几何公式之平行线分线段成比例定理

3、如图梯形ABCD中点E、F分别在 AB、CD上EF∥AD假设EF作上下平 行移动
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例. 关键要能熟练地找出对应线段
小结
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
a
（平行线分线段成 比例定理）。
三 练习
！
证明：因为
（平行线分线段成 比例定理）。
因为
已知：如图， ， 求证： 。
E
B
A
D
C
F
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X则BC=8—X
即：
（平行线分线段成 比例定理）。
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平行线分线段成比例定理
l1
l2
l3
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例 如图
已知l1∥l2∥l3 求证
或
或
定理的证明过A点作AN ∥ DF交l2于M交l3于N 点连接 BN 、CM如图1-2
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中有
.
∵BM∥CN ∴S△BCN= S△BMN ∴
亦即
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例
“对应”是数学的基本概念 图1-1中 在l1∥l2∥l3的条件下可分别推出如下结论之一： 1简称“上比下”等于“上比下” 2简称“上比全”等于“上比全” 3 简称“下比下”等于“下比下” 把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论

ABCDEEDC BAl 3l 2l 1FE D CBA 第二十四讲 平行线分线段成比例 一、知识要点1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

（你会证明吗？）二、典例分析：类型一：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用例1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA例2、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA1、 如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F . 证明：111AB CD EF+=.2、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA3、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

类型二、定理及推论与中点有关的问题 例4、 （2007年北师大附中）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F，则EF AF FC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2 注：对上面两小题请写出简要过程。

17 2
5
17
2 1
)
)
(3) S△AGE=( 2
4
课堂小结
作业 4
已知AD // ED // BC，AD=15，BC=21，2AE = EB，求EF的长
A D E
H
F
解法（一）
作AG // CD交EF于H AD // EF // BC AD=15, BC=21
B
G
C
AD = HF = GC =15 ，BG = 6 EH AE = BG AB 2AE = EB
A
3k 3m 2m
E
D
2k
G
4m 2a
F
a
B
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
3k 3m
E
6m
H
2m
D
2k
F
a
B
3a
C
应用1—求线段长度（比值）
如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线 CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3∶2． 求：FB∶FC的值．
A
y
D
x
x
E C
B
5
应用4 — 建立函数关系式
2. 已知：如图，BC = 4, AC = 2 3 ∠C=60°，P为BC上 一点，DP//AB，设BP = x，S△APD= y.
(1)求y关于x的函数关系式; (2)若S△APD =
2 S△APB，求：BP的长. 3
A
D
H
B

初二数学【教学进度】几何第二册第五章 §5.2 [教学内容]平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DEAC AB= ， 可以说成“上比全等于上比全” DFEFAC BC= ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD例3分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''////求证：CC B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。

平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。

在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。

一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。

形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。

二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。

1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。

其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。

2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。

我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。

3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。

我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。

4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。

我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。

5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。

6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。

三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。

平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。

总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。

通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。

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左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC

1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB

1gABgADgsin BAD 2
SVDAC

1 gCDgh 2

1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例

如图： l1 // l2 // l3 // l4 // l5 // ， l6 且AP=PB=BQ=QR=RC. (1)你能推出怎样的结论？ 为什么？
由平行线等分线段定理可知. (注意其前提条件是:等距)
A P B Q R C
D S E T G F
L1 L2 L3
L4 L5
L6
（2）三条距离不相等的平行线截 两条直线会有什么结果?
四 课后小结
1、学习掌握平行线等分线段定理，了解定 理的证明。 2、正确理解“对应线段成比例”，能正确 写出需要的比例式。 3 了解平行线分线段成比例定理是一般情 况,平行线等分线段定理的特殊情况，明 确我们的研究是采用从特殊到一般的数 学方法。
例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边 对应成比例.(文字语言) A (图形语言) 已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于
5 5
C
E
C
1、如图：EF∥AB，BF： FC= 5 ：4， E F 4 AC=3厘米，则CE=（ cm ） 3 ２、已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC， A B A 那么下列结论不成立的是( ) B F AD AB AD AC B A AF AD AB AE D E C AF AD D AF AE DF DB B AD AC C A 3、如图： △ABC中, DE ∥BC， DF ∥AC，AE=4，EC=2，BC=8， D E 求线段BF,CF之长.
L1
L2 L3
L5 L4
L1
L2 L3
L5
L4
L1 L2 L3
L5 A
D
L4
L1
E
L2
B
C
L3

DG CG (1)证明：因为 CD∥AE，所以GE＝AG， GF CG 因为 AD∥CF，所以DG＝AG， DG GF 所以GE＝DG，即 DG2＝GE· GF.
AB DF (2)解：因为 BF∥AD，所以AE＝DE.① CF DF 因为 CD∥BE，所以CB＝DE.② CF AB 由①②可得CB＝AE.
解析：(1)正确，因为顺次连接任意四边形的四边中 点所构成的四边形为平行四边形， 根据平行四边形对角线 互相平分，可知(1)对． (2)正确，中位线的两端点和中线的两个端点连起来 也构成平行四边形，所以对角线互相平分．
(3)错误，如果对角线互相平分的话，则此四边形就 一定是平行四边形了，不可能是梯形了． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
又因为 EF⊥AB，所以 AD∥EF∥BC， AE DF a c 所以EB＝CF，即b＝CF， bc 所以 CF＝ a .
归纳升华 1．应用平行线分线段成比例定理的解题思路： (1)观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和 被平行线所截的两条直线． (2)分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系．
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
1．2 平行线分线段成比例 定理
[学习目标] 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推 论(重点)． 2.能应用平行线分线段成比例定理及其推论 解决简单几何问题(重点、难点)．

DE // BC
E
A
D
AD = AE AB AC
B
C
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2 L3 B
E A
L1
L2 C L3
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
数学符号语言 ∵ DE∥BC AD = AE AB AC
∵
∵
练习一: 1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
E
L2 （ 一般到特殊 ）
(E)
B
图1
C
怎样变化？
B L3 C L3
图3
平行移动直线FC与直线AB相交,交点D在L2上
思考：把图2、图3中的部分线擦去，得到图4、
图5，上述比例式还成立吗？
A D A D
L1 E
L2 部分线擦去,取一部分
E （ 字母 C
A
型）
B
图2
C
一般到特殊 L3
B
图4
， 因为 图形中有关的对应线段均没改变
图1
Ｃ
Ｌ３
Ｌ５
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例。 AD/DB=FE/EC A F L1 （上/下=上/下） AD/AB=FE/FC D E L2 （上/全=上/全） DB/AB=EC/FC B C （下/全=下/全） L3
L4 L5 图1
DB/AD=EC/FE （下上=下/上） AB/AD=FC/FE (全/上=全/上) AB/DB=FC/EC (全/下=全/下)
A B C
例题2 解:
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
A

A
D
L1
B
E L2
C
F L3
1.平行线等分线段定理？
A B C
A1
l1
B1
l2
C1
l3
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其他直线上截得的线段也相等.
2.你会用几何语言表述吗？
思考：
l1 || l2 A1B1
|| l3，AB B1C1 (或
BC AB
BC

A1B1 B1C1
A
中
AD AE 4 2 AB AC 6 3
间 ∵DF//AC 比 AD CF 2 CF ，
D
E
AB CB AE CF
AC CB
38 即：CF 16
3
B
F
C
AECB ACCF BF 8 - 16 8
33
例 2 如图，△ABC中，DE//BC，EF//CD.
Ak
Bk
lk
B1Bk (k 1)b k 1 ，
Bk Bn (n k)b n k
An-1 An
Bn-1 Bn
ln-1 A1Ak B1Bk
ln
Ak An Bk Bn
如平图行，线有分一线组段平行成直比线例：定l1 |理| l2：|| l3 … lk || … || ln-1 || ln ，另外， 直线A1两An条与直直线线B被1B一n被组这平一行组平线行所直截线，分所别得截于的点对A应1，线A段2， A成3 …比例Ak。… An-1，An和点B1，B2，B3 … Bk … Bn-1，Bn.
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延
长线)，所得的对应线段成比例。

A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
A D B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
l1 l2
l3
C
平行于三角形一边的直线截其他两边
平行线分线段成比例定理推论:
AD B E F
QR PQ 则 . KN HK
？
H
. .
K N P Q
.
R
l1 l2
. . .
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=3，DE=2， EF=4， 求BC.
A
D
l1
l2
B
3
2E 4 F
6 ?
C
l3
练习2
已知：如图，l1∥l2∥l3， AB=6，BC=2， EF=1， 求DE.
A 6 B 2 C
A
D
集中地分析这些比例式：
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B
C
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
AB AC 上 全 是 ; DE DF 上 全 B BC AC 下 全 是 ;C EF DF 下 全
A
D E
l1 l2
F
l3
集中地分析这些比例式：
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:
A B D E F
l1 l2
l3
C
平行线分线段成比例定理推论:

三角形平行线分线段成比例定理三角形平行线分线段成比例定理，是初中数学的一条基本定理。

该定理的内容是：若三角形ABC中，DE//BC，AD/DB=AE/EC，则DE/BC=AE/AC=DE/DC。

三角形平行线分线段成比例定理为我们理解梯形的性质提供了基础，为了方便叙述，我们在本文中将图形定名如下：在三角形ABC中，DE//BC，AD/DB=AE/EC。

下面，我们来详细探讨该定理。

一、证明证明如下：因为DE//BC，则∠AED=∠ABC，∠EDA=∠ACB。

根据正弦定理，有AD/BD=sin∠ABD/sin∠ADBAE/EC=sin∠AEC/sin∠EAC因为∠ABD=∠EAC，∠ADB=∠ECA，代入sinsin公式，我们得到：AD/BD=AE/EC因此，AD/BD=AE/ECAD/BD+1=AE/EC+1(DC/BD)+1=(EC/BD)+1DC/BD=EC/BDDE/BC=(DE/DC)(DC/BD)(BD/BC)DE/BC=(DE/DC)×(EC/BD)×1 （1）因为AD/DB=AE/EC，所以AD/DB+AE/EC=ADB/DBE+CEB/ECB=1因此，CEB/ECB=1-ADB/DBECEB/ECB=(DBE-ADB)/DBECE/EB=AC/BDAB/EB=AC/ECEB/BD=EC/AC因此，DE/BC=(DE/DC)×(EB/BD)×(BD/BC)DE/BC=(DE/DC)×(EC/AC)代入公式（1），即：DE/BC=(AE/AC)×(DE/DC)所以，DE/DC=(DE/BC)/(AE/AC)DE/DC=DE/BC×AC/AEDE/DC=DE/CE故而，DE/BC=DE/CE=AE/AC二、应用1.应用于梯形性质：利用三角形平行线分线段成比例定理，可以证明梯形的各种性质。

如下面的梯形ABCD，EF//DC，F与AB、CD交于G、H，AB=DC。

证明方法二：利用向量运算
总结词
通过向量运算，证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先，根据向量的加法性质，将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后，利用向量的模长关系和向量平行 的性质，证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三：利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法，证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一：解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中，平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ，在直线的平行移动过程中，线段的比例保持不变，这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二：三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指，如果两条平行线被一条横截线所截，那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$，它们被一条横截线$m$所截，形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理，我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着，如果$triangle ABC > triangle CDE$，则$AB > CD$，反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中，通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如，在等腰三角形中，通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系，这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三：建筑设计中的应用