二次函数的符号的问题[上学期]--浙教版

o
x
练一练：
已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大
致图象是图中的（ ）
y
y
o
x
y （A）
o
x
（B） y
o
x
（C）
o
x
（D）
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
。 ? 一个士兵走过来，发现了这起罪行。他审视了跪着的老人和爸爸一番，又把目光投向围观的人群，然后稍加思索，就从腰间取下鞭子，开始鞭打。 ? 犹太老人被打了六下，鞭子落在他的背上、头上、还有腿上。“你这头肮脏的猪！”鲜血从他耳边滴下来。 接着，轮到了爸爸。 ? 又有一只手
握紧了莉赛尔的手。她惊怒地朝旁边看去，鲁迪?斯丹娜（莉赛尔的伙伴）紧张地咽着唾沫，目瞪口呆地看着汉斯?休伯曼被当众鞭打。鞭子的声音让莉赛尔头晕目眩，她估计爸爸身上肯定被打得皮开肉绽了。他被打了四鞭子，随后倒在地上。 ? 那个犹太人最后一次爬起来，继续向前走。他飞快地
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
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；
本文以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 【点评】本题考查对文本、故事情节的理解分析能力和对句子含义、作者感情的理解分析能力．其中第（2）题是重点题目，学生解答时，在理解文章内容主旨的基础上，结合
点在x轴下方
a+b+c<0

大～｜的长度不变且振幅不太大时，运动的周期恒等。⑤名钟表或精密仪器上用来控制 摆动频率的机械装置。⑥〈方〉动说；谈；陈述：咱们来～～，好吗？⑦（）名姓。 【摆】（擺、襬）名长袍、上衣、衬衫等的最下端部分：衣～｜
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
o
x
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与 什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点
是
.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴
是
.
历时一百零三天，旧称百日维新。参看页〖戊戌变法〗。 【百十】数指一百左右的大概数目：～来年｜～个人｜～亩地。 【百世】名很多世代：流芳～。 【百事通】名万事通。 【百思不解】ī反复思索，仍然不能理解。也说百思不得其解。 【百万】数一百万，泛指数目巨大：雄兵～｜～富翁。 【百闻不如一 见】ī听到一百次也不如见到一次，表示；股票知识 股票知识 ； 亲眼看到的远比听人家说的更为确切可靠。 【百无禁忌】什么 都不忌讳。 【百无聊赖】精神无所依托，感到非常无聊。 【百无一失】īī形容绝对不会出差错。 【百无一是】ī没有一点儿对的地方：不应把有缺点的同事 说得～。 【百物】名各种物品：～昂贵。 【百姓】名军人和官员以外的人：平民～。 【百业】名各种行业：～兴旺。 【百叶】〈方〉名①千张。②牛羊等 反刍类动物的胃，做食品时叫百叶。 【百叶窗】名①窗扇的一种，用许多横板条制成，横板条之间有空隙，既可以遮光挡雨，又可以通风。②机械设备中像 百叶窗的装置。 【百叶箱】名装有测量空气温度或湿度的仪器的白色木箱，四周有百叶窗。放在室外，可使仪器不受太阳直接照射的影响，又可使空气自由 流通。 【百依百顺】ī形容在一切事情上都很顺从。 【百战不殆】每次打仗都不失败（殆：危险）。 【百折不挠】无论受多少挫折都不退缩，形容意志坚强。 也说百折不回。 【百褶裙】名一种下摆较宽、折叠出许多竖褶的裙子。 【百足之虫，死而不僵】ī，原指马陆这种虫子死后仍不倒下（见于三国魏曹冏《六 代论》：“百足之虫，至死不僵，以扶之者众也。”僵：仆倒）。现用来比喻势力大的人或集团虽已失败，但其余威和影响依然存在（多含贬义）。 【伯】 见页〖大伯子〗。 【佰】数“百”的大写。 【柏】（栢）名①柏树，常绿乔木，叶子鳞片状，果实为球果。木材质地坚硬，可用来做建筑材料等。②（）姓。 【柏油】名焦油沥青，是焦油蒸馏后的残余物。也泛指沥青。 【捭】〈书〉分开：～阖。 【捭阖】〈书〉动开合，指运用手段使联合或分化：纵横～｜～之 术。 【摆】（擺）①动安放；排列：把东西～好｜河边一字儿～开十几条渔船◇～事实，讲道理。②动显示；炫耀：～阔｜～威风。③动摇动；摇摆：大摇

近年来，父亲年岁已高，身体也不大好，再加上缺少帮手，没有烫豆皮了。而乡亲们却烫得十分红火，不光烫得自家吃，还拖到城里去卖个好价钱。有的干脆办起了豆皮加工厂，成了豆皮专业户，产销 一条龙，豆皮畅销武汉等地，三结豆皮成了品牌，享誉省内外。比特币 / 我爱吃豆皮，一进冬天，我巴不得餐餐吃豆皮。早晨过早，吃上一盘炒豆皮或者两三个热豆皮，喝上一杯豆奶；中午或者晚上下豆皮吃，多放点白菜，拣两块霉豆腐，就可以吃上两大碗，那感觉热烘已是荆棘丛生的小路 懒懒的太阳公公又从窗纱那边爬起来了，阳光是白色的，照在白色的条形被褥上，亮得刺眼。还想在被窝里多呆一会儿的我不得不起床上学了，洗脸水都弄好了，只等着我洗脸吃饭，然后去学校。 于是，向母亲拿了书包，背着水壶就抄上小路与小伙伴们一同上学去了。 十一月的天空很高很蓝，云朵也很轻，阳光照得人身上暖洋洋的。小路的两旁，是一些类似芦苇的植物，叶子细长细长，像剑一样，边上还有许多小锯齿。从中间的芽里冒出一根很长很长的光滑的秸杆， 上面长满了白色的须，也许那就是它的白花吧！早晨经露水沾湿的白须显得很湿很沉，将那光滑的秸秆儿都压弯了。但是，经太阳一晒，它们马上就会变得轻盈无比，在微风中摇拽着向我们这些小不点 儿招手。于是我们便将它折了来，拔光白色的轻须，做成长尖长尖的直杆，当作大人们用的鱼杆，那时候看见大人们扛着自家精心制作的鱼杆，又直又漂亮，心中总梦想着有一天自己也能拥有一根那样 的鱼杆该多好哇！女孩子却多半喜欢将那些白色的胡须都留在上面，一根也不可以断，然后用小刀将桔杆的折断端削平，然后举过头顶，就像她们举着大旗一般，欢快地追逐着，却又不敢跑得太快。一 放假，我们都会折上十几支带回家，然后开始翻七倒八地找工具做弓箭。

二次函数考点分类一、典型例题类型一、二次函数的定义1.一个二次函数y=（k-1）x k2−3k+4+2x-1．（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？2.已知函数y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？类型二、二次函数图像的位置关系3.在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是（）A. B. C. D.4.已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是（）A. B. C. D.5. 已知函数y=ax 2+bx+c ，当y ＞0时，−21＜x ＜31．则函数y=cx 2-bx+a 的图象可能是下图中的（ ） A. B. C. D.类型三、二次函数图像与系数的关系6. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b 2-4ac ＜0；③4a+c ＞2b ；④（a+c ）2＞b 2；⑤x （ax+b ）≤a-b ，其中正确结论的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①③⑤D ．③④⑤（6） （7） 7. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1，0），与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③4ac-b 2＜-4a ；④31＜a ＜32；⑤b ＞c ．其中正确结论有 （填写所有正确结论的序号）． 8. 设二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0，c ＞1），当x=c 时，y=0；当0＜x ＜c 时，y ＞0．请比较ac 和1的大小，并说明理由．类型四、二次函数点的坐标9. 点A （m ，y 1），B （m+4，y 2），C （1，y 3）在二次函数y=ax 2-2ax+4的图象上，且y 1≤y 2≤y 3，则m 的取值范围是 .10. 设实数a 、b 、c 满足222111c b a ++=|a 1+b 1+c1|，则函数y=ax 2+bx+c 的图象一定经过一个定点，那么这 个定点的坐标是 .11. 如图，二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （2，4）与B （6，0）．点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值及C 的坐标．类型五、二次函数平移、折叠12. 将抛物线y=x 2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A ．y=x 2-2B ．y=x 2+2x-1C ．y=x 2-2x-1D ．y=x 2+213. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（1，2），将抛物线y=21x 2-3x+2沿坐标轴平移一次，使其经过点P ，则平移的最短距离为（ ） A.21 B ．1 C ．5 D.25 14. 直线y=m 是平行于x 轴的直线，将抛物线y=-21x 2-4x 在直线y=m 上侧的部分沿直线y=m 翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象刚好与直线y=-x 有3个交点，则满足条件的m 的值为 .二、课堂小测1. 若y=（a 2+a ）x 2a −2a −1是二次函数，那么（ ）A ．a=-1或a=3B ．a ≠-1且a ≠0C ．a=-1D ．a=32. 二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位3. 函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）在同一平面直角坐标系内图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数y=-（x-m ）（x-n ）（其中m ＜n ）的图象与一次函数y=mx+n 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=-1，且过点（21，0），有下列结论： ①abc ＞0； ②a-2b+4c ＞0；③25a-10b+4c=0；④3b+2c ＞0；其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④（5） （6）6. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴为x=1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b-2a ＜0，③a-b+c ＞0，④a+b ＞n （an+b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤7. 已知点A （a-m ，y 1），B （a-n ，y 2），C （a+b ，y 3）都在二次函数y=x 2-2ax+1的图象上，若0＜m ＜b ＜n ，则y 1、y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 18. 如图在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n 与x 轴交于点A ，与二次函数交于点B 、点C ，点A 、B 、C 三点的横坐标分别是a 、b 、c ，则下面四个等式中不一定成立的是（ ）A ．a 2+bc=c 2-abB ．a b b c b b c --=-222C ．b 2（c-a ）=c 2（b-a ）D ．cb a 111+= （8） （9）（10）9. 已知四个二次函数的图象如图所示，那么a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是 .10. 如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=31x 2与y=-31x 2的图象，则阴影部分的面积是 .11. 抛物线y=x 2+x+2的图象上有三个点（-3，a ）、（-2，b ）、（3，c ），则a 、b 、c 的大小关系是（用“＜”连接）．12. 已知二次函数y=x 2-4x+m （m 为常数）的图象上的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），若x 1＜2＜x 2，且x 1+x 2＞4，则y 1与y 2的大小关系为y 1 y 2．（填“＞”或“＜”或“=”）13. 若二次函数y=-（x+1）2+h 的图象与线段y=x+2（-3≤x ≤1）没有交点，则h 的取值范围是 .14. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2ax-3（a ≠0）与y 轴交于点A ．（1）直接写出点A 的坐标；（2）点A 、B 关于对称轴对称，求点B 的坐标；（3）已知点P （4，0），Q(−a 1，0)．若抛物线与线段PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．15. 已知抛物线y=（m+1）x 2+（21m-2）x-3． （1）当m=0时，不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点P （2，a ），求直线l 1的解析式；（2）在（1）的条件下，将直线l 1向上平移，与抛物线交于M ，N 两点（M 在N 的右侧），过P 作PQ ∥y 轴交MN 于点Q ．求证：S △PQM =S △PQN ．三、课后作业1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2-bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 .2.点P1（-1，y1），P2（2，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .3.已知二次函数y1=x2+2x-3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为 .4.已知函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象经过点A（-1，0）、B（0，2）．（1）b= （用含有a的代数式表示），c= ；（2）点O是坐标原点，点C是该函数图象的顶点，若△AOC的面积为1，则a= ；（3）若x＞1时，y＜5．结合图象，直接写出a的取值范围．5. 如果x=0，1，2时，函数y=ax 2+bx+c 的值都是整数．求证：（1）2a ，2b 是整数．（2）对任何整数x ，函数y=ax 2+bx+c 的值都是整数．答案一、典型例题类型一、二次函数的定义1. （1）由题意得：k 2-3k+4=2，且k-1≠0，解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k-1）x k 2−3k+4+2x-1得：y=x 2+2x-1，当x=0.5时，y=41． 2. （1）函数y=（m 2-m ）x 2+（m-1）x+2-2m ，若这个函数是二次函数，则m 2-m ≠0，解得：m ≠0且m ≠1；（2）若这个函数是一次函数，则m 2-m=0，m-1≠0，解得m=0；（3）这个函数不可能是正比例函数，∵当此函数是一次函数时，m=0，而此时2-2m ≠0．类型二、二次函数图像的位置关系3. C4. D5. A类型三、二次函数图像与系数的关系6. C7. ①③④⑤8. 解：当x=c 时，y=0，即ac 2+bc+c=0，c （ac+b+1）=0，又c ＞1，所以ac+b+1=0，设一元二次方程ax 2+bx+c=0两个实根为x 1，x 2（x 1≤x 2）由x 1•x 2＝ac ＞0，及x=c ＞1，得x 1＞0，x 2＞0又因为当0＜x ＜c 时，y ＞0，所以x 1=c ，于是二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴：x ＝−a b 2≥c 即b ≤-2ac 所以b=-ac-1≤-2ac 即ac ≤1．类型四、点的坐标9. m ≤-110. （1，0）．11. ∴S 关于x 的函数表达式为S=-x 2+8x （2＜x ＜6），∵S=-x 2+8x=-（x-4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16．类型五、二次函数平移、折叠12. A13. B 可能水平平移或者竖直平移14. m=6或425 二、课堂小测1. D2. C3. B4. C5. C6. D7. B8. A解：一次函数y=mx+n 与x 轴的轴交于点A ，故点（a ，0），将点A （a ，0）坐标代入一次函数表达式得：0=am+n ， 解得：n=-am ，故一次函数的表达式为y=mx-am ，∵点B 、C 在一次函数上，故点B 、C 的坐标分别为（b ，mb-ma ）、（c ，mc-ma ），设二次函数的表达式为y=Ax 2，点B 、C 在该二次函数上，则bm −ma ＝Ab 2①，mc −ma ＝Ac 2②（1）②-①得：A （b 2-c 2）=m （c-b ），等式两边同除以Ab 2得，，故B 正确（2）①÷② ，故C 正确（3）化简③得，故D 正确（4）化简A 得：a 2-c 2=-bc-ab ，化简得：a+b=c ，而从上述各式看，该式不一定成立9. a 1＞a 2＞a 3＞a 410. 811. b<a<c12. <13. 解：x=1时，y=x+2=3，将（1，3）代入y=-（x+1）2+h 并解得：h=7， 联立y=-（x+1）2+h 和y=x+2并整理得：x 2+3x+（3-h ）=0，∵△=3-4（3-h ）＜0，∴h ＜43， 故答案为h ＞7或h ＜43． 14. （1）A 的坐标为（0，-3）；（2）B （2，-3）（3）83≤a ≤1或a ＜-315. 解：（1）当m=0时，y=x 2-2x-3．∵点P （2，a ）为抛物线y=x 2-2x-3上的点，∴a=22-2×2-3=-3，∴点P 的坐标为（2，-3）．设直线l 1的解析式为y=kx+b （k ≠0），∵点P （2，-3）为直线l 1上的点，∴2k+b=-3，∴b=-2k-3，∴直线l 1的解析式为y=kx-2k-3．将y=kx-2k-3代入y=x 2-2x-3，得：x 2-2x-3=kx-2k-3，整理，得：x 2-（2+k ）x+2k=0．∵直线l 1与抛物线有且只有一个交点，∴△=[-（2+k]2-4×1×2k=0，解得：k 1=k 2=2，11 ∴直线l 1的解析式为y=2x-7（2）如图，过点Q 作直线l ∥x 轴，过点M 作ME ⊥直线l 于点E ，过点N 作NF ⊥直线l 于点F ．∴MQ=NQS △PQM =21PQ •MQ ，S △PQN =21PQ •NQ ，∴S △PQM =S △PQN 三、课后作业1. ①③⑤2. y 2＞y 1＞y 33. 84. a+2，2；a=-2或6-42或6+42；a ＜-8+2155. （1）由题意知，c ，a+b+c ，4a+2b+c 均为整数，∴a+b=（a+b+c ）-c 为整数，4a+2b=（4a+2b+c ）-c为整数，∴2a=（4a+2b ）-2（a+b ）为整数，2b=（4a+2b ）-2（2a ）为整数；（2）当x 为偶数时，不妨设x=2k （k 不整数），则y=ax 2+bx+c=4ak 2+2bk+c=2（2ak 2）+2bk+c ， ∵2a ，2b ，c ，k 均为整数，∴y=4ak 2+2bk+c 为整数；当a 为奇数时，设x=2k+1（k 为整数），则y=a （2k+1）2+b （2k+1）+c=4ak 2++4ak+2bk+（a+b+c ），∵4a ，2b ，k ，（a+b+c ）均为整数， ∴y=a （2k+1）2+b （2k+1）+c 为整数．故对任何整数x ，函数y=ax 2+bx+c 的值都是整数．。