第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例2 ★例6★逻辑斯谛方程★齐次方程★例1★例4 ★例5 ★例8 ★例10★例13 ★例14★例17 ★例18★例3 ★例7 ★例9★例11 ★例12★可化为齐次方程的微分方程★例15 ★内容小结★习题7—2★例16★课堂练习★返回内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程dydx=F(x,y),如果其右端函数能分解成F(x,y)=f(x)g(x)，即有dydx=f(x)g(y). (2.1)则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中f(x),g(x)都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如dy⎛y⎫=f ⎪ (2.8) dx⎝x⎭的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的微分方程：对于形如dy⎛a1x+b1y+c1=f ax+by+cdx22⎝2⎫⎪⎪⎭的方程，先求出两条直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0的交点(x0,y0)，然后作平移变换⎧X=x-x0⎨⎩Y=y-y0 即⎨⎧x=X+x0⎩y=Y+y0 这时，dydx=dYdX，于是，原方程就化为齐次方程⎛a1X+b1Y=f aX+bYdX2⎝2dY⎫⎪,⎪⎭例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程解分离变量得从而y=±ex例2（E02）求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy的通解.解先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy=(y2-1)dx设y2-1≠0,x-1≠0,分离变量得两端积分⎰yy-122dydx=2xy的通解. dyy=dyy=2xdxx2两端积分得⎰⎰2xdxln|y|=x2+C1 2+C1=±eC1⋅e,记C=±eC1,则得到题设方程的通解 y=Cex. yy-12dy=21x-1dx dy=⎰x-11dx得 12ln|y-1|=ln|x-1|+ln|C1|于是 y2-1=±C12(x-1)2记C=±C12,则得到题设方程的通解 y2-1=C(x-1)2.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定g(y)≠0的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使g(y)=0的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该C≠0，但这样方程就失去特解y=±1，而如果允许C=0，则y=±1仍包含在通解y-1=C(x-1)22中.例3 已知 f'(sin2x)=cos2x+tan2x, 当0<x<1时，求f(x).解设y=sin2x,则cos2x=1-2sin2x=1-2y,sincos22tan2x=xx=sin2x21-sinx=y1-y.所以原方程变为f'(y)=1-2y+⎛⎝1y1-y,即f'(y)=-2y+11-y. 所以 f(y)= -2y+⎫2⎪dy=-y-ln1(-y)+C, 1-y⎪⎭故 f(x)=-[x2+ln(1-x)]+C(0<x<1).例4 设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:⎧dT(1)⎪=-k(T-20) ⎨dt(2)⎪T|t=0=100⎩其中k(k>0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分⎰1T-20=dTT-20=-kdt; ⎰-kdt,得ln|T-20|=-kt+C11(其中C1为任意常数)， 1即 T-20=±e-kt+C=±eCe-kt=Ce-kt(其中C=±eC). 1从而T=20+Ce-kt,再将条件(2)代入,得C=100-20=80,于是，所求规律为T=20+80e-kt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37 C按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为35 C，并且假定周围空气的温度保持20 C 不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是30 C，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型，有⎧dT⎪=-k(T-20),⎨dt⎪⎩T(0)=37k>0,.其中k>0是常数．分离变量并求解得T-20=Ce-kt，为求出k值，根据两个小时后尸体温度为35 C这一条件，有35=20+17e-k⋅2，求得k≈0.063，于是温度函数为T=20+17e-0.063t，将T=30代入上式求解t，有1017=e-0.063t，即得t≈8.4(小时)．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6（E04）设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.解设降落伞下落速度为v(t),降落伞下落时，同时收到重力P与阻力R的作用. 降落伞所受外力为 F=mg-kv根据牛顿第二定律: F=mα,得到v(t)满足微分方程mdvdt=mg-kv (1)初始条件 vt=0=0.将方程(1)分离变量得dvmg-kvdtm=两边积分得⎰mg-1kdv-kv=⎰m tm+C1，-kmt-kC⎛e1C＝－ k⎝dtln(mg-kv)=即 mg-kv=e⎛t⎫-k +C1⎪⎝m⎭或 v=mgkmgk+Ce⎫⎪⎪⎭代入初始条件得 C=-⎫⎪. ⎪⎭k-tmg⎛m 1-e故所求特解为 v=k ⎝下面我们借助树的增长来引入一种在许多领域有广泛应用的数学模型——逻辑斯谛方程.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度, 又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t),则有dh(t)dt=kh(t)[H-h(t)] (2.8)其中k>0的是比例常数. 这个方程称为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常微分方程.注：Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”.“逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”,因此许多现象本质上都符合这种S规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染, 在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.例如，837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型dydt=y(k-by),y(t0)=y0 (2.9)其中k,b的称为生命系数.这个模型称为人口阻滞增长模型. 我们不细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b=2，从而估计得：(1) 世界人口总数将趋于极限107.6亿.(2) 到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿.例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得，水从孔口流出的流量为Q＝dVdt=0⋅流量系数孔口截面面积重力加速度S=1cm, ∴dV=0.6222ghdt. ①2设在微小的时间间隔[t,t+∆t],水面的高度由h降至h+∆h,则dV=-πrdh,r=2-(100-h)2=200h-h, ∴dV=-π(200h-h)dh. ② 22比较①和②得:-π(200h-h)dh=0.622ghdt, 即为未知函数得微分方程.dt=-2π0.622g-(200h-h)dh,3ht=0=100, ∴C=π0.622g⨯14155⨯10,5所求规律为 t=π4.652g(7⨯10-103h3+3h).5例8 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有0.1%的C02, 为了降低车间内空气中C02的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的C02的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内C02百分比降低到多少?解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(t)%,在[t,t+dt]内，CO2的通入量=2000⋅dt⋅0.03,CO2的通入量—CO2的排出量,即dxdt16-16t12000dx=2000dt⋅0.03-2000dt⋅x(t)=-16(x-0.03)x=0.03+Ce,e由x|t=0=0.C=0.07x=0.03+007-t,-1x|t=6=0.03+0.07e≈0.056,故6分钟后，车间内CO2的百分比降低到0.056%. 齐次方程例9（E05）求解微分方程dydx=yxyx+tandydxyx满足初始条件ydudx1x, dx.x=1=π的特解.解题设方程为齐次方程,设u=代入原方程得u+x dudx,则=u+x=u+tanu,分离变量得cotudu=两边积分得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|sinu=Cx, 将u=yx回代，则得到题设方程的通解为sinyx=Cx.利用初始条件y|x=1=π/6,得到C=例10 求解微分方程xdx212.从而所求题设方程的特解为sinyx=12x.-xy+y2=dy2y2-xy.解原方程变形为dydx=2y-xyx-xy+y222=y⎛y⎫2 ⎪-x⎝x⎭1-⎛y⎫+ ⎪x⎝x⎭22y2,令u=yx,则dydx=u+xdudx,方程化为u+xdudx=2u-u21-u+u,分离变量得⎢两边积分得⎡1⎛1⎣2⎝u-2-1⎫21⎤dx+du=, ⎪-⎥xu⎭u-2u-1⎦ln(u-1)-32ln(u-2)-=Cx.12lnu=lnx+lnC,整理得u-1u(u-2)3/2所求微分方程的解为 (y-x)2=Cy(y-2x)3. 例11（E06）求解微分方程 y+x22dydx2=xydydx.解原方程变形为dydx=y22xy-xdudx⎛y⎫⎪⎝x⎭,（齐次方程） =y-1xdudx=u2令u=yx,则y=ux,⎛⎝dydx=u+x,故原方程变为u+xu-1,即xdudx=uu-1.分离变量得 1-回代u=yx1⎫dx⎪du=.两边积分得u-ln|u|+C=ln|x|或ln|xu|=u+C. u⎭x ,便得所给方程的通解为 ln|y|=yx+C.例12 求下列微分方程的通解:x(lnx-lny)dy-ydx=0. 解原方程变形为ln代入原方程并整理yxdy+yxdx=0,dxx令u=.yx,则dydx=u+dudx,lnuu(lnu+1)du=-两边积分得 lnu-ln(lnu+1)=-lnx+lnC,即y=C(lnu+1).变量回代得所求通解 y=C ln⎝⎛⎫+1⎪. x⎭y例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面——旋转抛物面. 解设旋转轴Ox轴，光源在(0,0), L:y=y(x),1设M(x,y)为L上任一点，MT为切线，斜率为y',MN为法线，斜率为-, ∠OMN=∠NMR, ∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹角正切公式得-1ytan∠OMN=y'-x1-y, tan∠NMR=1y',xy'x2得微分方程 yy'+2xy'-y=0, y'=-y±⎛ x⎫y⎪⎪+1,⎝⎭2令 u=yx,方程化为 u+xdu1±1+udx=-u, 分离变量得udu=-dx,(1+u2)±+u2x令 1+u2=t2,得tdtt(t±1)=-dxx,积分得 ln|t±1|=lnCx, 即u2+1=Cx±1.平方化简得u2=C22Cx2+x, 代回u=yx,得y2=2C ⎛x+C⎫⎝2⎪.⎭y'所求旋转轴为Ox轴得旋转抛物面的方程为 y2+z2=2C x+⎝⎛C⎫⎪. 2⎭例14（E07）设河边点O的正对岸为点A, 河宽OA=h, 两岸为平行直线, 水流速度为 a, 有一鸭子从点A游向点O, 设鸭子(在静水中)的游速为b(b>a), 且鸭子游动方向始终朝着点O, 求鸭子游过的迹线的方程.解设水流速度为a(|a|=a),鸭子游速为b(|b|=b),则鸭子实际运动速度为v=a+b. 取坐标系如图，设在时刻t鸭子位于点P(x,y),则鸭子运动速度v={vx,vy}={xt,yt}, 故有dxdyxtytvxvy .现在a=(a,0),而b=be,其中ePO为与PO同方向的单位向量. po ==由PO=-{x,y},故ePO=-{x,y}于是b=-bx+y22x+y, 22{x,y},⎛ v=a+b=a-⎝bxx+y22,-byx+y22⎫⎪. ⎪⎭由此得微分方程dxdy=vxvy=-ax+yby222+xy,即 dxdy=-abxy⎛x⎫x ⎪+1+, y⎪y⎝⎭=u,则x=yu,ydxdy=yabdudy+u,代入上面的方程,得 2初始条件为x|y=h=0.令dudy=-u+1,分离变量得abduu+12=-abydy, 积分得arshu=-故x=y2[(Cy)-a/b(lny+lnC),a/b即u=shln(Cy)-a/b=1[(Cy)1-a/b12[(Cy)-a/b-(Cy)a/b], -(Cy)]=2C-(Cy)1+a/b]. 将初始条件代入上式得C=1/h,故所求迹线方程为1-a/b1+a/b⎤⎛y⎫h⎡⎛y⎫- ⎪⎢⎪⎥,0≤h≤y. x=h⎭2⎢⎝h⎭⎝⎥⎣⎦可化为齐次方程的方程例15（E08）求dydx=x-y+1x+y-3的通解.解直线x-y+1=0和直线x+y-3=0的交点是(1,2),因此作变换x=X+1,y=Y+2.代入题设方程,得dYdX=Y⎫⎛= 1-⎪X⎭X+Y⎝X-YY⎫⎛1+⎪X⎭⎝dudX12=1-u1+u,令u=YX,则Y=uX,dYdX2=u+XdudX,代入上式,得u+X2分离变量,得即u=YX1+u1-2u-udu=ln|X|+lnC1,两边积分,得-ln|1-2u-u|=ln|X|+lnC1回代得X2-2XY-Y2=C,再将X=x-1,Y=y-2回代，并整理所求题设方程的通解x2-2xy-y2+2x+6y=C. 例16（E09）利用变量代换法求方程解令x+y=u,则分离变量得du1+u2dydx=(x+y)的通解.dudx=1+u,22dydx=dudx-1,代入原方程得=dx,两边积分得arctanu=x+C,回代得arctan(x+y)=x+C,故原方程的通解为y=tan(x+C)-x.例17 求微分方程y'=解令u=x+2y,则dudx12tan(x+2y)dydx22的通解.=1+2,代入原方程得u⇒1⎛du⎫1-1⎪=tan2⎝dx⎭2dudx=1+tanu,2即dudx=secu.2分离变量得两端积分得dusecu2=dx或1+cos2u2du=dx.1⎛1⎫u+sin2u⎪=x+C,2⎝2⎭即sin[2(x+2y)]+4112(x+2y)=x+C,故所求通解为 y=x2+C-14sin(2x+4y).例18 求下列微分方程的通解. x+y222yy'=ex+x+yx22-2x.解令u=x+y,则再令v=ux,则dudxdvdx22dudx=2x+2ydydx,原方程化为dudxdxxu=ex+ux. =v+x,代入上式，并整理得e-vdv=,两边积分得 -e-v=lnx+C,变量还原得通解x+y22-ex=lnx+C.课堂练习1.求微分方程dydx+cosx-y2=cosx+y2的通解.x2.方程⎰⎡2y(t)+t2+y2(t)⎤dt=xy(x)是否为齐次方程? 0⎢⎣⎥⎦3.求齐次方程(x+ycosyx)dx-xcosyxdy=0的通解.。
