高三文科数学大题小练1：三角函数及解三角形(教师版)

文数20道三角大题1.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且Aa cbsin )(222.cos 3A bc （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）求C B cos cos 的取值范围。

2如图,平面四边形ABCD 中,13AB ,三角形ABC的面积为25ABCS,3cos 5DAC,120ACAB ,求: (1)AC 的长; (2)cos BAD3已知函数.cos 212cos 2sin )(xx x x f （I ）求f(x)的值域；（II ）若x x f x2cos ,523)(),4,4(求且的值.4.已知函数2()sin cos 3cos f x x x x ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62上的最大值和最小值5. 已知：a R aa x x x f ,.(2sin 3cos 2)(2为常数）（1）若R x，求)(x f 的最小正周期；（2）若)(x f 在[,]66上最大值与最小值之和为3，求的值；（3）在（2）条件下)(x f 经过怎样的变换后得到x ysin ，写出其变换步骤6. 已知)1),6cos(2(),sin 2,1(xb x a ，函数)()(R xb c x f （1）求函数)(x f 的单调递减区间；（2）若)32cos(,58)(x x f 求的值。

7. 已知：在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，向量m =（23sin2B ，23），n =（sin2B +2π，1）且m ·n =3.（1）求角B 的大小;（2）若角B 为锐角，a=6,S △ABC =63,求b 的值.8. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量(1,3),(cos ,sin ),mnA A 且 1.m n（1）求角A ；（2）若221sin 23,tan sin cos BCBB求的值。

9.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且acbca 21222（Ⅰ）求B cos 的值；（Ⅱ）求B CA 2cos 2sin 2的值.10.已知ABC 中，内角A B C 、、的对边的边长为a b c 、、，且co s (2)c o s .b C a c B （1）求角B 的大小；（2）若22cos cos ,yA C 求y 的最小值.11. 如图，已知平面四边形ABCD 中，BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=，记四边形ABCD 的面积为S.(I)将S 表示为的函数；(Ⅱ)求S 的最大值及此时的大小．12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab bac222．（Ⅰ）若3tan tan (1tan tan )3A BA B ，求角B ；（Ⅱ）设(sin ,1)mA ，(3,cos 2)n A ，试求n m 的最大值．13.设函数333()sincos (0),22f x xx xR，且以2为最小正周期。

f (x)在区间,上的最大值和最小值
IL6 2
f (x)= 2cosx •. 3sin 2x a.(a R, a为常数)
［丿逛］
f(X)在6’6上最大值与最小值之和为3,求的值;
(2)条件下f(x)经过怎样的变换后得到y=sinx，写出其变换步骤
6.已知a=(1,2sinx),b=(2cos(x ),1)，函数f(x)二c b(x R)
2
10.已知ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a b、c，且bcsC(2a . B
(1)求角B的大小；
(2)若y = cos2A-cos2C,求y的最小值.
11.如图，已知平面四边形ABCD中，也BCD为正三角形，AB= AD=1,/BAD=，记四边形ABCD勺面积为S.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
8兀
(2)若f(x) ,求cos(2x-§)的值。
7.已知：在厶ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，向量m=(23sin号,),
n=(sin寻+扌，1)且m•n=、.3•
(1)求角B的大小；
(2)若角B为锐角，a=6,S^abc=6 .. 3求b的值.
8.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m=(1,-.，③,n = (cosA,sin A),
S 4
且m n = -1.
(1)求角A;
•2f2 f
(2)若sin B -cos B
1
9.在:ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2c2-b2ac
2
(i)求cosB的值；
r A +C
(u)求sin—— -cos2B的值.
文数20道三角大题
..3bc cos A.

高三三角函数与解三角形经典练习题（1）题1：解方程2223sin sin cos cos 0x x x x --=．题2：方程sin 3cos 0x x m +-= (1)若方程有解，求实数m 的值； (2)讨论方程在区间[0,2]π上解的个数；(3)当[0,]x ∈π时，方程有两个不同的解αβ、，求实数m 的范围，αβ+的值？题3：在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边c =72 ，且tan A +tan B = 3tan A ·tan B － 3 ，又△ABC 的面积为S △ABC =332，求a +b 的值.题4：如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∈MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？答案题1：答案：原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或 详解：因为cos 0x ≠(使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程)，所以在方程的两边同除以2cos x ，得223tan tan 103x x --=． 解关于tan x 的二次方程，得tan 3x =，3tan x =-． 由tan 3x =，得解集为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 由3tan x =-，得解集为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． 所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． 题2：答案：(1)22m -≤≤(2)2m =±时，一个解；3m =时，三个解；(2,3)(3,2)m ∈-U ，两个解.(3)[3,2)m ∈，6αβπ+=详解：解：(1)2sin()3m x π=+， 则2m 2-≤≤； (2)7[,]333x πππ+∈， 则2m =±时，一个解；3m =时，三个解；(2,3)(3,2)m ∈-U ，两个解.(3)4[,]333x πππ+∈，当m [3,2)∈时方程有两解αβ、， 令3t x π=+，关于t 的方程2sin m t =，4[,]33t ππ∈关于2t π=对称，则12t t π+=，Oxy3π 73π 4π即33ππαβπ+++=，则6παβ+=.题3：答案：a +b =112详解：解：由tan A +tan B = 3 tan A ·tan B － 3 可得tan tan 1tan tan A BA B+-⋅＝－ 3 ，即tan(A +B )=－ 3∴tan(π－C )= － 3 , ∴－tan C =－ 3 , ∴tan C = 3 ∵C∈(0, π), ∴C =3π 又△ABC 的面积为S △ABC =332 ，∴12 ab sin C =332 即12ab ×32 =332 , ∴ab =6又由余弦定理可得c 2=a 2+b 2－2ab cos C ∴(72 )2= a 2+b 2－2ab cos 3π∴(72 )2= a 2+b 2－ab =(a +b )2－3ab∴(a +b)2=1214 , ∵a +b >0, ∴a +b =112题4：答案：(1)A ＝23，ω＝π6，MP ＝42＋32＝5.(2)将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长详解：解法1：(1)依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x ，当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5. (2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5， 设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°.由正弦定理得MP sin120°＝NPsin θ＝sin(60)-o MN θ，∴NP ＝1033sin θ.∴MN ＝1033sin(60°－θ)．故NP ＋MN ＝1033 s in θ＋1033 s in(60°－θ)＝1033 (12 s in θ＋32o ss θ)＝1033 s in(θ＋60°)． ∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长． 亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长． 解法2：(1)同解法1(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，由余弦定理得MN `2＋NP 2－2MN ·NP ·oss ∠MNP ＝MP 2，即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤(MN ＋NP 2)2，从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033.当且仅当MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．高三三角函数与解三角形经典练习题（2）题1：设函数22()cos(2)sin 4f x x x π=++ (I)求函数()f x 的最小正周期; (II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.题2：当k 为何值时，方程(2cos )2cos x k x -=+有实数解？题3：已知在四边形ABCD 中，BC ＝a ，DC =2a ，四个角A 、B 、C 、D 度数的比为3∶7∶4∶10，求AB 的长.题4：如图，已知O 圆的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是半圆的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆分别在PC 两侧. (1)若POB θ∠=，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值.答案题1：答案：(I) 函数()f x 的最小正周期22T ππ== (II)函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0]22()1sin 2[)22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<-⎪⎩详解：2111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+-11sin 222x =- (I)函数()f x 的最小正周期22T ππ== (2)当[0,]2x π∈时,11()()sin 222g x f x x =-=当[,0]2x π∈-时,()[0,]22x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=- 当[,)2x ππ∈--时,()[0,)2x ππ+∈ 11()()sin 2()sin 222g x g x x x ππ=+=+=得:函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0]22()1sin 2[)22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<-⎪⎩题2：答案：133k ≤≤详解：解：易知，k ≠1时，则有22cos 1k x k -=+，则22||11k k -≤+时方程有解，则133k ≤≤. 题3：答案：AB的长为2详解：解：设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3x 、7x 、4x 、10x ，根据四边形的内角和有3x +7x +4x +10x =360°.解得 x =15° ∴A =45°, B =105°, C =60°, D =150° 连结BD ，得两个三角形△BCD 和△ABD 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+DC 2－2BC ·DC ·cos C =a 2+4a 2－2a ·2a ·12=3a 2,∴BD.这时DC 2=BD 2+BC 2，可得△BCD 是以DC 为斜边的直角三角形.∴∠CDB =30°,于是∠ADB =120°在△ABD中，由正弦定理有AB=sinsinBD ADBA⋅∠＝3sin120sin45a∠︒︒＝33222a⋅＝322a ∴AB的长为322a题4：答案：(1)5sin3cos34θθ-+(2)2＋534详解：：(1)在△OPC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OP•OC•cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθy=S△OPC+S△PDC=21OP•OC•sinθ+43PC2=5sin3cos34θθ-+(0＜θ＜π)(2)y=5sin3cos34θθ-+=2sin(θ3π-)+435，∴当θ=65π时，y max=2＋534高三三角函数与解三角形经典练习题（3）题一题面：设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4 题二题面：在ABC ∆中，60,B AC ==o2AB BC +的最大值为 。

大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.(1)求角C的大小;(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.因为c cos B+(b-2a)cos C=0,所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,所以sin(B+C)=2sin A cos C.又因为A+B+C=π,所以sin A=2sin A cos C.又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos C=12.又C∈(0,π),所以C=π3.(2)由(1)知,C=π3,所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.又c=2,所以4=a2+b2-ab.又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(12absinC)max=12×4×sinπ3=√3.2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.(1)若∠AMB=60°,求BC ;(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC ,求tan θ.由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.在Rt △ABM 中,MB=2AM=4;在Rt △CDM 中,MC=2MD=2.在△MBC 中,由余弦定理,得BC 2=BM 2+MC 2-2BM ·MC ·cos ∠BMC=12,BC=2√3. (2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.在Rt △MCD 中,MC=1; 在Rt △MAB 中,MB=2sin (60°-θ),由MB=4MC ,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以√3cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=√3cos θ,整理可得tan θ=√32.3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√32,函数f (x )在y 轴上的截距为√32,与y轴最近的最高点的坐标是(π12,1). (1)求函数f (x )的解析式;(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√32,由f (0)=2a-√32=√32,得a=√32,此时,f (x )=√3cos 2x+bsin 2x ,由f (x )≤√34+b24=1,得b=1或b=-1,当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π12,1)为最高点;当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π3),经检验(π12,1)不是最高点.故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π3).(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π3的图象,所以2φ+π3=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),因为φ>0,所以φ的最小值为5π6.4.函数f (x )=A sin (ωx +π6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π4]上的最大值和最小值.由已知f (x )最小正周期为2π,所以2πω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2,所以A=2,所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π6).(2)因为f (x )=2sin (x +π6)=2sin x cos π6+2cos x sin π6=√3sin x+cos x ,所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√32sin 2x+1+cos2x2=sin (2x +π6)+12.因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x+π6≤2π3,于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:(1)求f (x )的解析式;(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-12(A 为锐角),求△ABC 的面积.由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π4−(-π4)=π,所以ω=2ππ=2.注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π.所以函数的解析式为f (x )=sin (2x +π2)=cos 2x.(2)∵f (A )=cos 2A=-12,且A 为锐角,∴A=π3.在△ABC 中,由正弦定理得,BC sinA=ACsinB, ∴sin B=AC ·sinABC=2×√323=√33,∵BC>AC ,∴B<A=π3,∴cos B=√63,∴sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=√3×√6+1×√3=3√2+√3, ∴S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=12×2×3×3√2+√36=3√2+√32. 6.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,C=π4,b=4,△ABC 的面积为6. (1)求c 的值; (2)求cos(B-C )的值.已知C=π4,b=4,因为S △ABC =1ab sin C ,即6=12×4a ×√22,解得a=3√2,由余弦定理,得c 2=b 2+a 2-2ab cos C=10,解得c=√10.(2)由(1)得cos B=a 2+c 2-b22ac=√55,由于B 是三角形的内角,得sin B=√1-cos 2B =2√55,所以cos(B-C )=cos B cos C+sin B sin C=√55×√22+2√55×√22=3√1010.B 组 能力提升7.如图,在凸四边形ABCD 中,C ,D 为定点,CD=√3,A ,B 为动点,满足AB=BC=DA=1.(1)写出cos C 与cos A 的关系式;(2)设△BCD 和△ABD 的面积分别为S 和T ,求S 2+T 2的最大值.在△BCD 中,由余弦定理,得BD 2=BC 2+CD 2-2·BC ·CD cos C=4-2√3cos C ,在△ABD 中,BD 2=2-2cos A ,所以4-2√3cos C=2-2cos A ,即cos A=√3cos C-1.(2)S=12·BC ·CD ·sin C=√3·sinC2,T=12AB ·AD sin A=12sin A ,所以S 2+T 2=34sin 2C+14sin 2A=34(1-cos 2C )+14(1-cos 2A )=-32cos 2C+√32cos C+34=-32(cosC -√36)2+78.由题意易知,C ∈(30°,90°),所以cos C ∈(0,√32),当cos C=√36时,S 2+T 2有最大值78.8.某城市在进行规划时,准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收,园林公司进行如下设计,安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域,其余作为市民活动区域.其中△ABD 区域种植花木后出售,△BCD 区域种植草皮后出售,已知草皮每平方米售价为a 元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC=6 km,AD=CD=4 km .(1)若BD=2√7 km,求绿化区域的面积;(2)设∠BCD=θ,当θ取何值时,园林公司的总销售金额最大.在△BCD 中,BD=2√7,BC=6,CD=4,由余弦定理,得cos ∠BCD=BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD=62+42-(2√7)22×6×4=12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD=60°, 又因为A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠BAD=120°.在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos ∠BAD , 将AD=4,BD=2√7代入化简,得AB 2+4AB-12=0, 解得AB=2(AB=-6舍去).所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12×2×4sin 120°+12×4×6sin 60°=8√3(km 2), 即绿化空间的面积为8√3 km 2.(2)在△BCD 、△ABD 中分别利用余弦定理得 BD 2=62+42-2×6×4cos θ, ① BD 2=AB 2+42-2×4AB cos(π-θ),②联立①②消去BD ,得AB 2+8AB cos θ+48cos θ-36=0, 得(AB+6)(AB+8cos θ-6)=0, 解得AB=6-8cos θ(AB=-6舍去).因为AB>0,所以6-8cos θ>0,即cos θ<34.S △ABD =12AB ·AD sin(π-θ)=12(6-8cos θ)×4sin θ=12sin θ-16sin θcos θ,S △BCD =12BC ·CD sinθ=12×6×4sin θ=12sin θ.因为草皮每平方米售价为a 元,则花木每平方米售价为3a 元,设销售金额为y 百万元. y=f (θ)=3a (12sin θ-16sin θcos θ)+12a sin θ=48a (sin θ-sin θcos θ),f'(θ)=48a (cos θ-cos 2θ+sin 2θ)=48a (-2cos 2θ+cos θ+1)=-48a (2cos θ+1)(cos θ-1),令f'(θ)>0,解得-12<cos θ<1,又cos θ<34,不妨设cos θ0=34,则函数f (θ)在(θ0,2π3)上为增函数; 令f'(θ)<0,解得cos θ<-12,则函数f (θ)在(2π3,π)上为减函数,所以当θ=2π3时,f (θ)max =36√3a.答:(1)绿化区域的面积为8√3 km 2;(2)当θ=2π3时,园林公司的销售金额最大,最大为36√3a 百万元.。