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可分离变量的微分方程

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第二节 可分离变量的微分方程
微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.
内容分布图示
★ 可分离变量微分方程
★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5
★ 齐次方程
★ 例6 ★ 例7
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10
★ 可化为齐次方程的微分方程
★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13
★ 例 14
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题8-2 ★ 返回
内容要点：
一、可分离变量的微分方程
设有一阶微分方程
),(y x F dx
dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有
)()(y g x f dx
dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.
二、齐次方程：形如
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..
三、可化为齐次方程的方程：对于形如
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222
111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线
,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a
的交点),(00y x ，然后作平移变换
⎩⎨⎧-=-=00y y Y x x X 即 ⎩
⎨⎧+=+=00y Y y x X x 这时，dX
dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程
,2211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Y b X a Y b X a f dX dY
例题选讲：
可分离变量的微分方程
例1（讲义例1）求微分方程xy dx
dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.
注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.
例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<<x 时, 求).(x f
例4（讲义例3）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.
注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.
设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.
注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.
例5（讲义例4）某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.
(1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程;
(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0W
(3) 讨论在700,600,5000=W 三种情况下, )(t W 变化特点.
齐次方程
例6（讲义例5）求解微分方程
x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 例7 求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx
-=+-
例8（讲义例6）求解微分方程.22dx
dy xy dx dy x y =+ 例9 求下列微分方程的通解: .0)ln (ln =--ydx dy y x x 例10（讲义例7）设商品A 和商品B 的售价分别为,,21P P 已知价格1P 与2P 相关, 且价格1P 相对2P 的弹性为,1
2122112P P P P dP P dP P +-=求1P 与2P 的函数关系式. 可化为齐次方程的方程
例11（讲义例8）求3
1-++-=y x y x dx dy 的通解. 例12（讲义例9）利用变量代换法求方程
2)(y x dx dy +=的通解. 例13 求微分方程)2(tan 2
12y x y +='的通解. 例14 求下列微分方程的通解: .22222
2x x
y x e y y x y x -++=
'+
课堂练习 1.求微分方程0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 的通解.
2.求微分方程
2cos 2cos y x y x dx dy +=-+的通解. 3.方程
[])()()(2022x xy dt t y t t y x =++⎰是否为齐次方程?。

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可分离变量的微分方程56244

可分离变量的微分方程56244

特殊一点的形式： y f (x, y) dy f (x, y)
dx
如 y 2xy y tan y
x
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一阶微分方程 y f (x, y)
也可写成对称形式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
若将x视为自变量，y为因变量，方程可改写为
dy y

1
x x
2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x2 1 1
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练习2. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 求在
衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.

dM M
dt
M (0) M0
M M 0et
自学
指数减少模型
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例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
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指数减少 Exponential Decay
x0
x x0ekt
plot(3*exp(-0.3*x),x=0..10,thickness=3,view=[0..10,0..4],ytickmarks=4);
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例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
2可分离变量的微分方程.ppt

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8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．
练习5 [第二宇宙速度]
地球对物体的引力F与物体的质量m、物体离地心的
距离s的关系为
，这里g是重力加速度，
R为地球半径．验证：如果物体以 度发射，则永远不会返回地球．
的初速
研究 解 （1）建立微分方程 由牛顿第二定律F=ma，其中
，有
故有 初始条件为时s=R时， .
练习3 [环境污染问题]
某水塘原有50000t清水(不含有害杂质)，从时间 t=0开始，含有有害杂质5%的浊水流入该水塘．流入的 速度为2t/min，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以 2t/min的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物 质的浓度达到4%?
解 （1）建立微分方程 设在时刻t塘中有害物质的含量为Q(t)，此时塘中
三、进一步的练习
练习1 [国民生产总值]
1999年我国的国民生产总值（GDP）为80 423亿元， 如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我 国的GDP是多少？
解 (1)建立微分方程 记t=0代表1999年，并设第t年我国的GDP为P(t)．由 题意知，从1999年起，P(t)的相对增长率为8%，即
2. [死亡年代的测定] 遗体死亡之后，体内碳的含 量就不断减少，已知碳的衰变速度与当时体内碳的含 量成正比，试建立任意时刻遗体内碳含量应满足的方 程．
3. [镭的衰变] 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度 与它的现存量成正比．由经验材料得知，镭经过1600
年后，只剩原始量R0的一半．试求镭量与时间t的函数
4.2 可分离变量的微分方程
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 1 [人口问题 ] 英国学者马尔萨斯(Malthus，1766-1834)认为 人口的相对增长率为常数，即如果设t时刻的人口 数为x(t)，则人口增长速度 与人口总量x(t) 成正比，从而建立了Malthus人口模型。
微分方程中的变量可分离与齐次方程

微分方程中的变量可分离与齐次方程

微分方程中的变量可分离与齐次方程微分方程是数学中的一个重要概念，描述了一个未知函数与其导数之间的关系。

在微分方程的求解过程中，常常会遇到变量可分离与齐次方程这两种特殊类型的方程。

本文将对这两种类型的微分方程进行详细介绍，并给出相应的求解方法和示例。

一、变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程是指可以通过将方程中的未知函数与自变量进行分离，从而将微分方程化为两个独立的方程。

具体来说，变量可分离的微分方程可以表示为以下形式：dy/dx = f(x)g(y)其中，f(x)和g(y)是关于自变量x和未知函数y的函数。

为了解决变量可分离的微分方程，我们可以按照以下步骤进行求解：1. 将方程中的未知函数与自变量进行分离，得到以下形式：g(y)dy = f(x)dx2. 对上述方程两边同时积分，得到：∫g(y)dy = ∫f(x)dx3. 对上述两个积分进行求解，得到未知函数y的表达式。

下面通过一个具体的例子来说明变量可分离的微分方程的求解过程。

例子：求解微分方程dy/dx = x/y解：根据上述步骤，我们可以将方程进行变量分离，得到：ydy = xdx接下来，对上述方程两边同时积分，得到：∫ydy = ∫xdx解上述两个积分，得到：(1/2)y^2 = (1/2)x^2 + C其中，C为常数。

最后，我们可以得到未知函数y的表达式：y = ±√(x^2 + 2C)这就是给定微分方程dy/dx = x/y的通解。

二、齐次方程的求解齐次方程是指其中所有项次数相同的微分方程。

具体来说，齐次方程可以表示为以下形式：dy/dx = f(x,y)其中，f(x,y)是关于自变量x和未知函数y的函数。

为了求解齐次方程，我们可以按照以下步骤进行：1. 引入新的变量，令y = vx，其中v是一个新的函数。

2. 对上述等式两边同时求导，得到：dy/dx = v + xdv/dx3. 将上述结果代入原方程中，得到：v + xdv/dx = f(x,vx)4. 将上述方程进行整理，得到一个只含有v和x的方程。

第二节可分离变量的微分方程-PPT精品

第二节可分离变量的微分方程-PPT精品


规衰变律
思考题
求解微分方程 d yco x syco x sy.
dx 2
2
思考题解答
d yco x syco x sy0 ,
dx 2
2
dy2sin xsin y0, dx 2 2
2sdiyny sin2xdx,
2
lncscy coty 22
2cosxC, 2
为所求解.
三、齐次方程
1.定义 形如 dy f(y) 的微分方程称为齐次方程. dx x
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律.
解 衰变速d度 M, 由题设条件
dt
dM M dt
(0衰变)系dM数 M dt
dMMdt, l|n M | t lC n 1 ,即 MC et,
代M 入 t0M 0 得M0C0e C,
M M 0et
dx
解 dy 2 y y dx x x
令u y , 则 dy u x du ,
x
dx
dx
有uxdu 2 uu, dx
1 du dx 0, 2(u u) x
2(u1 u)dudxx 0,
x( u 1) c
微分方程的解为
xy x c
四、小结
１分离变量法步骤: 分离变量;
化下列方程为齐次方程,并求出通解:
1、 y x y 1 ； x y3
2、 (2 x 5 y 3)dx (2 x 4 y 6)dy 0 .
练习题答案
一、1、y2 x2(2lnx C)；
x
2、x2yey C. 二、1、y2 x2 y3；
2、x2 y2 x y. 三、1、arctayn21ln[(x1)2 (y2)2]C；