性质。

(1)对每一个Γn(n=S，V，T，P，A)，均有(2)除Γs外，对每一个Γn，最少一个有Γm，使它满足利用性质(2)和(1)，得两边取迹.即除Γs外，所有其余的15个矩阵的阵迹均为零。

(3)对给定的Γa和Γb(a≠b)，总可以找到另一个Γn，但这个Γn不是Γns，使得式中，是一个常数，视a、b、n不同而可能取不同的值(4)γ5矩阵满足五、为以后将狄拉克方程写成更方便的协变形式，引入四维坐标的协变和抗变矢量，第σ分量的方程式是什么，以及应满足什么条件。

可知，归一化常数为
c
于是，归一化后的波函数为
8 3
x,0
能量的取值几率为
2 1 1 1 x 2 x 3 x 3 6 6
2 W E1 ; 3
能量取其它值的几率皆为零。
1 W E 2 ; 6
W E 3
1 6
（2）因为哈密顿算符不显含时间，故 t 0 时的波函数为

21I
1 1 ˆ2 ˆ Y ( , ) 1 L ˆ2 H lm 2I 2I Lz Ylm ( , ) 2 I 1 2 1 1 1 1 2 2 2 l ( l 1 ) m Ylm ( , ) 2I 2 2I1 2I1
1 2
En
2
2ma
2 2
n2 ,
n 1,2,3,
n x
2 n sin x a a
（1）首先，将 x,0 归一化。由
1 2 1 2 1 2 2 c 1 4 4 2
吉
林 大
学
1999 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子，在阱宽为
一.
a 的非对称一维无限深势阱中运动，当 t 0
1 4 1 4
时，粒子处于状态
x,0 1 x 2 x 3 x
其中， n x 为粒子的第 n 个本征态。 （1）求 t 0 时能量的取值几率； （2）求 t 0 时的波函数 x, t ； （3）求 t 0 时能量的取值几率。 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

4、 试利用 D 函数的幺正性，给出ψ 5、 对于无穷小转角 δϕ ，求证：
jm
j (τ ' ) = ∑ Dm ψ jm ' (τ ) 的逆变换关系式。 'm (αβγ ) m'
-2-
2007-11
吉林大学物理学院理论物理中心
1 j Dm i (δϕ x −iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m + 1)δ m 'm+1 'm (δϕ ) = (1 − iδϕ z m)δ m 'm − 2 1 − i (δϕ x +iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m − 1)δ m 'm−1 2
试证明： | j 1 m1 >| j 2 m2 >=
∑C
jm
j3m3 j1m1 j2 m2
| jm >
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 E nlj ，试证明：无论这两个粒子是玻色 子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J 必为偶数。
† D 函数
1、 设坐标系 O − xyz 绕空间任意轴 n 转 dθ n 角， 到达 O − x' y ' z ' 。 在该转动下角动量算符 J 的本征函数ψ
称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式
G ˆ | jm >< jm | ( J ⋅ T ˆ ) | jm > < jm'| J 1 M ˆ < jm'| T1M | jm >= 2 j ( j + 1)=
7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在 | jm > 态上的平均值） ，磁矩算符为

2 r ,t r , t 2、波函数 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
的物理含义是什么？ 解：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它
2 r , t 表示在 t 时刻 r 还应该是单值、有限和连续的。
附近 d 体积元中粒子出现的
求出
tan k1 a
k1 tank 2 a b k2
此即 E V0 时能量本征值满足的超越方程。 当 E V0 时，四个区域的波函数分别为
1 x 0 x A sin kx 2 3 x B expx C exp x 4 x 0
5
e4 4
8
2

e4 1
18
2

5

e4
9
2
角动量量子数 l 的可能取值只有一个，即 l
1 ，故有
L2 2 2 , L2 2 2
W L2 2 2 1


角动量磁量子数 m 的可能取值有两个，即 m 1,0 ，于是
Lz , Lz 0,
式中，
k1
由x
2mE ；
k2
2 m E V0
0 处波函数连续可知， 0 ，由 x b 处波函数连续可知
k 2b
再利用 x
a 处波函数及其一阶导数连续的条件
A sin k1 a B sin k 2 a k 2 b Ak1 cos k1 a Bk 2 cosk 2 a k 2 b
几率密度。 3、分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个 本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态， 本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与 原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 4、物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 解：物理上可观测量对应线性厄米特算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米特算 符的本征值是实数，可与观测值比较。

3.1幺正算符也有本征矢量。

证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

证明： 设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。

即ψψu U =则ψψψψψψψψu u U U U U *+===因0≠ψψ，所以1=*u u 即 1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。

设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21u u ≠。

则111ψψu U = 11111ψψu U =- 222ψψu U = 22211ψψu U =- 因为幺正算符1-+=U U则有21212121ψψψψψψu u U U *+==2121211ψψψψu u UU *+== 所以01212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-**ψψu u u u 因为012121≠-**u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ和2ψ正交。

即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。

则本征值方程ψλψψ==∑=mi i iP 1⑴其中λ为本征值，ψ为相应的本征态。

则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。

即求得投影算符的本征值是1或0。

当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。

所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。

当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。

所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。

#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。

证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。

高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。

这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。

进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。

解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。

在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。

解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。

试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。

解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符绕任意轴n 转θ角的转动算符为1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ 则必有1(')()()()()[,]z ze e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。

2011年11月16日星期三 吉林大学 物理教学中心
2
2 x
2 x 2
2 x
i - [ Et - ( xp x + yp y + zp )] z h
15
4.设宽为a的一维无限深势阱中，可知粒子的基态 2 π sin x 试求粒子处于基态时 , 波函数 y ( x ) = a a a （1）粒子在 0 £ x £ 区间中出现的几率； 4 （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； （3）在何处粒子出现的几率最大？ a a 2 2 π 2 4 4 解：(1) D = ò y ( x ) dx = ò sin xdx W 0 a 0 a 1 1 = = 9 1 . % 4 2 π
p 1 2 E = m = u 2 m 2
2 2 n h n2 π 2 h2 ® E = 2 = 8ma 2 2 ma
2011年11月16日星期三 吉林大学 物理教学中心 18
2
n = 1 2 L , ,
6. 设一个粒子在一维无限深势阱中，它的任意 E 两个相邻的能级之间的相对能量差为 D / E ， 2 证明： E / E = ( 2 + 1 / n D n )
2
( 3 Q n = 1 波节在两端，两波节中间处 )
即 x=a/2 点的几率最大。
2011年11月16日星期三 吉林大学 物理教学中心 17
5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，其德布罗 意波可类比于一个两端固定的弦上的驻波，试用 驻波条件来求一维无限深势阱中粒子的能级。 解：根据驻波条件 l h hn 2 a a = n ® l = ® p = = 2 l 2 a n
y ( x y z t ) = y 0 e , , ,

r2 i x 2 j y 2 k z 2 的内积表为 x1 , y1 , z1 和 x 2 , y 2 , z 2 的函数。
3. 验证所求的内积规则符合条件（9）～（12） 。 4. 用 (i ， j ) = ij 验证所求出的内积规则。 1 证明： 在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢 量的正交 性定义，两个矢量 ψ 和 φ 的内积为零，即 , 0 。
重新用 Schmidt 方法求出一组基矢。 （完成人：何贤文 审核人：班卫华） 解：由空间中不满足正交归一条件的完全集{ 1 , 2 , 3 , 4 }，求这个空间的一 组基矢{ 1 , 2 , 3 , 4 }. （1）首先取 1 为归一化的 1 ： 1 1 0 1 1 0 0
归一化的 4 为
则找到一组基矢为 { 1 , 2 , 3 , 4 }.
在三维位形空间中， i ， j ， k 是在互相垂直的 x，y，z 三个轴上的
单位矢量。取三个归一化的矢量：
（高思泽）
i 1 1 2 (i j ) 2 1 3 ( j k) 2
在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个 矢量 1 ， 2 ， 3 互相正交。 1. 证明：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一 种内积规则。 2. 求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量 r1 i x1 j y1 k z1 ，
a
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12） ，所以仍为内积空间。 练习 1.8 在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量： 1 0 1 , 0 0 1 1 2 , 0 0 1 1 3 , 1 0 1 1 4 1 1