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相似三角形-平行线分线段成比例(可直接使用)

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戴氏教育 珙县总校 初中数学

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地址：巡场镇米市街街口（德克士对面） 相信自己,创造奇迹!!! 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心

【态 度 决 定 高 度】

平行线分线段成比例

1. 平行线分线段成比例定理

如下图，如果1l∥2l∥3l，则BCEFACDF，ABDEACDF，ABACDEDF.

l3l2l1FEDCBA

2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBC

ABCDEEDCBA

3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEACAEABAD，那么DE∥ BC。

学员姓名 辅导教师 就读年级 初三上(HS) 组长签字

签字日期

课 题 平行线分线段成比例

教 学

目 标 1、 平行线分线段成比例

2、 相似图形

教学过程

知识考点 戴氏教育 珙县总校 初中数学

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例1、如图，已知EFCDAB////，则下列结论正确的是 （ ）

A.CEBCDFAD B.ADDFCEBC

C.BEBCEFCD

D.AFADEFCD

变式训练：如图，ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定BCDE//的是（ ）

A. ADACAEAB

B. ADAEECDB

C. ADABAEAC

D. BDACAEAB

例2、如图，28,40,15,ACABADECAEDBAD，求AE的长．

变式训练：如图，已知在ABC中，9,6,2,//,//BCABCEAEABEFBCDE．求四边形BDEF的周长．

例3、已知菱形BEDF内接于ABC，点GDE,,分别在BCACAB,,，若ABBC1512，，求菱形边长．

典型例题

A

E D

B F C A

B C D E 戴氏教育 珙县总校 初中数学

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地址：巡场镇米市街街口（德克士对面） 相信自己,创造奇迹!!! 3 变式训练：如图，在矩形ABCD中，3,2BCAB，点HGFE,,,分别在矩形ABCD的各边上，//,////EHHGACEFFGBD//，则四边形EFGH的周长是 （ ）

A.10 B.13

C.102 D.132

例4、如图，在ABC中，D是AB上一点，E是ABC内一点，BCDE//，过D作AC的平行线交CE的延长线于,FCF与AB交于P，求证：PBPAPFPE．

变式训练：如图，在ABC中，CDEFBCDE//,//，求证：AD是AB和AF的比例中项．

例5、如图，ABC中，AD是角平分线，DEAC//交AB于E，已知AB12，AC8，求DE．

变式练习：如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则AEEF:（ ）

A.4:1 B.3:1

C.3:2 D.2:1

A

E

B D C 戴氏教育 珙县总校 初中数学

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方法归纳

利用平行线分线段成比例基本事实的推论求线段长或线段比的方法：当三角形被一条与一边平行的直线所截形成“A”字形或“X”字形的图形，并且所求的线段不在平行的边上，通常考虑运用平行线分线段成比例基本事实的推论构建包含待求线段与已知线段的比例关系，然后把已知线段代入即可求出待求线段．

例6、下列说法正确的是 （ ）

A.两个等腰三角形相似 B.所有的等腰梯形相似

C.两个等腰直角三角形相似 D.所有的正多变形相似

变式练习：如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为1:2，则下列结论正确的是 （ ）

A.KE2

B.HIBC2

C.六边形ABCDEF六边形GHIJKL的周长

D.GHIJKLABCDEFSS四边形四边形

例7、已知矩形ABCD中，1AB，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD （ ）

A.215 B.215

C.3 D.2

变式练习：如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，则ADAB等于 （ ）

A.618.0 B.22

C.2 D.2

培优训练

例8、如图，在菱形ABCD中，点FE,分别在边CDBC,上，DAEBAF，AE与BD交于点G．

（1）求证：DFBE；

（2）当DFADFCDF时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

巅峰对决，舍我其谁 戴氏教育 珙县总校 初中数学

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1、如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.

FEDCBA

2、如图，在梯形ABCD中，ABCD∥， 129ABCD，，过对角线交点O作

EFCD∥交ADBC，于EF，，求EF的长。

OFEDCBA

实战演练 戴氏教育 珙县总校 初中数学

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1、如图，DEBC∥，且DBAE,若510ABAC，，求AE的长。

EDCBA

2、如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和

BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.

FEDCBA

3、如已知DEAB∥，2OAOCOE，求证：ADBC∥.

DOECBA

课后反馈 戴氏教育 珙县总校 初中数学

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地址：巡场镇米市街街口（德克士对面） 相信自己,创造奇迹!!! 7 4、（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC中，BCa，若11DE，分

别是ABAC，的中点，则1112DEa；

若22DE、分别是11DBEC、的中点，则2213224aDEaa；

若33DE、分别是22DBEC、的中点，则33137248DEaaa；

„„„„

若nnDE、分别是-1-1nnDBEC、的中点，则nnDE_________.

EnDnE3D3E2D2E1D1CBA

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平行线分线段成比例证明方法

平行线分线段成比例证明方法

平行线分线段成比例证明方法

平行线分线段成比例是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。本文将介绍一种基于平行线分线段成比例的证明方法。

一、问题描述

假设有一条直线上的线段AB，平行于这条直线的另外两条直线分别与线段AB相交于点C和D。我们需要证明线段AC与线段CB的比例等于线段AD与线段DB的比例，即AC/CB = AD/DB。

二、证明思路

我们可以通过构造相似三角形来证明平行线分线段成比例的性质。具体的证明方法如下：

1. 过点C和D分别作线段AB的平行线，与直线上的另一条线段分别相交于点E和F。

2. 连接线段AE、AF、CF和CE，得到四边形AECF。

3. 由于平行线的性质，可以得知∠ACF = ∠CED，∠ACB = ∠CED。

4. 根据四边形内角和定理，四边形AECF的内角和为360度，因此∠ACF + ∠AFC + ∠CAF + ∠ACB = 360度。

5. 由于∠ACF = ∠ACB，可得∠AFC + ∠CAF = 180度。

6. 根据内角和为180度的三角形性质，可知三角形AFC和三角形CAF之间存在相似关系。 7. 由于相似三角形的对应边成比例，可以得知线段AC与线段CF的比例等于线段AF与线段CA的比例，即AC/CF = AF/CA。

8. 同理，可以得知线段CB与线段CF的比例等于线段CE与线段CA的比例，即CB/CF = CE/CA。

9. 将上述两个等式相除，可得 (AC/CF)/(CB/CF) =

(AF/CA)/(CE/CA)，化简后得 AC/CB = AF/CE。

10. 由于线段AF与线段CE分别与线段AD和线段DB相等，可得

AF/CE = AD/DB。

11. 综上所述，我们证明了线段AC与线段CB的比例等于线段AD与线段DB的比例，即AC/CB = AD/DB。

三、实际应用

平行线分线段成比例的性质在实际问题中有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，如果我们需要在一条直线上平分一段线段，可以通过构造平行线来实现这个目标。又如在地图上，我们可以利用平行线分割一段距离，从而方便计算两个地点之间的距离。

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。

推论:平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

定理定义

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。这一定理被称为"平行线分线段成比例定理"。

如图，因为AD∥BE∥CF，

所以

AB:BC=DE:EF;

AB:AC=DE:DF;

BC:AC=EF:DF。

也可以说AB:DE=BC:EF;

AB:DE=AC:DF;

BC:EF=AC:DF。

上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

定理证明

设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点。

连结AE、BD、BF、CE

根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF

∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE 根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得:

AB/BC=DE/EF

由更比性质、等比性质得:

AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF

定理推论

过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。

平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

• 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。推广:过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。定理推论:①平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

• 证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它(用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1:过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质:AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2:过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳

一、比例的性质：

比例的性质 示例剖析

（1）基本性质：()acadbcbdbd xyxy

（2）反比性质：()acbdabcdbdac

xyxy()xy

《

（3）更比性质：acabbdcd或

dcba()abcd xyxy或yx()xy

（4）合比性质：acabcdbdbd()bd xxyyy()y

（5）分比性质：acabcdbdbd()bd yyxxx()x

（6）合分比性质：acabcdbdabcd

~

(,,)bdabcd xxyyxy(,)yxy

（7）等比性质：

()acmbdnbdn

acmabdnb()bdn 已知xyz，则当xyz时，xyzxyz.

二、成比例线段的概念：

…

1．比例的项：

在比例式::abcd（即acbd）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式::abbc（即abbc）中，b称为a，c的比例中项，满足bac．

2．成比例线段：

四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即acbd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

3．黄金分割：

如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ACABBC），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中.ACABAB，BCAB.AB，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）

平行线截线段成比例与相似三角形性质

平行线截线段成比例与相似三角形性质

平行线截线段成比例与相似三角形性质

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 【平行线分线段成比例】

平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

A D l1

B E l2

C F l3

（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

【基础典例】

如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则BFCF的值为（ ）

A.21 B.31 C.41 D.32

如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）

A.OEOCOFOD= B.OAOBOEOF= C.OBODACOA= D.OEODEFCD=

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（ ） ABCDEABCDE

A.10 B.13 C.102 D.132

如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）

A.ABDFDAED= B.FBEFBCDE= C.BEBFDEBC= D.AEBCBEBF=